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26 请阅读下列材料,并完成相应的任务。
梅涅劳斯(Menelaus)是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家,著有几何学和三角学方面的许多书籍。梅涅劳斯发现,三角形各边(或其延长线)被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截,这条直线可能与三角形的两条边相交(一定还会与一条边的延长线相交),也可能与三条边都不相交(与三条边的延长线都相交)。他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理(简称梅氏定理):
设 D、E、F 依次是△ABC 的三边 AB、AC、BC 及其延长线上的点,且这三点共线,则满足
$\frac{AD}{DB} · \frac{BF}{FC} · \frac{CE}{EA}=1$。这个定理的证明步骤如下:
情况1:如图①,直线 DE 交△ABC 的边 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,交边 BC 的延长线于点 F。过点 C 作 CG // DF 交 AB 于点 G,
则 $\frac{BF}{FC}=\frac{BD}{DG}$, $\frac{AD}{DG}=\frac{AE}{EC}$(依据)。
所以 $\frac{BF}{FC} · \frac{AD}{DG}=\frac{BD}{DG} · \frac{AE}{EC}$。
则 $BF · AD · EC=BD · AE · FC$,
即 $\frac{AD}{DB} · \frac{BF}{FC} · \frac{CE}{EA}=1$。
情况2:如图②,直线 DE 分别交△ABC 的边 AB、AC、BC 的延长线于点 D、E、F。
(1)情况1中的依据是:
(2)请你根据情况1的证明思路完成情况2的证明。
(3)如图③, D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点,且 $AD:DB=CE:EA=4:5$, 连接 DE 并延长,交 BC 的延长线于点 F,求 BF:CF 的值。
梅涅劳斯(Menelaus)是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家,著有几何学和三角学方面的许多书籍。梅涅劳斯发现,三角形各边(或其延长线)被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截,这条直线可能与三角形的两条边相交(一定还会与一条边的延长线相交),也可能与三条边都不相交(与三条边的延长线都相交)。他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理(简称梅氏定理):
设 D、E、F 依次是△ABC 的三边 AB、AC、BC 及其延长线上的点,且这三点共线,则满足
$\frac{AD}{DB} · \frac{BF}{FC} · \frac{CE}{EA}=1$。这个定理的证明步骤如下:
情况1:如图①,直线 DE 交△ABC 的边 AB 于点 D,交边 AC 于点 E,交边 BC 的延长线于点 F。过点 C 作 CG // DF 交 AB 于点 G,
则 $\frac{BF}{FC}=\frac{BD}{DG}$, $\frac{AD}{DG}=\frac{AE}{EC}$(依据)。
所以 $\frac{BF}{FC} · \frac{AD}{DG}=\frac{BD}{DG} · \frac{AE}{EC}$。
则 $BF · AD · EC=BD · AE · FC$,
即 $\frac{AD}{DB} · \frac{BF}{FC} · \frac{CE}{EA}=1$。
情况2:如图②,直线 DE 分别交△ABC 的边 AB、AC、BC 的延长线于点 D、E、F。
(1)情况1中的依据是:
平行线分线段成比例定理1
。(2)请你根据情况1的证明思路完成情况2的证明。
(3)如图③, D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC 上的点,且 $AD:DB=CE:EA=4:5$, 连接 DE 并延长,交 BC 的延长线于点 F,求 BF:CF 的值。
答案
（1）情况1中的依据是:平行线分线段成比例定理1。
（2）作$CN // DE$交$BD$于$N$,所以$\frac{AD}{DN}=\frac{AE}{CE}$,$\frac{DB}{DN}=\frac{BF}{CF}$,所以$\frac{AD}{DN} · \frac{BF}{CF}=\frac{AE}{CE} · \frac{DB}{DN}$,所以$AD · BF · CE=AE · DB · CF$,所以$\frac{AD}{BD} · \frac{BF}{CF} · \frac{CE}{AE}=1$。
（3）因为$\frac{AD}{BD} · \frac{BF}{CF} · \frac{CE}{AE}=1$,$AD:DB=CE:EA=4:5$,所以$\frac{4}{5} · \frac{BF}{CF} · \frac{4}{5}=1$,所以$\frac{BF}{CF}=\frac{25}{16}$。
解析
【分析】
(1) 第一问需结合已学的平行线相关性质判断依据：当一组平行线截两条直线时，所得对应线段成比例，题中作CG平行DF后得到的比例式符合该定理，因此依据是平行线分线段成比例定理。
(2) 第二问模仿情况1的证明思路即可：过点C作DE的平行线交AB于点N，再借助平行线分线段成比例得到两组比例式，消去中间量DN后整理就能得到梅氏定理的结论。
(3) 第三问是梅氏定理的直接应用：将已知的两组线段比例代入梅氏定理的公式，解关于$\frac{BF}{CF}$的方程即可求出结果。
【解析】
(1) 过点C作$CG// DF$后，截线AB、BC被平行线CG、DF所截，对应线段成比例，该规律是平行线分线段成比例定理，因此依据为平行线分线段成比例定理。
(2) 证明：过点C作$CN // DE$交$BD$于点$N$，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{DN}=\frac{AE}{CE}$，$\frac{DB}{DN}=\frac{BF}{CF}$，
将两个等式左右分别相乘得：$\frac{AD}{DN} · \frac{BF}{CF}=\frac{AE}{CE} · \frac{DB}{DN}$，
两边同乘$DN· CE· CF$得：$AD · BF · CE=AE · DB · CF$，
两边同时除以$BD· CF· AE$，整理得：$\frac{AD}{BD} · \frac{BF}{CF} · \frac{CE}{AE}=1$，即得证。
(3) 解：根据梅涅劳斯定理可得：$\frac{AD}{DB} · \frac{BF}{FC} · \frac{CE}{EA}=1$，
已知$AD:DB=4:5$，$CE:EA=4:5$，代入得：
$\frac{4}{5} × \frac{BF}{CF} × \frac{4}{5}=1$，
计算得$\frac{16}{25}×\frac{BF}{CF}=1$，因此$\frac{BF}{CF}=\frac{25}{16}$。
【答案】
（1）平行线分线段成比例定理
（2）作$CN // DE$交$BD$于$N$,所以$\frac{AD}{DN}=\frac{AE}{CE}$,$\frac{DB}{DN}=\frac{BF}{CF}$,所以$\frac{AD}{DN} · \frac{BF}{CF}=\frac{AE}{CE} · \frac{DB}{DN}$,所以$AD · BF · CE=AE · DB · CF$,所以$\frac{AD}{BD} · \frac{BF}{CF} · \frac{CE}{AE}=1$。
（3）$\frac{25}{16}$
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理
2.梅涅劳斯定理
3.比例运算
【点评】
本题属于材料阅读类题型，从定理依据识别、模仿证明到应用计算，逐层递进考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力和公式应用能力，解题的核心是读懂材料给出的定理内容和证明逻辑。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问需结合已学的平行线相关性质判断依据：当一组平行线截两条直线时，所得对应线段成比例，题中作CG平行DF后得到的比例式符合该定理，因此依据是平行线分线段成比例定理。
(2) 第二问模仿情况1的证明思路即可：过点C作DE的平行线交AB于点N，再借助平行线分线段成比例得到两组比例式，消去中间量DN后整理就能得到梅氏定理的结论。
(3) 第三问是梅氏定理的直接应用：将已知的两组线段比例代入梅氏定理的公式，解关于$\frac{BF}{CF}$的方程即可求出结果。
【解析】
(1) 过点C作$CG// DF$后，截线AB、BC被平行线CG、DF所截，对应线段成比例，该规律是平行线分线段成比例定理，因此依据为平行线分线段成比例定理。
(2) 证明：过点C作$CN // DE$交$BD$于点$N$，
根据平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{DN}=\frac{AE}{CE}$，$\frac{DB}{DN}=\frac{BF}{CF}$，
将两个等式左右分别相乘得：$\frac{AD}{DN} · \frac{BF}{CF}=\frac{AE}{CE} · \frac{DB}{DN}$，
两边同乘$DN· CE· CF$得：$AD · BF · CE=AE · DB · CF$，
两边同时除以$BD· CF· AE$，整理得：$\frac{AD}{BD} · \frac{BF}{CF} · \frac{CE}{AE}=1$，即得证。
(3) 解：根据梅涅劳斯定理可得：$\frac{AD}{DB} · \frac{BF}{FC} · \frac{CE}{EA}=1$，
已知$AD:DB=4:5$，$CE:EA=4:5$，代入得：
$\frac{4}{5} × \frac{BF}{CF} × \frac{4}{5}=1$，
计算得$\frac{16}{25}×\frac{BF}{CF}=1$，因此$\frac{BF}{CF}=\frac{25}{16}$。
【答案】
（1）平行线分线段成比例定理
（2）作$CN // DE$交$BD$于$N$,所以$\frac{AD}{DN}=\frac{AE}{CE}$,$\frac{DB}{DN}=\frac{BF}{CF}$,所以$\frac{AD}{DN} · \frac{BF}{CF}=\frac{AE}{CE} · \frac{DB}{DN}$,所以$AD · BF · CE=AE · DB · CF$,所以$\frac{AD}{BD} · \frac{BF}{CF} · \frac{CE}{AE}=1$。
（3）$\frac{25}{16}$
【知识点】
1.平行线分线段成比例定理
2.梅涅劳斯定理
3.比例运算
【点评】
本题属于材料阅读类题型，从定理依据识别、模仿证明到应用计算，逐层递进考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力和公式应用能力，解题的核心是读懂材料给出的定理内容和证明逻辑。
【难度系数】
0.7
