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⑧如果二次函数$f(x)=(m - 2)x^2 + mx + (m^2 - 4)$的图像过原点，那么$m=$
-2
。答案
8 -2
解析
【分析】
解题需同时满足两个核心条件：一是该函数为二次函数，因此二次项系数不能为0；二是函数图像过原点，即原点坐标(0,0)符合函数解析式。首先将原点坐标代入解析式求出m的可能取值，再结合二次函数的定义排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 二次函数$f(x)$的图像过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0$、$f(x)=0$代入解析式得：
$0=(m-2)×0^2 + m×0 + (m^2 - 4)$
整理得$m^2 - 4 = 0$，解得$m=2$或$m=-2$。
又
∵ $f(x)$是二次函数，
∴ 二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$。
综上可得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的定义，函数图像上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，易错点为忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm2$的错误结果，解题时要注意挖掘题干的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
解题需同时满足两个核心条件：一是该函数为二次函数，因此二次项系数不能为0；二是函数图像过原点，即原点坐标(0,0)符合函数解析式。首先将原点坐标代入解析式求出m的可能取值，再结合二次函数的定义排除不符合要求的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 二次函数$f(x)$的图像过原点$(0,0)$，
∴ 将$x=0$、$f(x)=0$代入解析式得：
$0=(m-2)×0^2 + m×0 + (m^2 - 4)$
整理得$m^2 - 4 = 0$，解得$m=2$或$m=-2$。
又
∵ $f(x)$是二次函数，
∴ 二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$。
综上可得$m=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
二次函数的定义，函数图像上点的坐标特征，解一元二次方程
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，易错点为忽略二次函数二次项系数不为0的隐含条件，直接得出$m=\pm2$的错误结果，解题时要注意挖掘题干的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
9 若抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2 + 3x - a$的顶点坐标在$x$轴上，则$a=$
$\frac{9}{2}$
。答案
9 $\frac{9}{2}$
解析
【分析】
首先明确顶点在x轴上的含义：x轴上的点纵坐标为0，因此本题可转化为令抛物线顶点的纵坐标等于0求解a的值。可以通过两种思路推导：一是利用抛物线与x轴交点个数和判别式的关系，顶点在x轴上说明抛物线与x轴只有一个交点，对应判别式Δ=0；二是用配方法将二次函数化为顶点式，直接得到顶点纵坐标，令其为0计算即可。
【解析】
方法一：利用判别式求解
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），若顶点在x轴上，则抛物线与x轴仅有一个交点，即判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
本题中$A=-\dfrac{1}{2}$，$B=3$，$C=-a$，代入判别式得：
$3^2 - 4×(-\dfrac{1}{2})×(-a)=0$
化简得：$9 - 2a=0$，解得$a=\dfrac{9}{2}$。
方法二：配方法化顶点式求解
将抛物线解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}x^2+3x -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-6x) -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-6x+9-9) -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2 + \dfrac{9}{2} -a\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(3,\dfrac{9}{2}-a)$，因为顶点在x轴上，所以纵坐标为0，即$\dfrac{9}{2}-a=0$，解得$a=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
二次函数顶点性质、判别式的应用、配方法
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题关键是掌握顶点在x轴上的坐标特征，两种解题方法均为二次函数的核心基础技能，熟练掌握后可以快速解决同类求参数的问题。
【难度系数】
0.8
首先明确顶点在x轴上的含义：x轴上的点纵坐标为0，因此本题可转化为令抛物线顶点的纵坐标等于0求解a的值。可以通过两种思路推导：一是利用抛物线与x轴交点个数和判别式的关系，顶点在x轴上说明抛物线与x轴只有一个交点，对应判别式Δ=0；二是用配方法将二次函数化为顶点式，直接得到顶点纵坐标，令其为0计算即可。
【解析】
方法一：利用判别式求解
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$（$A≠0$），若顶点在x轴上，则抛物线与x轴仅有一个交点，即判别式$\Delta=B^2-4AC=0$。
本题中$A=-\dfrac{1}{2}$，$B=3$，$C=-a$，代入判别式得：
$3^2 - 4×(-\dfrac{1}{2})×(-a)=0$
化简得：$9 - 2a=0$，解得$a=\dfrac{9}{2}$。
方法二：配方法化顶点式求解
将抛物线解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}x^2+3x -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-6x) -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-6x+9-9) -a\\&=-\dfrac{1}{2}(x-3)^2 + \dfrac{9}{2} -a\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(3,\dfrac{9}{2}-a)$，因为顶点在x轴上，所以纵坐标为0，即$\dfrac{9}{2}-a=0$，解得$a=\dfrac{9}{2}$。
【答案】
$\dfrac{9}{2}$
【知识点】
二次函数顶点性质、判别式的应用、配方法
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题关键是掌握顶点在x轴上的坐标特征，两种解题方法均为二次函数的核心基础技能，熟练掌握后可以快速解决同类求参数的问题。
【难度系数】
0.8
10 二次函数$y=x^2+bx+c$的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到$y=x^2-2x+1$的图像，则$b+c=$
0
。答案
10 0
解析
【分析】
本题可通过逆用二次函数图像的平移规律求解：已知原函数经平移后得到目标函数，我们可以将目标函数反向平移（先向下平移3个单位，再向右平移2个单位）得到原二次函数的解析式，再整理为一般式对应系数求出b、c的值，最后计算b+c即可。解题核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，注意反向平移时操作方向相反。
【解析】
首先将平移后得到的函数整理为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据平移的可逆性，将该函数先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，即可得到原二次函数：
1. 向下平移3个单位：$y=(x-1)^2 - 3$
2. 向右平移2个单位（自变量减2）：$y=(x-1-2)^2 - 3=(x-3)^2 -3$
展开整理为一般式：
$y=(x^2-6x+9)-3=x^2-6x+6$
对比原二次函数$y=x^2+bx+c$，可得$b=-6$，$c=6$
因此$b+c=-6+6=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数解析式；代数式求值
【点评】
本题考查二次函数图像平移规律的应用，采用逆向平移的思路解题更简便，易错点是容易混淆平移时自变量的加减方向，牢记“左加右减针对自变量x，上加下减针对函数整体”即可避免出错。
【难度系数】
0.7
本题可通过逆用二次函数图像的平移规律求解：已知原函数经平移后得到目标函数，我们可以将目标函数反向平移（先向下平移3个单位，再向右平移2个单位）得到原二次函数的解析式，再整理为一般式对应系数求出b、c的值，最后计算b+c即可。解题核心是掌握“左加右减、上加下减”的平移规则，注意反向平移时操作方向相反。
【解析】
首先将平移后得到的函数整理为顶点式：
$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$
根据平移的可逆性，将该函数先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，即可得到原二次函数：
1. 向下平移3个单位：$y=(x-1)^2 - 3$
2. 向右平移2个单位（自变量减2）：$y=(x-1-2)^2 - 3=(x-3)^2 -3$
展开整理为一般式：
$y=(x^2-6x+9)-3=x^2-6x+6$
对比原二次函数$y=x^2+bx+c$，可得$b=-6$，$c=6$
因此$b+c=-6+6=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数解析式；代数式求值
【点评】
本题考查二次函数图像平移规律的应用，采用逆向平移的思路解题更简便，易错点是容易混淆平移时自变量的加减方向，牢记“左加右减针对自变量x，上加下减针对函数整体”即可避免出错。
【难度系数】
0.7
11 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$且$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，则它的图像顶点在第
一
象限。答案
11 一
解析
【分析】
要判断二次函数顶点所在象限，首先需要回忆二次函数的顶点坐标公式，分别求出顶点横、纵坐标的表达式，再结合题目给出的a、b、c的符号，利用有理数运算的符号法则判断横、纵坐标的正负，最后根据各象限内点的坐标符号特征确定顶点所在象限。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$( -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac-b^2}{4a} )$。
1. 判断横坐标的符号：
已知$a＜0$，$b＞0$，则$2a＜0$，$-b＜0$，两个负数相除结果为正，因此$ -\dfrac{b}{2a} ＞ 0$。
2. 判断纵坐标的符号：
已知$a＜0$，$c＞0$，则$4ac＜0$，又$b^2＞0$，因此分子$4ac - b^2 ＜ 0$；分母$4a＜0$，两个负数相除结果为正，因此$\dfrac{4ac - b^2}{4a} ＞ 0$。
顶点的横、纵坐标均为正数，符合第一象限内点的坐标特征。
【答案】
一
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 象限内点的符号特征
3. 有理数运算符号法则
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用二次函数顶点坐标公式，结合已知参数的符号判断顶点坐标的正负，解题的关键是熟记顶点坐标公式和各象限点的符号特点。
【难度系数】
0.8
要判断二次函数顶点所在象限，首先需要回忆二次函数的顶点坐标公式，分别求出顶点横、纵坐标的表达式，再结合题目给出的a、b、c的符号，利用有理数运算的符号法则判断横、纵坐标的正负，最后根据各象限内点的坐标符号特征确定顶点所在象限。
【解析】
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$( -\dfrac{b}{2a}, \dfrac{4ac-b^2}{4a} )$。
1. 判断横坐标的符号：
已知$a＜0$，$b＞0$，则$2a＜0$，$-b＜0$，两个负数相除结果为正，因此$ -\dfrac{b}{2a} ＞ 0$。
2. 判断纵坐标的符号：
已知$a＜0$，$c＞0$，则$4ac＜0$，又$b^2＞0$，因此分子$4ac - b^2 ＜ 0$；分母$4a＜0$，两个负数相除结果为正，因此$\dfrac{4ac - b^2}{4a} ＞ 0$。
顶点的横、纵坐标均为正数，符合第一象限内点的坐标特征。
【答案】
一
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标公式
2. 象限内点的符号特征
3. 有理数运算符号法则
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用二次函数顶点坐标公式，结合已知参数的符号判断顶点坐标的正负，解题的关键是熟记顶点坐标公式和各象限点的符号特点。
【难度系数】
0.8
数 $y=-x^2 + 2x -7$ 的图像绕顶点旋转 $180°$ 得到新抛物线表达式为
$y=(x - 1)^2 - 6$
。答案
12 $y=(x - 1)^2 - 6$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确抛物线绕顶点旋转180°的变化规律：旋转前后顶点坐标不变，抛物线开口大小不变、开口方向相反（即二次项系数a变为原数的相反数）。解题时首先需要将原二次函数化为顶点式，确定顶点坐标和原二次项系数，再根据规律写出新抛物线的表达式即可。
【解析】
第一步先将原二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x -7\\&=-(x^2 - 2x) -7\\&=-(x^2 -2x +1 -1) -7\\&=-[(x-1)^2 -1] -7\\&=-(x-1)^2 +1 -7\\&=-(x-1)^2 -6\end{aligned}$
可得原抛物线的顶点为$(1, -6)$，二次项系数$a=-1$。
绕顶点旋转180°后，新抛物线顶点仍为$(1,-6)$，二次项系数变为$a'=-(-1)=1$，因此新抛物线的表达式为$y=(x-1)^2 -6$。
【答案】
$y=(x - 1)^2 - 6$
【知识点】
二次函数图像变换；配方法化顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数变换类的基础题型，解题关键是牢记抛物线绕顶点旋转180°的变化特征，掌握配方法将一般式转化为顶点式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确抛物线绕顶点旋转180°的变化规律：旋转前后顶点坐标不变，抛物线开口大小不变、开口方向相反（即二次项系数a变为原数的相反数）。解题时首先需要将原二次函数化为顶点式，确定顶点坐标和原二次项系数，再根据规律写出新抛物线的表达式即可。
【解析】
第一步先将原二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2 + 2x -7\\&=-(x^2 - 2x) -7\\&=-(x^2 -2x +1 -1) -7\\&=-[(x-1)^2 -1] -7\\&=-(x-1)^2 +1 -7\\&=-(x-1)^2 -6\end{aligned}$
可得原抛物线的顶点为$(1, -6)$，二次项系数$a=-1$。
绕顶点旋转180°后，新抛物线顶点仍为$(1,-6)$，二次项系数变为$a'=-(-1)=1$，因此新抛物线的表达式为$y=(x-1)^2 -6$。
【答案】
$y=(x - 1)^2 - 6$
【知识点】
二次函数图像变换；配方法化顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数变换类的基础题型，解题关键是牢记抛物线绕顶点旋转180°的变化特征，掌握配方法将一般式转化为顶点式的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
13 若抛物线$y=(m+2)x^2 -4x +3 -m$有最大值是9，则抛物线的表达式为
$y=-2x^2 -4x +7$
。答案
13 $y=-2x^2 -4x +7$
解析
【分析】
首先，抛物线有最大值说明其开口向下，因此二次项系数小于0，即$m+2＜0$；其次，二次函数的最大值等于顶点的纵坐标，可利用二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$列方程求解$m$的值，注意要舍去不符合二次函数定义和开口方向的解，最后将符合条件的$m$代入原表达式即可得到抛物线解析式。
【解析】
解：
∵抛物线$y=(m+2)x^2 -4x +3 -m$有最大值9，
∴二次项系数$m+2＜0$，即$m＜-2$，且二次函数最大值满足：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=9$
其中$a=m+2$，$b=-4$，$c=3-m$，代入得：
$\frac{4(m+2)(3-m)-(-4)^2}{4(m+2)}=9$
化简分子：
$4(m+2)(3-m)-16=4(-m^2+m+6)-16=-4m^2+4m+8$
等式两边同乘$4(m+2)$（$m+2≠0$）得：
$-4m^2+4m+8=36(m+2)$
两边同除以4后移项整理：
$-m^2+m+2=9m+18$
$m^2+8m+16=0$
即$(m+4)^2=0$，解得$m=-4$。
验证：$m+2=-2＜0$，符合开口向下有最大值的条件。
将$m=-4$代入原表达式得：
$y=(-4+2)x^2-4x+3-(-4)=-2x^2-4x+7$
【答案】
$y=-2x^2 -4x +7$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的定义，解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用二次函数最值的性质列方程求解参数，解题时需先根据最值存在的情况判断二次项系数的符号，求出参数后要验证是否符合二次函数的定义和开口要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
首先，抛物线有最大值说明其开口向下，因此二次项系数小于0，即$m+2＜0$；其次，二次函数的最大值等于顶点的纵坐标，可利用二次函数最值公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$列方程求解$m$的值，注意要舍去不符合二次函数定义和开口方向的解，最后将符合条件的$m$代入原表达式即可得到抛物线解析式。
【解析】
解：
∵抛物线$y=(m+2)x^2 -4x +3 -m$有最大值9，
∴二次项系数$m+2＜0$，即$m＜-2$，且二次函数最大值满足：
$\frac{4ac-b^2}{4a}=9$
其中$a=m+2$，$b=-4$，$c=3-m$，代入得：
$\frac{4(m+2)(3-m)-(-4)^2}{4(m+2)}=9$
化简分子：
$4(m+2)(3-m)-16=4(-m^2+m+6)-16=-4m^2+4m+8$
等式两边同乘$4(m+2)$（$m+2≠0$）得：
$-4m^2+4m+8=36(m+2)$
两边同除以4后移项整理：
$-m^2+m+2=9m+18$
$m^2+8m+16=0$
即$(m+4)^2=0$，解得$m=-4$。
验证：$m+2=-2＜0$，符合开口向下有最大值的条件。
将$m=-4$代入原表达式得：
$y=(-4+2)x^2-4x+3-(-4)=-2x^2-4x+7$
【答案】
$y=-2x^2 -4x +7$
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的定义，解一元二次方程
【点评】
本题核心是利用二次函数最值的性质列方程求解参数，解题时需先根据最值存在的情况判断二次项系数的符号，求出参数后要验证是否符合二次函数的定义和开口要求，避免出现增根。
【难度系数】
0.65
14 已知抛物线$y=x^2 -kx +k +1$在x轴上截得的线段长为1，则k=
5或-1
。答案
14 5 或$-1$
[提示:设抛物线 $y=x^2 -kx +k +1$ 与 $x$ 轴的交点坐标为$(x_1, 0)$ 和$(x_2, 0)$,则$x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $x^2 -kx +k +1=0$ 的两个根。由韦达定理得:$x_1 + x_2 =k$, $x_1 x_2 =k +1$。因为抛物线在 $x$ 轴上截得的线段长为 1,所以 $|x_1 -x_2 |=1$,两边平方得$(x_1 -x_2 )^2=1$。又因为$(x_1 -x_2 )^2=(x_1 +x_2 )^2 -4x_1 x_2$,所以 $k^2 -4(k +1)=1$,$k^2 -4k -5=0$,解得 $k=5$ 或$k=-1$。验证:当 $k=5$ 时,方程为 $x^2 -5x +6=0$,判别式 $\Delta=25 -24=1＞0$;当 $k=-1$ 时,方程为 $x^2 +x=0$,判别式 $\Delta=1 -0=1＞0$,故 $k=5$ 或 $-1$。]
[提示:设抛物线 $y=x^2 -kx +k +1$ 与 $x$ 轴的交点坐标为$(x_1, 0)$ 和$(x_2, 0)$,则$x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $x^2 -kx +k +1=0$ 的两个根。由韦达定理得:$x_1 + x_2 =k$, $x_1 x_2 =k +1$。因为抛物线在 $x$ 轴上截得的线段长为 1,所以 $|x_1 -x_2 |=1$,两边平方得$(x_1 -x_2 )^2=1$。又因为$(x_1 -x_2 )^2=(x_1 +x_2 )^2 -4x_1 x_2$,所以 $k^2 -4(k +1)=1$,$k^2 -4k -5=0$,解得 $k=5$ 或$k=-1$。验证:当 $k=5$ 时,方程为 $x^2 -5x +6=0$,判别式 $\Delta=25 -24=1＞0$;当 $k=-1$ 时,方程为 $x^2 +x=0$,判别式 $\Delta=1 -0=1＞0$,故 $k=5$ 或 $-1$。]
解析
【分析】
解题时首先明确抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实数根，x轴上截得的线段长就是两个根差的绝对值。直接求根计算差值运算量较大，因此考虑用根与系数的关系（韦达定理），结合完全平方公式的变形，将两根差的平方转化为两根和与两根积的表达式，代入数值列方程求解，最后要验证所求参数是否满足方程有两个实数根的条件（即判别式Δ＞0），确保解的有效性。
【解析】
设抛物线$y=x^2 -kx +k +1$与x轴的交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 -kx +k +1=0$的两个实数根。
根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2 = k+1$
已知抛物线在x轴上截得的线段长为1，即$|x_1 - x_2|=1$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 1$
由完全平方公式变形可知：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，将韦达定理的结论代入得：
$k^2 - 4(k+1) = 1$
整理得一元二次方程：$k^2 -4k -5 =0$
因式分解得：$(k-5)(k+1)=0$，解得$k=5$或$k=-1$。
验证判别式：
当$k=5$时，原方程为$x^2 -5x +6=0$，$\Delta=(-5)^2 -4×1×6=25-24=1＞0$，符合题意；
当$k=-1$时，原方程为$x^2 +x=0$，$\Delta=1^2 -4×1×0=1＞0$，符合题意。
【答案】
5或$-1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根与系数的关系；一元二次方程判别式
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础综合题，核心是利用根与系数的关系简化两根差的计算，解题时需注意参数求解后要验证判别式，保证抛物线与x轴确实存在两个交点，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实数根，x轴上截得的线段长就是两个根差的绝对值。直接求根计算差值运算量较大，因此考虑用根与系数的关系（韦达定理），结合完全平方公式的变形，将两根差的平方转化为两根和与两根积的表达式，代入数值列方程求解，最后要验证所求参数是否满足方程有两个实数根的条件（即判别式Δ＞0），确保解的有效性。
【解析】
设抛物线$y=x^2 -kx +k +1$与x轴的交点坐标为$(x_1,0)$、$(x_2,0)$，则$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 -kx +k +1=0$的两个实数根。
根据韦达定理可得：
$x_1 + x_2 = k$，$x_1x_2 = k+1$
已知抛物线在x轴上截得的线段长为1，即$|x_1 - x_2|=1$，两边平方得：
$(x_1 - x_2)^2 = 1$
由完全平方公式变形可知：$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$，将韦达定理的结论代入得：
$k^2 - 4(k+1) = 1$
整理得一元二次方程：$k^2 -4k -5 =0$
因式分解得：$(k-5)(k+1)=0$，解得$k=5$或$k=-1$。
验证判别式：
当$k=5$时，原方程为$x^2 -5x +6=0$，$\Delta=(-5)^2 -4×1×6=25-24=1＞0$，符合题意；
当$k=-1$时，原方程为$x^2 +x=0$，$\Delta=1^2 -4×1×0=1＞0$，符合题意。
【答案】
5或$-1$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；根与系数的关系；一元二次方程判别式
【点评】
本题是二次函数与方程结合的基础综合题，核心是利用根与系数的关系简化两根差的计算，解题时需注意参数求解后要验证判别式，保证抛物线与x轴确实存在两个交点，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
15 已知抛物线$y=x^2+2x-3$的顶点为M，与x轴的交点为A，且A点在x轴的负半轴上，点B为抛物线与y轴的交点，则$△ ABM$的面积为
3
。答案
15 3
解析
【分析】
要计算△ABM的面积，首先需要确定三个顶点A、B、M的坐标：①先求抛物线与x轴的交点A，令y=0解方程，结合A在x轴负半轴的条件确定A的坐标；②再求抛物线与y轴的交点B，令x=0即可得到B的坐标；③然后用配方法求出抛物线顶点M的坐标；最后通过割补法计算三个点构成的三角形面积即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令$y=0$，代入抛物线解析式得：$x^2+2x-3=0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$
∵A在x轴负半轴，
∴A点坐标为$(-3,0)$
2. 求点B的坐标：
令$x=0$，代入抛物线解析式得：$y=0+0-3=-3$
∴B点坐标为$(0,-3)$
3. 求顶点M的坐标：
对抛物线解析式配方：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
∴顶点M的坐标为$(-1,-4)$
4. 计算△ABM的面积：
先求直线AB的解析式：设直线AB为$y=kx+b$，代入A(-3,0)、B(0,-3)
得$\begin{cases}0=-3k+b \\ -3=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=-3\end{cases}$，即直线AB：$y=-x-3$
过M作x轴的垂线，交AB于点N，当$x=-1$时，$y=-(-1)-3=-2$，即$N(-1,-2)$
∴MN的长度为$|-2 - (-4)|=2$
△ABM的面积可拆分为△AMN和△BMN的面积和：
$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}× MN × |-1 - (-3)|=\frac{1}{2}×2×2=2$
$S_{△ BMN}=\frac{1}{2}× MN × |0 - (-1)|=\frac{1}{2}×2×1=1$
∴$S_{△ ABM}=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数交点求解；二次函数顶点坐标；坐标系面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数基础性质与平面图形面积计算，解题核心是准确求出三个顶点的坐标，选用割补法计算不规则三角形面积的思路清晰易懂，能有效降低解题出错率。
【难度系数】
0.7
要计算△ABM的面积，首先需要确定三个顶点A、B、M的坐标：①先求抛物线与x轴的交点A，令y=0解方程，结合A在x轴负半轴的条件确定A的坐标；②再求抛物线与y轴的交点B，令x=0即可得到B的坐标；③然后用配方法求出抛物线顶点M的坐标；最后通过割补法计算三个点构成的三角形面积即可。
【解析】
1. 求点A的坐标：
令$y=0$，代入抛物线解析式得：$x^2+2x-3=0$
因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$
∵A在x轴负半轴，
∴A点坐标为$(-3,0)$
2. 求点B的坐标：
令$x=0$，代入抛物线解析式得：$y=0+0-3=-3$
∴B点坐标为$(0,-3)$
3. 求顶点M的坐标：
对抛物线解析式配方：$y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$
∴顶点M的坐标为$(-1,-4)$
4. 计算△ABM的面积：
先求直线AB的解析式：设直线AB为$y=kx+b$，代入A(-3,0)、B(0,-3)
得$\begin{cases}0=-3k+b \\ -3=b\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=-3\end{cases}$，即直线AB：$y=-x-3$
过M作x轴的垂线，交AB于点N，当$x=-1$时，$y=-(-1)-3=-2$，即$N(-1,-2)$
∴MN的长度为$|-2 - (-4)|=2$
△ABM的面积可拆分为△AMN和△BMN的面积和：
$S_{△ AMN}=\frac{1}{2}× MN × |-1 - (-3)|=\frac{1}{2}×2×2=2$
$S_{△ BMN}=\frac{1}{2}× MN × |0 - (-1)|=\frac{1}{2}×2×1=1$
∴$S_{△ ABM}=2+1=3$
【答案】
3
【知识点】
二次函数交点求解；二次函数顶点坐标；坐标系面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数基础性质与平面图形面积计算，解题核心是准确求出三个顶点的坐标，选用割补法计算不规则三角形面积的思路清晰易懂，能有效降低解题出错率。
【难度系数】
0.7
16 若抛物线$y=x^2+x+m-2$的顶点在第二象限，则$m$的取值范围是
$m＞\frac{9}{4}$
。答案
16 $m＞\frac{9}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确两个核心要点：一是二次函数顶点坐标的计算公式，二是第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0）。首先代入参数算出抛物线顶点的横坐标，可发现横坐标恒为负，已满足第二象限横坐标的要求，因此只需令顶点纵坐标大于0，解对应的一元一次不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
在抛物线$y=x^2+x+m-2$中，$a=1$，$b=1$，$c=m-2$：
1. 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}＜0$，满足第二象限横坐标为负的要求；
2. 计算顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(m-2)-1^2}{4×1}=\frac{4m-9}{4}$；
3. 因为顶点在第二象限，所以纵坐标需大于0，列不等式：
$\frac{4m-9}{4}＞0$
两边同乘4得：$4m-9＞0$
解得：$m＞\frac{9}{4}$
【答案】
$m＞\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数顶点坐标，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题结合二次函数性质与平面直角坐标系象限特征考察不等式的应用，解题时可先验证横坐标是否符合要求，能简化计算步骤，核心是熟练掌握二次函数顶点坐标公式。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确两个核心要点：一是二次函数顶点坐标的计算公式，二是第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0）。首先代入参数算出抛物线顶点的横坐标，可发现横坐标恒为负，已满足第二象限横坐标的要求，因此只需令顶点纵坐标大于0，解对应的一元一次不等式即可求出m的取值范围。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c\ (a≠0)$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。
在抛物线$y=x^2+x+m-2$中，$a=1$，$b=1$，$c=m-2$：
1. 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2×1}=-\frac{1}{2}＜0$，满足第二象限横坐标为负的要求；
2. 计算顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×1×(m-2)-1^2}{4×1}=\frac{4m-9}{4}$；
3. 因为顶点在第二象限，所以纵坐标需大于0，列不等式：
$\frac{4m-9}{4}＞0$
两边同乘4得：$4m-9＞0$
解得：$m＞\frac{9}{4}$
【答案】
$m＞\frac{9}{4}$
【知识点】
二次函数顶点坐标，象限内点的坐标特征，解一元一次不等式
【点评】
本题结合二次函数性质与平面直角坐标系象限特征考察不等式的应用，解题时可先验证横坐标是否符合要求，能简化计算步骤，核心是熟练掌握二次函数顶点坐标公式。
【难度系数】
0.7
17 甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（米）与其距地面高度h（米）之间的表达式h = -$\frac{1}{12}$s² + $\frac{2}{3}$s + $\frac{3}{2}$。如图，已知球网AB距原点5米，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为$\frac{9}{4}$米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是
$5＜m＜4+\sqrt{7}$
。答案
17 $5＜m＜4+\sqrt{7}$
[提示:先求乙恰好扣中的情况,当 $h=\frac{9}{4}$ 时,$-\frac{1}{12}m^2 +\frac{2}{3}m +\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$,解得 $m_1=4+\sqrt{7}$,$m_2=4-\sqrt{7}$,扣球点必须在球网右边,所以 $m＞5$,所以 $m=4+\sqrt{7}$,由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,所以 $5＜m＜4+\sqrt{7}$。]
[提示:先求乙恰好扣中的情况,当 $h=\frac{9}{4}$ 时,$-\frac{1}{12}m^2 +\frac{2}{3}m +\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$,解得 $m_1=4+\sqrt{7}$,$m_2=4-\sqrt{7}$,扣球点必须在球网右边,所以 $m＞5$,所以 $m=4+\sqrt{7}$,由于乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,所以 $5＜m＜4+\sqrt{7}$。]
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“接球失败”的含义：当乙起跳点横坐标为m时，对应位置羽毛球的高度h大于乙扣球的最大高度$\frac{9}{4}$米，同时乙必须站在球网右侧，即m＞5。我们可以先求出h=$\frac{9}{4}$时对应的s（即m）的值，再结合开口向下的二次函数的图像性质，找到h＞$\frac{9}{4}$时s的范围，最后结合m＞5的限制即可得到结果。
【解析】
根据题意，当乙恰好能扣到球时，羽毛球高度$h=\frac{9}{4}$，将其代入高度表达式：
$-\frac{1}{12}m^2 + \frac{2}{3}m + \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$-m^2 + 8m + 18 = 27$
整理为一元二次方程的标准形式：
$m^2 -8m +9=0$
用求根公式解得：
$m=\frac{8\pm\sqrt{64-36}}{2}=4\pm\sqrt{7}$
即$m_1=4+\sqrt{7}$，$m_2=4-\sqrt{7}$。
由于二次函数$h = -\frac{1}{12}s^2 + \frac{2}{3}s + \frac{3}{2}$的二次项系数为负，图像开口向下，因此当$h＞\frac{9}{4}$时，s的取值范围为$4-\sqrt{7}＜s＜4+\sqrt{7}$。
又因为乙需在球网右侧扣球，球网横坐标为5，即$m＞5$，而$4-\sqrt{7}\approx1.35＜5$，不符合实际要求，故舍去。
因此m的取值范围是$5＜m＜4+\sqrt{7}$。
【答案】
$5＜m＜4+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数图像性质
【点评】
本题结合体育运动场景考查函数的实际应用，解题时需要先将实际条件转化为数学中的方程和不等式问题，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确“接球失败”的含义：当乙起跳点横坐标为m时，对应位置羽毛球的高度h大于乙扣球的最大高度$\frac{9}{4}$米，同时乙必须站在球网右侧，即m＞5。我们可以先求出h=$\frac{9}{4}$时对应的s（即m）的值，再结合开口向下的二次函数的图像性质，找到h＞$\frac{9}{4}$时s的范围，最后结合m＞5的限制即可得到结果。
【解析】
根据题意，当乙恰好能扣到球时，羽毛球高度$h=\frac{9}{4}$，将其代入高度表达式：
$-\frac{1}{12}m^2 + \frac{2}{3}m + \frac{3}{2}=\frac{9}{4}$
方程两边同时乘12消去分母，得：
$-m^2 + 8m + 18 = 27$
整理为一元二次方程的标准形式：
$m^2 -8m +9=0$
用求根公式解得：
$m=\frac{8\pm\sqrt{64-36}}{2}=4\pm\sqrt{7}$
即$m_1=4+\sqrt{7}$，$m_2=4-\sqrt{7}$。
由于二次函数$h = -\frac{1}{12}s^2 + \frac{2}{3}s + \frac{3}{2}$的二次项系数为负，图像开口向下，因此当$h＞\frac{9}{4}$时，s的取值范围为$4-\sqrt{7}＜s＜4+\sqrt{7}$。
又因为乙需在球网右侧扣球，球网横坐标为5，即$m＞5$，而$4-\sqrt{7}\approx1.35＜5$，不符合实际要求，故舍去。
因此m的取值范围是$5＜m＜4+\sqrt{7}$。
【答案】
$5＜m＜4+\sqrt{7}$
【知识点】
二次函数的应用，解一元二次方程，二次函数图像性质
【点评】
本题结合体育运动场景考查函数的实际应用，解题时需要先将实际条件转化为数学中的方程和不等式问题，同时要注意结合实际意义对解进行取舍，避免忽略限制条件导致错误。
【难度系数】
0.6
⑱ 若抛物线$y=ax^2 + 2x + c$与x轴交点都在原点的右侧，点M(a,c)在第
三
象限。答案
18 三
[提示:设 $x_1$、$x_2$ 为方程 $ax^2 + 2x + c=0$ 的根,则由根与系数关系可知,$x_1 + x_2 =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{a}$,$x_1 · x_2 =\frac{c}{a}$。因为函数与 $x$ 轴的交点都在原点的右侧,所以 $x_1 + x_2 ＞0$,$x_1 x_2 ＞0$,所以 $a＜0$,$c＜0$,所以点 $M(a,c)$ 在第三象限。]
[提示:设 $x_1$、$x_2$ 为方程 $ax^2 + 2x + c=0$ 的根,则由根与系数关系可知,$x_1 + x_2 =-\frac{b}{a}=-\frac{2}{a}$,$x_1 · x_2 =\frac{c}{a}$。因为函数与 $x$ 轴的交点都在原点的右侧,所以 $x_1 + x_2 ＞0$,$x_1 x_2 ＞0$,所以 $a＜0$,$c＜0$,所以点 $M(a,c)$ 在第三象限。]
解析
【分析】
解题时首先要明确：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实根，交点都在原点右侧说明两个根都是正数。接下来利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和、两根之积的表达式，结合两根均为正的性质推导a和c的正负性，最后根据横纵坐标的符号判断点M所在的象限即可。
【解析】
解：设$x_1$、$x_2$为方程$ax^2 + 2x + c=0$的两个实数根，即抛物线$y=ax^2 + 2x + c$与x轴交点的横坐标。
∵ 抛物线与x轴的交点都在原点右侧，
∴ $x_1＞0$，$x_2＞0$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{a}$，$x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$，
∵ 两个正数的和、乘积均为正数，
∴ $x_1 + x_2 = -\frac{2}{a} ＞ 0$，解得$a ＜ 0$，
又
∵ $x_1 · x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$，且已得$a ＜ 0$，
∴ $c ＜ 0$，
∴ 点M(a,c)的横、纵坐标均为负数，因此点M在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 点的坐标与象限的关系
【点评】
本题综合考察二次函数图象性质与一元二次方程根的性质，解题核心是将抛物线与x轴的交点位置转化为对应方程根的符号问题，再通过韦达定理推导参数符号，解题时要注意牢记韦达定理的公式符号，避免符号判断出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确：抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实根，交点都在原点右侧说明两个根都是正数。接下来利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和、两根之积的表达式，结合两根均为正的性质推导a和c的正负性，最后根据横纵坐标的符号判断点M所在的象限即可。
【解析】
解：设$x_1$、$x_2$为方程$ax^2 + 2x + c=0$的两个实数根，即抛物线$y=ax^2 + 2x + c$与x轴交点的横坐标。
∵ 抛物线与x轴的交点都在原点右侧，
∴ $x_1＞0$，$x_2＞0$，
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{a}$，$x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$，
∵ 两个正数的和、乘积均为正数，
∴ $x_1 + x_2 = -\frac{2}{a} ＞ 0$，解得$a ＜ 0$，
又
∵ $x_1 · x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$，且已得$a ＜ 0$，
∴ $c ＜ 0$，
∴ 点M(a,c)的横、纵坐标均为负数，因此点M在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 点的坐标与象限的关系
【点评】
本题综合考察二次函数图象性质与一元二次方程根的性质，解题核心是将抛物线与x轴的交点位置转化为对应方程根的符号问题，再通过韦达定理推导参数符号，解题时要注意牢记韦达定理的公式符号，避免符号判断出错。
【难度系数】
0.7
19 设抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C在直线$x=2$上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数表达式为
$y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$ 或 $y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$
。答案
19 $y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$ 或 $y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$
[提示:由题意知抛物线的对称轴为直线 $x=1$ 或直线 $x=3$。当对称轴为直线 $x=1$ 时,$b=-2a$。因为抛物线经过 $A(0,2)$,$B(4,3)$,所以$\begin{cases}2=c,\\3=16a -8a +c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{8},\\c=2,\end{cases}$所以 $y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$;当对称轴为直线 $x=3$ 时,$b=-6a$。因为抛物线经过 $A(0,2)$,$B(4,3)$,所以$\begin{cases}2=c,\\3=16a -24a +c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{8},\\c=2,\end{cases}$所以$y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$。所以抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$ 或 $y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$。]
[提示:由题意知抛物线的对称轴为直线 $x=1$ 或直线 $x=3$。当对称轴为直线 $x=1$ 时,$b=-2a$。因为抛物线经过 $A(0,2)$,$B(4,3)$,所以$\begin{cases}2=c,\\3=16a -8a +c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=\frac{1}{8},\\c=2,\end{cases}$所以 $y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$;当对称轴为直线 $x=3$ 时,$b=-6a$。因为抛物线经过 $A(0,2)$,$B(4,3)$,所以$\begin{cases}2=c,\\3=16a -24a +c,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{8},\\c=2,\end{cases}$所以$y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$。所以抛物线的函数表达式为 $y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$ 或 $y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$。]
解析
【分析】
解题时先从已知点A的坐标入手，可直接求出常数项c的值；再根据点C的位置及到对称轴的距离，确定抛物线对称轴有两种可能（x=1或x=3）；接着利用对称轴公式得到a与b的数量关系，最后将点B的坐标代入解析式，分两种情况求解a、b的值，即可得到抛物线的函数表达式，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵抛物线过点A(0,2)，将x=0，y=2代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=2$。
∵点C在直线$x=2$上，且到抛物线对称轴的距离为1，
∴抛物线的对称轴为直线$x=2-1=1$或直线$x=2+1=3$，分两种情况讨论：
① 当对称轴为直线$x=1$时，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
此时抛物线解析式为$y=ax^2-2ax+2$，
将B(4,3)代入得：$3=16a - 8a + 2$，
解得$a=\frac{1}{8}$，则$b=-2×\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$；
② 当对称轴为直线$x=3$时，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=3$，得$b=-6a$，
此时抛物线解析式为$y=ax^2-6ax+2$，
将B(4,3)代入得：$3=16a - 24a + 2$，
解得$a=-\frac{1}{8}$，则$b=-6×(-\frac{1}{8})=\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$。
【答案】
$y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$ 或 $y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数对称轴性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据点到对称轴的距离确定对称轴的两种可能位置，易错点是容易忽略其中一种情况导致漏解，能有效考查逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知点A的坐标入手，可直接求出常数项c的值；再根据点C的位置及到对称轴的距离，确定抛物线对称轴有两种可能（x=1或x=3）；接着利用对称轴公式得到a与b的数量关系，最后将点B的坐标代入解析式，分两种情况求解a、b的值，即可得到抛物线的函数表达式，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵抛物线过点A(0,2)，将x=0，y=2代入$y=ax^2+bx+c$，得$c=2$。
∵点C在直线$x=2$上，且到抛物线对称轴的距离为1，
∴抛物线的对称轴为直线$x=2-1=1$或直线$x=2+1=3$，分两种情况讨论：
① 当对称轴为直线$x=1$时，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，得$b=-2a$，
此时抛物线解析式为$y=ax^2-2ax+2$，
将B(4,3)代入得：$3=16a - 8a + 2$，
解得$a=\frac{1}{8}$，则$b=-2×\frac{1}{8}=-\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为$y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$；
② 当对称轴为直线$x=3$时，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=3$，得$b=-6a$，
此时抛物线解析式为$y=ax^2-6ax+2$，
将B(4,3)代入得：$3=16a - 24a + 2$，
解得$a=-\frac{1}{8}$，则$b=-6×(-\frac{1}{8})=\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为$y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$。
【答案】
$y=\frac{1}{8}x^2 -\frac{1}{4}x +2$ 或 $y=-\frac{1}{8}x^2 +\frac{3}{4}x +2$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数对称轴性质，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据点到对称轴的距离确定对称轴的两种可能位置，易错点是容易忽略其中一种情况导致漏解，能有效考查逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
20 抛物线$y=ax^2+bx+c$与$x$轴交于$A$、$B$两点，点$Q(3,k)$是该抛物线上一点，且$AQ ⊥ BQ$，则$ak$的值是
-1
。答案
20 -1
[提示:设 $A$、$B$ 坐标分别为$(x_1,0)$,$(x_2,0)$,且 $x_2 ＞ x_1$。如图,过点 $Q$ 作 $x$ 轴的平行线,过点 $A$、$B$ 分别作这条直线的垂线,垂足分别为点 $M$、$N$,则可证 $△ AMQ ∽ △ QNB$,所以 $\frac{AM}{MQ}=\frac{QN}{NB}$,所以 $\frac{-k}{3 - x_1}=\frac{x_2 - 3}{-k}$,所以 $k^2=(x_2 - 3)(3 - x_1)=3(x_1 + x_2)-9 - x_1 x_2$。因为 $x_1 + x_2=-\frac{b}{a}$,$x_1 x_2=\frac{c}{a}$,所以 $-\frac{3b}{a}-9-\frac{c}{a}=k^2$,所以 $\frac{-3b -9a -c}{a}=k^2$,所以 $-ak^2=9a + 3b + c$,又点 $Q(3,k)$ 在抛物线上,所以 $9a + 3b + c=k$。所以 $k=-ak^2$,所以 $ak=-1$。]
解析
【分析】
遇到抛物线上两点与另一点连线垂直的问题，可先构造相似三角形转化垂直条件：过点Q作x轴的平行线，过A、B分别作该平行线的垂线，得到两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例得到关于A、B横坐标和k的关系式；再结合抛物线与x轴交点的根与系数关系，以及点Q在抛物线上满足解析式的条件，联立消去参数b、c，即可求出ak的值。
【解析】
设抛物线与x轴交点A的坐标为$(x_1,0)$，B的坐标为$(x_2,0)$（$x_2＞x_1$）。
过点Q作平行于x轴的直线MN，过A作$AM⊥ MN$于M，过B作$BN⊥ MN$于N。
$\because AQ⊥ BQ$，$\therefore ∠ AQB=90°$，$\therefore ∠ AQM + ∠ BQN=90°$。
又$\because ∠ AQM + ∠ MAQ=90°$，$\therefore ∠ MAQ=∠ BQN$。
$\because ∠ AMQ=∠ QNB=90°$，$\therefore △ AMQ ∽ △ QNB$。
$\therefore \frac{AM}{MQ}=\frac{QN}{NB}$。
由图可知Q在x轴下方，$k＜0$，因此边长$AM=NB=-k$，$MQ=3-x_1$，$QN=x_2-3$，代入比例式得：
$\frac{-k}{3-x_1}=\frac{x_2-3}{-k}$，整理得$k^2=(x_2-3)(3-x_1)$。
展开右侧得：$k^2=3(x_1+x_2)-x_1x_2-9$。
$\because x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个根，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入上式：
$k^2=3·(-\frac{b}{a})-\frac{c}{a}-9=\frac{-3b-c-9a}{a}$，
两边同乘a得：$ak^2=-3b-c-9a$，即$9a+3b+c=-ak^2$ ①。
$\because Q(3,k)$在抛物线上，代入$y=ax^2+bx+c$得：
$9a+3b+c=k$ ②。
联立①②得：$k=-ak^2$，
$\because k≠0$（若$k=0$，则Q在x轴上，与A或B重合，无法满足$AQ⊥ BQ$），
$\therefore$两边同除以k得：$1=-ak$，即$ak=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数综合题，通过构造相似三角形将垂直关系转化为边长比例关系，再结合二次函数与一元二次方程的关联、点在函数图象上的坐标特征进行代数代换，最终消去多余参数得到结果，侧重考查转化思想和综合运算能力。
【难度系数】
0.3
遇到抛物线上两点与另一点连线垂直的问题，可先构造相似三角形转化垂直条件：过点Q作x轴的平行线，过A、B分别作该平行线的垂线，得到两个相似的直角三角形，利用相似三角形对应边成比例得到关于A、B横坐标和k的关系式；再结合抛物线与x轴交点的根与系数关系，以及点Q在抛物线上满足解析式的条件，联立消去参数b、c，即可求出ak的值。
【解析】
设抛物线与x轴交点A的坐标为$(x_1,0)$，B的坐标为$(x_2,0)$（$x_2＞x_1$）。
过点Q作平行于x轴的直线MN，过A作$AM⊥ MN$于M，过B作$BN⊥ MN$于N。
$\because AQ⊥ BQ$，$\therefore ∠ AQB=90°$，$\therefore ∠ AQM + ∠ BQN=90°$。
又$\because ∠ AQM + ∠ MAQ=90°$，$\therefore ∠ MAQ=∠ BQN$。
$\because ∠ AMQ=∠ QNB=90°$，$\therefore △ AMQ ∽ △ QNB$。
$\therefore \frac{AM}{MQ}=\frac{QN}{NB}$。
由图可知Q在x轴下方，$k＜0$，因此边长$AM=NB=-k$，$MQ=3-x_1$，$QN=x_2-3$，代入比例式得：
$\frac{-k}{3-x_1}=\frac{x_2-3}{-k}$，整理得$k^2=(x_2-3)(3-x_1)$。
展开右侧得：$k^2=3(x_1+x_2)-x_1x_2-9$。
$\because x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个根，由根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入上式：
$k^2=3·(-\frac{b}{a})-\frac{c}{a}-9=\frac{-3b-c-9a}{a}$，
两边同乘a得：$ak^2=-3b-c-9a$，即$9a+3b+c=-ak^2$ ①。
$\because Q(3,k)$在抛物线上，代入$y=ax^2+bx+c$得：
$9a+3b+c=k$ ②。
联立①②得：$k=-ak^2$，
$\because k≠0$（若$k=0$，则Q在x轴上，与A或B重合，无法满足$AQ⊥ BQ$），
$\therefore$两边同除以k得：$1=-ak$，即$ak=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数综合题，通过构造相似三角形将垂直关系转化为边长比例关系，再结合二次函数与一元二次方程的关联、点在函数图象上的坐标特征进行代数代换，最终消去多余参数得到结果，侧重考查转化思想和综合运算能力。
【难度系数】
0.3
21 试求二次函数 $ y = x^2 + ax + a - 2 $ 的图像与x轴两交点间的最短距离。
答案
21 因为 $\Delta=a^2 -4(a -2)=(a -2)^2 +4＞0$,所以二次函数 $y=x^2 +ax +a -2$ 的图像与 $x$ 轴恒有两交点 $A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$,则 $x_1$、$x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 +ax +a -2=0$ 的两个根。由一元二次方程根与系数的关系,得 $x_1 + x_2=-a$,$x_1 x_2=a -2$,所以 $|x_1 -x_2 |^2=(x_1 +x_2 )^2 -4x_1 x_2=(-a)^2 -4(a -2)=a^2 -4a +8=(a -2)^2 +4≥4$,当且仅当 $a=2$ 时等号成立,所以 $|x_1 -x_2 |$ 的最小值为 2,即二次函数 $y=x^2 +ax +a -2$ 的图像与 $x$ 轴的两交点间的最短距离是 2。
解析
【分析】
要解决二次函数图像与x轴两交点间的最短距离问题，第一步先通过判别式判断二次函数与x轴是否恒有两个交点，确认交点存在后，两交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个根，两点间距离即为两根差的绝对值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系，将两根差的绝对值转化为含参数a的表达式；第三步通过配方求该表达式的最小值，即可得到两交点的最短距离。
【解析】
先计算判别式：$\Delta=a^2 -4(a -2)=(a -2)^2 +4＞0$，因此二次函数$y=x^2 +ax +a -2$的图像与x轴恒有两交点，设交点为$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$，则$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 +ax +a -2=0$的两个实数根。
由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2=-a$，$x_1 x_2=a -2$。
两交点距离为$|x_1-x_2|$，对其平方变形得：
$|x_1 -x_2 |^2=(x_1 +x_2 )^2 -4x_1 x_2$
代入根与系数的结果：
$=(-a)^2 -4(a -2)=a^2 -4a +8=(a -2)^2 +4$
因为$(a-2)^2≥0$，所以$(a -2)^2 +4≥4$，当且仅当$a=2$时等号成立。
因此$|x_1 -x_2|≥\sqrt{4}=2$，即$|x_1 -x_2|$的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次函数交点判别；根与系数的关系；二次函数最值
【点评】
本题综合考察二次函数与一元二次方程的关联，解题核心是将交点距离问题转化为方程根的差的绝对值问题，再通过配方求最值，熟练掌握根与系数关系和配方技巧即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
要解决二次函数图像与x轴两交点间的最短距离问题，第一步先通过判别式判断二次函数与x轴是否恒有两个交点，确认交点存在后，两交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个根，两点间距离即为两根差的绝对值；第二步利用一元二次方程根与系数的关系，将两根差的绝对值转化为含参数a的表达式；第三步通过配方求该表达式的最小值，即可得到两交点的最短距离。
【解析】
先计算判别式：$\Delta=a^2 -4(a -2)=(a -2)^2 +4＞0$，因此二次函数$y=x^2 +ax +a -2$的图像与x轴恒有两交点，设交点为$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$，则$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 +ax +a -2=0$的两个实数根。
由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2=-a$，$x_1 x_2=a -2$。
两交点距离为$|x_1-x_2|$，对其平方变形得：
$|x_1 -x_2 |^2=(x_1 +x_2 )^2 -4x_1 x_2$
代入根与系数的结果：
$=(-a)^2 -4(a -2)=a^2 -4a +8=(a -2)^2 +4$
因为$(a-2)^2≥0$，所以$(a -2)^2 +4≥4$，当且仅当$a=2$时等号成立。
因此$|x_1 -x_2|≥\sqrt{4}=2$，即$|x_1 -x_2|$的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
二次函数交点判别；根与系数的关系；二次函数最值
【点评】
本题综合考察二次函数与一元二次方程的关联，解题核心是将交点距离问题转化为方程根的差的绝对值问题，再通过配方求最值，熟练掌握根与系数关系和配方技巧即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
