登录
21 如图①，装有某种液体的圆桶中放置了一根搅拌棍。工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍位于圆桶开口的位置做好标记点A，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分BD=1m，搅拌棍上标记点A到底端D处的长度为1.5m，最后测量出圆桶的高AE为1.2m，圆桶内壁的底面直径为0.9m。已知桶内的液面与桶底面平行，其截面示意图如图②所示。请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积(结果保留π)。
答案
由题意得，$BC // DE$,所以$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$,所以$\frac{1}{1.5}=\frac{CE}{1.2}$,解得$CE=0.8$,所以桶内所装液体的体积$=π (\frac{0.9}{2})^2 × 0.8=\frac{81}{500}π(\mathrm{m}^3)$。
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的几何应用题，解题思路如下：1. 首先由题意可知液面与桶底面平行，即$BC// DE$，根据平行线分线段成比例的性质，可得到$BD$与$AD$的比等于$CE$与$AE$的比；2. 将已知的$BD=1\mathrm{m}$、$AD=1.5\mathrm{m}$、$AE=1.2\mathrm{m}$代入比例式，即可求出液体的高度$CE$；3. 最后根据圆柱的体积公式，用桶的底面积乘液体高度$CE$，就能算出液体体积。
【解析】
解：由题意可知液面与桶底面平行，即$BC // DE$，
根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$，
将$BD=1\mathrm{m}$，$AD=1.5\mathrm{m}$，$AE=1.2\mathrm{m}$代入得：
$\frac{1}{1.5}=\frac{CE}{1.2}$，
解得$CE=0.8\mathrm{m}$。
已知圆桶底面直径为$0.9\mathrm{m}$，所以底面半径为$\frac{0.9}{2}\mathrm{m}$，
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，液体体积为：
$V=π × (\frac{0.9}{2})^2 × 0.8=\frac{81}{500}π (\mathrm{m}^3)$。
【答案】
$\frac{81}{500}π \mathrm{m}^3$
【知识点】
平行线分线段成比例；圆柱体积计算
【点评】
本题紧密结合生活实际，重点考查几何定理在实际问题中的应用，解题的核心是利用平行关系求出液体的高度，再结合体积公式求解，注重对基础知识点运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
这是一道结合生活场景的几何应用题，解题思路如下：1. 首先由题意可知液面与桶底面平行，即$BC// DE$，根据平行线分线段成比例的性质，可得到$BD$与$AD$的比等于$CE$与$AE$的比；2. 将已知的$BD=1\mathrm{m}$、$AD=1.5\mathrm{m}$、$AE=1.2\mathrm{m}$代入比例式，即可求出液体的高度$CE$；3. 最后根据圆柱的体积公式，用桶的底面积乘液体高度$CE$，就能算出液体体积。
【解析】
解：由题意可知液面与桶底面平行，即$BC // DE$，
根据平行线分线段成比例的性质，可得$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$，
将$BD=1\mathrm{m}$，$AD=1.5\mathrm{m}$，$AE=1.2\mathrm{m}$代入得：
$\frac{1}{1.5}=\frac{CE}{1.2}$，
解得$CE=0.8\mathrm{m}$。
已知圆桶底面直径为$0.9\mathrm{m}$，所以底面半径为$\frac{0.9}{2}\mathrm{m}$，
根据圆柱体积公式$V=π r^2 h$，液体体积为：
$V=π × (\frac{0.9}{2})^2 × 0.8=\frac{81}{500}π (\mathrm{m}^3)$。
【答案】
$\frac{81}{500}π \mathrm{m}^3$
【知识点】
平行线分线段成比例；圆柱体积计算
【点评】
本题紧密结合生活实际，重点考查几何定理在实际问题中的应用，解题的核心是利用平行关系求出液体的高度，再结合体积公式求解，注重对基础知识点运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
22 采用如下方法可以得到黄金分割点:如图,设 AB 是已知线段,以 AB 为边作正方形ABCD,取 AD 的中点 E,连接 EB;延长 DA 至点 F,使 EF = EB,以线段 AF 为边作正方形AFGH,点 H 就是 AB 的黄金分割点。
任意作一条线段,用上述方法可以作出这条线段的黄金分割点,你能说说这种作法的道理吗?
任意作一条线段,用上述方法可以作出这条线段的黄金分割点,你能说说这种作法的道理吗?
答案
设$AB=AD=x$。因为$E$是$AD$的中点，所以$AE=\frac{1}{2}x$。由勾股定理得,$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{x^2+(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$,则$AH=AF=\frac{\sqrt{5}}{2}x-\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$,可得$\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}x}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,所以点$H$是$AB$的黄金分割点。所以任意作一条线段,可以用上述方法作出这条线段的黄金分割点。
解析
【分析】
要验证该作法能得到黄金分割点，需先明确黄金分割点的判定规则：若点分线段所得较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），则该点为线段的黄金分割点。解题时可先设AB的长度为参数x，结合正方形边长相等、内角为直角的性质，利用中点定义得到AE的长度，再通过勾股定理求出BE的长度，结合$EF=EB$求出AF的长度，由正方形AFGH的性质得$AH=AF$，最后计算AH与AB的比值，判断是否为黄金比即可完成验证。
【解析】
设$AB=AD=x$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ EAB=90°$，
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}x$，
在$Rt△ EAB$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{x^2+(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∵$EF=EB$，
∴$EF=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∴$AF=EF-AE=\frac{\sqrt{5}}{2}x-\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
∵四边形AFGH是正方形，
∴$AH=AF=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}x}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金比的定义，因此点H是AB的黄金分割点。
【答案】
该作法得到的点H满足$\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，是AB的黄金分割点，因此可通过该方法作出任意线段的黄金分割点。
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；黄金分割的定义
【点评】
本题将几何作图原理和代数计算结合，通过数形结合的方式验证黄金分割点的作图方法，既巩固了正方形、勾股定理的相关知识，也加深了对黄金分割概念的理解。
【难度系数】
0.7
要验证该作法能得到黄金分割点，需先明确黄金分割点的判定规则：若点分线段所得较长线段与原线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$（黄金比），则该点为线段的黄金分割点。解题时可先设AB的长度为参数x，结合正方形边长相等、内角为直角的性质，利用中点定义得到AE的长度，再通过勾股定理求出BE的长度，结合$EF=EB$求出AF的长度，由正方形AFGH的性质得$AH=AF$，最后计算AH与AB的比值，判断是否为黄金比即可完成验证。
【解析】
设$AB=AD=x$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$∠ EAB=90°$，
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}x$，
在$Rt△ EAB$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{x^2+(\frac{1}{2}x)^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∵$EF=EB$，
∴$EF=\frac{\sqrt{5}}{2}x$，
∴$AF=EF-AE=\frac{\sqrt{5}}{2}x-\frac{1}{2}x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
∵四边形AFGH是正方形，
∴$AH=AF=\frac{\sqrt{5}-1}{2}x$，
∴$\frac{AH}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}x}{x}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，符合黄金比的定义，因此点H是AB的黄金分割点。
【答案】
该作法得到的点H满足$\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，是AB的黄金分割点，因此可通过该方法作出任意线段的黄金分割点。
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；黄金分割的定义
【点评】
本题将几何作图原理和代数计算结合，通过数形结合的方式验证黄金分割点的作图方法，既巩固了正方形、勾股定理的相关知识，也加深了对黄金分割概念的理解。
【难度系数】
0.7
