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23 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD ⊥ BC$于点$D$，点$E$在$AD$上，$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{5}$，$CE$交$AB$于点$F$，$DG // CF$。若$AB=6\ \mathrm{cm}$，求$GF$的长。
答案
因为$AB=AC$,$AD ⊥ BC$,所以$BD=DC$。又因为$DG // CF$,所以$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$,可知$BG=GF$。因为$\frac{AE}{AD}=\frac{2}{5}$,$DG // CF$,所以$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AD}=\frac{2}{5}$,所以$AF=\frac{2}{3}GF$。因为$AB=6\ \mathrm{cm}$,所以$AF+GF+BG=6\ \mathrm{cm}$,即$\frac{2}{3}GF+GF+GF=6$（cm）,解得$GF=\frac{9}{4}$（cm）。
解析
【分析】
首先利用等腰三角形三线合一的性质得到D是BC的中点；再结合DG//CF的条件，根据平行线分线段成比例，先推出G是BF的中点，即BG=GF；接着再次利用平行线分线段成比例，由EF//DG得到AF与AG的比值，进而将AF用GF表示；最后根据AB的长度等于AF、GF、BG三段之和，列方程求解即可得到GF的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD ⊥ BC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=DC$。
∵$DG // CF$，
∴在$△ BCF$中，由平行线分线段成比例可得$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$，
∴$BG=GF$。
∵$DG // CF$，即$EF // DG$，
∴在$△ AGD$中，由平行线分线段成比例可得$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AD}=\frac{2}{5}$，
则$AF=\frac{2}{5}AG$，即$AF=\frac{2}{3}GF$。
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，且$AB=AF+GF+BG$，
将$BG=GF$、$AF=\frac{2}{3}GF$代入得：
$\frac{2}{3}GF + GF + GF = 6$，
解得$GF=\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 平行线分线段成比例
3. 比例线段计算
【点评】
本题是比例线段的常考题型，解题关键是结合等腰三角形的性质，两次运用平行线分线段成比例定理得到各线段的比例关系，再通过线段和的等量关系列方程求解，能够考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先利用等腰三角形三线合一的性质得到D是BC的中点；再结合DG//CF的条件，根据平行线分线段成比例，先推出G是BF的中点，即BG=GF；接着再次利用平行线分线段成比例，由EF//DG得到AF与AG的比值，进而将AF用GF表示；最后根据AB的长度等于AF、GF、BG三段之和，列方程求解即可得到GF的长度。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$AD ⊥ BC$，
∴根据等腰三角形三线合一的性质，得$BD=DC$。
∵$DG // CF$，
∴在$△ BCF$中，由平行线分线段成比例可得$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}=1$，
∴$BG=GF$。
∵$DG // CF$，即$EF // DG$，
∴在$△ AGD$中，由平行线分线段成比例可得$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AD}=\frac{2}{5}$，
则$AF=\frac{2}{5}AG$，即$AF=\frac{2}{3}GF$。
已知$AB=6\ \mathrm{cm}$，且$AB=AF+GF+BG$，
将$BG=GF$、$AF=\frac{2}{3}GF$代入得：
$\frac{2}{3}GF + GF + GF = 6$，
解得$GF=\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{9}{4}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 等腰三角形三线合一
2. 平行线分线段成比例
3. 比例线段计算
【点评】
本题是比例线段的常考题型，解题关键是结合等腰三角形的性质，两次运用平行线分线段成比例定理得到各线段的比例关系，再通过线段和的等量关系列方程求解，能够考查学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
24 在图中线段AB上求作一点C，使$AC:CB=2:3$。
答案
如图,先作出射线AZ,在射线AZ上依次截取线段$AD=DE=EF=FG=GH$,连接BH,作$EC // BH$交AB于点C,点C即为所求。
解析
【分析】
要将线段AB按$AC:CB=2:3$分割，可利用平行线分线段成比例的性质，把线段比例转化为另一射线上的等线段份数比：比例总份数为$2+3=5$，因此先从A出发作一条不与AB重合的射线，在射线上截取5段长度相等的线段，再通过作平行线将比例关系转移到AB上，即可得到符合要求的点C。
【解析】
1. 过点A作射线AZ（AZ不与AB共线）；
2. 在射线AZ上从点A开始顺次截取5段长度相等的线段，使$AD=DE=EF=FG=GH$；
3. 连接BH；
4. 过点E作$EC// BH$，交AB于点C。
证明：$\because EC// BH$，根据平行线分线段成比例定理，可得$AC:CB=AE:EH$，又$\because AE$对应2段等长线段，$EH$对应3段等长线段，即$AE:EH=2:3$，$\therefore AC:CB=2:3$，点C即为所求。
【答案】
如图,先作出射线AZ,在射线AZ上依次截取线段$AD=DE=EF=FG=GH$,连接BH,作$EC // BH$交AB于点C,点C即为所求。
【知识点】
平行线分线段成比例、尺规作图、比例线段
【点评】
本题是按比例分割线段的基础作图题，解题核心是利用平行线分线段成比例的性质，将线段的比例要求转化为射线上等线段的份数关系，该方法是线段比例作图的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要将线段AB按$AC:CB=2:3$分割，可利用平行线分线段成比例的性质，把线段比例转化为另一射线上的等线段份数比：比例总份数为$2+3=5$，因此先从A出发作一条不与AB重合的射线，在射线上截取5段长度相等的线段，再通过作平行线将比例关系转移到AB上，即可得到符合要求的点C。
【解析】
1. 过点A作射线AZ（AZ不与AB共线）；
2. 在射线AZ上从点A开始顺次截取5段长度相等的线段，使$AD=DE=EF=FG=GH$；
3. 连接BH；
4. 过点E作$EC// BH$，交AB于点C。
证明：$\because EC// BH$，根据平行线分线段成比例定理，可得$AC:CB=AE:EH$，又$\because AE$对应2段等长线段，$EH$对应3段等长线段，即$AE:EH=2:3$，$\therefore AC:CB=2:3$，点C即为所求。
【答案】
如图,先作出射线AZ,在射线AZ上依次截取线段$AD=DE=EF=FG=GH$,连接BH,作$EC // BH$交AB于点C,点C即为所求。
【知识点】
平行线分线段成比例、尺规作图、比例线段
【点评】
本题是按比例分割线段的基础作图题，解题核心是利用平行线分线段成比例的性质，将线段的比例要求转化为射线上等线段的份数关系，该方法是线段比例作图的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
25 如图，AD是$△ ABC$的中线。
（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，求$\frac{AF}{BF}$；
（2）若E为AD上的一点，且$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，射线CE交AB于点F，求$\frac{AF}{BF}$。
（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，求$\frac{AF}{BF}$；
（2）若E为AD上的一点，且$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，射线CE交AB于点F，求$\frac{AF}{BF}$。
答案
（1）如图,过点$D$作$DG // CF$,交$AB$于点$G$,因为$DG // CF$,所以$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}$。又因为$AD$是$△ABC$的中线,所以$BD=CD$,所以$FG=BG$。因为$DG // CF$,所以$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$。又因为$E$为$AD$的中点,所以$AE=ED$,所以$AF=FG=BG$,所以$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$；
（2）如图,过点$D$作$DG // CF$,交$AB$于点$G$。因为$DG // CF$,所以$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$。因为$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$,所以$\frac{AF}{FG}=\frac{1}{k}$,即$FG=kAF$,由(1)知$FG=BG$,所以$BG=FG=k · AF$,所以$BF=2k · AF$,所以$\frac{AF}{BF}=\frac{AF}{2k · AF}=\frac{1}{2k}$。
解析
【分析】
本题是三角形内线段比例求解问题，解题核心是借助平行线分线段成比例定理转化线段关系。思考路径如下：1. 遇到线段比例、中点/分点类的几何题，首先考虑作平行线构造符合平行线分线段成比例的图形；2. 选择过D作DG//CF交AB于G，可同时利用AD是中线（BD=DC）、E是AD上分点的两个条件，分别在△BCF和△ADG中运用平行线分线段成比例定理，逐步推导AF与BF的比例关系。
【解析】
（1）过点$D$作$DG // CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $DG // CF$，由平行线分线段成比例定理得$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}$。
∵ AD是$△ABC$的中线，
∴ $BD=CD$，因此$FG=BG$。
又
∵ $DG // CF$，同理得$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$。
∵ E为AD的中点，
∴ $AE=ED$，因此$AF=FG$。
综上得$AF=FG=BG$，$BF=FG+BG=2AF$，故$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$。
（2）过点$D$作$DG // CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $DG // CF$，由平行线分线段成比例定理得$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$。
已知$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，因此$\frac{AF}{FG}=\frac{1}{k}$，即$FG=kAF$。
由（1）可知AD为中线时$FG=BG$，因此$BG=FG=kAF$。
则$BF=FG+BG=kAF + kAF=2kAF$，故$\frac{AF}{BF}=\frac{AF}{2kAF}=\frac{1}{2k}$。
【答案】
（1）$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$；（2）$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2k}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；三角形中线的性质
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，作平行线构造比例关系是这类问题的常用辅助线做法，熟练掌握该方法可快速推导三角形内线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
本题是三角形内线段比例求解问题，解题核心是借助平行线分线段成比例定理转化线段关系。思考路径如下：1. 遇到线段比例、中点/分点类的几何题，首先考虑作平行线构造符合平行线分线段成比例的图形；2. 选择过D作DG//CF交AB于G，可同时利用AD是中线（BD=DC）、E是AD上分点的两个条件，分别在△BCF和△ADG中运用平行线分线段成比例定理，逐步推导AF与BF的比例关系。
【解析】
（1）过点$D$作$DG // CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $DG // CF$，由平行线分线段成比例定理得$\frac{BG}{GF}=\frac{BD}{DC}$。
∵ AD是$△ABC$的中线，
∴ $BD=CD$，因此$FG=BG$。
又
∵ $DG // CF$，同理得$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$。
∵ E为AD的中点，
∴ $AE=ED$，因此$AF=FG$。
综上得$AF=FG=BG$，$BF=FG+BG=2AF$，故$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$。
（2）过点$D$作$DG // CF$，交$AB$于点$G$。
∵ $DG // CF$，由平行线分线段成比例定理得$\frac{AF}{FG}=\frac{AE}{ED}$。
已知$\frac{AE}{ED}=\frac{1}{k}$，因此$\frac{AF}{FG}=\frac{1}{k}$，即$FG=kAF$。
由（1）可知AD为中线时$FG=BG$，因此$BG=FG=kAF$。
则$BF=FG+BG=kAF + kAF=2kAF$，故$\frac{AF}{BF}=\frac{AF}{2kAF}=\frac{1}{2k}$。
【答案】
（1）$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$；（2）$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2k}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；三角形中线的性质
【点评】
本题是比例线段应用的典型题型，作平行线构造比例关系是这类问题的常用辅助线做法，熟练掌握该方法可快速推导三角形内线段的比例关系。
【难度系数】
0.7
