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25 如图，抛物线$y=mx^2 -4m(m＞0)$与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OC=2OA。
（1）求抛物线的表达式。
（2）在抛物线上是否存在一点P，使x轴平分∠PAC，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由。
（1）求抛物线的表达式。
（2）在抛物线上是否存在一点P，使x轴平分∠PAC，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由。
答案
(1) 令$y=0$,得$mx^2-4m=0$,解得$x=±2$,所以$A(-2,0)$,$B(2,0)$。因为$OC=2OA$,$OA=2$,所以$OC=4$,所以点C坐标为$(0,-4)$,所以$-4m=-4$,所以$m=1$,所以抛物线表达式为$y=x^2-4$。
(2) 存在。理由如下:如图,点C关于x轴的对称点$C'(0,4)$。因为$AO⊥CC'$,$OC=OC'$,所以$∠C'AO=∠CAO$,所以直线$AC'$与抛物线的交点即为所求的点P。设直线$AC'$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$,将$A(-2,0)$,$C'(0,4)$代入,得$\begin{cases}b=4,\\-2k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=2,\\b=4,\end{cases}$所以直线$AC'$表达式为$y=2x+4$。由$\begin{cases}y=2x+4,\\y=x^2-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2,\\y=0,\end{cases}$或$\begin{cases}x=4,\\y=12。\end{cases}$所以点P的坐标为$(4,12)$。
解析
【分析】
（1）求抛物线表达式需先确定参数m的值：首先令y=0求解方程得到抛物线与x轴的交点A的坐标，再结合OC=2OA的条件求出C点坐标，将C点代入抛物线解析式即可求出m，得到表达式。
（2）若x轴平分∠PAC，根据角平分线的轴对称性，x轴是∠PAC的对称轴，因此点C关于x轴的对称点一定在射线AP上，先求出对称点坐标，再求过A点和对称点的直线解析式，将直线与抛物线解析式联立求解，除A点外的交点即为所求P点。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=mx^2 -4m(m＞0)$，令$y=0$，得$mx^2-4m=0$，
∵$m＞0$，方程两边同除以m得$x^2-4=0$，解得$x=±2$，
∴$A(-2,0)$，$B(2,0)$，即$OA=2$。
由$OC=2OA$得$OC=4$，结合图象可知C点在y轴负半轴，故$C(0,-4)$，
将$C(0,-4)$代入$y=mx^2-4m$，得$-4m=-4$，解得$m=1$，
∴抛物线表达式为$y=x^2-4$。
(2) 存在符合条件的点P，理由如下：
取C点关于x轴的对称点$C'(0,4)$，
∵$AO⊥CC'$且$OC=OC'$，
∴x轴平分$∠CAC'$，即$∠C'AO=∠CAO$，因此直线$AC'$与抛物线的交点（除A点外）即为所求P点。
设直线$AC'$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-2,0)$、$C'(0,4)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\-2k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=4\end{cases}$，即直线$AC'$的表达式为$y=2x+4$。
联立直线与抛物线解析式$\begin{cases}y=2x+4\\y=x^2-4\end{cases}$，整理得$x^2-2x-8=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=4$，其中$x=-2$对应点A，当$x=4$时，$y=2×4+4=12$，
∴P点坐标为$(4,12)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4$
(2) 存在，P点坐标为$(4,12)$
【知识点】
二次函数解析式求解，角平分线的性质，函数交点计算
【点评】
本题是二次函数与几何性质结合的基础综合题，第一问侧重二次函数与坐标轴交点的基础计算，第二问的核心是利用角平分线的轴对称性将角度条件转化为直线方程，再通过联立解析式求交点，对代数与几何结合的转化思想有一定考查。
【难度系数】
0.6
（1）求抛物线表达式需先确定参数m的值：首先令y=0求解方程得到抛物线与x轴的交点A的坐标，再结合OC=2OA的条件求出C点坐标，将C点代入抛物线解析式即可求出m，得到表达式。
（2）若x轴平分∠PAC，根据角平分线的轴对称性，x轴是∠PAC的对称轴，因此点C关于x轴的对称点一定在射线AP上，先求出对称点坐标，再求过A点和对称点的直线解析式，将直线与抛物线解析式联立求解，除A点外的交点即为所求P点。
【解析】
(1) 对于抛物线$y=mx^2 -4m(m＞0)$，令$y=0$，得$mx^2-4m=0$，
∵$m＞0$，方程两边同除以m得$x^2-4=0$，解得$x=±2$，
∴$A(-2,0)$，$B(2,0)$，即$OA=2$。
由$OC=2OA$得$OC=4$，结合图象可知C点在y轴负半轴，故$C(0,-4)$，
将$C(0,-4)$代入$y=mx^2-4m$，得$-4m=-4$，解得$m=1$，
∴抛物线表达式为$y=x^2-4$。
(2) 存在符合条件的点P，理由如下：
取C点关于x轴的对称点$C'(0,4)$，
∵$AO⊥CC'$且$OC=OC'$，
∴x轴平分$∠CAC'$，即$∠C'AO=∠CAO$，因此直线$AC'$与抛物线的交点（除A点外）即为所求P点。
设直线$AC'$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$A(-2,0)$、$C'(0,4)$代入得：
$\begin{cases}b=4\\-2k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2\\b=4\end{cases}$，即直线$AC'$的表达式为$y=2x+4$。
联立直线与抛物线解析式$\begin{cases}y=2x+4\\y=x^2-4\end{cases}$，整理得$x^2-2x-8=0$，
解得$x_1=-2$，$x_2=4$，其中$x=-2$对应点A，当$x=4$时，$y=2×4+4=12$，
∴P点坐标为$(4,12)$。
【答案】
(1) $y=x^2-4$
(2) 存在，P点坐标为$(4,12)$
【知识点】
二次函数解析式求解，角平分线的性质，函数交点计算
【点评】
本题是二次函数与几何性质结合的基础综合题，第一问侧重二次函数与坐标轴交点的基础计算，第二问的核心是利用角平分线的轴对称性将角度条件转化为直线方程，再通过联立解析式求交点，对代数与几何结合的转化思想有一定考查。
【难度系数】
0.6
26 如图,点 A 在 x 轴的负半轴上,OA=4,AB=OB=√5。将△ABO 绕坐标原点 O 顺时针旋转 90°,得到△A₁B₁O,再继续旋转 90°,得到△A₂B₂O。抛物线 y=ax²+bx+3 经过 B、B₁两点。
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 在该抛物线上找一点 P,使得△PBB₂是以 BB₂为底的等腰三角形,求符合条件的点 P 的坐标。
(3) 在该抛物线上,是否存在两点 M、N,使得原点 O 是线段 MN 的中点? 若存在,写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由。
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 在该抛物线上找一点 P,使得△PBB₂是以 BB₂为底的等腰三角形,求符合条件的点 P 的坐标。
(3) 在该抛物线上,是否存在两点 M、N,使得原点 O 是线段 MN 的中点? 若存在,写出这两点的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
(1) 如图,过点B作$BE⊥OA$于点E,因为$AB=OB$,所以$OE=\frac{1}{2}OA=2$。又$OB=\sqrt{5}$,所以$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=1$。所以$B(-2,1)$。所以$B_1(1,2)$,$B_2(2,-1)$。因为抛物线$y=ax^2+bx+3$经过B、$B_1$两点,所以$\begin{cases}4a-2b+3=1,\\a+b+3=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{3},\\b=-\frac{1}{3},\end{cases}$所以抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3$。
(2) 点P应在线段$BB_2$的垂直平分线上,由题意可知,$OB_1⊥BB_2$且平分$BB_2$,所以点P在直线$OB_1$上。易求得$OB_1$所在直线的表达式为$y=2x$。又点P是直线$y=2x$与抛物线$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3$的交点,由$\begin{cases}y=2x,\\y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=2,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=-\frac{9}{2},\\y_2=-9。\end{cases}$所以符合条件的点P有两个,分别是$P_1(1,2)$,$P_2(-\frac{9}{2},-9)$。
(3) 存在,$M(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$N(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$,理由如下:设$M(m,-\frac{2}{3}m^2-\frac{1}{3}m+3)$。因为M、N两点关于点O对称,所以$N(-m,\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m-3)$。将$N(-m,\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m-3)$代入抛物线的表达式,得$\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m-3=-\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m+3$,解得$m=±\frac{3}{2}\sqrt{2}$,所以$M(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$,$N(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
解析
【分析】
(1) 求解抛物线表达式需先确定抛物线上点B、B₁的坐标：利用等腰三角形三线合一求出OE长度，再通过勾股定理计算BE长度得到B点坐标；根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律得到B₁坐标，将两点代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求得系数，得到表达式。
(2) 以BB₂为底的等腰三角形顶点P，满足到B、B₂两点距离相等，因此P在BB₂的垂直平分线上；由旋转性质可知OB₁是BB₂的垂直平分线，求出直线OB₁的解析式后与抛物线解析式联立，解方程组即可得到P点坐标。
(3) 若原点是MN的中点，则M、N关于原点中心对称，设M点坐标，根据中心对称性质写出N点坐标，将N点坐标代入抛物线解析式，若方程有解则存在符合条件的点，反之不存在。
【解析】
(1) 过点B作$BE⊥OA$于点E，因为$AB=OB$，所以$OE=\frac{1}{2}OA=2$。又$OB=\sqrt{5}$，在$Rt△ BEO$中由勾股定理得$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=1$，因此$B(-2,1)$。
根据旋转坐标变换规律，可得旋转后$B_1(1,2)$，$B_2(2,-1)$。
将B、$B_1$坐标代入抛物线$y=ax^2+bx+3$，得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+3=1,\\a+b+3=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{3},\\b=-\frac{1}{3},\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3$。
(2) 等腰三角形以BB₂为底，因此P在BB₂的垂直平分线上。由旋转性质得$OB_1⊥BB_2$且平分$BB_2$，即BB₂的垂直平分线为直线$OB_1$。
将$B_1(1,2)$代入正比例函数解析式，得直线$OB_1$的表达式为$y=2x$。
联立直线与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=2x,\\y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3,\end{cases}$
化简得$2x^2+7x-9=0$，解得$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=2,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=-\frac{9}{2},\\y_2=-9。\end{cases}$
因此符合条件的点P坐标为$P_1(1,2)$，$P_2(-\frac{9}{2},-9)$。
(3) 存在，理由如下：
若原点是MN的中点，则M、N关于原点中心对称，设$M(m,-\frac{2}{3}m^2-\frac{1}{3}m+3)$，则$N(-m,\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m-3)$。
将N点坐标代入抛物线表达式，得：
$\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m-3=-\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m+3$
化简得$\frac{4}{3}m^2=6$，解得$m=±\frac{3}{2}\sqrt{2}$，代入得对应坐标：
$M(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$N(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3$。
(2) 符合条件的点P坐标为$P_1(1,2)$，$P_2(-\frac{9}{2},-9)$。
(3) 存在，两点坐标为$M(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$N(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
【知识点】
待定系数法求解析式，旋转的坐标规律，中心对称性质
【点评】
本题是二次函数与几何变换结合的综合题，融合了等腰三角形性质、旋转变换、中心对称等知识点，需要熟练运用方程思想、数形结合思想解题，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 求解抛物线表达式需先确定抛物线上点B、B₁的坐标：利用等腰三角形三线合一求出OE长度，再通过勾股定理计算BE长度得到B点坐标；根据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律得到B₁坐标，将两点代入抛物线解析式，解二元一次方程组即可求得系数，得到表达式。
(2) 以BB₂为底的等腰三角形顶点P，满足到B、B₂两点距离相等，因此P在BB₂的垂直平分线上；由旋转性质可知OB₁是BB₂的垂直平分线，求出直线OB₁的解析式后与抛物线解析式联立，解方程组即可得到P点坐标。
(3) 若原点是MN的中点，则M、N关于原点中心对称，设M点坐标，根据中心对称性质写出N点坐标，将N点坐标代入抛物线解析式，若方程有解则存在符合条件的点，反之不存在。
【解析】
(1) 过点B作$BE⊥OA$于点E，因为$AB=OB$，所以$OE=\frac{1}{2}OA=2$。又$OB=\sqrt{5}$，在$Rt△ BEO$中由勾股定理得$BE=\sqrt{OB^2-OE^2}=1$，因此$B(-2,1)$。
根据旋转坐标变换规律，可得旋转后$B_1(1,2)$，$B_2(2,-1)$。
将B、$B_1$坐标代入抛物线$y=ax^2+bx+3$，得方程组：
$\begin{cases}4a-2b+3=1,\\a+b+3=2,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-\frac{2}{3},\\b=-\frac{1}{3},\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3$。
(2) 等腰三角形以BB₂为底，因此P在BB₂的垂直平分线上。由旋转性质得$OB_1⊥BB_2$且平分$BB_2$，即BB₂的垂直平分线为直线$OB_1$。
将$B_1(1,2)$代入正比例函数解析式，得直线$OB_1$的表达式为$y=2x$。
联立直线与抛物线解析式：
$\begin{cases}y=2x,\\y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3,\end{cases}$
化简得$2x^2+7x-9=0$，解得$\begin{cases}x_1=1,\\y_1=2,\end{cases}$$\begin{cases}x_2=-\frac{9}{2},\\y_2=-9。\end{cases}$
因此符合条件的点P坐标为$P_1(1,2)$，$P_2(-\frac{9}{2},-9)$。
(3) 存在，理由如下：
若原点是MN的中点，则M、N关于原点中心对称，设$M(m,-\frac{2}{3}m^2-\frac{1}{3}m+3)$，则$N(-m,\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m-3)$。
将N点坐标代入抛物线表达式，得：
$\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m-3=-\frac{2}{3}m^2+\frac{1}{3}m+3$
化简得$\frac{4}{3}m^2=6$，解得$m=±\frac{3}{2}\sqrt{2}$，代入得对应坐标：
$M(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$N(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$y=-\frac{2}{3}x^2-\frac{1}{3}x+3$。
(2) 符合条件的点P坐标为$P_1(1,2)$，$P_2(-\frac{9}{2},-9)$。
(3) 存在，两点坐标为$M(-\frac{3\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$N(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
【知识点】
待定系数法求解析式，旋转的坐标规律，中心对称性质
【点评】
本题是二次函数与几何变换结合的综合题，融合了等腰三角形性质、旋转变换、中心对称等知识点，需要熟练运用方程思想、数形结合思想解题，能有效锻炼知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
