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22 已知抛物线 $y=(x-2)^2$ 的顶点为 $C$，直线 $y=2x+4$ 与抛物线交于 $A$、$B$ 两点。试求 $S_{△ ABC}$。
答案
由题意得C的坐标为$(2,0)$,联立两函数的表达式,得$\begin{cases}y=2x+4,\\y=(x-2)^2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=0,\\y_1=4,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=6,\\y_2=16,\end{cases}$所以$A(6,16)$,$B(0,4)$。如图,过A作$AD⊥x$轴,垂足为D,则$S_{△ABC}=S_{梯形ABOD}-S_{△ACD}-S_{△BOC}=\frac{1}{2}(OB+AD)·OD-\frac{1}{2}OC·OB-\frac{1}{2}CD·AD=\frac{1}{2}×(4+16)×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×4×16=24$。
解析
【分析】
要计算△ABC的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：1. 抛物线解析式为顶点式，可直接得到顶点C的坐标；2. A、B是直线与抛物线的交点，联立两个函数的解析式，解方程组即可得到A、B两点的坐标；3. 得到三点坐标后，直接求三角形的底和高计算较繁琐，可采用割补法，将△ABC的面积转化为梯形ABOD的面积减去△BOC和△ACD的面积，代入坐标计算即可。
【解析】
1. 求顶点C的坐标：抛物线$y=(x-2)^2$为顶点式，因此顶点C的坐标为$(2,0)$。
2. 求A、B两点坐标：联立直线与抛物线的解析式，得方程组
$\begin{cases}y=2x+4\\y=(x-2)^2\end{cases}$
联立得$(x-2)^2=2x+4$，展开整理得$x^2-6x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=6$。
将x值代入$y=2x+4$得：当$x=0$时$y=4$，当$x=6$时$y=16$，即$A(6,16)$，$B(0,4)$。
3. 计算△ABC的面积：过A作$AD⊥x$轴，垂足为D，则$D(6,0)$。
$\begin{aligned}S_{△ABC}&=S_{梯形ABOD}-S_{△BOC}-S_{△ACD}\\&=\frac{1}{2}(OB+AD)·OD-\frac{1}{2}·OC·OB-\frac{1}{2}·CD·AD\\&=\frac{1}{2}×(4+16)×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×4×16\\&=60-4-32\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标
2. 函数交点求解
3. 割补法求面积
【点评】
本题综合考查了二次函数的基本性质、函数交点的求解方法以及平面直角坐标系中图形面积的计算技巧，解题核心是灵活运用割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形面积的和差，计算时要注意坐标对应线段长度的准确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
要计算△ABC的面积，首先需要确定A、B、C三点的坐标：1. 抛物线解析式为顶点式，可直接得到顶点C的坐标；2. A、B是直线与抛物线的交点，联立两个函数的解析式，解方程组即可得到A、B两点的坐标；3. 得到三点坐标后，直接求三角形的底和高计算较繁琐，可采用割补法，将△ABC的面积转化为梯形ABOD的面积减去△BOC和△ACD的面积，代入坐标计算即可。
【解析】
1. 求顶点C的坐标：抛物线$y=(x-2)^2$为顶点式，因此顶点C的坐标为$(2,0)$。
2. 求A、B两点坐标：联立直线与抛物线的解析式，得方程组
$\begin{cases}y=2x+4\\y=(x-2)^2\end{cases}$
联立得$(x-2)^2=2x+4$，展开整理得$x^2-6x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=6$。
将x值代入$y=2x+4$得：当$x=0$时$y=4$，当$x=6$时$y=16$，即$A(6,16)$，$B(0,4)$。
3. 计算△ABC的面积：过A作$AD⊥x$轴，垂足为D，则$D(6,0)$。
$\begin{aligned}S_{△ABC}&=S_{梯形ABOD}-S_{△BOC}-S_{△ACD}\\&=\frac{1}{2}(OB+AD)·OD-\frac{1}{2}·OC·OB-\frac{1}{2}·CD·AD\\&=\frac{1}{2}×(4+16)×6-\frac{1}{2}×2×4-\frac{1}{2}×4×16\\&=60-4-32\\&=24\end{aligned}$
【答案】
24
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标
2. 函数交点求解
3. 割补法求面积
【点评】
本题综合考查了二次函数的基本性质、函数交点的求解方法以及平面直角坐标系中图形面积的计算技巧，解题核心是灵活运用割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形面积的和差，计算时要注意坐标对应线段长度的准确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
23 如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线$y=x+1$相交于A，B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连接AM、BM。
（1）求抛物线对应的函数表达式。
（2）判断$△ ABM$的形状，并说明理由。
（1）求抛物线对应的函数表达式。
（2）判断$△ ABM$的形状，并说明理由。
答案
(1) 因为点A为直线$y=x+1$与x轴的交点,所以$A(-1,0)$。因为点B的横坐标为2,所以将$x=2$代入$y=x+1$可求得$y=3$,所以$B(2,3)$。因为抛物线的顶点在y轴上,所以可设抛物线对应的函数表达式为$y=ax^2+c$,把A、B两点的坐标代入可得$\begin{cases}a+c=0,\\4a+c=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\c=-1,\end{cases}$所以抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-1$。
(2)$△ABM$为直角三角形,理由如下:由(1)中求得的抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-1$可知,点M的坐标为$(0,-1)$,所以$AM=\sqrt{2}$,$AB=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$,$BM=\sqrt{2^2+[3-(-1)]^2}=2\sqrt{5}$,所以$AM^2+AB^2=2+18=20=BM^2$,所以$△ABM$为直角三角形。
(2)$△ABM$为直角三角形,理由如下:由(1)中求得的抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-1$可知,点M的坐标为$(0,-1)$,所以$AM=\sqrt{2}$,$AB=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$,$BM=\sqrt{2^2+[3-(-1)]^2}=2\sqrt{5}$,所以$AM^2+AB^2=2+18=20=BM^2$,所以$△ABM$为直角三角形。
解析
【分析】
（1）求解抛物线解析式首先需要获取抛物线上已知点的坐标：先利用直线解析式求出与x轴交点A的坐标，再结合B点的横坐标代入直线解析式求出B点坐标；由于抛物线顶点在y轴上，对称轴为y轴，解析式不含一次项，因此设解析式为$y=ax^2+c$，代入A、B两点坐标得到二元一次方程组，求解即可得到抛物线解析式。
（2）判断三角形形状首先要确定三个顶点的坐标：将x=0代入抛物线解析式得到顶点M的坐标，再利用两点间距离公式分别计算三边长度的平方，验证是否满足勾股定理逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
(1) 求点A坐标：点A是直线$y=x+1$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=x+1$得$x=-1$，即$A(-1,0)$。
求点B坐标：已知点B横坐标为2，将$x=2$代入$y=x+1$，得$y=2+1=3$，即$B(2,3)$。
设抛物线解析式：因抛物线顶点在y轴上，故设解析式为$y=ax^2+c$，将$A(-1,0)$、$B(2,3)$代入得：
$\begin{cases}a+c=0\\4a+c=3\end{cases}$
解方程组：两式相减得$3a=3$，解得$a=1$，代入$a+c=0$得$c=-1$。
因此抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-1$。
(2) $△ ABM$为直角三角形，理由如下：
求点M坐标：将$x=0$代入$y=x^2-1$得$y=-1$，即顶点$M(0,-1)$。
根据两点间距离公式计算三边长度的平方：
$AM^2=(-1-0)^2+[0-(-1)]^2=1+1=2$
$AB^2=(2+1)^2+(3-0)^2=9+9=18$
$BM^2=(2-0)^2+[3-(-1)]^2=4+16=20$
由$AM^2+AB^2=2+18=20=BM^2$，根据勾股定理逆定理可知$△ ABM$为直角三角形。
【答案】
(1) $y=x^2-1$
(2) $△ ABM$是直角三角形
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理逆定理，二次函数图象性质
【点评】
本题综合了一次函数、二次函数的基础性质和几何判定知识，解题核心是先求出各点坐标，再结合对应性质逐步推导，侧重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求解抛物线解析式首先需要获取抛物线上已知点的坐标：先利用直线解析式求出与x轴交点A的坐标，再结合B点的横坐标代入直线解析式求出B点坐标；由于抛物线顶点在y轴上，对称轴为y轴，解析式不含一次项，因此设解析式为$y=ax^2+c$，代入A、B两点坐标得到二元一次方程组，求解即可得到抛物线解析式。
（2）判断三角形形状首先要确定三个顶点的坐标：将x=0代入抛物线解析式得到顶点M的坐标，再利用两点间距离公式分别计算三边长度的平方，验证是否满足勾股定理逆定理，即可判断三角形的形状。
【解析】
(1) 求点A坐标：点A是直线$y=x+1$与x轴的交点，x轴上点的纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=x+1$得$x=-1$，即$A(-1,0)$。
求点B坐标：已知点B横坐标为2，将$x=2$代入$y=x+1$，得$y=2+1=3$，即$B(2,3)$。
设抛物线解析式：因抛物线顶点在y轴上，故设解析式为$y=ax^2+c$，将$A(-1,0)$、$B(2,3)$代入得：
$\begin{cases}a+c=0\\4a+c=3\end{cases}$
解方程组：两式相减得$3a=3$，解得$a=1$，代入$a+c=0$得$c=-1$。
因此抛物线对应的函数表达式为$y=x^2-1$。
(2) $△ ABM$为直角三角形，理由如下：
求点M坐标：将$x=0$代入$y=x^2-1$得$y=-1$，即顶点$M(0,-1)$。
根据两点间距离公式计算三边长度的平方：
$AM^2=(-1-0)^2+[0-(-1)]^2=1+1=2$
$AB^2=(2+1)^2+(3-0)^2=9+9=18$
$BM^2=(2-0)^2+[3-(-1)]^2=4+16=20$
由$AM^2+AB^2=2+18=20=BM^2$，根据勾股定理逆定理可知$△ ABM$为直角三角形。
【答案】
(1) $y=x^2-1$
(2) $△ ABM$是直角三角形
【知识点】
待定系数法求解析式，勾股定理逆定理，二次函数图象性质
【点评】
本题综合了一次函数、二次函数的基础性质和几何判定知识，解题核心是先求出各点坐标，再结合对应性质逐步推导，侧重对基础知识点综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
24 已知抛物线的顶点为原点，且经过点$A(-2,8)$。
(1) 求这个函数的表达式。
(2) 写出抛物线上与点$A$关于$y$轴对称的点$B$的坐标，并计算$△ OAB$的面积。
(3) 直线$y=-x+b$过点$A$，与抛物线的另一个交点为$C$，在抛物线上找一点$P$，当$△ ACP$的面积为$7$时，求$P$点坐标。
(1) 求这个函数的表达式。
(2) 写出抛物线上与点$A$关于$y$轴对称的点$B$的坐标，并计算$△ OAB$的面积。
(3) 直线$y=-x+b$过点$A$，与抛物线的另一个交点为$C$，在抛物线上找一点$P$，当$△ ACP$的面积为$7$时，求$P$点坐标。
答案
(1) 设抛物线的表达式为$y=ax^2$。代入点$A(-2,8)$,得$4a=8$,所以$a=2$,所以抛物线的表达式为$y=2x^2$。
(2) 因为点B与点A关于y轴对称,所以$B(2,8)$。设直线AB与y轴交于点H,所以$S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB·OH=\frac{1}{2}×4×8=16$。
(3) 设点$P(x,2x^2)$,过点P作垂直于x轴的垂线与直线AC相交于点E。将$A(-2,8)$,代入$y=-x+b$,得$8=2+b$,所以$b=6$,所以直线AC的表达式为$y=-x+6$,所以E的坐标为$(x,-x+6)$。联立$\begin{cases}y=2x^2,\\y=-x+6,\end{cases}$得$\begin{cases}x_1=-2,\\y_1=8,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=\frac{3}{2},\\y_1=\frac{9}{2},\end{cases}$所以$C(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$,所以$S_{△ACP}=S_{△APE}+S_{△CPE}=\frac{1}{2}PE·(x_C-x_A)=\frac{7}{4}PE$。根据点E与点P的相对位置关系分两种情况讨论:① 当点E在点P上方时,$PE=y_E-y_P=-2x^2-x+6$。令$S_{△ACP}=7$,得$2x^2+x-2=0$,解得$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$,所以点$P(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$或$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$。② 当点E在点P下方时,$PE=y_P-y_E=2x^2+x-6$。令$S_{△ACP}=7$,得$2x^2+x-10=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-\frac{5}{2}$,所以点$P(2,8)$或$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$。综上所述,当$△ACP$的面积为7时,点P的坐标为$(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$或$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$或$(2,8)$或$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$。
(2) 因为点B与点A关于y轴对称,所以$B(2,8)$。设直线AB与y轴交于点H,所以$S_{△AOB}=\frac{1}{2}AB·OH=\frac{1}{2}×4×8=16$。
(3) 设点$P(x,2x^2)$,过点P作垂直于x轴的垂线与直线AC相交于点E。将$A(-2,8)$,代入$y=-x+b$,得$8=2+b$,所以$b=6$,所以直线AC的表达式为$y=-x+6$,所以E的坐标为$(x,-x+6)$。联立$\begin{cases}y=2x^2,\\y=-x+6,\end{cases}$得$\begin{cases}x_1=-2,\\y_1=8,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=\frac{3}{2},\\y_1=\frac{9}{2},\end{cases}$所以$C(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$,所以$S_{△ACP}=S_{△APE}+S_{△CPE}=\frac{1}{2}PE·(x_C-x_A)=\frac{7}{4}PE$。根据点E与点P的相对位置关系分两种情况讨论:① 当点E在点P上方时,$PE=y_E-y_P=-2x^2-x+6$。令$S_{△ACP}=7$,得$2x^2+x-2=0$,解得$x=\frac{-1±\sqrt{17}}{4}$,所以点$P(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$或$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$。② 当点E在点P下方时,$PE=y_P-y_E=2x^2+x-6$。令$S_{△ACP}=7$,得$2x^2+x-10=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-\frac{5}{2}$,所以点$P(2,8)$或$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$。综上所述,当$△ACP$的面积为7时,点P的坐标为$(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$或$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$或$(2,8)$或$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$。
解析
【分析】
(1) 抛物线顶点为原点，可直接设解析式为顶点式$y=ax^2$，将点A坐标代入即可求出参数a，得到函数表达式。
(2) 关于y轴对称的点满足横坐标互为相反数、纵坐标不变，据此可直接写出B点坐标；观察可知AB平行于x轴，以AB为底、原点到AB的竖直距离为高，即可计算$△ OAB$的面积。
(3) 先将点A代入直线解析式求出b，得到直线AC的表达式；再联立直线与抛物线解析式，求出另一交点C的坐标。计算$△ ACP$面积时采用铅垂高法：过P作x轴的垂线交AC于点E，PE为铅垂高，A、C两点的横坐标差为水平宽，三角形面积$=\frac{1}{2}×$水平宽$×$铅垂高，分点E在P上方、下方两种情况列方程求解，即可得到所有符合要求的P点坐标。
【解析】
(1) 因为抛物线顶点为原点，设抛物线的表达式为$y=ax^2$。
将点$A(-2,8)$代入得：$a×(-2)^2=8$，即$4a=8$，解得$a=2$。
所以抛物线的表达式为$y=2x^2$。
(2) 点B与点A关于y轴对称，A的坐标为$(-2,8)$，因此B的横坐标为2，纵坐标不变，即$B(2,8)$。
设直线AB与y轴交于点H，$AB=|2-(-2)|=4$，AB到原点的竖直距离$OH=8$，
则$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× AB× OH=\frac{1}{2}×4×8=16$。
(3) 将$A(-2,8)$代入$y=-x+b$得：$8=-(-2)+b$，即$8=2+b$，解得$b=6$，
所以直线AC的表达式为$y=-x+6$。
联立直线与抛物线解析式：$\begin{cases}y=2x^2\\y=-x+6\end{cases}$，
消去y整理得$2x^2+x-6=0$，解得$\begin{cases}x_1=-2\\y_1=8\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=\frac{3}{2}\\y_2=\frac{9}{2}\end{cases}$，
即点C的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$。
设点P坐标为$(x,2x^2)$，过P作垂直于x轴的垂线交AC于点E，则E的坐标为$(x,-x+6)$。
$△ ACP$的面积可拆分为$△ APE$与$△ CPE$的面积和，即$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× PE× |x_C-x_A|$，
代入$x_C=\frac{3}{2}$、$x_A=-2$得$|x_C-x_A|=\frac{7}{2}$，因此$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× PE× \frac{7}{2}=\frac{7}{4}PE$。
已知$S_{△ ACP}=7$，则$\frac{7}{4}PE=7$，解得$PE=4$，分两种情况讨论：
① 当点E在点P上方时，$PE=y_E-y_P=(-x+6)-2x^2=4$，
整理得$2x^2+x-2=0$，解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$，
对应P点坐标为$(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$、$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$；
② 当点E在点P下方时，$PE=y_P-y_E=2x^2-(-x+6)=4$，
整理得$2x^2+x-10=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{5}{2}$，
对应P点坐标为$(2,8)$、$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$。
【答案】
(1) $y=2x^2$
(2) $B(2,8)$，$△ OAB$的面积为16
(3) $(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$、$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$、$(2,8)$、$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称坐标性质，二次函数面积计算
【点评】
本题是二次函数常规综合题，覆盖了解析式求解、对称变换、动点面积计算等核心考点，重点考查铅垂高求三角形面积的方法和分类讨论思想，能够有效巩固二次函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 抛物线顶点为原点，可直接设解析式为顶点式$y=ax^2$，将点A坐标代入即可求出参数a，得到函数表达式。
(2) 关于y轴对称的点满足横坐标互为相反数、纵坐标不变，据此可直接写出B点坐标；观察可知AB平行于x轴，以AB为底、原点到AB的竖直距离为高，即可计算$△ OAB$的面积。
(3) 先将点A代入直线解析式求出b，得到直线AC的表达式；再联立直线与抛物线解析式，求出另一交点C的坐标。计算$△ ACP$面积时采用铅垂高法：过P作x轴的垂线交AC于点E，PE为铅垂高，A、C两点的横坐标差为水平宽，三角形面积$=\frac{1}{2}×$水平宽$×$铅垂高，分点E在P上方、下方两种情况列方程求解，即可得到所有符合要求的P点坐标。
【解析】
(1) 因为抛物线顶点为原点，设抛物线的表达式为$y=ax^2$。
将点$A(-2,8)$代入得：$a×(-2)^2=8$，即$4a=8$，解得$a=2$。
所以抛物线的表达式为$y=2x^2$。
(2) 点B与点A关于y轴对称，A的坐标为$(-2,8)$，因此B的横坐标为2，纵坐标不变，即$B(2,8)$。
设直线AB与y轴交于点H，$AB=|2-(-2)|=4$，AB到原点的竖直距离$OH=8$，
则$S_{△ OAB}=\frac{1}{2}× AB× OH=\frac{1}{2}×4×8=16$。
(3) 将$A(-2,8)$代入$y=-x+b$得：$8=-(-2)+b$，即$8=2+b$，解得$b=6$，
所以直线AC的表达式为$y=-x+6$。
联立直线与抛物线解析式：$\begin{cases}y=2x^2\\y=-x+6\end{cases}$，
消去y整理得$2x^2+x-6=0$，解得$\begin{cases}x_1=-2\\y_1=8\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=\frac{3}{2}\\y_2=\frac{9}{2}\end{cases}$，
即点C的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{9}{2})$。
设点P坐标为$(x,2x^2)$，过P作垂直于x轴的垂线交AC于点E，则E的坐标为$(x,-x+6)$。
$△ ACP$的面积可拆分为$△ APE$与$△ CPE$的面积和，即$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× PE× |x_C-x_A|$，
代入$x_C=\frac{3}{2}$、$x_A=-2$得$|x_C-x_A|=\frac{7}{2}$，因此$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}× PE× \frac{7}{2}=\frac{7}{4}PE$。
已知$S_{△ ACP}=7$，则$\frac{7}{4}PE=7$，解得$PE=4$，分两种情况讨论：
① 当点E在点P上方时，$PE=y_E-y_P=(-x+6)-2x^2=4$，
整理得$2x^2+x-2=0$，解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}$，
对应P点坐标为$(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$、$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$；
② 当点E在点P下方时，$PE=y_P-y_E=2x^2-(-x+6)=4$，
整理得$2x^2+x-10=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-\frac{5}{2}$，
对应P点坐标为$(2,8)$、$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$。
【答案】
(1) $y=2x^2$
(2) $B(2,8)$，$△ OAB$的面积为16
(3) $(\frac{-1+\sqrt{17}}{4},\frac{9-\sqrt{17}}{4})$、$(\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{9+\sqrt{17}}{4})$、$(2,8)$、$(-\frac{5}{2},\frac{25}{2})$
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称坐标性质，二次函数面积计算
【点评】
本题是二次函数常规综合题，覆盖了解析式求解、对称变换、动点面积计算等核心考点，重点考查铅垂高求三角形面积的方法和分类讨论思想，能够有效巩固二次函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.6
