登录
13 已知抛物线$y=a(x-4)^2 -3$的部分图像如图所示，则图像与x轴的另一个交点的坐标是
↑y
$(7,0)$
。↑y
答案
$(7,0)$
解析
【分析】
解题时先从给定的抛物线顶点式入手，首先回忆顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2+k$的二次函数，对称轴为直线$x=h$，可先求出该抛物线的对称轴；再利用二次函数图像的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个交点到对称轴的水平距离相等。结合图像给出的其中一个交点坐标，就能计算出另一个交点的坐标。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=a(x-4)^2-3$，属于二次函数的顶点式，可得该抛物线的对称轴为直线$x=4$。
二次函数图像为轴对称图形，因此抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=4$对称，即两个交点横坐标的平均数等于对称轴对应的横坐标。
由题中图像可知，抛物线与x轴的其中一个交点为$(1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，则：
$\frac{1+x}{2}=4$
解得$x=7$
因此图像与x轴的另一个交点坐标为$(7,0)$。
【答案】
$(7,0)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，不需要代入解析式复杂计算，只要熟练掌握顶点式中对称轴的求法、二次函数的轴对称性就能快速求解，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从给定的抛物线顶点式入手，首先回忆顶点式的性质：形如$y=a(x-h)^2+k$的二次函数，对称轴为直线$x=h$，可先求出该抛物线的对称轴；再利用二次函数图像的轴对称性，抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，即两个交点到对称轴的水平距离相等。结合图像给出的其中一个交点坐标，就能计算出另一个交点的坐标。
【解析】
解：已知抛物线解析式为$y=a(x-4)^2-3$，属于二次函数的顶点式，可得该抛物线的对称轴为直线$x=4$。
二次函数图像为轴对称图形，因此抛物线与x轴的两个交点关于对称轴$x=4$对称，即两个交点横坐标的平均数等于对称轴对应的横坐标。
由题中图像可知，抛物线与x轴的其中一个交点为$(1,0)$，设另一个交点的横坐标为$x$，则：
$\frac{1+x}{2}=4$
解得$x=7$
因此图像与x轴的另一个交点坐标为$(7,0)$。
【答案】
$(7,0)$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数的对称性；二次函数与x轴交点
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，不需要代入解析式复杂计算，只要熟练掌握顶点式中对称轴的求法、二次函数的轴对称性就能快速求解，是二次函数章节的常考题型。
【难度系数】
0.8
14 若抛物线$y=-4x^2+16x-15$的顶点为A，与x轴的交点为B、C，
则$△ ABC$的面积是________。
则$△ ABC$的面积是________。
答案
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，首先明确三角形的底为抛物线与x轴两个交点B、C之间的距离，高为顶点A到x轴的垂直距离（即顶点A纵坐标的绝对值）。解题思路分三步：第一步求顶点A的坐标，得到三角形的高；第二步求抛物线与x轴的两个交点坐标，得到底BC的长度；第三步代入三角形面积公式计算结果即可。
【解析】
1. 求顶点A的坐标：
对抛物线解析式配方：
$y=-4x^2+16x-15=-4(x^2-4x)-15=-4(x^2-4x+4-4)-15=-4(x-2)^2+1$
可得顶点A的坐标为$(2,1)$，即△ABC的高为$1$。
2. 求抛物线与x轴的交点B、C：
令$y=0$，得方程$-4x^2+16x-15=0$，整理为$4x^2-16x+15=0$
用求根公式解得：
$x=\frac{16\pm\sqrt{16^2-4×4×15}}{2×4}=\frac{16\pm4}{8}$
即$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$
则B、C两点坐标为$(\frac{3}{2},0)$、$(\frac{5}{2},0)$，BC的长度为$\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
3. 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的图像性质，抛物线与坐标轴的交点，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题目，解题核心是将三角形的底和高转化为抛物线对应的特征量，只要熟练掌握抛物线顶点坐标、与x轴交点的求解方法，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.8
要计算△ABC的面积，首先明确三角形的底为抛物线与x轴两个交点B、C之间的距离，高为顶点A到x轴的垂直距离（即顶点A纵坐标的绝对值）。解题思路分三步：第一步求顶点A的坐标，得到三角形的高；第二步求抛物线与x轴的两个交点坐标，得到底BC的长度；第三步代入三角形面积公式计算结果即可。
【解析】
1. 求顶点A的坐标：
对抛物线解析式配方：
$y=-4x^2+16x-15=-4(x^2-4x)-15=-4(x^2-4x+4-4)-15=-4(x-2)^2+1$
可得顶点A的坐标为$(2,1)$，即△ABC的高为$1$。
2. 求抛物线与x轴的交点B、C：
令$y=0$，得方程$-4x^2+16x-15=0$，整理为$4x^2-16x+15=0$
用求根公式解得：
$x=\frac{16\pm\sqrt{16^2-4×4×15}}{2×4}=\frac{16\pm4}{8}$
即$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{5}{2}$
则B、C两点坐标为$(\frac{3}{2},0)$、$(\frac{5}{2},0)$，BC的长度为$\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
3. 计算△ABC的面积：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的图像性质，抛物线与坐标轴的交点，三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题目，解题核心是将三角形的底和高转化为抛物线对应的特征量，只要熟练掌握抛物线顶点坐标、与x轴交点的求解方法，就能快速算出结果。
【难度系数】
0.8
15 若点A(-1，$y_1$)和点B(m，$y_2$)在抛物线$y=x^2+4x+1$上，且$y_1＜y_2$，则m的取值范围是
$m＜-3$或$m＞-1$
。第13题图答案
$m＜-3$或$m＞-1$
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：①利用二次函数性质求解：首先确定抛物线的开口方向与对称轴，找到点A关于对称轴的对称点，再结合开口向上的抛物线“离对称轴越远，函数值越大”的性质，列不等式求解m的范围；②代入坐标列不等式求解：先求出y₁的具体值，再根据y₂＞y₁列出关于m的一元二次不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
1. 确定抛物线基本性质：在抛物线$y=x^2+4x+1$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$。
2. 找对称点：点$A(-1,y_1)$到对称轴$x=-2$的距离为$|-1-(-2)|=1$，其关于对称轴的对称点为$(-3,y_1)$，即当$x=-3$时，函数值也为$y_1$。
3. 列不等式：因为开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，已知$y_2＞y_1$，因此点$B(m,y_2)$到对称轴的距离大于1，即$|m - (-2)|＞1$。
4. 解绝对值不等式：
当$m+2＞1$时，解得$m＞-1$；
当$m+2＜-1$时，解得$m＜-3$。
因此$m$的取值范围是$m＜-3$或$m＞-1$。
方法二：代入坐标求解
1. 计算$y_1$的值：将$x=-1$代入抛物线解析式，得$y_1=(-1)^2 + 4×(-1) +1 = -2$。
2. 列不等式：将$x=m$代入得$y_2=m^2 +4m +1$，由$y_2＞y_1$得$m^2 +4m +1 ＞ -2$，整理得$m^2 +4m +3＞0$。
3. 解一元二次不等式：因式分解得$(m+1)(m+3)＞0$，根据“同号得正”分两种情况：
$\begin{cases}m+1＞0 \\ m+3＞0\end{cases}$，解得$m＞-1$；
$\begin{cases}m+1＜0 \\ m+3＜0\end{cases}$，解得$m＜-3$。
综上，$m$的取值范围是$m＜-3$或$m＞-1$。
【答案】
$m＜-3$或$m＞-1$
【知识点】
1. 二次函数的图像性质
2. 二次函数的对称性
3. 一元二次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用考题，两种解题方法均贴合核心考点，利用二次函数对称性和增减性的方法计算量更小，解题时需注意结合抛物线开口方向判断函数值与横坐标的关系，避免解不等式时出现范围颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
解题可从两种思路入手：①利用二次函数性质求解：首先确定抛物线的开口方向与对称轴，找到点A关于对称轴的对称点，再结合开口向上的抛物线“离对称轴越远，函数值越大”的性质，列不等式求解m的范围；②代入坐标列不等式求解：先求出y₁的具体值，再根据y₂＞y₁列出关于m的一元二次不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】
方法一：利用二次函数性质求解
1. 确定抛物线基本性质：在抛物线$y=x^2+4x+1$中，$a=1＞0$，因此抛物线开口向上；对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2×1}=-2$。
2. 找对称点：点$A(-1,y_1)$到对称轴$x=-2$的距离为$|-1-(-2)|=1$，其关于对称轴的对称点为$(-3,y_1)$，即当$x=-3$时，函数值也为$y_1$。
3. 列不等式：因为开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，已知$y_2＞y_1$，因此点$B(m,y_2)$到对称轴的距离大于1，即$|m - (-2)|＞1$。
4. 解绝对值不等式：
当$m+2＞1$时，解得$m＞-1$；
当$m+2＜-1$时，解得$m＜-3$。
因此$m$的取值范围是$m＜-3$或$m＞-1$。
方法二：代入坐标求解
1. 计算$y_1$的值：将$x=-1$代入抛物线解析式，得$y_1=(-1)^2 + 4×(-1) +1 = -2$。
2. 列不等式：将$x=m$代入得$y_2=m^2 +4m +1$，由$y_2＞y_1$得$m^2 +4m +1 ＞ -2$，整理得$m^2 +4m +3＞0$。
3. 解一元二次不等式：因式分解得$(m+1)(m+3)＞0$，根据“同号得正”分两种情况：
$\begin{cases}m+1＞0 \\ m+3＞0\end{cases}$，解得$m＞-1$；
$\begin{cases}m+1＜0 \\ m+3＜0\end{cases}$，解得$m＜-3$。
综上，$m$的取值范围是$m＜-3$或$m＞-1$。
【答案】
$m＜-3$或$m＞-1$
【知识点】
1. 二次函数的图像性质
2. 二次函数的对称性
3. 一元二次不等式的解法
【点评】
本题是二次函数性质的典型应用考题，两种解题方法均贴合核心考点，利用二次函数对称性和增减性的方法计算量更小，解题时需注意结合抛物线开口方向判断函数值与横坐标的关系，避免解不等式时出现范围颠倒的错误。
【难度系数】
0.7
16 将函数$y=x^2 - 4x + 1$的图像沿y轴翻折所得到的图像对应的函数表达式是
$y=x^2+4x+1$
。答案
$y=x^2+4x+1$
解析
【分析】
要解决函数图像沿y轴翻折求对应解析式的问题，首先需明确翻折前后图像上点的对应规律：沿y轴翻折后，新图像上的任意一点和原图像上的对应点关于y轴对称，即两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。利用这个坐标变换规律，将原函数表达式中的x替换为-x，化简后就能得到翻折后对应的函数表达式。
【解析】
设翻折后所得图像上任意一点的坐标为$(x,y)$，则该点关于y轴的对称点为$(-x,y)$，且该对称点在原函数$y=x^2 - 4x + 1$的图像上。
将原函数中的$x$替换为$-x$代入表达式，得：
$\begin{aligned}y&=(-x)^2 - 4×(-x) + 1\\&=x^2 +4x +1\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+4x+1$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；二次函数图像翻折变换
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题核心是掌握翻折前后对应点的坐标变化规律，只要找准坐标的对应关系代入原解析式化简即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决函数图像沿y轴翻折求对应解析式的问题，首先需明确翻折前后图像上点的对应规律：沿y轴翻折后，新图像上的任意一点和原图像上的对应点关于y轴对称，即两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等。利用这个坐标变换规律，将原函数表达式中的x替换为-x，化简后就能得到翻折后对应的函数表达式。
【解析】
设翻折后所得图像上任意一点的坐标为$(x,y)$，则该点关于y轴的对称点为$(-x,y)$，且该对称点在原函数$y=x^2 - 4x + 1$的图像上。
将原函数中的$x$替换为$-x$代入表达式，得：
$\begin{aligned}y&=(-x)^2 - 4×(-x) + 1\\&=x^2 +4x +1\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+4x+1$
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；二次函数图像翻折变换
【点评】
本题属于二次函数图像变换的基础题型，解题核心是掌握翻折前后对应点的坐标变化规律，只要找准坐标的对应关系代入原解析式化简即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
17 如图，直线$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$与x轴、y轴分别交于A、B两点，两动点D、E分别以1个单位长度/秒和$\sqrt{3}$个单位长度/秒的速度从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止）。过点E作$EG // OA$交抛物线$y=a(x-1)^2+h(a＜0)$于E、G两点，交AB于点F，连接DE、BG。若抛物线的顶点M恰好在BG上且四边形ADEF是菱形，则$a=$
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
，$h=$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
。答案
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ [提示:由题意可设$AD=t$，$BE=\sqrt{3}t$。在直线表达式$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$中，令$x=0$,得$y=\sqrt{3}$;令$y=0$,得$x=1$,所以$A(1,0)$,$B(0,\sqrt{3})$,$OA=1$,$OB=\sqrt{3}$,所以$\tan∠OAB=\sqrt{3}$,所以$∠OAB=60°$,所以$AB=2OA=2$。因为$EG// OA$,所以$∠EFB=∠OAB=60°$,所以$EF=\frac{BE}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=t$。因为$EF// AD$,且$EF=AD=t$,所以四边形ADEF为平行四边形。若$□ ADEF$是菱形,则$DE=AD=t$。由$DE=2OD$,可得$t=2(1-t)$,解得$t=\frac{2}{3}$。此时$BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,则$E(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$,$G(2,\frac{\sqrt{3}}{3})$。设直线BG的表达式为$y=kx+b(k≠0)$,将$(0,\sqrt{3})$,$(2,\frac{\sqrt{3}}{3})$代入得$\begin{cases}2k+b=\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=\sqrt{3},\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3},\\b=\sqrt{3},\end{cases}$当$x=1$时,$y=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,即M点坐标为$(1,\frac{2\sqrt{3}}{3})$,故抛物线为$y=a(x-1)^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。将$(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$代入,得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$,则a、h的值分别为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2\sqrt{3}}{3}$。]
解析
【分析】
解题时首先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，得到线段长度和∠OAB的度数；设运动时间为t，用t表示各动点对应的线段长度，结合平行线性质和菱形判定条件先证明四边形ADEF是平行四边形，再利用菱形邻边相等的性质列方程求出t的值；接着根据抛物线对称轴的对称性得到点G的坐标，求出直线BG的解析式，结合抛物线顶点在BG上得到顶点M的坐标即h的值；最后将点E坐标代入抛物线解析式求出a的值。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：对于直线$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，令$x=0$，得$y=\sqrt{3}$，故$B(0,\sqrt{3})$；令$y=0$，得$x=1$，故$A(1,0)$。因此$OA=1$，$OB=\sqrt{3}$，由勾股定理得$AB=2$，$\tan∠ OAB=\frac{OB}{OA}=\sqrt{3}$，即$∠ OAB=60°$。
2. 设运动时间为t秒，则$AD=t$，$BE=\sqrt{3}t$。因为$EG// OA$，所以$∠ EFB=∠ OAB=60°$，在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$EF=\frac{BE}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=t$，可得$EF// AD$且$EF=AD$，因此四边形ADEF是平行四边形。
3. 若四边形ADEF为菱形，则$DE=AD=t$。点$D$坐标为$(1-t,0)$，点$E$纵坐标为$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，由勾股定理得$DE=\sqrt{(1-t)^2+[\sqrt{3}(1-t)]^2}=2(1-t)$，列方程$t=2(1-t)$，解得$t=\frac{2}{3}$。
4. 求E、G坐标：$t=\frac{2}{3}$时，E的纵坐标为$\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$E(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$。抛物线$y=a(x-1)^2+h$的对称轴为$x=1$，且$EG// x$轴，故E、G关于$x=1$对称，得$G(2,\frac{\sqrt{3}}{3})$。
5. 求直线BG解析式：将$B(0,\sqrt{3})$、$G(2,\frac{\sqrt{3}}{3})$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}b=\sqrt{3}\\2k+b=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\b=\sqrt{3}\end{cases}$，即直线BG解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
6. 求参数a、h：抛物线顶点$M(1,h)$在BG上，将$x=1$代入BG解析式得$h=-\frac{\sqrt{3}}{3}×1+\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故抛物线为$y=a(x-1)^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。将$E(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$代入抛物线解析式得$a+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
菱形的判定与性质；一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题综合了动点问题、一次函数、二次函数与菱形的性质，解题的核心是通过菱形的性质求出运动时间t，再结合抛物线的对称性和点在直线上的坐标特征逐步求解参数，能有效考查数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.4
解题时首先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，得到线段长度和∠OAB的度数；设运动时间为t，用t表示各动点对应的线段长度，结合平行线性质和菱形判定条件先证明四边形ADEF是平行四边形，再利用菱形邻边相等的性质列方程求出t的值；接着根据抛物线对称轴的对称性得到点G的坐标，求出直线BG的解析式，结合抛物线顶点在BG上得到顶点M的坐标即h的值；最后将点E坐标代入抛物线解析式求出a的值。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：对于直线$y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，令$x=0$，得$y=\sqrt{3}$，故$B(0,\sqrt{3})$；令$y=0$，得$x=1$，故$A(1,0)$。因此$OA=1$，$OB=\sqrt{3}$，由勾股定理得$AB=2$，$\tan∠ OAB=\frac{OB}{OA}=\sqrt{3}$，即$∠ OAB=60°$。
2. 设运动时间为t秒，则$AD=t$，$BE=\sqrt{3}t$。因为$EG// OA$，所以$∠ EFB=∠ OAB=60°$，在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，$EF=\frac{BE}{\tan60°}=\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}=t$，可得$EF// AD$且$EF=AD$，因此四边形ADEF是平行四边形。
3. 若四边形ADEF为菱形，则$DE=AD=t$。点$D$坐标为$(1-t,0)$，点$E$纵坐标为$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，由勾股定理得$DE=\sqrt{(1-t)^2+[\sqrt{3}(1-t)]^2}=2(1-t)$，列方程$t=2(1-t)$，解得$t=\frac{2}{3}$。
4. 求E、G坐标：$t=\frac{2}{3}$时，E的纵坐标为$\sqrt{3}-\sqrt{3}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$E(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$。抛物线$y=a(x-1)^2+h$的对称轴为$x=1$，且$EG// x$轴，故E、G关于$x=1$对称，得$G(2,\frac{\sqrt{3}}{3})$。
5. 求直线BG解析式：将$B(0,\sqrt{3})$、$G(2,\frac{\sqrt{3}}{3})$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}b=\sqrt{3}\\2k+b=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-\frac{\sqrt{3}}{3}\\b=\sqrt{3}\end{cases}$，即直线BG解析式为$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{3}$。
6. 求参数a、h：抛物线顶点$M(1,h)$在BG上，将$x=1$代入BG解析式得$h=-\frac{\sqrt{3}}{3}×1+\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故抛物线为$y=a(x-1)^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}$。将$E(0,\frac{\sqrt{3}}{3})$代入抛物线解析式得$a+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
菱形的判定与性质；一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题综合了动点问题、一次函数、二次函数与菱形的性质，解题的核心是通过菱形的性质求出运动时间t，再结合抛物线的对称性和点在直线上的坐标特征逐步求解参数，能有效考查数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.4
18 给出下列命题及函数$y=x$、$y=x^2$和$y=\frac{1}{x}$的图像：
① 如果$\frac{1}{a} ＞ a ＞ a^2$，那么$0 ＜ a ＜ 1$；
② 如果$a^2 ＞ a ＞ \frac{1}{a}$，那么$a ＞ 1$或$-1 ＜ a ＜ 0$；
③ 如果$\frac{1}{a} ＞ a^2 ＞ a$，那么$-1 ＜ a ＜ 0$；
④ 如果$a^2 ＞ \frac{1}{a} ＞ a$，那么$a ＜ -1$。
其中正确的命题是
① 如果$\frac{1}{a} ＞ a ＞ a^2$，那么$0 ＜ a ＜ 1$；
② 如果$a^2 ＞ a ＞ \frac{1}{a}$，那么$a ＞ 1$或$-1 ＜ a ＜ 0$；
③ 如果$\frac{1}{a} ＞ a^2 ＞ a$，那么$-1 ＜ a ＜ 0$；
④ 如果$a^2 ＞ \frac{1}{a} ＞ a$，那么$a ＜ -1$。
其中正确的命题是
①②④
。（填序号）答案
①②④ [提示:如图,在同一个平面直角坐标系中绘制三个函数的图像。当$x＜-1$时,抛物线的图像高于反比例函数的图像,反比例函数的图像高于正比例函数的图像,即④正确;当$-1＜x＜0$和$x＞1$时,抛物线的图像高于正比例函数的图像,正比例函数的图像高于反比例函数的图像,即②正确;当$0＜x＜1$时,反比例函数的图像高于正比例函数的图像,正比例函数的图像高于抛物线的图像,即①正确。]
解析
【分析】
要判断命题是否正确，核心是比较三个函数$y=x$、$y=x^2$、$y=\frac{1}{x}$的函数值大小，可借助数形结合的思路：先找到三个函数图像的交点，交点的横坐标将数轴划分为不同区间，每个区间内函数图像的高低就对应了函数值的大小关系，我们只需将命题给出的大小关系和对应区间匹配即可。
首先求解三个函数的交点：联立$y=x$和$y=x^2$得交点$(0,0)$、$(1,1)$；联立$y=x$和$y=\frac{1}{x}$得交点$(1,1)$、$(-1,-1)$；联立$y=x^2$和$y=\frac{1}{x}$得交点$(1,1)$，因此分界点为$x=-1$、$x=0$、$x=1$，将数轴分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$四个区间，逐个分析即可。
【解析】
结合图像按四个区间分别讨论函数值大小：
1. 当$0 ＜ a ＜ 1$时，观察图像可得反比例函数$y=\frac{1}{x}$位置最高，正比例函数$y=x$次之，二次函数$y=x^2$位置最低，即$\frac{1}{a} ＞ a ＞ a^2$，命题①正确。
2. 分两种情况讨论：
当$a ＞ 1$时，二次函数$y=x^2$位置最高，正比例函数$y=x$次之，反比例函数$y=\frac{1}{x}$位置最低，即$a^2 ＞ a ＞ \frac{1}{a}$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，$y=x^2$为正数数值最大，$y=x$和$y=\frac{1}{x}$为负数，且此时$x ＞ \frac{1}{x}$即$a ＞ \frac{1}{a}$，因此也满足$a^2 ＞ a ＞ \frac{1}{a}$，命题②正确。
3. 当$-1 ＜ a ＜ 0$时，$\frac{1}{a}$为负数，$a^2$为正数，正数必然大于负数，不可能出现$\frac{1}{a} ＞ a^2$，命题③错误。
4. 当$a ＜ -1$时，$a^2$为正数数值最大，$y=\frac{1}{x}$和$y=x$为负数，此时$\frac{1}{x} ＞ x$即$\frac{1}{a} ＞ a$，因此满足$a^2 ＞ \frac{1}{a} ＞ a$，命题④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数值大小比较中的应用，解题关键是先通过函数交点划分讨论区间，也可代入特殊值验证结论，降低判断失误的概率。
【难度系数】
0.6
要判断命题是否正确，核心是比较三个函数$y=x$、$y=x^2$、$y=\frac{1}{x}$的函数值大小，可借助数形结合的思路：先找到三个函数图像的交点，交点的横坐标将数轴划分为不同区间，每个区间内函数图像的高低就对应了函数值的大小关系，我们只需将命题给出的大小关系和对应区间匹配即可。
首先求解三个函数的交点：联立$y=x$和$y=x^2$得交点$(0,0)$、$(1,1)$；联立$y=x$和$y=\frac{1}{x}$得交点$(1,1)$、$(-1,-1)$；联立$y=x^2$和$y=\frac{1}{x}$得交点$(1,1)$，因此分界点为$x=-1$、$x=0$、$x=1$，将数轴分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$四个区间，逐个分析即可。
【解析】
结合图像按四个区间分别讨论函数值大小：
1. 当$0 ＜ a ＜ 1$时，观察图像可得反比例函数$y=\frac{1}{x}$位置最高，正比例函数$y=x$次之，二次函数$y=x^2$位置最低，即$\frac{1}{a} ＞ a ＞ a^2$，命题①正确。
2. 分两种情况讨论：
当$a ＞ 1$时，二次函数$y=x^2$位置最高，正比例函数$y=x$次之，反比例函数$y=\frac{1}{x}$位置最低，即$a^2 ＞ a ＞ \frac{1}{a}$；
当$-1 ＜ a ＜ 0$时，$y=x^2$为正数数值最大，$y=x$和$y=\frac{1}{x}$为负数，且此时$x ＞ \frac{1}{x}$即$a ＞ \frac{1}{a}$，因此也满足$a^2 ＞ a ＞ \frac{1}{a}$，命题②正确。
3. 当$-1 ＜ a ＜ 0$时，$\frac{1}{a}$为负数，$a^2$为正数，正数必然大于负数，不可能出现$\frac{1}{a} ＞ a^2$，命题③错误。
4. 当$a ＜ -1$时，$a^2$为正数数值最大，$y=\frac{1}{x}$和$y=x$为负数，此时$\frac{1}{x} ＞ x$即$\frac{1}{a} ＞ a$，因此满足$a^2 ＞ \frac{1}{a} ＞ a$，命题④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
一次函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质
【点评】
本题考查数形结合思想在函数值大小比较中的应用，解题关键是先通过函数交点划分讨论区间，也可代入特殊值验证结论，降低判断失误的概率。
【难度系数】
0.6
19 在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{4}(x-3)^2 -1$ 的顶点为A，直线l过点P(0，m)且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C。若$∠ BAC=90°$，则$m=$
$3$
。答案
3 [提示:如图,作$AD⊥BC$于点D。因为$AB=AC$,$∠BAC=90°$,所以$AD=CD=BD$,所以$BC=2AD$。因为抛物线$y=\frac{1}{4}(x-3)^2-1$的顶点为A,所以$A(3,-1)$,因为点$P(0,m)$,所以$AD=1+m$,$BC=2+2m$。设$B(x_1,m)$,$C(x_2,m)$,所以$x_2-x_1=2+2m$。由$\frac{1}{4}(x-3)^2-1=m$,整理得$x^2-6x+5-4m=0$,所以$x_1+x_2=6$,$x_1·x_2=5-4m$,所以$(x_2-x_1)^2+4x_1x_2=36$,所以$(2+2m)^2+4(5-4m)=36$,解得$m=3$或$m=-1$(舍去)。]
解析
【分析】
首先根据抛物线顶点式直接得到顶点A的坐标，再结合抛物线的对称性可知AB=AC，结合∠BAC=90°可判断△BAC为等腰直角三角形。作AD⊥BC于D，根据等腰直角三角形的性质可得BC=2AD，再将y=m代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，B、C的横坐标就是该方程的两个根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，结合两根差与BC长度的关系列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
1. 求顶点A坐标：抛物线$y=\frac{1}{4}(x-3)^2 -1$为顶点式，因此顶点A的坐标为$(3,-1)$。
2. 分析三角形性质：过A作$AD⊥BC$于D，因为抛物线对称轴为$x=3$，直线$l// x$轴，所以B、C关于$x=3$对称，即$AB=AC$。已知$∠BAC=90°$，故△BAC为等腰直角三角形，因此$AD=BD=CD$，可得$BC=2AD$。其中$AD=m - (-1)=m+1$，因此$BC=2(m+1)=2m+2$。
3. 联立方程用韦达定理：把$y=m$代入抛物线解析式，得$\frac{1}{4}(x-3)^2 -1=m$，整理得$x^2 -6x +5 -4m=0$。设$B(x_1,m)$、$C(x_2,m)$，则$x_1、x_2$是上述方程的两根，由韦达定理得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=5-4m$。
4. 列方程求解：BC长度为$|x_2-x_1|=2m+2$，根据$(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$(2m+2)^2=6^2-4×(5-4m)$
展开整理得$m^2-2m-3=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
当$m=-1$时，直线l与抛物线仅交于顶点A，不符合题意，舍去，故$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，韦达定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是将几何图形的性质转化为线段长度的等量关系，再结合一元二次方程根与系数的关系求解，注意要验证解是否符合题意。
【难度系数】
0.6
首先根据抛物线顶点式直接得到顶点A的坐标，再结合抛物线的对称性可知AB=AC，结合∠BAC=90°可判断△BAC为等腰直角三角形。作AD⊥BC于D，根据等腰直角三角形的性质可得BC=2AD，再将y=m代入抛物线解析式得到关于x的一元二次方程，B、C的横坐标就是该方程的两个根，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，结合两根差与BC长度的关系列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
1. 求顶点A坐标：抛物线$y=\frac{1}{4}(x-3)^2 -1$为顶点式，因此顶点A的坐标为$(3,-1)$。
2. 分析三角形性质：过A作$AD⊥BC$于D，因为抛物线对称轴为$x=3$，直线$l// x$轴，所以B、C关于$x=3$对称，即$AB=AC$。已知$∠BAC=90°$，故△BAC为等腰直角三角形，因此$AD=BD=CD$，可得$BC=2AD$。其中$AD=m - (-1)=m+1$，因此$BC=2(m+1)=2m+2$。
3. 联立方程用韦达定理：把$y=m$代入抛物线解析式，得$\frac{1}{4}(x-3)^2 -1=m$，整理得$x^2 -6x +5 -4m=0$。设$B(x_1,m)$、$C(x_2,m)$，则$x_1、x_2$是上述方程的两根，由韦达定理得：$x_1+x_2=6$，$x_1x_2=5-4m$。
4. 列方程求解：BC长度为$|x_2-x_1|=2m+2$，根据$(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，代入得：
$(2m+2)^2=6^2-4×(5-4m)$
展开整理得$m^2-2m-3=0$，解得$m=3$或$m=-1$。
当$m=-1$时，直线l与抛物线仅交于顶点A，不符合题意，舍去，故$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，韦达定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题核心是将几何图形的性质转化为线段长度的等量关系，再结合一元二次方程根与系数的关系求解，注意要验证解是否符合题意。
【难度系数】
0.6
20 已知抛物线的顶点为$(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{25}{4})$，与$x$轴交于$A$、$B$两点，在$x$轴下方与$x$轴距离为4的点$M$在抛物线上，且$S_{△ AMB}=10$，则点$M$的坐标为________。
答案
$(2,-4)$或$(-1,-4)$ [提示:因为抛物线的顶点为$(\frac{1}{2},-\frac{25}{4})$,因此可设抛物线的表达式为$y=a(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$。点M到x轴的距离为4,即$△ABM$边AB上的高为4。因为$S_{△AMB}=10$,所以$\frac{1}{2}AB×4=10$,所以$AB=5$。又因为抛物线的对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$,所以抛物线与x轴的两个交点坐标为$(-2,0)$、$(3,0)$。把$(3,0)$代入,得$0=a(3-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$,解得$a=1$,所以抛物线的表达式为$y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$。当$y=-4$时,$(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}=-4$,解得$x_1=2$,$x_2=-1$,所以点$M(2,-4)$或$(-1,-4)$。]
解析
【分析】
解题思路可分为四步：第一步，先明确△AMB的高为点M到x轴的距离4，结合三角形面积公式求出AB的长度；第二步，利用抛物线的对称性，已知对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，AB长为5，即可求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；第三步，设抛物线的顶点式，代入A或B的坐标求出解析式的未知系数a，得到完整的抛物线解析式；第四步，点M在x轴下方且到x轴距离为4，即M的纵坐标为-4，代入解析式求解横坐标，即可得到M的坐标。
【解析】
1. 求AB的长度：
点M在x轴下方且与x轴距离为4，因此△AMB中AB边上的高为4，已知$S_{△ AMB}=10$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × AB × 4 =10$，解得$AB=5$。
2. 求A、B的坐标：
抛物线顶点为$(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})$，因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，抛物线与x轴的交点A、B关于对称轴对称，AB=5，因此两点到对称轴的距离为$\frac{5}{2}$，可得：
A点横坐标为$\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2$，即$A(-2,0)$；B点横坐标为$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$，即$B(3,0)$。
3. 求抛物线解析式：
设抛物线的顶点式为$y=a(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$，将$B(3,0)$代入得：
$0=a(3-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$，即$0=\frac{25}{4}a-\frac{25}{4}$，解得$a=1$。
因此抛物线解析式为$y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$。
4. 求点M的坐标：
点M纵坐标为-4，代入解析式得：
$(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}=-4$，化简得$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$，开方得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
因此点M的坐标为$(2,-4)$或$(-1,-4)$。
【答案】
$(2,-4)$或$(-1,-4)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数的对称性
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题的核心是结合三角形面积和抛物线的对称性求出抛物线与x轴的交点，进而求出解析式，需要熟练掌握二次函数的图像性质，同时注意点M在x轴下方，纵坐标为负，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：第一步，先明确△AMB的高为点M到x轴的距离4，结合三角形面积公式求出AB的长度；第二步，利用抛物线的对称性，已知对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，AB长为5，即可求出抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标；第三步，设抛物线的顶点式，代入A或B的坐标求出解析式的未知系数a，得到完整的抛物线解析式；第四步，点M在x轴下方且到x轴距离为4，即M的纵坐标为-4，代入解析式求解横坐标，即可得到M的坐标。
【解析】
1. 求AB的长度：
点M在x轴下方且与x轴距离为4，因此△AMB中AB边上的高为4，已知$S_{△ AMB}=10$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × AB × 4 =10$，解得$AB=5$。
2. 求A、B的坐标：
抛物线顶点为$(\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})$，因此对称轴为直线$x=\frac{1}{2}$，抛物线与x轴的交点A、B关于对称轴对称，AB=5，因此两点到对称轴的距离为$\frac{5}{2}$，可得：
A点横坐标为$\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=-2$，即$A(-2,0)$；B点横坐标为$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$，即$B(3,0)$。
3. 求抛物线解析式：
设抛物线的顶点式为$y=a(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$，将$B(3,0)$代入得：
$0=a(3-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$，即$0=\frac{25}{4}a-\frac{25}{4}$，解得$a=1$。
因此抛物线解析式为$y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}$。
4. 求点M的坐标：
点M纵坐标为-4，代入解析式得：
$(x-\frac{1}{2})^2-\frac{25}{4}=-4$，化简得$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}$，开方得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
因此点M的坐标为$(2,-4)$或$(-1,-4)$。
【答案】
$(2,-4)$或$(-1,-4)$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 二次函数的对称性
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题的核心是结合三角形面积和抛物线的对称性求出抛物线与x轴的交点，进而求出解析式，需要熟练掌握二次函数的图像性质，同时注意点M在x轴下方，纵坐标为负，避免多解出错。
【难度系数】
0.7
21 如图，若一抛物线 $ y = ax^2 $ 与四条直线 $ x=1、x=2、y=1、y=2 $ 围成的正方形有公共点，求a的取值范围。
答案
因为四条直线$x=1$,$x=2$,$y=1$,$y=2$围成正方形ABCD,所以$A(1,2)$、$C(2,1)$。设过点A的抛物线表达式为$y=a_1x^2$,过点C的抛物线表达式为$y=a_2x^2$,把$A(1,2)$、$C(2,1)$分别代入,可求得$a_1=2$,$a_2=\frac{1}{4}$,所以a的取值范围是$\frac{1}{4}≤a≤2$。
解析
【分析】
解题思路如下：首先先确定四条直线围成的正方形的顶点坐标；再结合二次函数$y=ax^2$的性质：$a＞0$时开口向上，$a$的值越大，抛物线开口越陡，$a$的值越小，抛物线开口越平缓；要使抛物线与正方形有公共点，需找到两个临界状态：①抛物线刚好经过正方形最靠上左的顶点$A(1,2)$，此时$a$取最大值；②抛物线刚好经过正方形最靠下右的顶点$C(2,1)$，此时$a$取最小值；最后将两个临界顶点代入抛物线解析式，计算得到$a$的最值，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
首先，直线$x=1$、$x=2$、$y=1$、$y=2$围成的正方形顶点坐标分别为：$A(1,2)$、$B(1,1)$、$C(2,1)$、$D(2,2)$。
抛物线$y=ax^2$开口向上，与该正方形有公共点时，取两个临界情况计算：
1. 当抛物线经过点$A(1,2)$时，将$x=1,y=2$代入$y=ax^2$，得：
$2=a×1^2$，解得$a_1=2$，此为$a$的最大值，若$a＞2$，抛物线开口过陡，与正方形无公共点。
2. 当抛物线经过点$C(2,1)$时，将$x=2,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×2^2$，即$4a=1$，解得$a_2=\frac{1}{4}$，此为$a$的最小值，若$a＜\frac{1}{4}$，抛物线开口过宽，与正方形无公共点。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{4}≤a≤2$。
【答案】
$\frac{1}{4}≤a≤2$
【知识点】
二次函数图像性质，待定系数法求解析式，函数与图形交点问题
【点评】
本题将二次函数性质与几何图形结合考查，解题核心是抓住抛物线开口大小与$a$的对应关系，准确找到两个临界交点代入计算，即可快速得到取值范围，属于基础的数形结合类题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先先确定四条直线围成的正方形的顶点坐标；再结合二次函数$y=ax^2$的性质：$a＞0$时开口向上，$a$的值越大，抛物线开口越陡，$a$的值越小，抛物线开口越平缓；要使抛物线与正方形有公共点，需找到两个临界状态：①抛物线刚好经过正方形最靠上左的顶点$A(1,2)$，此时$a$取最大值；②抛物线刚好经过正方形最靠下右的顶点$C(2,1)$，此时$a$取最小值；最后将两个临界顶点代入抛物线解析式，计算得到$a$的最值，即可得到$a$的取值范围。
【解析】
首先，直线$x=1$、$x=2$、$y=1$、$y=2$围成的正方形顶点坐标分别为：$A(1,2)$、$B(1,1)$、$C(2,1)$、$D(2,2)$。
抛物线$y=ax^2$开口向上，与该正方形有公共点时，取两个临界情况计算：
1. 当抛物线经过点$A(1,2)$时，将$x=1,y=2$代入$y=ax^2$，得：
$2=a×1^2$，解得$a_1=2$，此为$a$的最大值，若$a＞2$，抛物线开口过陡，与正方形无公共点。
2. 当抛物线经过点$C(2,1)$时，将$x=2,y=1$代入$y=ax^2$，得：
$1=a×2^2$，即$4a=1$，解得$a_2=\frac{1}{4}$，此为$a$的最小值，若$a＜\frac{1}{4}$，抛物线开口过宽，与正方形无公共点。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{4}≤a≤2$。
【答案】
$\frac{1}{4}≤a≤2$
【知识点】
二次函数图像性质，待定系数法求解析式，函数与图形交点问题
【点评】
本题将二次函数性质与几何图形结合考查，解题核心是抓住抛物线开口大小与$a$的对应关系，准确找到两个临界交点代入计算，即可快速得到取值范围，属于基础的数形结合类题型。
【难度系数】
0.7
