登录
22 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线经过点$A(0,4)$，$B(1,0)$，$C(5,0)$，抛物线对称轴$l$与$x$轴相交于点$M$。
（1）求抛物线的表达式和对称轴。
（2）设点$P$为抛物线$(x＞5)$上的一点，若以$A、O、M、P$为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请求出点$P$的坐标。
（1）求抛物线的表达式和对称轴。
（2）设点$P$为抛物线$(x＞5)$上的一点，若以$A、O、M、P$为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请求出点$P$的坐标。
答案
22 (1) 因为抛物线与 $x$ 轴交于 $B(1,0)$、$C(5,0)$ 两点,设 $y=a(x -1)(x -5)$,将 $A(0,4)$ 代入得:$4=a(0 -1)(0 -5)$,解得 $a=\frac{4}{5}$,所以抛物线的表达式为 $y=\frac{4}{5}(x -1)(x -5)$,展开得$y=\frac{4}{5}x^2 -\frac{24}{5}x +4$。对称轴为直线 $x=3$。
(2) 已知 $A(0,4)$、$O(0,0)$、$M(3,0)$,设 $P(x,y)(x＞5)$,所以 $AO=4$,$MO=3$,$AM=5$。因为 $x＞5$,所以 $AO$ 与 $OM$ 是边长,$MA$ 为对角线,且 $AP＞5$,$MP＞2$。因为四边形四条边为四个连续正整数,已知边长 $OM=3$、$OA=4$,可推测第三、四条边长分别为 5 和 6,所以 $MP=5$,$PA=6$,则 $MP=MA$。根据抛物线的轴对称性,得 $P(6,4)$。
(2) 已知 $A(0,4)$、$O(0,0)$、$M(3,0)$,设 $P(x,y)(x＞5)$,所以 $AO=4$,$MO=3$,$AM=5$。因为 $x＞5$,所以 $AO$ 与 $OM$ 是边长,$MA$ 为对角线,且 $AP＞5$,$MP＞2$。因为四边形四条边为四个连续正整数,已知边长 $OM=3$、$OA=4$,可推测第三、四条边长分别为 5 和 6,所以 $MP=5$,$PA=6$,则 $MP=MA$。根据抛物线的轴对称性,得 $P(6,4)$。
解析
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设解析式，代入A点坐标即可求出未知参数，整理得到抛物线表达式；抛物线对称轴为x轴两个交点横坐标的平均值，直接计算即可得到对称轴。
（2）先计算已知点A、O、M两两之间的线段长度，得到3、4、5三个值，结合四边形边长为四个连续正整数的条件，可推出剩余两边的长度为5和6，再结合点P的位置限制，利用抛物线的轴对称性即可求出符合要求的P点坐标，最后验证边长是否符合条件即可。
【解析】
（1）
∵抛物线与x轴交于$B(1,0)$、$C(5,0)$两点
∴设抛物线解析式为$y=a(x-1)(x-5)$（$a≠0$）
将$A(0,4)$代入解析式得：$4=a(0-1)(0-5)$
解得$a=\frac{4}{5}$
∴抛物线表达式为$y=\frac{4}{5}(x-1)(x-5)$，展开整理得$y=\frac{4}{5}x^2-\frac{24}{5}x+4$
抛物线对称轴为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$
（2）由题意得$O(0,0)$，对称轴与x轴交点$M(3,0)$
计算得：$AO=4$，$OM=3$，$AM=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=5$
∵点P在$x＞5$的抛物线上，四边形四条边为四个连续正整数，已有边长3、4，因此剩余两边长为5、6，且AM为四边形对角线
可得四边形四条边为$OM=3$、$OA=4$、$MP=5$、$PA=6$
∵抛物线对称轴为直线$x=3$，点A到对称轴的水平距离为3
∴与A关于对称轴对称的点横坐标为$3+3=6$，纵坐标为4，即$(6,4)$
验证：该点横坐标$6＞5$，在抛物线上，$AP=6$，$MP=\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=5$，符合边长要求
【答案】
（1）抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{5}x^2-\frac{24}{5}x+4}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=3}$；
（2）点P的坐标为$\boldsymbol{(6,4)}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的对称性；两点间距离计算
【点评】
本题第一问为二次函数基础考点，掌握交点式求解析式的方法即可快速解答；第二问需要结合已知条件推理出剩余边长的取值，再结合抛物线对称性求解，兼顾考查了计算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选择交点式设解析式，代入A点坐标即可求出未知参数，整理得到抛物线表达式；抛物线对称轴为x轴两个交点横坐标的平均值，直接计算即可得到对称轴。
（2）先计算已知点A、O、M两两之间的线段长度，得到3、4、5三个值，结合四边形边长为四个连续正整数的条件，可推出剩余两边的长度为5和6，再结合点P的位置限制，利用抛物线的轴对称性即可求出符合要求的P点坐标，最后验证边长是否符合条件即可。
【解析】
（1）
∵抛物线与x轴交于$B(1,0)$、$C(5,0)$两点
∴设抛物线解析式为$y=a(x-1)(x-5)$（$a≠0$）
将$A(0,4)$代入解析式得：$4=a(0-1)(0-5)$
解得$a=\frac{4}{5}$
∴抛物线表达式为$y=\frac{4}{5}(x-1)(x-5)$，展开整理得$y=\frac{4}{5}x^2-\frac{24}{5}x+4$
抛物线对称轴为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$
（2）由题意得$O(0,0)$，对称轴与x轴交点$M(3,0)$
计算得：$AO=4$，$OM=3$，$AM=\sqrt{(3-0)^2+(0-4)^2}=5$
∵点P在$x＞5$的抛物线上，四边形四条边为四个连续正整数，已有边长3、4，因此剩余两边长为5、6，且AM为四边形对角线
可得四边形四条边为$OM=3$、$OA=4$、$MP=5$、$PA=6$
∵抛物线对称轴为直线$x=3$，点A到对称轴的水平距离为3
∴与A关于对称轴对称的点横坐标为$3+3=6$，纵坐标为4，即$(6,4)$
验证：该点横坐标$6＞5$，在抛物线上，$AP=6$，$MP=\sqrt{(6-3)^2+(4-0)^2}=5$，符合边长要求
【答案】
（1）抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{4}{5}x^2-\frac{24}{5}x+4}$，对称轴为直线$\boldsymbol{x=3}$；
（2）点P的坐标为$\boldsymbol{(6,4)}$
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数的对称性；两点间距离计算
【点评】
本题第一问为二次函数基础考点，掌握交点式求解析式的方法即可快速解答；第二问需要结合已知条件推理出剩余边长的取值，再结合抛物线对称性求解，兼顾考查了计算能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
23 已知抛物线$y=x^2 -2x +m -1$与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B。
(1) 求m的值。
(2) 过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：$△ ABC$是等腰直角三角形。
(3) 将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线$C'$，且与x轴的负半轴交于E点，与y轴交于F点，如图。请在抛物线$C'$上求点P，使得$△ EFP$是以EF为直角边的直角三角形。
(1) 求m的值。
(2) 过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：$△ ABC$是等腰直角三角形。
(3) 将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线$C'$，且与x轴的负半轴交于E点，与y轴交于F点，如图。请在抛物线$C'$上求点P，使得$△ EFP$是以EF为直角边的直角三角形。
答案
23 (1) 因为抛物线 $y_1=x^2 -2x +m -1$ 与 $x$ 轴只有一个交点,所以 $\Delta=(-2)^2 -4×1×(m -1)=0$,解得 $m=2$。
(2) 因为 $m=2$,所以抛物线的表达式为 $y=x^2 -2x +1$,所以 $A(0,1)$,$B(1,0)$,所以 $OA=OB$。因为 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ OAB=∠ OBA=45°$。因为 $AC // BO$,所以 $∠ BAC=45°$。因为点 $A$ 和点 $C$ 关于过 $B$ 点且垂直于 $x$ 轴的直线对称,所以 $BA=BC$,所以 $∠ BCA=∠ BAC=45°$,所以 $∠ ABC=90°$,所以 $△ ABC$ 是等腰直角三角形。
(3) 抛物线 $C'$ 的表达式为 $y=x^2 -2x -3$,当 $x=0$ 时,$y=-3$;当 $y=0$ 时,$x=-1$ 或 $x=3$,所以 $E(-1,0)$,$F(0,-3)$,即 $OE=1$,$OF=3$。
第一种情况:如图①,若以 $E$ 点为直角顶点,设此时满足条件的点为 $P_1(x_1,y_1)$,作 $P_1M ⊥ x$ 轴于点 $M$。因为 $∠ P_1EM + ∠ OEF=∠ EFO + ∠ OEF=90°$,所以 $∠ P_1EM=∠ EFO$,所以 $\mathrm{Rt}△ EFO ∽ \mathrm{Rt}△ P_1EM$,则 $\frac{P_1M}{EM}=\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$,即 $EM=3P_1M$。因为 $EM=x_1 +1$,$P_1M=y_1$,所以 $x_1 +1=3y_1$。由于 $P_1(x_1,y_1)$ 在抛物线 $C'$ 上,则有 $3(x_1^2 -2x_1 -3)=x_1 +1$,整理得,$3x_1^2 -7x_1 -10=0$,解得 $x_1=\frac{10}{3}$ 或 $x_2=-1$(舍去)。当 $x=\frac{10}{3}$ 时,$y=\frac{13}{9}$,所以 $P_1(\frac{10}{3},\frac{13}{9})$。
第二种情况:如图②,若以 $F$ 点为直角顶点,设此时满足条件的点为 $P_2(x_2,y_2)$,作 $P_2N ⊥ y$ 轴于点 $N$。同第一种情况,易知 $\mathrm{Rt}△ EFO ∽ \mathrm{Rt}△ FP_2N$,得 $\frac{FN}{P_2N}=\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$,即 $P_2N=3FN$。因为 $P_2N=x_2$,$FN=3+y_2$,所以 $x_2=3(3+y_2)$。由于 $P_2(x_2,y_2)$ 在抛物线 $C'$ 上,则有 $x_2=3(3+x_2^2 -2x_2 -3)$,整理得 $3x_2^2 -7x_2=0$,解得 $x_2=0$(舍) 或 $x_2=\frac{7}{3}$。当 $x=\frac{7}{3}$ 时,$y=-\frac{20}{9}$,所以$P_2(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})$。
综上所述,满足条件的 $P$ 点的坐标为$(\frac{10}{3},\frac{13}{9})$或$(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})$。
解析
【分析】
(1) 抛物线与x轴只有一个交点，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，可利用根的判别式Δ=0列方程求解m；
(2) 代入m得到抛物线解析式，求出A、B两点坐标，结合AC平行x轴的性质和抛物线的对称性得到AB=BC，再通过角度推导证明∠ABC=90°，即可证得△ABC为等腰直角三角形；
(3) 先根据平移规则得到平移后抛物线C'的解析式，求出E、F两点坐标，分两种情况讨论：①以E为直角顶点，②以F为直角顶点，分别构造相似三角形得到点P横、纵坐标的数量关系，联立抛物线解析式求解，舍去不合题意的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 因为抛物线 $y_1=x^2 -2x +m -1$ 与 $x$ 轴只有一个交点,所以 $\Delta=(-2)^2 -4×1×(m -1)=0$,解得 $m=2$。
(2) 因为 $m=2$,所以抛物线的表达式为 $y=x^2 -2x +1$,所以 $A(0,1)$,$B(1,0)$,所以 $OA=OB$。因为 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ OAB=∠ OBA=45°$。因为 $AC // BO$,所以 $∠ BAC=45°$。因为点 $A$ 和点 $C$ 关于过 $B$ 点且垂直于 $x$ 轴的直线对称,所以 $BA=BC$,所以 $∠ BCA=∠ BAC=45°$,所以 $∠ ABC=90°$,所以 $△ ABC$ 是等腰直角三角形。
(3) 抛物线 $C'$ 的表达式为 $y=x^2 -2x -3$,当 $x=0$ 时,$y=-3$;当 $y=0$ 时,$x=-1$ 或 $x=3$,所以 $E(-1,0)$,$F(0,-3)$,即 $OE=1$,$OF=3$。
第一种情况:如图①,若以 $E$ 点为直角顶点,设此时满足条件的点为 $P_1(x_1,y_1)$,作 $P_1M ⊥ x$ 轴于点 $M$。因为 $∠ P_1EM + ∠ OEF=∠ EFO + ∠ OEF=90°$,所以 $∠ P_1EM=∠ EFO$,所以 $\mathrm{Rt}△ EFO ∽ \mathrm{Rt}△ P_1EM$,则 $\frac{P_1M}{EM}=\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$,即 $EM=3P_1M$。因为 $EM=x_1 +1$,$P_1M=y_1$,所以 $x_1 +1=3y_1$。由于 $P_1(x_1,y_1)$ 在抛物线 $C'$ 上,则有 $3(x_1^2 -2x_1 -3)=x_1 +1$,整理得,$3x_1^2 -7x_1 -10=0$,解得 $x_1=\frac{10}{3}$ 或 $x_2=-1$(舍去)。当 $x=\frac{10}{3}$ 时,$y=\frac{13}{9}$,所以 $P_1(\frac{10}{3},\frac{13}{9})$。
第二种情况:如图②,若以 $F$ 点为直角顶点,设此时满足条件的点为 $P_2(x_2,y_2)$,作 $P_2N ⊥ y$ 轴于点 $N$。同第一种情况,易知 $\mathrm{Rt}△ EFO ∽ \mathrm{Rt}△ FP_2N$,得 $\frac{FN}{P_2N}=\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$,即 $P_2N=3FN$。因为 $P_2N=x_2$,$FN=3+y_2$,所以 $x_2=3(3+y_2)$。由于 $P_2(x_2,y_2)$ 在抛物线 $C'$ 上,则有 $x_2=3(3+x_2^2 -2x_2 -3)$,整理得 $3x_2^2 -7x_2=0$,解得 $x_2=0$(舍) 或 $x_2=\frac{7}{3}$。当 $x=\frac{7}{3}$ 时,$y=-\frac{20}{9}$,所以$P_2(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})$。
综上所述,满足条件的 $P$ 点的坐标为$(\frac{10}{3},\frac{13}{9})$或$(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})$。
【答案】
(1) $m=2$
(2) $△ ABC$是等腰直角三角形，证明见解析
(3) 点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{10}{3},\frac{13}{9})}$或$\boldsymbol{(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})}$
【知识点】
二次函数的性质、等腰直角三角形判定、相似三角形的应用
【点评】
本题是二次函数综合题，问题设置由浅入深，既考查了二次函数根的判别式、平移规律等基础知识点，也渗透了数形结合、分类讨论的数学思想，对学生的计算能力和几何逻辑推理能力都有一定的考查价值。
【难度系数】
0.3
(1) 抛物线与x轴只有一个交点，说明对应一元二次方程有两个相等的实数根，可利用根的判别式Δ=0列方程求解m；
(2) 代入m得到抛物线解析式，求出A、B两点坐标，结合AC平行x轴的性质和抛物线的对称性得到AB=BC，再通过角度推导证明∠ABC=90°，即可证得△ABC为等腰直角三角形；
(3) 先根据平移规则得到平移后抛物线C'的解析式，求出E、F两点坐标，分两种情况讨论：①以E为直角顶点，②以F为直角顶点，分别构造相似三角形得到点P横、纵坐标的数量关系，联立抛物线解析式求解，舍去不合题意的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 因为抛物线 $y_1=x^2 -2x +m -1$ 与 $x$ 轴只有一个交点,所以 $\Delta=(-2)^2 -4×1×(m -1)=0$,解得 $m=2$。
(2) 因为 $m=2$,所以抛物线的表达式为 $y=x^2 -2x +1$,所以 $A(0,1)$,$B(1,0)$,所以 $OA=OB$。因为 $∠ AOB=90°$,所以 $∠ OAB=∠ OBA=45°$。因为 $AC // BO$,所以 $∠ BAC=45°$。因为点 $A$ 和点 $C$ 关于过 $B$ 点且垂直于 $x$ 轴的直线对称,所以 $BA=BC$,所以 $∠ BCA=∠ BAC=45°$,所以 $∠ ABC=90°$,所以 $△ ABC$ 是等腰直角三角形。
(3) 抛物线 $C'$ 的表达式为 $y=x^2 -2x -3$,当 $x=0$ 时,$y=-3$;当 $y=0$ 时,$x=-1$ 或 $x=3$,所以 $E(-1,0)$,$F(0,-3)$,即 $OE=1$,$OF=3$。
第一种情况:如图①,若以 $E$ 点为直角顶点,设此时满足条件的点为 $P_1(x_1,y_1)$,作 $P_1M ⊥ x$ 轴于点 $M$。因为 $∠ P_1EM + ∠ OEF=∠ EFO + ∠ OEF=90°$,所以 $∠ P_1EM=∠ EFO$,所以 $\mathrm{Rt}△ EFO ∽ \mathrm{Rt}△ P_1EM$,则 $\frac{P_1M}{EM}=\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$,即 $EM=3P_1M$。因为 $EM=x_1 +1$,$P_1M=y_1$,所以 $x_1 +1=3y_1$。由于 $P_1(x_1,y_1)$ 在抛物线 $C'$ 上,则有 $3(x_1^2 -2x_1 -3)=x_1 +1$,整理得,$3x_1^2 -7x_1 -10=0$,解得 $x_1=\frac{10}{3}$ 或 $x_2=-1$(舍去)。当 $x=\frac{10}{3}$ 时,$y=\frac{13}{9}$,所以 $P_1(\frac{10}{3},\frac{13}{9})$。
第二种情况:如图②,若以 $F$ 点为直角顶点,设此时满足条件的点为 $P_2(x_2,y_2)$,作 $P_2N ⊥ y$ 轴于点 $N$。同第一种情况,易知 $\mathrm{Rt}△ EFO ∽ \mathrm{Rt}△ FP_2N$,得 $\frac{FN}{P_2N}=\frac{OE}{OF}=\frac{1}{3}$,即 $P_2N=3FN$。因为 $P_2N=x_2$,$FN=3+y_2$,所以 $x_2=3(3+y_2)$。由于 $P_2(x_2,y_2)$ 在抛物线 $C'$ 上,则有 $x_2=3(3+x_2^2 -2x_2 -3)$,整理得 $3x_2^2 -7x_2=0$,解得 $x_2=0$(舍) 或 $x_2=\frac{7}{3}$。当 $x=\frac{7}{3}$ 时,$y=-\frac{20}{9}$,所以$P_2(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})$。
综上所述,满足条件的 $P$ 点的坐标为$(\frac{10}{3},\frac{13}{9})$或$(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})$。
【答案】
(1) $m=2$
(2) $△ ABC$是等腰直角三角形，证明见解析
(3) 点P坐标为$\boldsymbol{(\frac{10}{3},\frac{13}{9})}$或$\boldsymbol{(\frac{7}{3},-\frac{20}{9})}$
【知识点】
二次函数的性质、等腰直角三角形判定、相似三角形的应用
【点评】
本题是二次函数综合题，问题设置由浅入深，既考查了二次函数根的判别式、平移规律等基础知识点，也渗透了数形结合、分类讨论的数学思想，对学生的计算能力和几何逻辑推理能力都有一定的考查价值。
【难度系数】
0.3
