登录
24 “美丽乡村”建设全面改善了农村环境面貌，吸引大量返乡人员在家乡创业，某村结合本村优势成立了合作社，计划投资开展水产养殖和草莓种植，根据市场调查与预测，水产养殖的利润$ y_1 $与投资量$ x(x ≥ 0) $成正比例关系，如图②所示；草莓种植的利润$ y_2 $与投资量$ x(x ≥ 0) $成二次函数关系，如图①所示（注：利润与投资量的单位都是万元）。
（1）直接写出利润$ y_1 $与$ y_2 $关于投资量$ x $的函数表达式。
（2）如果该村合作社以8万元资金投入水产养殖和草莓种植，至少获得多少利润？能获取的最大利润是多少？
（3）在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该村合作社至多应投资水产养殖多少万元？
（1）直接写出利润$ y_1 $与$ y_2 $关于投资量$ x $的函数表达式。
（2）如果该村合作社以8万元资金投入水产养殖和草莓种植，至少获得多少利润？能获取的最大利润是多少？
（3）在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该村合作社至多应投资水产养殖多少万元？
答案
24 (1) $y_1=2x(x ≥ 0)$, $y_2=\frac{1}{2}x^2(x ≥ 0)$。
(2) 设投入水产养殖的资金为 $m$ 万元,则投入草莓种植的资金为$(8 - m)$万元,总利润为 $W$ 万元。由题意得, $W=2m + \frac{1}{2}(8 - m)^2=\frac{1}{2}(m - 6)^2 +14$。因为 $\frac{1}{2}＞0$,$0 ≤ m ≤ 8$,所以当 $m=6$ 时,$W$ 最小,最小值为 14,所以至少获得 14 万元的利润;当 $m=0$ 时,$W=\frac{1}{2}(0 - 6)^2 +14=32$,当 $m=8$ 时,$W=\frac{1}{2}(8 - 6)^2 +14=16$,因为 $32＞16$,所以当 $m=0$ 时,$W$ 最大,最大为 32,所以能获取的最大利润是 32 万元。
(3) 当 $W=22$ 时,则 $\frac{1}{2}(m - 6)^2 +14=22$,解得 $m=2$ 或 $m=10$(舍去),所以要保证获利不低于22 万元,则 $m ≤ 2$,所以投入水产养殖的资金至多为 2 万元。
(2) 设投入水产养殖的资金为 $m$ 万元,则投入草莓种植的资金为$(8 - m)$万元,总利润为 $W$ 万元。由题意得, $W=2m + \frac{1}{2}(8 - m)^2=\frac{1}{2}(m - 6)^2 +14$。因为 $\frac{1}{2}＞0$,$0 ≤ m ≤ 8$,所以当 $m=6$ 时,$W$ 最小,最小值为 14,所以至少获得 14 万元的利润;当 $m=0$ 时,$W=\frac{1}{2}(0 - 6)^2 +14=32$,当 $m=8$ 时,$W=\frac{1}{2}(8 - 6)^2 +14=16$,因为 $32＞16$,所以当 $m=0$ 时,$W$ 最大,最大为 32,所以能获取的最大利润是 32 万元。
(3) 当 $W=22$ 时,则 $\frac{1}{2}(m - 6)^2 +14=22$,解得 $m=2$ 或 $m=10$(舍去),所以要保证获利不低于22 万元,则 $m ≤ 2$,所以投入水产养殖的资金至多为 2 万元。
解析
【分析】
（1）先根据函数类型分别设出对应的解析式，结合图像上已知点的坐标代入计算，即可求出$y_1$、$y_2$的函数表达式。
（2）设投入水产养殖的资金为m万元，可得草莓种植的投资为(8-m)万元，总利润为两项利润之和，将总利润的表达式整理为二次函数顶点式，结合m的取值范围0≤m≤8，根据二次函数的开口方向和性质，分别计算最小利润和最大利润即可。
（3）令总利润等于22万元，解对应的一元二次方程，结合m的取值范围筛选符合条件的解，再根据二次函数的增减性确定获利不低于22万元时m的取值范围，即可得到水产养殖投资的最大值。
【解析】
（1）设$y_1=kx(k≠0)$，将点P(1,2)代入得2=k×1，解得k=2，故$y_1=2x(x≥0)$；
设$y_2=ax^2(a≠0)$，将点Q(2,2)代入得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，故$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
（2）设投入水产养殖的资金为m万元，则投入草莓种植的资金为(8-m)万元，总利润为W万元。
由题意得：
$W=2m+\frac{1}{2}(8-m)^2$
整理得$W=\frac{1}{2}(m-6)^2+14$
$\because \frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，且0≤m≤8
$\therefore$当m=6时，W取得最小值，最小值为14，即至少获得14万元利润；
分别计算端点处的利润：
当m=0时，$W=\frac{1}{2}(0-6)^2+14=32$；
当m=8时，$W=\frac{1}{2}(8-6)^2+14=16$；
$\because 32＞16$，$\therefore$当m=0时，W取得最大值，最大值为32，即最大利润为32万元。
（3）令W=22，则$\frac{1}{2}(m-6)^2+14=22$
化简得$(m-6)^2=16$
解得$m_1=2$，$m_2=10$
$\because 0≤m≤8$，$\therefore m=10$不符合题意，舍去
$\because$抛物线开口向上，$\therefore$当W≥22时，m≤2或m≥10（舍去）故投入水产养殖的资金至多为2万元。【答案$】(1) y_1=2x(x ≥ 0)$，$y_2=\frac{1}{2}x^2(x ≥ 0)$；
(2) 至少获得14万元利润，最大利润是32万元；
(3) 至多应投资水产养殖2万元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值应用，一元二次方程求解
【点评】
本题以乡村创业投资为背景，考查函数在实际问题中的应用，解题的关键是准确建立函数模型，结合自变量的取值范围和函数的性质求解最值、取值范围等问题，贴合生活实际，能很好地考查对函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）先根据函数类型分别设出对应的解析式，结合图像上已知点的坐标代入计算，即可求出$y_1$、$y_2$的函数表达式。
（2）设投入水产养殖的资金为m万元，可得草莓种植的投资为(8-m)万元，总利润为两项利润之和，将总利润的表达式整理为二次函数顶点式，结合m的取值范围0≤m≤8，根据二次函数的开口方向和性质，分别计算最小利润和最大利润即可。
（3）令总利润等于22万元，解对应的一元二次方程，结合m的取值范围筛选符合条件的解，再根据二次函数的增减性确定获利不低于22万元时m的取值范围，即可得到水产养殖投资的最大值。
【解析】
（1）设$y_1=kx(k≠0)$，将点P(1,2)代入得2=k×1，解得k=2，故$y_1=2x(x≥0)$；
设$y_2=ax^2(a≠0)$，将点Q(2,2)代入得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，故$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
（2）设投入水产养殖的资金为m万元，则投入草莓种植的资金为(8-m)万元，总利润为W万元。
由题意得：
$W=2m+\frac{1}{2}(8-m)^2$
整理得$W=\frac{1}{2}(m-6)^2+14$
$\because \frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，且0≤m≤8
$\therefore$当m=6时，W取得最小值，最小值为14，即至少获得14万元利润；
分别计算端点处的利润：
当m=0时，$W=\frac{1}{2}(0-6)^2+14=32$；
当m=8时，$W=\frac{1}{2}(8-6)^2+14=16$；
$\because 32＞16$，$\therefore$当m=0时，W取得最大值，最大值为32，即最大利润为32万元。
（3）令W=22，则$\frac{1}{2}(m-6)^2+14=22$
化简得$(m-6)^2=16$
解得$m_1=2$，$m_2=10$
$\because 0≤m≤8$，$\therefore m=10$不符合题意，舍去
$\because$抛物线开口向上，$\therefore$当W≥22时，m≤2或m≥10（舍去）故投入水产养殖的资金至多为2万元。【答案$】(1) y_1=2x(x ≥ 0)$，$y_2=\frac{1}{2}x^2(x ≥ 0)$；
(2) 至少获得14万元利润，最大利润是32万元；
(3) 至多应投资水产养殖2万元。
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数最值应用，一元二次方程求解
【点评】
本题以乡村创业投资为背景，考查函数在实际问题中的应用，解题的关键是准确建立函数模型，结合自变量的取值范围和函数的性质求解最值、取值范围等问题，贴合生活实际，能很好地考查对函数知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
25 定义:如果一条抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的顶点坐标满足条件$(t,at^2)$，那么称该抛物线为“优雅”抛物线。例如:抛物线$y=2x^2-4x+4$的顶点坐标为$(1,2)$，此时由于$t=1$，$a=2$，顶点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅”抛物线。
（1）如果抛物线$C_1:y=x^2+4x+m$是“优雅”抛物线，求$m$的值。
（2）如图，把(1)中的抛物线$C_1$向下平移得到抛物线$C_2$，抛物线$C_2$与$y$轴负半轴交于点$B$，顶点为点$C$，对称轴与$x$轴交于点$A$。
① 点$E$在$CB$延长线上，点$D$是$x$轴上一点，且四边形$ABDE$是矩形，求点$E$的坐标。
② 如果抛物线$C_3:y=2x^2+px+q$为“优雅”抛物线，它的顶点$G$在$x$轴上，抛物线$C_2$与$C_3$交于点$M$，且$AM // BC$，求抛物线$C_2$的表达式。
（1）如果抛物线$C_1:y=x^2+4x+m$是“优雅”抛物线，求$m$的值。
（2）如图，把(1)中的抛物线$C_1$向下平移得到抛物线$C_2$，抛物线$C_2$与$y$轴负半轴交于点$B$，顶点为点$C$，对称轴与$x$轴交于点$A$。
① 点$E$在$CB$延长线上，点$D$是$x$轴上一点，且四边形$ABDE$是矩形，求点$E$的坐标。
② 如果抛物线$C_3:y=2x^2+px+q$为“优雅”抛物线，它的顶点$G$在$x$轴上，抛物线$C_2$与$C_3$交于点$M$，且$AM // BC$，求抛物线$C_2$的表达式。
答案
25 (1) 抛物线顶点的横坐标是 $-\frac{b}{2a}=-2$。因为抛物线是“优雅”抛物线,且 $a=1$,所以顶点的纵坐标是 $1×(-2)^2=4$。将$(-2,4)$代入抛物线,得 $m=8$。
(2) ① 设 $C_2:y=x^2 +4x +c$,因为四边形 $ABDE$ 为矩形,所以 $AD=BE$。设点 $P$ 为对角线$AD$、$BE$ 交点,因为 $AD$ 在 $x$ 轴上,所以点 $P$ 在 $x$ 轴上,且 $AP=\frac{1}{2}AD$,$BP=\frac{1}{2}BE$,所以 $AP=BP$。因为 $A(-2,0)$,$B(0,c)$,顶点 $C(-2,c -4)$,所以直线 $BC:y=2x +c$,所以$P(-\frac{c}{2},0)$,所以 $AP^2=(2 -\frac{c}{2})^2$,$BP^2=(-\frac{c}{2})^2 +c^2$,所以$(2 -\frac{c}{2})^2=(-\frac{c}{2})^2 +c^2$,所以$c^2 +2c -4=0$,解得 $c=-1\pm\sqrt{5}$(正舍),所以 $B(0,-1 -\sqrt{5})$、$P(\frac{1 +\sqrt{5}}{2},0)$。因为点 $P$ 为对角线 $AD$、$BE$ 交点,所以点 $P$ 为 $BE$ 的中点,由对称性可得 $E(1 +\sqrt{5},1 +\sqrt{5})$。
② 抛物线 $C_3$ 的对称轴是直线 $x=-\frac{p}{4}$,则顶点 $G(-\frac{p}{4},0)$。因为 $C_3:y=2(x +\frac{p}{4})^2$ 为“优雅”抛物线,所以 $2×(-\frac{p}{4})^2=0$,解得 $p=0$。所以 $C_3:y=2x^2$。因为直线 $BC:y=2x +c$ 且 $AM // BC$,所以 $k_{AM}=k_{BC}=2$。因为直线 $AM$ 经过点 $A(-2,0)$,所以直线 $AM:y=2x +4$。联立得$\begin{cases}y=2x +4,\\y=2x^2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=2,\\y_1=8,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=-1,\\y_2=2。\end{cases}$所以 $M(2,8)$ 或 $M(-1,2)$。因为点 $M$ 在 $C_2:y=x^2 +4x +c$ 上,所以 $c=-4$ 或 $c=5＞0$(舍),所以抛物线 $C_2:y=x^2 +4x -4$。
(2) ① 设 $C_2:y=x^2 +4x +c$,因为四边形 $ABDE$ 为矩形,所以 $AD=BE$。设点 $P$ 为对角线$AD$、$BE$ 交点,因为 $AD$ 在 $x$ 轴上,所以点 $P$ 在 $x$ 轴上,且 $AP=\frac{1}{2}AD$,$BP=\frac{1}{2}BE$,所以 $AP=BP$。因为 $A(-2,0)$,$B(0,c)$,顶点 $C(-2,c -4)$,所以直线 $BC:y=2x +c$,所以$P(-\frac{c}{2},0)$,所以 $AP^2=(2 -\frac{c}{2})^2$,$BP^2=(-\frac{c}{2})^2 +c^2$,所以$(2 -\frac{c}{2})^2=(-\frac{c}{2})^2 +c^2$,所以$c^2 +2c -4=0$,解得 $c=-1\pm\sqrt{5}$(正舍),所以 $B(0,-1 -\sqrt{5})$、$P(\frac{1 +\sqrt{5}}{2},0)$。因为点 $P$ 为对角线 $AD$、$BE$ 交点,所以点 $P$ 为 $BE$ 的中点,由对称性可得 $E(1 +\sqrt{5},1 +\sqrt{5})$。
② 抛物线 $C_3$ 的对称轴是直线 $x=-\frac{p}{4}$,则顶点 $G(-\frac{p}{4},0)$。因为 $C_3:y=2(x +\frac{p}{4})^2$ 为“优雅”抛物线,所以 $2×(-\frac{p}{4})^2=0$,解得 $p=0$。所以 $C_3:y=2x^2$。因为直线 $BC:y=2x +c$ 且 $AM // BC$,所以 $k_{AM}=k_{BC}=2$。因为直线 $AM$ 经过点 $A(-2,0)$,所以直线 $AM:y=2x +4$。联立得$\begin{cases}y=2x +4,\\y=2x^2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=2,\\y_1=8,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=-1,\\y_2=2。\end{cases}$所以 $M(2,8)$ 或 $M(-1,2)$。因为点 $M$ 在 $C_2:y=x^2 +4x +c$ 上,所以 $c=-4$ 或 $c=5＞0$(舍),所以抛物线 $C_2:y=x^2 +4x -4$。
解析
【分析】
（1）先根据二次函数顶点横坐标公式求出抛物线$C_1$的顶点横坐标$t$，再结合“优雅”抛物线的定义得到顶点纵坐标，代入解析式即可求出$m$的值。
（2）① 抛物线向下平移时二次项系数不变，先设出$C_2$的解析式，求出点$A$、$B$、$C$的坐标和直线$BC$的解析式；根据矩形对角线互相平分且相等的性质，可知对角线交点$P$在$x$轴上且$AP=BP$，列方程求出$c$的值后，结合中点坐标公式即可得到点$E$的坐标。
② 先根据“优雅”抛物线的定义和顶点在$x$轴上的条件求出$C_3$的解析式；由$AM// BC$可得两直线斜率相等，结合点$A$坐标求出直线$AM$的解析式，联立$AM$与$C_3$的解析式得到交点$M$的坐标，将$M$代入$C_2$的解析式即可求出$C_2$的表达式。
【解析】
（1）对于抛物线$C_1:y=x^2+4x+m$，$a=1$，$b=4$，顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$。
因为$C_1$是“优雅”抛物线，所以顶点纵坐标为$at^2=1×(-2)^2=4$，即顶点坐标为$(-2,4)$。
将$(-2,4)$代入$y=x^2+4x+m$，得$4=(-2)^2+4×(-2)+m$，解得$m=8$。
（2）① 设平移后抛物线$C_2$的解析式为$y=x^2+4x+c$，可得对称轴为直线$x=-2$，与$x$轴交点$A(-2,0)$，与$y$轴负半轴交点$B(0,c)$，顶点$C(-2,c-4)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,c)$、$C(-2,c-4)$，解得$\begin{cases}k=2\\b=c\end{cases}$，即直线$BC:y=2x+c$。
因为四边形$ABDE$是矩形，对角线$AD$、$BE$交于点$P$，$AD$在$x$轴上，所以$P$在$x$轴上，且$AP=BP$。令$y=0$得$P(-\frac{c}{2},0)$，由$AP^2=BP^2$列方程：
$(2-\frac{c}{2})^2=(-\frac{c}{2})^2+c^2$，整理得$c^2+2c-4=0$，解得$c=-1\pm\sqrt{5}$，舍去正根得$c=-1-\sqrt{5}$。
此时$B(0,-1-\sqrt{5})$，$P(\frac{1+\sqrt{5}}{2},0)$，因为$P$是$BE$中点，由中点坐标公式得$E(1+\sqrt{5},1+\sqrt{5})$。
② 抛物线$C_3:y=2x^2+px+q$为“优雅”抛物线，顶点在$x$轴上，顶点横坐标为$t=-\frac{p}{4}$，纵坐标为0。根据定义得$2×(-\frac{p}{4})^2=0$，解得$p=0$，即$C_3:y=2x^2$。
因为$AM// BC$，直线$BC$斜率为2，所以直线$AM$的解析式为$y=2(x+2)=2x+4$。
联立$\begin{cases}y=2x+4\\y=2x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1=2\\y_1=8\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-1\\y_2=2\end{cases}$，即$M(2,8)$或$M(-1,2)$。
将$M$代入$C_2$解析式，舍去$c=5$的不合理解，得$c=-4$，即$C_2:y=x^2+4x-4$。
【答案】
(1) $m=8$
(2) ① $E(1+\sqrt{5},1+\sqrt{5})$；② $y=x^2+4x-4$
【知识点】
二次函数图象与性质，矩形的性质，函数交点求解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数综合应用，涵盖抛物线平移、矩形性质、平行直线特征、函数交点计算等内容，需要熟练掌握二次函数基本性质，能结合几何特征建立方程求解，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
（1）先根据二次函数顶点横坐标公式求出抛物线$C_1$的顶点横坐标$t$，再结合“优雅”抛物线的定义得到顶点纵坐标，代入解析式即可求出$m$的值。
（2）① 抛物线向下平移时二次项系数不变，先设出$C_2$的解析式，求出点$A$、$B$、$C$的坐标和直线$BC$的解析式；根据矩形对角线互相平分且相等的性质，可知对角线交点$P$在$x$轴上且$AP=BP$，列方程求出$c$的值后，结合中点坐标公式即可得到点$E$的坐标。
② 先根据“优雅”抛物线的定义和顶点在$x$轴上的条件求出$C_3$的解析式；由$AM// BC$可得两直线斜率相等，结合点$A$坐标求出直线$AM$的解析式，联立$AM$与$C_3$的解析式得到交点$M$的坐标，将$M$代入$C_2$的解析式即可求出$C_2$的表达式。
【解析】
（1）对于抛物线$C_1:y=x^2+4x+m$，$a=1$，$b=4$，顶点横坐标$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$。
因为$C_1$是“优雅”抛物线，所以顶点纵坐标为$at^2=1×(-2)^2=4$，即顶点坐标为$(-2,4)$。
将$(-2,4)$代入$y=x^2+4x+m$，得$4=(-2)^2+4×(-2)+m$，解得$m=8$。
（2）① 设平移后抛物线$C_2$的解析式为$y=x^2+4x+c$，可得对称轴为直线$x=-2$，与$x$轴交点$A(-2,0)$，与$y$轴负半轴交点$B(0,c)$，顶点$C(-2,c-4)$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,c)$、$C(-2,c-4)$，解得$\begin{cases}k=2\\b=c\end{cases}$，即直线$BC:y=2x+c$。
因为四边形$ABDE$是矩形，对角线$AD$、$BE$交于点$P$，$AD$在$x$轴上，所以$P$在$x$轴上，且$AP=BP$。令$y=0$得$P(-\frac{c}{2},0)$，由$AP^2=BP^2$列方程：
$(2-\frac{c}{2})^2=(-\frac{c}{2})^2+c^2$，整理得$c^2+2c-4=0$，解得$c=-1\pm\sqrt{5}$，舍去正根得$c=-1-\sqrt{5}$。
此时$B(0,-1-\sqrt{5})$，$P(\frac{1+\sqrt{5}}{2},0)$，因为$P$是$BE$中点，由中点坐标公式得$E(1+\sqrt{5},1+\sqrt{5})$。
② 抛物线$C_3:y=2x^2+px+q$为“优雅”抛物线，顶点在$x$轴上，顶点横坐标为$t=-\frac{p}{4}$，纵坐标为0。根据定义得$2×(-\frac{p}{4})^2=0$，解得$p=0$，即$C_3:y=2x^2$。
因为$AM// BC$，直线$BC$斜率为2，所以直线$AM$的解析式为$y=2(x+2)=2x+4$。
联立$\begin{cases}y=2x+4\\y=2x^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1=2\\y_1=8\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=-1\\y_2=2\end{cases}$，即$M(2,8)$或$M(-1,2)$。
将$M$代入$C_2$解析式，舍去$c=5$的不合理解，得$c=-4$，即$C_2:y=x^2+4x-4$。
【答案】
(1) $m=8$
(2) ① $E(1+\sqrt{5},1+\sqrt{5})$；② $y=x^2+4x-4$
【知识点】
二次函数图象与性质，矩形的性质，函数交点求解
【点评】
本题结合新定义考查二次函数综合应用，涵盖抛物线平移、矩形性质、平行直线特征、函数交点计算等内容，需要熟练掌握二次函数基本性质，能结合几何特征建立方程求解，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
