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14 如图,在$□ ABCD$中,点E为AB的中点,点F为AD上一点,EF与AC相交于点H。若$FH=3$,$EH=6$,$AH=4$,则CH的长为
20
。答案
20
解析
【分析】
要求CH的长度，已知AH的长度，可通过构造相似三角形得到AH与CH的比例关系求解。首先利用平行四边形AD//BC的性质，结合E是AB中点的条件，延长FE交CB的延长线于点M，先证△AEF≌△BEM得到EF=EM，算出HM的长度；再根据AD//BC证明△AFH∽△CMH，利用相似三角形对应边成比例即可求出CH的长度。
【解析】
解：延长FE交CB的延长线于点M。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠MBE，∠AFE=∠M。
∵E为AB的中点，
∴AE=BE。
在△AEF和△BEM中：
$\{\begin{array}{l}∠ AFE=∠ M\\ ∠ FAE=∠ MBE\\ AE=BE\end{array} $
∴△AEF≌△BEM（AAS），
∴EF=EM。
已知FH=3，EH=6，
∴EF=FH+EH=3+6=9，
∴EM=9，
∴HM=EH+EM=6+9=15。
∵AD//BC，即AF//CM，
∴△AFH∽△CMH，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{FH}{HM}$。
将AH=4，FH=3，HM=15代入得：
$\frac{4}{CH}=\frac{3}{15}$，
解得CH=20。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形背景下的线段求解问题，解题的核心是通过构造辅助线得到全等三角形转化线段长度，再结合相似三角形的比例关系计算未知线段，熟练掌握全等、相似的判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
要求CH的长度，已知AH的长度，可通过构造相似三角形得到AH与CH的比例关系求解。首先利用平行四边形AD//BC的性质，结合E是AB中点的条件，延长FE交CB的延长线于点M，先证△AEF≌△BEM得到EF=EM，算出HM的长度；再根据AD//BC证明△AFH∽△CMH，利用相似三角形对应边成比例即可求出CH的长度。
【解析】
解：延长FE交CB的延长线于点M。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠MBE，∠AFE=∠M。
∵E为AB的中点，
∴AE=BE。
在△AEF和△BEM中：
$\{\begin{array}{l}∠ AFE=∠ M\\ ∠ FAE=∠ MBE\\ AE=BE\end{array} $
∴△AEF≌△BEM（AAS），
∴EF=EM。
已知FH=3，EH=6，
∴EF=FH+EH=3+6=9，
∴EM=9，
∴HM=EH+EM=6+9=15。
∵AD//BC，即AF//CM，
∴△AFH∽△CMH，
∴$\frac{AH}{CH}=\frac{FH}{HM}$。
将AH=4，FH=3，HM=15代入得：
$\frac{4}{CH}=\frac{3}{15}$，
解得CH=20。
【答案】
20
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是平行四边形背景下的线段求解问题，解题的核心是通过构造辅助线得到全等三角形转化线段长度，再结合相似三角形的比例关系计算未知线段，熟练掌握全等、相似的判定方法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
15 如图，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像经过$△ OAB$的顶点B，边AB与y轴交于点C，若$AC=2BC$，$S_{△ OAB}=6$，则$k=$
-6
。答案
-6
解析
【分析】
要解决本题，核心目标是求出反比例函数的系数$k$，已知反比例函数过点$B$，因此$k$等于点$B$的横、纵坐标的乘积。我们可以先设出点$B$的坐标，再利用$AC=2BC$的线段比例关系，得到点$A$坐标与点$B$坐标的联系，最后结合$△ OAB$的面积公式求出点$B$横纵坐标的乘积，即可得到$k$的值，解题时要注意点$B$所在象限的符号特征。
【解析】
设点$B$的坐标为$(x,y)$，由图可知点$B$在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$。
因为点$A$在$x$轴正半轴，点$C$在$AB$上且$AC=2BC$，根据线段比例的坐标性质可得，点$A$的横坐标为$-2x$，即$OA=|-2x|=-2x$。
$△ OAB$以$OA$为底时，高为点$B$的纵坐标$y$，根据三角形面积公式：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OA × y = 6$
代入$OA=-2x$得：
$\frac{1}{2} × (-2x) × y = 6$
化简得：$-xy=6$，即$xy=-6$。
又因为点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上，所以$k=xy=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
反比例函数的性质，线段比例的应用，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础综合题，解题的关键是通过线段比例关系建立点坐标间的联系，结合面积公式求出反比例函数系数，要注意不同象限内点坐标的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，核心目标是求出反比例函数的系数$k$，已知反比例函数过点$B$，因此$k$等于点$B$的横、纵坐标的乘积。我们可以先设出点$B$的坐标，再利用$AC=2BC$的线段比例关系，得到点$A$坐标与点$B$坐标的联系，最后结合$△ OAB$的面积公式求出点$B$横纵坐标的乘积，即可得到$k$的值，解题时要注意点$B$所在象限的符号特征。
【解析】
设点$B$的坐标为$(x,y)$，由图可知点$B$在第二象限，因此$x＜0$，$y＞0$。
因为点$A$在$x$轴正半轴，点$C$在$AB$上且$AC=2BC$，根据线段比例的坐标性质可得，点$A$的横坐标为$-2x$，即$OA=|-2x|=-2x$。
$△ OAB$以$OA$为底时，高为点$B$的纵坐标$y$，根据三角形面积公式：
$S_{△ OAB}=\frac{1}{2} × OA × y = 6$
代入$OA=-2x$得：
$\frac{1}{2} × (-2x) × y = 6$
化简得：$-xy=6$，即$xy=-6$。
又因为点$B$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上，所以$k=xy=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
反比例函数的性质，线段比例的应用，三角形面积计算
【点评】
本题属于反比例函数与几何结合的基础综合题，解题的关键是通过线段比例关系建立点坐标间的联系，结合面积公式求出反比例函数系数，要注意不同象限内点坐标的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.6
16 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,点$D$在边$AB$上,线段$DC$绕点$D$逆时针旋转,端点$C$恰巧落在边$AC$上的点$E$处。如果$\dfrac{AD}{DB}=m$,$\dfrac{AE}{EC}=n$,那么$m=$______。(用含$n$的代数式表示)
答案
$2n+1$
解析
【分析】
首先根据旋转的性质可得DE=DC，即△DEC为等腰三角形，由此可联想到作等腰三角形底边上的高，利用三线合一得到EF=FC；再结合∠C=90°，可知所作的高与BC平行，可利用平行线分线段成比例定理，将AD/DB的比值转化为AC边上的线段比值，最后结合已知的AE/EC=n，代入化简即可求出m与n的关系。
【解析】
过点D作DF⊥AC于点F。
∵ 线段DC绕点D逆时针旋转后端点C落在E处，
∴ DE=DC，即△DEC为等腰三角形。
又
∵ DF⊥EC，根据等腰三角形三线合一的性质，得：
$EF=FC=\frac{1}{2}EC$。
∵ ∠C=90°，
∴ BC⊥AC，
∴ DF//BC，根据平行线分线段成比例定理，得：
$\frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FC}$。
已知$\frac{AD}{DB}=m$，$\frac{AE}{EC}=n$，则$AE=n· EC$。
而$AF=AE+EF=n· EC + \frac{1}{2}EC=EC(n+\frac{1}{2})$，$FC=\frac{1}{2}EC$，
代入比例式得：
$m=\frac{AF}{FC}=\frac{EC(n+\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}EC}=2(n+\frac{1}{2})=2n+1$。
【答案】
$2n+1$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形三线合一；平行线分线段成比例
【点评】
本题是比例线段的典型综合题，解题的核心是通过构造垂直辅助线，同时运用等腰三角形性质和平行线分线段成比例定理，建立已知比例和待求比例之间的联系，有助于提升综合运用几何性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
首先根据旋转的性质可得DE=DC，即△DEC为等腰三角形，由此可联想到作等腰三角形底边上的高，利用三线合一得到EF=FC；再结合∠C=90°，可知所作的高与BC平行，可利用平行线分线段成比例定理，将AD/DB的比值转化为AC边上的线段比值，最后结合已知的AE/EC=n，代入化简即可求出m与n的关系。
【解析】
过点D作DF⊥AC于点F。
∵ 线段DC绕点D逆时针旋转后端点C落在E处，
∴ DE=DC，即△DEC为等腰三角形。
又
∵ DF⊥EC，根据等腰三角形三线合一的性质，得：
$EF=FC=\frac{1}{2}EC$。
∵ ∠C=90°，
∴ BC⊥AC，
∴ DF//BC，根据平行线分线段成比例定理，得：
$\frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FC}$。
已知$\frac{AD}{DB}=m$，$\frac{AE}{EC}=n$，则$AE=n· EC$。
而$AF=AE+EF=n· EC + \frac{1}{2}EC=EC(n+\frac{1}{2})$，$FC=\frac{1}{2}EC$，
代入比例式得：
$m=\frac{AF}{FC}=\frac{EC(n+\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}EC}=2(n+\frac{1}{2})=2n+1$。
【答案】
$2n+1$
【知识点】
旋转的性质；等腰三角形三线合一；平行线分线段成比例
【点评】
本题是比例线段的典型综合题，解题的核心是通过构造垂直辅助线，同时运用等腰三角形性质和平行线分线段成比例定理，建立已知比例和待求比例之间的联系，有助于提升综合运用几何性质解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
17 如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点D、E分别在AC、BC上,AD=DC,EC=2BE,AE、BD交于点F,若AF=√10,则BC的长为
8
。答案
8
解析
【分析】
本题是等腰直角三角形背景下的线段长度求解问题，可通过建立平面直角坐标系转化为代数问题计算：首先将直角顶点A设为坐标原点，两条直角边分别放在坐标轴上，用参数表示AB、AC的长度，再根据线段比例和中点性质写出D、E两点坐标，求出直线AE、BD的解析式，联立得到交点F的坐标，最后结合AF的长度列方程求解参数，即可算出BC的长度。
【解析】
解：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
设$AB=AC=a$，则各点坐标为：$A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(0,a)$。
∵$AD=DC$，即D是AC中点，
∴$D(0,\frac{a}{2})$。
∵$EC=2BE$，即$BE:EC=1:2$，根据线段分点坐标公式，得E点坐标为$(\frac{2a+0}{3},\frac{0+a}{3})$，即$E(\frac{2a}{3},\frac{a}{3})$。
求直线AE的解析式：过原点和$E(\frac{2a}{3},\frac{a}{3})$，斜率$k_1=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}$，故解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
求直线BD的解析式：过$B(a,0)$和$D(0,\frac{a}{2})$，斜率$k_2=\frac{\frac{a}{2}-0}{0-a}=-\frac{1}{2}$，故解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$。
联立两直线方程求交点F：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\frac{a}{2} \\ y=\frac{a}{4} \end{cases}$，即$F(\frac{a}{2},\frac{a}{4})$。
由$AF=\sqrt{10}$，根据两点间距离公式：
$AF=\sqrt{(\frac{a}{2}-0)^2+(\frac{a}{4}-0)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}}=\frac{\sqrt{5}a}{4}$
∴$\frac{\sqrt{5}a}{4}=\sqrt{10}$，解得$a=4\sqrt{2}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，斜边$BC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}a$，
代入$a=4\sqrt{2}$，得$BC=\sqrt{2}×4\sqrt{2}=8$。
【答案】
8
【知识点】
平面直角坐标系应用，一次函数解析式，两点间距离公式
【点评】
本题通过建系将几何问题转化为代数计算，简化了线段比例和交点的求解过程，是解决几何中含比例、交点类线段问题的常用思路，解题的关键是准确表示各点坐标，正确计算直线解析式和交点。
【难度系数】
0.6
本题是等腰直角三角形背景下的线段长度求解问题，可通过建立平面直角坐标系转化为代数问题计算：首先将直角顶点A设为坐标原点，两条直角边分别放在坐标轴上，用参数表示AB、AC的长度，再根据线段比例和中点性质写出D、E两点坐标，求出直线AE、BD的解析式，联立得到交点F的坐标，最后结合AF的长度列方程求解参数，即可算出BC的长度。
【解析】
解：以点A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
设$AB=AC=a$，则各点坐标为：$A(0,0)$，$B(a,0)$，$C(0,a)$。
∵$AD=DC$，即D是AC中点，
∴$D(0,\frac{a}{2})$。
∵$EC=2BE$，即$BE:EC=1:2$，根据线段分点坐标公式，得E点坐标为$(\frac{2a+0}{3},\frac{0+a}{3})$，即$E(\frac{2a}{3},\frac{a}{3})$。
求直线AE的解析式：过原点和$E(\frac{2a}{3},\frac{a}{3})$，斜率$k_1=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{2a}{3}}=\frac{1}{2}$，故解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
求直线BD的解析式：过$B(a,0)$和$D(0,\frac{a}{2})$，斜率$k_2=\frac{\frac{a}{2}-0}{0-a}=-\frac{1}{2}$，故解析式为$y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2}$。
联立两直线方程求交点F：
$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x \\ y=-\frac{1}{2}x+\frac{a}{2} \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=\frac{a}{2} \\ y=\frac{a}{4} \end{cases}$，即$F(\frac{a}{2},\frac{a}{4})$。
由$AF=\sqrt{10}$，根据两点间距离公式：
$AF=\sqrt{(\frac{a}{2}-0)^2+(\frac{a}{4}-0)^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{16}}=\frac{\sqrt{5}a}{4}$
∴$\frac{\sqrt{5}a}{4}=\sqrt{10}$，解得$a=4\sqrt{2}$。
∵△ABC是等腰直角三角形，斜边$BC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2}a$，
代入$a=4\sqrt{2}$，得$BC=\sqrt{2}×4\sqrt{2}=8$。
【答案】
8
【知识点】
平面直角坐标系应用，一次函数解析式，两点间距离公式
【点评】
本题通过建系将几何问题转化为代数计算，简化了线段比例和交点的求解过程，是解决几何中含比例、交点类线段问题的常用思路，解题的关键是准确表示各点坐标，正确计算直线解析式和交点。
【难度系数】
0.6
18 如图，在$△ ABC$中，延长$AC$至点$D$，使$CD=CA$，过点$D$作$DE // CB$，且$DE=DC$，连接$AE$交$BC$于点$F$。若$∠ CAB = ∠ CFA$，$CF=1$，则$BF=$
3
。答案
3
解析
【分析】
解题时按三步思考：第一步，先根据C是AD中点且DE//CB，判定CF是△ADE的中位线，结合中位线性质求出DE长度，再由DE=DC、CD=CA推导得到AC的长度；第二步，利用三角形外角性质和已知∠CAB=∠CFA，通过角度等量代换得到∠CAF=∠B，结合公共角∠C可证明△CAF和△CBA相似；第三步，根据相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后用BC减去CF即可得到BF的长度。
【解析】
1. 因为$CD=CA$，所以C是AD的中点，又$DE // CB$，因此CF是$△ ADE$的中位线，根据中位线性质可得$CF=\frac{1}{2}DE$。已知$CF=1$，代入得$DE=2CF=2$。
2. 由题意$DE=DC$，且$CD=CA$，因此$AC=CD=DE=2$。
3. $∠ CFA$是$△ AFB$的外角，根据三角形外角性质得$∠ CFA=∠ FAB+∠ B$。已知$∠ CAB=∠ CFA$，且$∠ CAB=∠ CAF+∠ FAB$，代入得$∠ CAF+∠ FAB=∠ FAB+∠ B$，化简得$∠ CAF=∠ B$。
4. 在$△ CAF$和$△ CBA$中：$\begin{cases} ∠ CAF=∠ B \\ ∠ C=∠ C（公共角） \end{cases}$，因此$△ CAF ∽ △ CBA$（AA相似判定）。
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CA}{CB}=\frac{CF}{CA}$，将$CA=2$，$CF=1$代入得$\frac{2}{CB}=\frac{1}{2}$，解得$CB=4$。
6. 因此$BF=BC-CF=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，融合了多个核心几何知识点，解题的关键是先通过中位线得到AC的长度，再通过角度等量代换找到相似三角形，需要学生熟练掌握角度推导和相似的判定方法。
【难度系数】
0.65
解题时按三步思考：第一步，先根据C是AD中点且DE//CB，判定CF是△ADE的中位线，结合中位线性质求出DE长度，再由DE=DC、CD=CA推导得到AC的长度；第二步，利用三角形外角性质和已知∠CAB=∠CFA，通过角度等量代换得到∠CAF=∠B，结合公共角∠C可证明△CAF和△CBA相似；第三步，根据相似三角形对应边成比例求出BC的长度，最后用BC减去CF即可得到BF的长度。
【解析】
1. 因为$CD=CA$，所以C是AD的中点，又$DE // CB$，因此CF是$△ ADE$的中位线，根据中位线性质可得$CF=\frac{1}{2}DE$。已知$CF=1$，代入得$DE=2CF=2$。
2. 由题意$DE=DC$，且$CD=CA$，因此$AC=CD=DE=2$。
3. $∠ CFA$是$△ AFB$的外角，根据三角形外角性质得$∠ CFA=∠ FAB+∠ B$。已知$∠ CAB=∠ CFA$，且$∠ CAB=∠ CAF+∠ FAB$，代入得$∠ CAF+∠ FAB=∠ FAB+∠ B$，化简得$∠ CAF=∠ B$。
4. 在$△ CAF$和$△ CBA$中：$\begin{cases} ∠ CAF=∠ B \\ ∠ C=∠ C（公共角） \end{cases}$，因此$△ CAF ∽ △ CBA$（AA相似判定）。
5. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{CA}{CB}=\frac{CF}{CA}$，将$CA=2$，$CF=1$代入得$\frac{2}{CB}=\frac{1}{2}$，解得$CB=4$。
6. 因此$BF=BC-CF=4-1=3$。
【答案】
3
【知识点】
三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，融合了多个核心几何知识点，解题的关键是先通过中位线得到AC的长度，再通过角度等量代换找到相似三角形，需要学生熟练掌握角度推导和相似的判定方法。
【难度系数】
0.65
19 如图,在$△ ABC$中,CG 平分$∠ ACB$,过点 A 作 $AH ⊥ CG$ 交 BC 于点 H,且点 H 是 BC 的中点。若 $AH=4$, $CG=6$,则 AB 的长为
第 19 题图
第 20 题图
7.5
。第 19 题图
第 20 题图
答案
7.5
解析
【分析】首先看到CG是∠ACB的角平分线，且AH垂直CG，可通过ASA证明△ANC与△HNC全等，得到N是AH的中点；再结合H是BC中点的条件，过H作CG的平行线交AB于D，可两次运用三角形中位线定理，得到G、D是AB的三等分点，同时求出GN的长度；最后在Rt△ANG中用勾股定理求出AG的长度，即可得到AB的长。
【解析】
1. 证明$△ ANC ≌ △ HNC$：
∵CG平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACN=∠ HCN$，
∵$AH ⊥ CG$，
∴$∠ ANC=∠ HNC=90°$，
又
∵CN是公共边，
∴$△ ANC ≌ △ HNC$（ASA），
∴$AN=NH=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2} × 4=2$。
2. 过点H作$HD // CG$，交AB于点D：
①
∵$GN // HD$，N是AH的中点，
∴GN是$△ AHD$的中位线，
∴$AG=GD$，$GN=\frac{1}{2}HD$。
②
∵$HD // CG$，H是BC的中点，
∴HD是$△ BCG$的中位线，
∴$GD=DB$，$HD=\frac{1}{2}CG=\frac{1}{2} × 6=3$。
3. 计算GN和AG的长度：
由$GN=\frac{1}{2}HD$，得$GN=\frac{1}{2} × 3=1.5$，
在$Rt△ ANG$中，$∠ ANG=90°$，$AN=2$，$GN=1.5$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AN^2+GN^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5$。
4. 计算AB的长度：
由$AG=GD=DB$，得$AB=3AG=3 × 2.5=7.5$。
【答案】7.5
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】本题是几何综合题，解题的关键是利用“角平分线+高线”的组合构造全等三角形得到中点，再通过作平行线构造中位线得到线段的数量关系，结合勾股定理求解，对几何图形的性质综合运用能力有一定要求。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 证明$△ ANC ≌ △ HNC$：
∵CG平分$∠ ACB$，
∴$∠ ACN=∠ HCN$，
∵$AH ⊥ CG$，
∴$∠ ANC=∠ HNC=90°$，
又
∵CN是公共边，
∴$△ ANC ≌ △ HNC$（ASA），
∴$AN=NH=\frac{1}{2}AH=\frac{1}{2} × 4=2$。
2. 过点H作$HD // CG$，交AB于点D：
①
∵$GN // HD$，N是AH的中点，
∴GN是$△ AHD$的中位线，
∴$AG=GD$，$GN=\frac{1}{2}HD$。
②
∵$HD // CG$，H是BC的中点，
∴HD是$△ BCG$的中位线，
∴$GD=DB$，$HD=\frac{1}{2}CG=\frac{1}{2} × 6=3$。
3. 计算GN和AG的长度：
由$GN=\frac{1}{2}HD$，得$GN=\frac{1}{2} × 3=1.5$，
在$Rt△ ANG$中，$∠ ANG=90°$，$AN=2$，$GN=1.5$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AN^2+GN^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5$。
4. 计算AB的长度：
由$AG=GD=DB$，得$AB=3AG=3 × 2.5=7.5$。
【答案】7.5
【知识点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理
【点评】本题是几何综合题，解题的关键是利用“角平分线+高线”的组合构造全等三角形得到中点，再通过作平行线构造中位线得到线段的数量关系，结合勾股定理求解，对几何图形的性质综合运用能力有一定要求。
【难度系数】0.6
20 如图，平行四边形ABCO的顶点O为坐标原点，点C在x轴上，坐标为(3，0)，双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点A和BC的中点D，连接AD，$S_{△ ABD}=3$，则k=
8
。答案
8 [提示:过点 D 作DE ⊥ AB 于点E,延长 ED 交x 轴于点F,延长 BA 交y 轴于点M,过点 B 作BN ⊥ x 轴于点N,由面积得到$\frac{1}{2}×3×DE=3$,解得 DE=2,证明△DBE ≌△DCF(AAS),求出点 A 的纵坐标为 4,点 D 的纵坐标为 2,而四边形 BNOM 为矩形,得到 AM=CN,由 EF // BN,得到$\frac{CF}{FN}=\frac{CD}{BD}=1$,设 A(m, 4),则 AM=m,则点 D 的坐标为$(3+\frac{1}{2}m, 2)$,再由点 A、D 均在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上,得到$4m=2(3+\frac{1}{2}m)$,即可求解。]
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形的性质确定AB的长度，利用△ABD的面积求出AB边上的高DE的长度；再根据D是BC中点，结合AB//x轴的特点，证明△DBE≌△DCF，得到A、D两点的纵坐标关系；最后设出点A的坐标，根据中点坐标公式表示出点D的坐标，利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质列方程求解即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交x轴于点F。
∵四边形ABCO是平行四边形，C(3,0)，
∴AB=OC=3，AB//OC。
已知$S_{△ABD}=3$，由三角形面积公式得：$\frac{1}{2} × AB × DE = 3$，代入AB=3，解得$DE=2$。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
又
∵AB//OC，
∴∠B=∠DCF，∠DEB=∠DFC=90°，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴DF=DE=2。
因此EF=DE+DF=4，即点A的纵坐标为4，点D的纵坐标为2。
设点A的坐标为$(m,4)$，
∵点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=4m$。
由平行四边形性质，点B的坐标为$(m+3,4)$，结合点C(3,0)，D是BC中点，由中点坐标公式得点D的坐标为$( \frac{(m+3)+3}{2}, \frac{4+0}{2} )$，即$( \frac{m+6}{2}, 2 )$。
∵点D也在双曲线上，
∴$k=2 × \frac{m+6}{2}=m+6$。
联立$4m=m+6$，解得$m=2$，
∴$k=4 × 2=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过几何性质推导点的坐标特征，再结合反比例函数的性质建立方程求解，能较好地考查数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先结合平行四边形的性质确定AB的长度，利用△ABD的面积求出AB边上的高DE的长度；再根据D是BC中点，结合AB//x轴的特点，证明△DBE≌△DCF，得到A、D两点的纵坐标关系；最后设出点A的坐标，根据中点坐标公式表示出点D的坐标，利用反比例函数上点的横纵坐标乘积等于k的性质列方程求解即可。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB于点E，延长ED交x轴于点F。
∵四边形ABCO是平行四边形，C(3,0)，
∴AB=OC=3，AB//OC。
已知$S_{△ABD}=3$，由三角形面积公式得：$\frac{1}{2} × AB × DE = 3$，代入AB=3，解得$DE=2$。
∵D是BC的中点，
∴BD=CD。
又
∵AB//OC，
∴∠B=∠DCF，∠DEB=∠DFC=90°，
∴△DBE≌△DCF（AAS），
∴DF=DE=2。
因此EF=DE+DF=4，即点A的纵坐标为4，点D的纵坐标为2。
设点A的坐标为$(m,4)$，
∵点A在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴$k=4m$。
由平行四边形性质，点B的坐标为$(m+3,4)$，结合点C(3,0)，D是BC中点，由中点坐标公式得点D的坐标为$( \frac{(m+3)+3}{2}, \frac{4+0}{2} )$，即$( \frac{m+6}{2}, 2 )$。
∵点D也在双曲线上，
∴$k=2 × \frac{m+6}{2}=m+6$。
联立$4m=m+6$，解得$m=2$，
∴$k=4 × 2=8$。
【答案】
8
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于反比例函数与几何的综合题，解题核心是通过几何性质推导点的坐标特征，再结合反比例函数的性质建立方程求解，能较好地考查数形结合思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
