登录
1 将二次函数$y=2x^2 -4x +4$的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图像的函数表达式为(
A.$y=2(x+1)^2 +1$
B.$y=2(x+1)^2 +3$
C.$y=2(x-3)^2 +1$
D.$y=-2(x-3)^2 +3$
A
)。A.$y=2(x+1)^2 +1$
B.$y=2(x+1)^2 +3$
C.$y=2(x-3)^2 +1$
D.$y=-2(x-3)^2 +3$
答案
1. A
解析
【分析】
解决二次函数图像平移的问题，我们可以先将给定的二次函数一般式通过配方转化为顶点式，方便确定顶点特征，再根据平移“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的规则，对顶点式进行调整，就能快速得到平移后的函数表达式。
【解析】
首先将原二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+4\\&=2(x^2-2x)+4\\&=2(x^2-2x+1-1)+4\\&=2[(x-1)^2-1]+4\\&=2(x-1)^2-2+4\\&=2(x-1)^2+2\end{aligned}$
再根据平移规则变换函数式：
1. 向左平移2个单位，将自变量x替换为$x+2$，得：$y=2[(x+2)-1]^2+2=2(x+1)^2+2$
2. 再向下平移1个单位，给函数整体减1，得：$y=2(x+1)^2+2-1=2(x+1)^2+1$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，注意“左加右减”仅针对自变量x本身操作，避免混淆符号出错。
【难度系数】
0.8
解决二次函数图像平移的问题，我们可以先将给定的二次函数一般式通过配方转化为顶点式，方便确定顶点特征，再根据平移“左加右减（针对自变量x）、上加下减（针对函数整体）”的规则，对顶点式进行调整，就能快速得到平移后的函数表达式。
【解析】
首先将原二次函数配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=2x^2-4x+4\\&=2(x^2-2x)+4\\&=2(x^2-2x+1-1)+4\\&=2[(x-1)^2-1]+4\\&=2(x-1)^2-2+4\\&=2(x-1)^2+2\end{aligned}$
再根据平移规则变换函数式：
1. 向左平移2个单位，将自变量x替换为$x+2$，得：$y=2[(x+2)-1]^2+2=2(x+1)^2+2$
2. 再向下平移1个单位，给函数整体减1，得：$y=2(x+1)^2+2-1=2(x+1)^2+1$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题核心是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，注意“左加右减”仅针对自变量x本身操作，避免混淆符号出错。
【难度系数】
0.8
2 若抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$经过原点和第一、二、三象限，则（
A.$a＞0, b＞0, c=0$
B.$a＞0, b＜0, c=0$
C.$a＜0, b＞0, c=0$
D.$a＜0, b＜0, c=0$
A
）。A.$a＞0, b＞0, c=0$
B.$a＞0, b＜0, c=0$
C.$a＜0, b＞0, c=0$
D.$a＜0, b＜0, c=0$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时可按三步推导：第一步，先利用抛物线过原点的特征，代入原点坐标可直接确定c的取值；第二步，结合抛物线经过的象限判断开口方向，确定a的符号，排除明显错误的选项；第三步，根据抛物线要经过第三象限的要求，判断其与x轴另一个交点的位置，结合a的符号推导b的符号，最终锁定正确答案。
【解析】
解：① 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入解析式得：$0=a×0^2+b×0+c$，解得$c=0$；
② 抛物线经过第一、二、三象限，说明开口向上，因此$a＞0$，直接排除C、D两个$a＜0$的选项；
③ 抛物线过原点且开口向上，若要经过第三象限，则抛物线和x轴的另一个交点需在x轴负半轴。根据二次函数根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，其中一个根为0，因此另一个根为$-\frac{b}{a}＜0$。已知$a＞0$，则$-b＜0$，即$b＞0$，排除B选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数关系、二次函数点的坐标特征、韦达定理
【点评】
本题是二次函数系数符号判断的常考基础题，解题的核心是熟练掌握二次函数开口方向、交点位置、象限分布和系数的对应关系，结合已知条件逐步推导排除错误选项即可。
【难度系数】
0.8
解题时可按三步推导：第一步，先利用抛物线过原点的特征，代入原点坐标可直接确定c的取值；第二步，结合抛物线经过的象限判断开口方向，确定a的符号，排除明显错误的选项；第三步，根据抛物线要经过第三象限的要求，判断其与x轴另一个交点的位置，结合a的符号推导b的符号，最终锁定正确答案。
【解析】
解：① 已知抛物线$y=ax^2+bx+c$经过原点$(0,0)$，将$(0,0)$代入解析式得：$0=a×0^2+b×0+c$，解得$c=0$；
② 抛物线经过第一、二、三象限，说明开口向上，因此$a＞0$，直接排除C、D两个$a＜0$的选项；
③ 抛物线过原点且开口向上，若要经过第三象限，则抛物线和x轴的另一个交点需在x轴负半轴。根据二次函数根与系数的关系，两根之和为$-\frac{b}{a}$，其中一个根为0，因此另一个根为$-\frac{b}{a}＜0$。已知$a＞0$，则$-b＜0$，即$b＞0$，排除B选项。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数关系、二次函数点的坐标特征、韦达定理
【点评】
本题是二次函数系数符号判断的常考基础题，解题的核心是熟练掌握二次函数开口方向、交点位置、象限分布和系数的对应关系，结合已知条件逐步推导排除错误选项即可。
【难度系数】
0.8
3 已知抛物线$y=x^2 - bx(b≠0)$的顶点为C，与x轴的两个交点分别为A、B，且△ABC为等腰直角三角形，则△ABC的面积为(
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.1
D
)。A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.1
答案
3. D
解析
【分析】
解题思路可分三步：①先求抛物线与x轴交点A、B的坐标，得到斜边AB的长度；②将抛物线配方求顶点C的坐标，得到等腰直角三角形斜边上的高（即顶点C纵坐标的绝对值）；③利用等腰直角三角形“斜边上的高等于斜边的一半”的性质列等式，求出参数b相关的值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令y=0，则$x^2 - bx = 0$，因式分解得$x(x-b)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=b$，
∴A(0,0)，B(b,0)，则AB的长度为$|b|$。
2. 求顶点C的坐标：
将抛物线配方：$y=x^2 - bx = (x-\frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}$，
∴顶点C坐标为$(\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4})$，点C到x轴（即AB边）的距离为$|-\frac{b^2}{4}|=\frac{b^2}{4}$。
3. 利用等腰直角三角形性质列等式：
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∴C为直角顶点，斜边上的高等于斜边的一半，
即$\frac{b^2}{4} = \frac{1}{2}|b|$，
∵b≠0，两边同时除以$|b|$得$\frac{|b|}{4}=\frac{1}{2}$，解得$|b|=2$。
4. 计算△ABC的面积：
AB长为$|b|=2$，高为$\frac{b^2}{4}=\frac{4}{4}=1$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质；等腰直角三角形的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数与几何的综合基础题，解题核心是抓住等腰直角三角形的特性建立关于参数的等式，无需单独求出b的值即可计算面积，能很好地考查学生对函数性质和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：①先求抛物线与x轴交点A、B的坐标，得到斜边AB的长度；②将抛物线配方求顶点C的坐标，得到等腰直角三角形斜边上的高（即顶点C纵坐标的绝对值）；③利用等腰直角三角形“斜边上的高等于斜边的一半”的性质列等式，求出参数b相关的值，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
令y=0，则$x^2 - bx = 0$，因式分解得$x(x-b)=0$，解得$x_1=0$，$x_2=b$，
∴A(0,0)，B(b,0)，则AB的长度为$|b|$。
2. 求顶点C的坐标：
将抛物线配方：$y=x^2 - bx = (x-\frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4}$，
∴顶点C坐标为$(\frac{b}{2}, -\frac{b^2}{4})$，点C到x轴（即AB边）的距离为$|-\frac{b^2}{4}|=\frac{b^2}{4}$。
3. 利用等腰直角三角形性质列等式：
∵△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∴C为直角顶点，斜边上的高等于斜边的一半，
即$\frac{b^2}{4} = \frac{1}{2}|b|$，
∵b≠0，两边同时除以$|b|$得$\frac{|b|}{4}=\frac{1}{2}$，解得$|b|=2$。
4. 计算△ABC的面积：
AB长为$|b|=2$，高为$\frac{b^2}{4}=\frac{4}{4}=1$，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AB×高=\frac{1}{2}×2×1=1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质；等腰直角三角形的性质；二次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题是二次函数与几何的综合基础题，解题核心是抓住等腰直角三角形的特性建立关于参数的等式，无需单独求出b的值即可计算面积，能很好地考查学生对函数性质和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4 函数$y=ax^2+ax$与函数$y=\frac{a}{x}(a＜0)$，它们在同一坐标系中的大致图像是(
B
)。答案
4. B
解析
【分析】
解题时我们先结合已知条件a＜0，分别分析两个函数的图像特征，采用排除法逐步筛选正确选项：首先根据a的符号判断反比例函数所在象限，排除不符合的选项；再分析二次函数的开口方向、与坐标轴交点、对称轴等特征，排除剩余错误选项即可得到答案。
【解析】
已知a＜0，分步分析：
1. 分析反比例函数$y=\frac{a}{x}$：
当a＜0时，反比例函数的图像位于第二、四象限，因此反比例图像在第一、三象限的选项A不符合，排除A；同时二次项系数a＜0说明二次函数开口向下，选项D的二次函数开口向上，排除D。
2. 分析二次函数$y=ax^2+ax$：
① 代入x=0得y=0，因此二次函数图像过原点$(0,0)$；
② 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入b=a得对称轴为$x=-\frac{a}{2a}=-\frac{1}{2}$，即对称轴在y轴左侧，顶点在x负半轴上方。
3. 筛选剩余选项B、C：
选项C中x＞0时反比例函数图像位于第一象限（y＞0），说明a＞0，与已知a＜0矛盾，排除C；选项B中反比例函数位于二、四象限，二次函数开口向下、过原点、对称轴在y轴左侧，所有特征均符合条件。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图像性质；二次函数图像性质
【点评】
本题考查函数图像与系数的对应关系，解题时结合已知参数的符号，分别推导两类函数的图像特征，用排除法可以快速降低解题难度，需熟练掌握不同函数的系数对图像的影响。
【难度系数】
0.7
解题时我们先结合已知条件a＜0，分别分析两个函数的图像特征，采用排除法逐步筛选正确选项：首先根据a的符号判断反比例函数所在象限，排除不符合的选项；再分析二次函数的开口方向、与坐标轴交点、对称轴等特征，排除剩余错误选项即可得到答案。
【解析】
已知a＜0，分步分析：
1. 分析反比例函数$y=\frac{a}{x}$：
当a＜0时，反比例函数的图像位于第二、四象限，因此反比例图像在第一、三象限的选项A不符合，排除A；同时二次项系数a＜0说明二次函数开口向下，选项D的二次函数开口向上，排除D。
2. 分析二次函数$y=ax^2+ax$：
① 代入x=0得y=0，因此二次函数图像过原点$(0,0)$；
② 由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入b=a得对称轴为$x=-\frac{a}{2a}=-\frac{1}{2}$，即对称轴在y轴左侧，顶点在x负半轴上方。
3. 筛选剩余选项B、C：
选项C中x＞0时反比例函数图像位于第一象限（y＞0），说明a＞0，与已知a＜0矛盾，排除C；选项B中反比例函数位于二、四象限，二次函数开口向下、过原点、对称轴在y轴左侧，所有特征均符合条件。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图像性质；二次函数图像性质
【点评】
本题考查函数图像与系数的对应关系，解题时结合已知参数的符号，分别推导两类函数的图像特征，用排除法可以快速降低解题难度，需熟练掌握不同函数的系数对图像的影响。
【难度系数】
0.7
5 已知二次函数$y=x^2 -bx +1(-1≤b≤1)$，当b从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是(
A.先往左上方移动，再往左下方移动
B.先往左下方移动，再往左上方移动
C.先往右上方移动，再往右下方移动
D.先往右下方移动，再往右上方移动
C
)。A.先往左上方移动，再往左下方移动
B.先往左下方移动，再往左上方移动
C.先往右上方移动，再往右下方移动
D.先往右下方移动，再往右上方移动
答案
5. C
[提示:由$y = x^2 - bx + 1 = (x - \frac{b}{2})^2 + \frac{4 - b^2}{4}$,得顶点坐标为$(\frac{b}{2}, \frac{4 - b^2}{4})$。在b从-1逐渐变化到1的过程中,横坐标$\frac{b}{2}$随着b的增大而增大,纵坐标$\frac{4 - b^2}{4}$随着b的增大先增大,后减小,所以抛物线始终向右运动,先往右上方移动,再往右下方移动。]
[提示:由$y = x^2 - bx + 1 = (x - \frac{b}{2})^2 + \frac{4 - b^2}{4}$,得顶点坐标为$(\frac{b}{2}, \frac{4 - b^2}{4})$。在b从-1逐渐变化到1的过程中,横坐标$\frac{b}{2}$随着b的增大而增大,纵坐标$\frac{4 - b^2}{4}$随着b的增大先增大,后减小,所以抛物线始终向右运动,先往右上方移动,再往右下方移动。]
解析
【分析】
要判断抛物线的移动方向，由于抛物线平移时形状不变，只需跟踪顶点坐标的变化即可。首先将二次函数的一般式配方为顶点式，得到顶点横、纵坐标与参数b的关系，再分别分析b从-1逐渐增大到1的过程中，顶点横、纵坐标的变化规律，即可得到抛物线的移动方向。
【解析】
首先将二次函数$y=x^2 -bx +1$配方转化为顶点式：
$y=x^2 -bx +1 = x^2 -bx + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 +1 = (x-\frac{b}{2})^2 + \frac{4-b^2}{4}$
由此可得抛物线的顶点坐标为$(\frac{b}{2}, \frac{4-b^2}{4})$。
接下来分析b从-1变化到1的过程中顶点的运动：
1. 横坐标分析：横坐标为$\frac{b}{2}$，b从-1逐渐增大到1时，$\frac{b}{2}$的值持续增大，说明顶点始终向右移动，即抛物线整体始终向右运动；
2. 纵坐标分析：纵坐标为$\frac{4-b^2}{4}=1-\frac{b^2}{4}$，当b从-1增大到0时，$b^2$逐渐减小，纵坐标逐渐增大，即顶点向上移动；当b从0增大到1时，$b^2$逐渐增大，纵坐标逐渐减小，即顶点向下移动。
结合横、纵坐标的变化规律：抛物线先往右上方移动，再往右下方移动，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；抛物线平移规律；二次函数图象性质
【点评】
本题核心是将抛物线的整体移动转化为顶点坐标的变化分析，解题关键是熟练掌握二次函数一般式配顶点式的方法，通过分析参数变化对顶点坐标的影响，就能快速判断抛物线的移动方向，避免了分析整个抛物线的复杂过程。
【难度系数】
0.6
要判断抛物线的移动方向，由于抛物线平移时形状不变，只需跟踪顶点坐标的变化即可。首先将二次函数的一般式配方为顶点式，得到顶点横、纵坐标与参数b的关系，再分别分析b从-1逐渐增大到1的过程中，顶点横、纵坐标的变化规律，即可得到抛物线的移动方向。
【解析】
首先将二次函数$y=x^2 -bx +1$配方转化为顶点式：
$y=x^2 -bx +1 = x^2 -bx + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 +1 = (x-\frac{b}{2})^2 + \frac{4-b^2}{4}$
由此可得抛物线的顶点坐标为$(\frac{b}{2}, \frac{4-b^2}{4})$。
接下来分析b从-1变化到1的过程中顶点的运动：
1. 横坐标分析：横坐标为$\frac{b}{2}$，b从-1逐渐增大到1时，$\frac{b}{2}$的值持续增大，说明顶点始终向右移动，即抛物线整体始终向右运动；
2. 纵坐标分析：纵坐标为$\frac{4-b^2}{4}=1-\frac{b^2}{4}$，当b从-1增大到0时，$b^2$逐渐减小，纵坐标逐渐增大，即顶点向上移动；当b从0增大到1时，$b^2$逐渐增大，纵坐标逐渐减小，即顶点向下移动。
结合横、纵坐标的变化规律：抛物线先往右上方移动，再往右下方移动，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式；抛物线平移规律；二次函数图象性质
【点评】
本题核心是将抛物线的整体移动转化为顶点坐标的变化分析，解题关键是熟练掌握二次函数一般式配顶点式的方法，通过分析参数变化对顶点坐标的影响，就能快速判断抛物线的移动方向，避免了分析整个抛物线的复杂过程。
【难度系数】
0.6
6 在平面直角坐标系中,若抛物线 $ y_1 = -x^2 - nx + 2m $ 与 $ y_2 = (x - m + 2)(x + n) $ 关于直线 $ y = m $ 对称,则符合条件的 $ m $ 和 $ n $ 的值可以为(
A.$ m = \frac{10}{7}, n = \frac{34}{7} $
B.$ m = 1, n = \frac{5}{2} $
C.$ m = 10, n = 9 $
D.$ m = 2, n = 2 $
D
)。A.$ m = \frac{10}{7}, n = \frac{34}{7} $
B.$ m = 1, n = \frac{5}{2} $
C.$ m = 10, n = 9 $
D.$ m = 2, n = 2 $
答案
6. D
[提示:因为抛物线$y_1 = -x^2 - nx + 2m$与$y_2 = (x - m + 2)(x + n)$关于直线$y = m$对称,所以两条抛物线的对称轴相同。又抛物线$y_1$的对称轴为直线$x = -\frac{n}{2}$,抛物线$y_2$与x轴交于点$(m - 2, 0)$和$(-n, 0)$,所以对称轴为直线$x = \frac{m - 2 - n}{2}$,所以$-\frac{n}{2} = \frac{m - 2 - n}{2}$,解得$m = 2$。]
[提示:因为抛物线$y_1 = -x^2 - nx + 2m$与$y_2 = (x - m + 2)(x + n)$关于直线$y = m$对称,所以两条抛物线的对称轴相同。又抛物线$y_1$的对称轴为直线$x = -\frac{n}{2}$,抛物线$y_2$与x轴交于点$(m - 2, 0)$和$(-n, 0)$,所以对称轴为直线$x = \frac{m - 2 - n}{2}$,所以$-\frac{n}{2} = \frac{m - 2 - n}{2}$,解得$m = 2$。]
解析
【分析】
解题时首先利用关于直线$y=m$对称的两条抛物线的性质：由于是沿水平直线上下翻折得到，两条抛物线的对称轴为同一条竖直直线。接下来分别求出两条抛物线的对称轴：对于一般式的$y_1$，用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；对于交点式的$y_2$，其对称轴是与x轴两个交点横坐标的平均值。令两个对称轴相等，即可先求出$m$的取值，再结合选项选出符合条件的答案即可。
【解析】
∵ 抛物线$y_1 = -x^2 - nx + 2m$与$y_2 = (x - m + 2)(x + n)$关于直线$y = m$对称，
∴ 两条抛物线的对称轴为同一条竖直直线。
对于抛物线$y_1 = -x^2 - nx + 2m$，其中$a=-1$，$b=-n$，由对称轴公式得：
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-n}{2×(-1)} = -\frac{n}{2}$。
对于抛物线$y_2 = (x - m + 2)(x + n)$，其与x轴的交点为$(m-2, 0)$和$(-n, 0)$，
∴ 对称轴为两个交点横坐标的中点，即直线$x = \frac{(m-2) + (-n)}{2} = \frac{m - 2 - n}{2}$。
令两个对称轴相等：
$-\frac{n}{2} = \frac{m - 2 - n}{2}$
两边同乘2得：$-n = m - 2 - n$
化简得：$m = 2$
观察四个选项，只有D选项中$m=2$，符合条件，验证可知该组取值满足对称要求。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数对称轴计算 2.函数对称的性质 3.二次函数交点式应用
【点评】
本题解题核心是抓住关于水平直线对称的抛物线对称轴不变的特点，通过计算两条抛物线对称轴列等式快速求出m的值，结合选项即可得到答案，无需逐一验证选项，降低了计算量，侧重考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用关于直线$y=m$对称的两条抛物线的性质：由于是沿水平直线上下翻折得到，两条抛物线的对称轴为同一条竖直直线。接下来分别求出两条抛物线的对称轴：对于一般式的$y_1$，用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；对于交点式的$y_2$，其对称轴是与x轴两个交点横坐标的平均值。令两个对称轴相等，即可先求出$m$的取值，再结合选项选出符合条件的答案即可。
【解析】
∵ 抛物线$y_1 = -x^2 - nx + 2m$与$y_2 = (x - m + 2)(x + n)$关于直线$y = m$对称，
∴ 两条抛物线的对称轴为同一条竖直直线。
对于抛物线$y_1 = -x^2 - nx + 2m$，其中$a=-1$，$b=-n$，由对称轴公式得：
对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-n}{2×(-1)} = -\frac{n}{2}$。
对于抛物线$y_2 = (x - m + 2)(x + n)$，其与x轴的交点为$(m-2, 0)$和$(-n, 0)$，
∴ 对称轴为两个交点横坐标的中点，即直线$x = \frac{(m-2) + (-n)}{2} = \frac{m - 2 - n}{2}$。
令两个对称轴相等：
$-\frac{n}{2} = \frac{m - 2 - n}{2}$
两边同乘2得：$-n = m - 2 - n$
化简得：$m = 2$
观察四个选项，只有D选项中$m=2$，符合条件，验证可知该组取值满足对称要求。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数对称轴计算 2.函数对称的性质 3.二次函数交点式应用
【点评】
本题解题核心是抓住关于水平直线对称的抛物线对称轴不变的特点，通过计算两条抛物线对称轴列等式快速求出m的值，结合选项即可得到答案，无需逐一验证选项，降低了计算量，侧重考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7 二次函数 $y=-2x^2 -4x -5$ 的顶点坐标是
(-1, -3)
。答案
7. (-1, -3)
解析
【分析】
求二次函数的顶点坐标常用两种符合九年级学段要求的方法：一是配方法，将二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到顶点坐标为$(h,k)$；二是顶点坐标公式法，直接代入公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算。解题时需注意各系数的符号，避免计算错误。
【解析】
方法一：配方法
对$y=-2x^2-4x-5$进行配方：
1. 提取前两项的二次项系数：$y=-2(x^2+2x)-5$
2. 括号内凑完全平方：$x^2+2x=(x+1)^2-1$，代入后化简：
$y=-2[(x+1)^2-1]-5=-2(x+1)^2+2-5=-2(x+1)^2-3$
根据顶点式特征，顶点坐标为$(-1,-3)$。
方法二：顶点坐标公式法
已知二次函数$y=-2x^2-4x-5$中，$a=-2$，$b=-4$，$c=-5$：
1. 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×(-2)}=-1$
2. 计算顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×(-5)-(-4)^2}{4×(-2)}=\frac{40-16}{-8}=-3$
因此顶点坐标为$(-1,-3)$。
【答案】
$(-1,-3)$
【知识点】
二次函数顶点坐标求解；配方法；顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础题型，核心考查一般式求顶点坐标的两种常用方法，解题的易错点是符号运算，平时练习时要养成核对系数符号的习惯，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
求二次函数的顶点坐标常用两种符合九年级学段要求的方法：一是配方法，将二次函数一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，即可直接得到顶点坐标为$(h,k)$；二是顶点坐标公式法，直接代入公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$计算。解题时需注意各系数的符号，避免计算错误。
【解析】
方法一：配方法
对$y=-2x^2-4x-5$进行配方：
1. 提取前两项的二次项系数：$y=-2(x^2+2x)-5$
2. 括号内凑完全平方：$x^2+2x=(x+1)^2-1$，代入后化简：
$y=-2[(x+1)^2-1]-5=-2(x+1)^2+2-5=-2(x+1)^2-3$
根据顶点式特征，顶点坐标为$(-1,-3)$。
方法二：顶点坐标公式法
已知二次函数$y=-2x^2-4x-5$中，$a=-2$，$b=-4$，$c=-5$：
1. 计算顶点横坐标：$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×(-2)}=-1$
2. 计算顶点纵坐标：$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4×(-2)×(-5)-(-4)^2}{4×(-2)}=\frac{40-16}{-8}=-3$
因此顶点坐标为$(-1,-3)$。
【答案】
$(-1,-3)$
【知识点】
二次函数顶点坐标求解；配方法；顶点坐标公式
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础题型，核心考查一般式求顶点坐标的两种常用方法，解题的易错点是符号运算，平时练习时要养成核对系数符号的习惯，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
⑧如果二次函数$y=ax^2 + 4x - \dfrac{1}{6}$的图像的顶点的横坐标为1，则a的值为
-2
。答案
8. -2
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确二次函数的顶点在对称轴上，因此顶点的横坐标就是二次函数的对称轴对应的x值。我们可以直接利用二次函数的对称轴公式列出关于a的方程，解方程即可求出a的值，解题时要注意公式里的符号不要写错。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴的公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点的横坐标等于对称轴的x值。
本题中二次函数为$y=ax^2 + 4x - \dfrac{1}{6}$，对应可得$b=4$，已知顶点横坐标为1，即对称轴$x=1$，代入公式得：
$-\dfrac{4}{2a}=1$
化简得：
$-\dfrac{2}{a}=1$
解得$a=-2$，符合二次函数$a≠0$的要求。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数顶点性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点横坐标与对称轴的关系，只要牢记对称轴公式，避免符号错误就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确二次函数的顶点在对称轴上，因此顶点的横坐标就是二次函数的对称轴对应的x值。我们可以直接利用二次函数的对称轴公式列出关于a的方程，解方程即可求出a的值，解题时要注意公式里的符号不要写错。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其对称轴的公式为$x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点的横坐标等于对称轴的x值。
本题中二次函数为$y=ax^2 + 4x - \dfrac{1}{6}$，对应可得$b=4$，已知顶点横坐标为1，即对称轴$x=1$，代入公式得：
$-\dfrac{4}{2a}=1$
化简得：
$-\dfrac{2}{a}=1$
解得$a=-2$，符合二次函数$a≠0$的要求。
【答案】
-2
【知识点】
二次函数对称轴公式；二次函数顶点性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查二次函数顶点横坐标与对称轴的关系，只要牢记对称轴公式，避免符号错误就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
9 函数 $y=x^2 - 2x - 3$ 的最小值是
-4
。答案
9. -4
解析
【分析】
该函数是二次函数，首先判断二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值就是抛物线顶点的纵坐标。求解时可选择两种符合学段要求的方法：一是用配方法将函数解析式转化为顶点式，直接读取顶点的纵坐标；二是直接代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算结果。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$y=x^2 - 2x - 3$
$=x^2 -2x +1 -1 -3$
$=(x-1)^2 -4$
因为平方数具有非负性，即$(x-1)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=1$时，$(x-1)^2$取得最小值0，此时$y$的最小值为$0-4=-4$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时，顶点的纵坐标就是函数的最小值，计算公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入公式得：
最小值$=\frac{4×1×(-3) - (-2)^2}{4×1}=\frac{-12-4}{4}=-4$
【答案】
-4
【知识点】
二次函数最值、配方法、顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握配方法变形规则或顶点坐标公式就能快速求解，是二次函数模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
该函数是二次函数，首先判断二次项系数$a=1＞0$，可知抛物线开口向上，函数存在最小值，最小值就是抛物线顶点的纵坐标。求解时可选择两种符合学段要求的方法：一是用配方法将函数解析式转化为顶点式，直接读取顶点的纵坐标；二是直接代入顶点纵坐标公式$\frac{4ac-b^2}{4a}$计算结果。
【解析】
方法一（配方法）：
对函数解析式配方变形：
$y=x^2 - 2x - 3$
$=x^2 -2x +1 -1 -3$
$=(x-1)^2 -4$
因为平方数具有非负性，即$(x-1)^2 ≥ 0$，当且仅当$x=1$时，$(x-1)^2$取得最小值0，此时$y$的最小值为$0-4=-4$。
方法二（顶点公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当$a＞0$时，顶点的纵坐标就是函数的最小值，计算公式为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=1$，$b=-2$，$c=-3$，代入公式得：
最小值$=\frac{4×1×(-3) - (-2)^2}{4×1}=\frac{-12-4}{4}=-4$
【答案】
-4
【知识点】
二次函数最值、配方法、顶点坐标公式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，只要熟练掌握配方法变形规则或顶点坐标公式就能快速求解，是二次函数模块的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
⑩ 把抛物线$y=x^2 -6x +9$向左平移3个单位，再向上平移1个单位，所得图像表达式是
$y=x^2+1$
。答案
10. $y = x^2 + 1$
解析
【分析】
要解决二次函数平移的问题，首先可以先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则算出平移后的顶点坐标，结合平移不改变二次项系数的特点，就能写出平移后的解析式；也可以直接利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律，对原解析式直接变形求解。
【解析】
步骤1：化简原抛物线解析式
原抛物线解析式为$y=x^2 -6x +9$，由完全平方公式因式分解可得：
$y=(x-3)^2$，可知原抛物线顶点坐标为$(3,0)$，二次项系数$a=1$。
步骤2：计算平移后的顶点坐标
根据平移规则：向左平移3个单位，顶点横坐标减少3，即$3-3=0$；向上平移1个单位，顶点纵坐标增加1，即$0+1=1$，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(0,1)$。
步骤3：写出平移后的解析式
抛物线平移不改变形状和开口方向，因此二次项系数仍为1，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）得：
$y=1×(x-0)^2 +1 = x^2 +1$
也可直接用平移规律变形：向左平移3个单位，将解析式中所有$x$替换为$x+3$，再向上平移1个单位，整体加1，即$y=(x+3-3)^2 +1 = x^2 +1$。
【答案】
$y = x^2 + 1$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握平移的运算规则，无论是通过顶点坐标平移还是直接对解析式变形，都要注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的操作，避免代入时出现运算错误。
【难度系数】
0.8
要解决二次函数平移的问题，首先可以先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则算出平移后的顶点坐标，结合平移不改变二次项系数的特点，就能写出平移后的解析式；也可以直接利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律，对原解析式直接变形求解。
【解析】
步骤1：化简原抛物线解析式
原抛物线解析式为$y=x^2 -6x +9$，由完全平方公式因式分解可得：
$y=(x-3)^2$，可知原抛物线顶点坐标为$(3,0)$，二次项系数$a=1$。
步骤2：计算平移后的顶点坐标
根据平移规则：向左平移3个单位，顶点横坐标减少3，即$3-3=0$；向上平移1个单位，顶点纵坐标增加1，即$0+1=1$，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(0,1)$。
步骤3：写出平移后的解析式
抛物线平移不改变形状和开口方向，因此二次项系数仍为1，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）得：
$y=1×(x-0)^2 +1 = x^2 +1$
也可直接用平移规律变形：向左平移3个单位，将解析式中所有$x$替换为$x+3$，再向上平移1个单位，整体加1，即$y=(x+3-3)^2 +1 = x^2 +1$。
【答案】
$y = x^2 + 1$
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数顶点式；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数图像变换的基础题型，核心是掌握平移的运算规则，无论是通过顶点坐标平移还是直接对解析式变形，都要注意“左加右减”是针对自变量$x$本身的操作，避免代入时出现运算错误。
【难度系数】
0.8
