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如图所示的抛物线是二次函数$y=ax^2 - 3x + a^2 - 1$的图像，那么$a$的值是
-1
答案
11. -1
解析
【分析】
解题时先结合抛物线的图象特征，首先发现抛物线经过坐标原点(0,0)，将原点坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，解出a的所有可能取值；再观察抛物线的开口方向，根据二次函数二次项系数的符号与开口方向的对应关系，排除不符合题意的取值，即可得到a的正确值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 - 3x + a^2 - 1$的图象经过原点$(0,0)$
∴ 把$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0 = a· 0^2 - 3× 0 + a^2 - 1$
整理得$a^2 -1=0$，解得$a=1$或$a=-1$
又
∵ 由图象可知抛物线开口向下
∴ 二次项系数$a＜0$，故$a=1$不符合题意，舍去
综上，$a=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法求参数，二次项系数意义
【点评】
本题主要考查二次函数的图象与性质的应用，解题的关键是结合图象挖掘隐含的坐标特征和开口方向信息，易错点是容易忽略开口方向对参数符号的限制，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时先结合抛物线的图象特征，首先发现抛物线经过坐标原点(0,0)，将原点坐标代入二次函数解析式可得到关于a的方程，解出a的所有可能取值；再观察抛物线的开口方向，根据二次函数二次项系数的符号与开口方向的对应关系，排除不符合题意的取值，即可得到a的正确值。
【解析】
∵ 二次函数$y=ax^2 - 3x + a^2 - 1$的图象经过原点$(0,0)$
∴ 把$x=0$，$y=0$代入解析式得：
$0 = a· 0^2 - 3× 0 + a^2 - 1$
整理得$a^2 -1=0$，解得$a=1$或$a=-1$
又
∵ 由图象可知抛物线开口向下
∴ 二次项系数$a＜0$，故$a=1$不符合题意，舍去
综上，$a=-1$
【答案】
-1
【知识点】
二次函数图象性质，待定系数法求参数，二次项系数意义
【点评】
本题主要考查二次函数的图象与性质的应用，解题的关键是结合图象挖掘隐含的坐标特征和开口方向信息，易错点是容易忽略开口方向对参数符号的限制，出现多解错误。
【难度系数】
0.7
12 如图,是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像,则点$P(a,bc)$在第
二
象限。答案
12. 二
解析
【分析】
解题时需先通过二次函数的图像特征逐一确定系数a、b、c的符号，再判断点P横、纵坐标的正负，最后结合象限内点的坐标特征确定点P所在象限。具体思考路径：①看开口方向确定a的符号；②结合对称轴位置和a的符号判断b的符号；③看图像与y轴交点位置确定c的符号；④计算bc的符号，判断P点坐标的正负，对应象限特征得到结果。
【解析】
1. 由二次函数图像开口向下，可得$a＜0$；
2. 二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由图可知对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可推出$b＞0$；
3. 由二次函数图像与y轴交于正半轴，可得$c＞0$；
4. 因为$b＞0$，$c＞0$，所以$bc＞0$；
5. 点$P(a,bc)$的横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 二次函数图像与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查图像特征与系数符号的对应规律，只要熟练掌握开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置这三个图像特征和系数的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时需先通过二次函数的图像特征逐一确定系数a、b、c的符号，再判断点P横、纵坐标的正负，最后结合象限内点的坐标特征确定点P所在象限。具体思考路径：①看开口方向确定a的符号；②结合对称轴位置和a的符号判断b的符号；③看图像与y轴交点位置确定c的符号；④计算bc的符号，判断P点坐标的正负，对应象限特征得到结果。
【解析】
1. 由二次函数图像开口向下，可得$a＜0$；
2. 二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由图可知对称轴在y轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可推出$b＞0$；
3. 由二次函数图像与y轴交于正半轴，可得$c＞0$；
4. 因为$b＞0$，$c＞0$，所以$bc＞0$；
5. 点$P(a,bc)$的横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限内点的坐标特征，因此点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
1. 二次函数图像与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考查图像特征与系数符号的对应规律，只要熟练掌握开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点位置这三个图像特征和系数的对应关系，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
13 若抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，且经过点$(1,4)$和$(5,0)$，则该抛物线的表达式为
$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+\frac{5}{2}$
。答案
13. $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{5}{2}$
解析
【分析】
本题要求二次函数的表达式，可采用待定系数法求解：首先利用二次函数的对称轴公式得到系数a与b的数量关系，再将已知的两个抛物线上的点坐标代入一般式，得到关于a、b、c的方程组，联立求解出三个系数的值，即可得到抛物线表达式。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
1. 根据对称轴公式列方程：
已知对称轴为直线$x=2$，由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$ ①
2. 代入已知点坐标列方程：
∵抛物线经过点$(1,4)$和$(5,0)$，将两点坐标分别代入表达式：
代入$(1,4)$得：$a·1^2 + b·1 + c=4$，即$a+b+c=4$ ②
代入$(5,0)$得：$a·5^2 + b·5 + c=0$，即$25a+5b+c=0$ ③
3. 联立方程求解系数：
将①代入②、③消去$b$，得：
$\begin{cases}-3a + c=4 \ \ \ \ ④\\5a + c=0 \ \ \ \ \ \ ⑤\end{cases}$
用⑤-④消去$c$：$8a=-4$，解得$a=-\frac{1}{2}$
将$a=-\frac{1}{2}$代入①得：$b=-4×(-\frac{1}{2})=2$
将$a=-\frac{1}{2}$代入⑤得：$5×(-\frac{1}{2})+c=0$，解得$c=\frac{5}{2}$
4. 代入系数得表达式：
将$a=-\frac{1}{2}$、$b=2$、$c=\frac{5}{2}$代入一般式即可。
【答案】
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{5}{2}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数对称轴公式
3. 二次函数点坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是利用已知条件建立关于未知系数的方程并联立求解，熟练掌握二次函数的基本性质能帮助快速理清解题思路，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
本题要求二次函数的表达式，可采用待定系数法求解：首先利用二次函数的对称轴公式得到系数a与b的数量关系，再将已知的两个抛物线上的点坐标代入一般式，得到关于a、b、c的方程组，联立求解出三个系数的值，即可得到抛物线表达式。
【解析】
设抛物线的表达式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，
1. 根据对称轴公式列方程：
已知对称轴为直线$x=2$，由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得：
$-\frac{b}{2a}=2$，整理得$b=-4a$ ①
2. 代入已知点坐标列方程：
∵抛物线经过点$(1,4)$和$(5,0)$，将两点坐标分别代入表达式：
代入$(1,4)$得：$a·1^2 + b·1 + c=4$，即$a+b+c=4$ ②
代入$(5,0)$得：$a·5^2 + b·5 + c=0$，即$25a+5b+c=0$ ③
3. 联立方程求解系数：
将①代入②、③消去$b$，得：
$\begin{cases}-3a + c=4 \ \ \ \ ④\\5a + c=0 \ \ \ \ \ \ ⑤\end{cases}$
用⑤-④消去$c$：$8a=-4$，解得$a=-\frac{1}{2}$
将$a=-\frac{1}{2}$代入①得：$b=-4×(-\frac{1}{2})=2$
将$a=-\frac{1}{2}$代入⑤得：$5×(-\frac{1}{2})+c=0$，解得$c=\frac{5}{2}$
4. 代入系数得表达式：
将$a=-\frac{1}{2}$、$b=2$、$c=\frac{5}{2}$代入一般式即可。
【答案】
$y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + \frac{5}{2}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数对称轴公式
3. 二次函数点坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题核心是利用已知条件建立关于未知系数的方程并联立求解，熟练掌握二次函数的基本性质能帮助快速理清解题思路，计算时注意符号避免出错。
【难度系数】
0.7
14 如图是抛物线$y_1=ax^2+bx+c$和一次函数$y_2=mx+n$的图像，观察图像写出$y_2＞y_1$时，$x$的取值范围为
$-2＜x＜1$
。答案
14. $-2 ＜ x ＜ 1$
解析
【分析】
要确定$y_2＞y_1$时$x$的取值范围，首先明确函数值大小关系的几何意义：同一$x$取值下，$y_2$的函数值更大，对应图像上就是一次函数$y_2$的图像位于抛物线$y_1$图像的上方。首先找到两个函数图像的交点，交点处$y_2=y_1$，交点的横坐标就是不等式的临界点，观察图像得到两个交点的横坐标分别为$x=-2$和$x=1$，再判断哪段区域内$y_2$的图像在$y_1$上方，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
解：不等式$y_2＞y_1$的几何含义为：相同$x$取值时，一次函数$y_2$的图像位于二次函数$y_1$图像的上方。
由图像可得，抛物线$y_1$和直线$y_2$的两个交点横坐标分别为$x=-2$和$x=1$，
观察图像可知，当$-2＜x＜1$时，$y_2$的图像在$y_1$图像的上方，满足$y_2＞y_1$。
【答案】
$-2 ＜ x ＜ 1$
【知识点】
函数与不等式的关系、二次函数图像、一次函数图像
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题的核心是理解函数值的大小关系对应函数图像的上下位置关系，找到交点横坐标是确定不等式范围的突破口，属于函数类基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定$y_2＞y_1$时$x$的取值范围，首先明确函数值大小关系的几何意义：同一$x$取值下，$y_2$的函数值更大，对应图像上就是一次函数$y_2$的图像位于抛物线$y_1$图像的上方。首先找到两个函数图像的交点，交点处$y_2=y_1$，交点的横坐标就是不等式的临界点，观察图像得到两个交点的横坐标分别为$x=-2$和$x=1$，再判断哪段区域内$y_2$的图像在$y_1$上方，即可得到$x$的取值范围。
【解析】
解：不等式$y_2＞y_1$的几何含义为：相同$x$取值时，一次函数$y_2$的图像位于二次函数$y_1$图像的上方。
由图像可得，抛物线$y_1$和直线$y_2$的两个交点横坐标分别为$x=-2$和$x=1$，
观察图像可知，当$-2＜x＜1$时，$y_2$的图像在$y_1$图像的上方，满足$y_2＞y_1$。
【答案】
$-2 ＜ x ＜ 1$
【知识点】
函数与不等式的关系、二次函数图像、一次函数图像
【点评】
本题考查数形结合思想在函数问题中的应用，解题的核心是理解函数值的大小关系对应函数图像的上下位置关系，找到交点横坐标是确定不等式范围的突破口，属于函数类基础题型。
【难度系数】
0.8
15 如图，抛物线$y=x^2+2x-3$与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE、DF，则$DE+DF$的最小值为
$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
。答案
15. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
[提示:因为点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,所以$DE = \frac{1}{2}PC$,$DF = \frac{1}{2}PB$,所以$DE + DF = \frac{1}{2}(PC + PB)$,所以当$PB + PC$最小时,$DE + DF$也最小。取点B的对称点A,连接AC,交对称轴于点P,则此时$PB + PC$取最小值,最小值为AC的长。由$y = x^2 + 2x - 3$,得$A(-3, 0)$,$B(1, 0)$,$C(0, -3)$,所以$AC = 3\sqrt{2}$。所以$DE + DF$的最小值为$\frac{3}{2}\sqrt{2}$。]
解析
【分析】
解题时先从已知的中点条件入手，联想三角形中位线定理，将DE、DF转化为PC、PB的一半，把求DE+DF的最小值转化为求PB+PC的最小值；再结合二次函数的对称性，找到点B关于对称轴的对称点A，根据轴对称最短路径原理，PB+PC的最小值就是线段AC的长度；最后计算AC长度后除以2即可得到结果。
【解析】
1. 求抛物线与坐标轴交点及对称轴：
对于抛物线$y=x^2+2x-3$，
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，故$A(-3,0)$，$B(1,0)$；
令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，可知点A是点B关于抛物线对称轴的对称点。
2. 利用中位线转化线段：
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴DE是△BPC的中位线，得$DE=\frac{1}{2}PC$；
DF是△BPC的中位线，得$DF=\frac{1}{2}PB$；
∴$DE+DF=\frac{1}{2}(PB+PC)$，要使$DE+DF$最小，只需$PB+PC$最小。
3. 求$PB+PC$的最小值：
根据轴对称性质，对称轴上任意点P满足$PB=PA$，故$PB+PC=PA+PC$，当A、P、C三点共线时，$PA+PC$最小，最小值为线段AC的长度。
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
4. 计算$DE+DF$的最小值：
$DE+DF_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，轴对称最短路径，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数与几何最值结合的典型题型，解题关键是通过中位线定理完成线段转化，再利用轴对称将两条线段和的最值转化为两点之间线段的长度，体现了转化思想在几何最值问题中的应用，要熟练掌握此类问题的解题思路。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的中点条件入手，联想三角形中位线定理，将DE、DF转化为PC、PB的一半，把求DE+DF的最小值转化为求PB+PC的最小值；再结合二次函数的对称性，找到点B关于对称轴的对称点A，根据轴对称最短路径原理，PB+PC的最小值就是线段AC的长度；最后计算AC长度后除以2即可得到结果。
【解析】
1. 求抛物线与坐标轴交点及对称轴：
对于抛物线$y=x^2+2x-3$，
令$y=0$，即$x^2+2x-3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，故$A(-3,0)$，$B(1,0)$；
令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$；
抛物线对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$，可知点A是点B关于抛物线对称轴的对称点。
2. 利用中位线转化线段：
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴DE是△BPC的中位线，得$DE=\frac{1}{2}PC$；
DF是△BPC的中位线，得$DF=\frac{1}{2}PB$；
∴$DE+DF=\frac{1}{2}(PB+PC)$，要使$DE+DF$最小，只需$PB+PC$最小。
3. 求$PB+PC$的最小值：
根据轴对称性质，对称轴上任意点P满足$PB=PA$，故$PB+PC=PA+PC$，当A、P、C三点共线时，$PA+PC$最小，最小值为线段AC的长度。
由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
4. 计算$DE+DF$的最小值：
$DE+DF_{\mathrm{最小}}=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，轴对称最短路径，二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数与几何最值结合的典型题型，解题关键是通过中位线定理完成线段转化，再利用轴对称将两条线段和的最值转化为两点之间线段的长度，体现了转化思想在几何最值问题中的应用，要熟练掌握此类问题的解题思路。
【难度系数】
0.6
16 二次函数$y=-x^2+kx+12$的图像与x轴交点都位于$(6,0)$左侧，则k的取值范围是
$k＜4$
。答案
16. $k ＜ 4$
[提示:因为$\Delta = k^2 - 4 × (-1) × 12 = k^2 + 48 ＞ 0$,所以无论k取任何值,二次函数$y = -x^2 + kx + 12$的图像与x轴都有两个交点。因为二次函数$y = -x^2 + kx + 12$的图像开口向下,且与x轴交点都位于$(6, 0)$左侧,所以当$x = 6$时,$y ＜ 0$,所以$-36 + 6k + 12 ＜ 0$,所以$k ＜ 4$。]
[提示:因为$\Delta = k^2 - 4 × (-1) × 12 = k^2 + 48 ＞ 0$,所以无论k取任何值,二次函数$y = -x^2 + kx + 12$的图像与x轴都有两个交点。因为二次函数$y = -x^2 + kx + 12$的图像开口向下,且与x轴交点都位于$(6, 0)$左侧,所以当$x = 6$时,$y ＜ 0$,所以$-36 + 6k + 12 ＜ 0$,所以$k ＜ 4$。]
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的情况：第一步先计算判别式，判断函数与x轴是否恒有交点；第二步结合韦达定理分析两根的符号，发现两根一正一负，负根天然在(6,0)左侧，只需保证正根小于6即可；第三步结合二次函数开口方向，明确当x=6时函数值小于0即可满足正根小于6的要求，最后列不等式求解即可得到k的范围。
【解析】
1. 计算判别式判断交点个数：
对于二次函数$y=-x^2+kx+12$，判别式$\Delta = b^2-4ac = k^2 - 4×(-1)×12 = k^2 + 48$，
$\because k^2≥0$，$\therefore \Delta = k^2+48＞0$恒成立，即该二次函数图像与x轴总有两个不同的交点。
2. 分析两根符号：
由韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{-1} = -12 ＜ 0$，说明两个交点一个在x轴正半轴，一个在负半轴，负半轴的交点必然在$(6,0)$左侧，因此只需保证正半轴的交点横坐标小于6。
3. 结合函数性质列不等式：
$\because$二次函数二次项系数$a=-1＜0$，$\therefore$函数图像开口向下，当x大于较大的根（即正根）时，函数值$y＜0$。
要使正根小于6，则$x=6$时，$y＜0$，代入函数得：
$-6^2 + 6k + 12 ＜ 0$
化简得：$-36 + 6k + 12 ＜ 0$
移项得：$6k ＜ 24$
解得：$k ＜ 4$
【答案】
$k ＜ 4$
【知识点】
二次函数图像性质、二次函数与x轴交点、一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型题型，解题关键是将交点位置的条件转化为特定x值对应的函数值符号，结合开口方向分析即可快速求解，注意提前通过判别式和韦达定理简化问题，避免复杂的求根运算。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确二次函数与x轴交点的情况：第一步先计算判别式，判断函数与x轴是否恒有交点；第二步结合韦达定理分析两根的符号，发现两根一正一负，负根天然在(6,0)左侧，只需保证正根小于6即可；第三步结合二次函数开口方向，明确当x=6时函数值小于0即可满足正根小于6的要求，最后列不等式求解即可得到k的范围。
【解析】
1. 计算判别式判断交点个数：
对于二次函数$y=-x^2+kx+12$，判别式$\Delta = b^2-4ac = k^2 - 4×(-1)×12 = k^2 + 48$，
$\because k^2≥0$，$\therefore \Delta = k^2+48＞0$恒成立，即该二次函数图像与x轴总有两个不同的交点。
2. 分析两根符号：
由韦达定理，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{12}{-1} = -12 ＜ 0$，说明两个交点一个在x轴正半轴，一个在负半轴，负半轴的交点必然在$(6,0)$左侧，因此只需保证正半轴的交点横坐标小于6。
3. 结合函数性质列不等式：
$\because$二次函数二次项系数$a=-1＜0$，$\therefore$函数图像开口向下，当x大于较大的根（即正根）时，函数值$y＜0$。
要使正根小于6，则$x=6$时，$y＜0$，代入函数得：
$-6^2 + 6k + 12 ＜ 0$
化简得：$-36 + 6k + 12 ＜ 0$
移项得：$6k ＜ 24$
解得：$k ＜ 4$
【答案】
$k ＜ 4$
【知识点】
二次函数图像性质、二次函数与x轴交点、一元一次不等式求解
【点评】
本题是二次函数与不等式结合的典型题型，解题关键是将交点位置的条件转化为特定x值对应的函数值符号，结合开口方向分析即可快速求解，注意提前通过判别式和韦达定理简化问题，避免复杂的求根运算。
【难度系数】
0.6
17 如图,已知抛物线$C_1:y=ax^2+bx+c(a＞0)$与$x$轴交于点$A$、$B$(点$A$在点$B$的左侧),$M$为顶点。将抛物线$C_1$绕点$A$旋转$180°$,得抛物线$C_2$,点$B$、$M$旋转后的对应点为$D$、$E$。若四边形$DMBE$为矩形,则$b^2 - 4ac$的值是
12
。答案
17. 12
[提示:如图,连接EM,作$MH ⊥ AB$于点H。因为四边形DMBE是矩形,所以对角线DB与EM互相平分。因为$DA = AB$,所以EM经过点A,所以$AB = AM$,根据抛物线的对称性可知:$AM = MB$,所以$AB = AM = BM$,所以$△ ABM$是等边三角形,所以$MH = \sqrt{3}HB$。因为$M(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a})$,$AB = |x_B - x_A| = \sqrt{(x_A + x_B)^2 - 4x_Ax_B} = \sqrt{\frac{b^2}{a^2} - 4 · \frac{c}{a}} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$, 所以$\left|\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right| = \sqrt{3} · \frac{1}{2} · \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$,解得$b^2 - 4ac = 12$。]
解析
【分析】
解题时先结合旋转性质与矩形性质推导边的关系：旋转180°可得A是DB、EM的中点，再结合矩形对角线相等得AB=AM，利用抛物线对称性可知AM=BM，因此△ABM是等边三角形，得到顶点到x轴的距离与AB边长的数量关系；再利用二次函数顶点纵坐标公式、抛物线与x轴两交点距离公式列等式，化简即可求出$b^2-4ac$的值。
【解析】
连接EM，过点M作$MH ⊥ AB$于点H。
1. 由旋转的性质可知：A为旋转中心，因此$AD=AB$，$AE=AM$，即A是线段DB和线段EM的中点。
2.
∵四边形DMBE是矩形，矩形对角线相等且互相平分，$\therefore DB=EM$，即$2AB=2AM$，得$AB=AM$。
3.
∵M是抛物线$C_1$的顶点，由抛物线的对称性可得$AM=BM$，$\therefore AB=AM=BM$，即$△ ABM$为等边三角形，因此等边三角形的高$MH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$。
4. 代入相关公式计算：
① 顶点M的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因$a＞0$且抛物线与x轴有两个交点，顶点在x轴下方，故$MH=\left|\frac{4ac-b^2}{4a}\right|=\frac{b^2-4ac}{4a}$。
② 由韦达定理，抛物线与x轴两交点A、B的横坐标满足$x_A+x_B=-\frac{b}{a}$，$x_Ax_B=\frac{c}{a}$，因此两交点距离$AB=|x_B-x_A|=\sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$（$a＞0$，可直接去掉绝对值）。
5. 将MH与AB代入$MH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，得：
$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
两边同乘$a$消去分母，令$t=\sqrt{b^2-4ac}$（$t＞0$），等式变形为$\frac{t^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}t$，解得$t=2\sqrt{3}$（$t≠0$），因此$t^2=12$，即$b^2-4ac=12$。
【答案】
12
【知识点】
二次函数的性质，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题为二次函数与几何图形的综合题，将旋转、矩形的性质和二次函数的图像性质相结合，解题突破口是推导出$△ ABM$为等边三角形，再结合二次函数的相关公式列等式求解，较好地考查了数形结合思想和代数几何综合运用能力。
【难度系数】
0.3
解题时先结合旋转性质与矩形性质推导边的关系：旋转180°可得A是DB、EM的中点，再结合矩形对角线相等得AB=AM，利用抛物线对称性可知AM=BM，因此△ABM是等边三角形，得到顶点到x轴的距离与AB边长的数量关系；再利用二次函数顶点纵坐标公式、抛物线与x轴两交点距离公式列等式，化简即可求出$b^2-4ac$的值。
【解析】
连接EM，过点M作$MH ⊥ AB$于点H。
1. 由旋转的性质可知：A为旋转中心，因此$AD=AB$，$AE=AM$，即A是线段DB和线段EM的中点。
2.
∵四边形DMBE是矩形，矩形对角线相等且互相平分，$\therefore DB=EM$，即$2AB=2AM$，得$AB=AM$。
3.
∵M是抛物线$C_1$的顶点，由抛物线的对称性可得$AM=BM$，$\therefore AB=AM=BM$，即$△ ABM$为等边三角形，因此等边三角形的高$MH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$。
4. 代入相关公式计算：
① 顶点M的纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，因$a＞0$且抛物线与x轴有两个交点，顶点在x轴下方，故$MH=\left|\frac{4ac-b^2}{4a}\right|=\frac{b^2-4ac}{4a}$。
② 由韦达定理，抛物线与x轴两交点A、B的横坐标满足$x_A+x_B=-\frac{b}{a}$，$x_Ax_B=\frac{c}{a}$，因此两交点距离$AB=|x_B-x_A|=\sqrt{(x_A+x_B)^2-4x_Ax_B}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$（$a＞0$，可直接去掉绝对值）。
5. 将MH与AB代入$MH=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$，得：
$\frac{b^2-4ac}{4a}=\frac{\sqrt{3}}{2} × \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}$
两边同乘$a$消去分母，令$t=\sqrt{b^2-4ac}$（$t＞0$），等式变形为$\frac{t^2}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}t$，解得$t=2\sqrt{3}$（$t≠0$），因此$t^2=12$，即$b^2-4ac=12$。
【答案】
12
【知识点】
二次函数的性质，旋转的性质，矩形的性质
【点评】
本题为二次函数与几何图形的综合题，将旋转、矩形的性质和二次函数的图像性质相结合，解题突破口是推导出$△ ABM$为等边三角形，再结合二次函数的相关公式列等式求解，较好地考查了数形结合思想和代数几何综合运用能力。
【难度系数】
0.3
18 若函数图像上存在点$P(a, b)$满足$a + b = m(a ＞ 0$，且$m$为常数$)$，则称点$P$为这个函数的“$m$优和点”。若二次函数$y = x^2 + (k - 3)x + 5$的“$k$优和点”有且仅有一个，则$k$的取值范围为
$k=-4或k＞5$
。答案
18. $k = -4$或$k ＞ 5$
[提示:设这个二次函数的“k优和点”P的坐标为$(a, k - a)$。将点P的坐标代入,得$a^2 + (k - 3)a + 5 = k - a$,整理得$a^2 + (k - 2)a + 5 - k = 0$。令$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$。因为二次函数$y = x^2 + (k - 3)x + 5$的“k优和点”有且仅有一个,所以$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$与x轴正半轴只有一个公共点,所以有以下两种情况:① 当$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$与x轴只有一个交点,且在x轴正半轴上时,$\Delta = (k - 2)^2 - 4(5 - k) = 0$,且$x = -\frac{k - 2}{2} ＞ 0$,解得$k = \pm 4$,且$k ＜ 2$,所以$k = -4$; ② 当$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$与x轴有两个交点,且只有一个交点在x轴正半轴上时,当$x = 0$时,$y ＜ 0$,即$5 - k ＜ 0$,所以$k ＞ 5$。综上,k的取值范围为$k = -4$或$k ＞ 5$。]
[提示:设这个二次函数的“k优和点”P的坐标为$(a, k - a)$。将点P的坐标代入,得$a^2 + (k - 3)a + 5 = k - a$,整理得$a^2 + (k - 2)a + 5 - k = 0$。令$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$。因为二次函数$y = x^2 + (k - 3)x + 5$的“k优和点”有且仅有一个,所以$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$与x轴正半轴只有一个公共点,所以有以下两种情况:① 当$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$与x轴只有一个交点,且在x轴正半轴上时,$\Delta = (k - 2)^2 - 4(5 - k) = 0$,且$x = -\frac{k - 2}{2} ＞ 0$,解得$k = \pm 4$,且$k ＜ 2$,所以$k = -4$; ② 当$y = a^2 + (k - 2)a + 5 - k(a ＞ 0)$与x轴有两个交点,且只有一个交点在x轴正半轴上时,当$x = 0$时,$y ＜ 0$,即$5 - k ＜ 0$,所以$k ＞ 5$。综上,k的取值范围为$k = -4$或$k ＞ 5$。]
解析
【分析】
首先理解“k优和点”的定义：满足a＞0，且a+b=k，即可将点P坐标表示为(a, k-a)。因为点P在二次函数图像上，代入解析式可得到关于a的一元二次方程。“k优和点”有且仅有一个，等价于该关于a的方程在a＞0的范围内仅有1个解，接下来分两种情况讨论：一是方程有两个相等的实根且根为正；二是方程有两个不等实根，其中一个为正、一个为非正（非正根不符合a＞0的要求，仅正根有效），分别求解后综合即可得到k的取值范围。
【解析】
解：设二次函数的“k优和点”P的坐标为$(a, k - a)$（$a＞0$），
将$P(a, k - a)$代入二次函数解析式$y = x^2 + (k - 3)x + 5$，得：
$a^2 + (k - 3)a + 5 = k - a$
整理得关于$a$的一元二次方程：$a^2 + (k - 2)a + 5 - k = 0$ ①
由题意可知，方程①在$a＞0$的范围内有且仅有1个解，分两种情况讨论：
1. 方程①有两个相等的实数根，且根为正数：
此时判别式$\Delta=(k - 2)^2 - 4×1×(5 - k)=0$，
展开化简得：$k^2 - 16 = 0$，解得$k=\pm4$，
方程的对称轴为$a = -\frac{k - 2}{2×1} ＞ 0$，解得$k ＜ 2$，
因此$k=-4$符合要求，$k=4$舍去。
2. 方程①有两个不等的实数根，且仅有一个根为正数：
此时$\Delta=(k - 2)^2 - 4(5 - k) ＞ 0$，即$k^2 - 16 ＞ 0$，解得$k＞4$或$k＜-4$，
又因为二次函数$y=a^2 + (k - 2)a + 5 - k$开口向上，当$a=0$时，$y=5 - k ＜ 0$，即可保证一个根小于0，一个根大于0，仅正根符合$a＞0$的要求，解得$k＞5$，结合$\Delta＞0$的条件，$k＞5$符合要求。
当$5 - k=0$即$k=5$时，方程①为$a^2 + 3a = 0$，解得$a=0$或$a=-3$，均不满足$a＞0$，不符合要求，舍去。
综上，$k$的取值范围为$k=-4$或$k＞5$。
【答案】
$k = -4$或$k ＞ 5$
【知识点】
新定义问题，根的判别式，二次函数与方程的关系
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将新定义条件转化为一元二次方程在正实数范围内的根的个数问题，分类讨论时需注意题干中$a＞0$的限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
首先理解“k优和点”的定义：满足a＞0，且a+b=k，即可将点P坐标表示为(a, k-a)。因为点P在二次函数图像上，代入解析式可得到关于a的一元二次方程。“k优和点”有且仅有一个，等价于该关于a的方程在a＞0的范围内仅有1个解，接下来分两种情况讨论：一是方程有两个相等的实根且根为正；二是方程有两个不等实根，其中一个为正、一个为非正（非正根不符合a＞0的要求，仅正根有效），分别求解后综合即可得到k的取值范围。
【解析】
解：设二次函数的“k优和点”P的坐标为$(a, k - a)$（$a＞0$），
将$P(a, k - a)$代入二次函数解析式$y = x^2 + (k - 3)x + 5$，得：
$a^2 + (k - 3)a + 5 = k - a$
整理得关于$a$的一元二次方程：$a^2 + (k - 2)a + 5 - k = 0$ ①
由题意可知，方程①在$a＞0$的范围内有且仅有1个解，分两种情况讨论：
1. 方程①有两个相等的实数根，且根为正数：
此时判别式$\Delta=(k - 2)^2 - 4×1×(5 - k)=0$，
展开化简得：$k^2 - 16 = 0$，解得$k=\pm4$，
方程的对称轴为$a = -\frac{k - 2}{2×1} ＞ 0$，解得$k ＜ 2$，
因此$k=-4$符合要求，$k=4$舍去。
2. 方程①有两个不等的实数根，且仅有一个根为正数：
此时$\Delta=(k - 2)^2 - 4(5 - k) ＞ 0$，即$k^2 - 16 ＞ 0$，解得$k＞4$或$k＜-4$，
又因为二次函数$y=a^2 + (k - 2)a + 5 - k$开口向上，当$a=0$时，$y=5 - k ＜ 0$，即可保证一个根小于0，一个根大于0，仅正根符合$a＞0$的要求，解得$k＞5$，结合$\Delta＞0$的条件，$k＞5$符合要求。
当$5 - k=0$即$k=5$时，方程①为$a^2 + 3a = 0$，解得$a=0$或$a=-3$，均不满足$a＞0$，不符合要求，舍去。
综上，$k$的取值范围为$k=-4$或$k＞5$。
【答案】
$k = -4$或$k ＞ 5$
【知识点】
新定义问题，根的判别式，二次函数与方程的关系
【点评】
本题结合新定义考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将新定义条件转化为一元二次方程在正实数范围内的根的个数问题，分类讨论时需注意题干中$a＞0$的限制条件，避免漏解或多解。
【难度系数】
0.4
19 如果二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的图像的顶点在第一象限，且过点(0，1)和(-1，0)，那么 $ S = a + b + c $ 的值的变化范围是
$0＜S＜2$
。答案
19. $0 ＜ S ＜ 2$
[提示:将点$(0, 1)$和$(-1, 0)$分别代入抛物线表达式,可得方程组$\begin{cases}c = 1, \\ a - b + c = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}c = 1, \\ a = b - 1,\end{cases}$所以$S = a + b + c = 2b$。由抛物线顶点在第一象限可知,对称轴$x = -\frac{b}{2a} ＞ 0$,又因为抛物线过点$(0, 1)$和$(-1, 0)$,所以抛物线开口向下,即$a ＜ 0$,所以$2b ＞ 0$。由$a = b - 1$及$a ＜ 0$,可知$2b = 2a + 2 ＜ 2$,所以$0 ＜ S ＜ 2$。]
[提示:将点$(0, 1)$和$(-1, 0)$分别代入抛物线表达式,可得方程组$\begin{cases}c = 1, \\ a - b + c = 0,\end{cases}$得$\begin{cases}c = 1, \\ a = b - 1,\end{cases}$所以$S = a + b + c = 2b$。由抛物线顶点在第一象限可知,对称轴$x = -\frac{b}{2a} ＞ 0$,又因为抛物线过点$(0, 1)$和$(-1, 0)$,所以抛物线开口向下,即$a ＜ 0$,所以$2b ＞ 0$。由$a = b - 1$及$a ＜ 0$,可知$2b = 2a + 2 ＜ 2$,所以$0 ＜ S ＜ 2$。]
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先，利用二次函数过已知两点的条件，将点坐标代入解析式，得到a、b、c之间的等量关系，把S=a+b+c转化为仅含一个参数的表达式；其次，结合顶点在第一象限的条件，推导抛物线的开口方向、对称轴的符号，进而得到参数的取值范围；最后根据参数范围求出S的取值范围。
【解析】
步骤1：代入已知点求参数关系
将点(0,1)、(-1,0)分别代入二次函数解析式$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=1 \\ a - b + c = 0\end{cases}$
把$c=1$代入第二个方程，解得$a = b - 1$，因此$c=1$，$a=b-1$。
步骤2：将S转化为单参数表达式
$S = a + b + c = (b-1) + b + 1 = 2b$。
步骤3：结合图像特征求参数范围
因为二次函数顶点在第一象限，且过点(-1,0)、(0,1)，可知抛物线开口向下，即$a ＜ 0$；
同时顶点横坐标（对称轴）$x=-\frac{b}{2a} ＞ 0$，结合$a＜0$，可得$-b ＜ 0$，即$b＞0$；
又因为$a = b - 1 ＜ 0$，解得$b ＜ 1$。
因此$b$的取值范围是$0 ＜ b ＜ 1$。
步骤4：求S的范围
因为$S=2b$，$0 ＜ b ＜ 1$，所以两边同乘2得$0 ＜ S ＜ 2$。
【答案】
$0 ＜ S ＜ 2$
【知识点】
1. 二次函数的图像与性质
2. 待定系数法求参数
3. 不等式的应用
【点评】
本题综合考查二次函数的图像特征、点与函数解析式的关系，以及不等式的推导运算，解题的核心是将待求的S转化为单一参数的表达式，再结合图像的限制条件推导参数范围，是二次函数章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：首先，利用二次函数过已知两点的条件，将点坐标代入解析式，得到a、b、c之间的等量关系，把S=a+b+c转化为仅含一个参数的表达式；其次，结合顶点在第一象限的条件，推导抛物线的开口方向、对称轴的符号，进而得到参数的取值范围；最后根据参数范围求出S的取值范围。
【解析】
步骤1：代入已知点求参数关系
将点(0,1)、(-1,0)分别代入二次函数解析式$y=ax^2+bx+c$，可得：
$\begin{cases}c=1 \\ a - b + c = 0\end{cases}$
把$c=1$代入第二个方程，解得$a = b - 1$，因此$c=1$，$a=b-1$。
步骤2：将S转化为单参数表达式
$S = a + b + c = (b-1) + b + 1 = 2b$。
步骤3：结合图像特征求参数范围
因为二次函数顶点在第一象限，且过点(-1,0)、(0,1)，可知抛物线开口向下，即$a ＜ 0$；
同时顶点横坐标（对称轴）$x=-\frac{b}{2a} ＞ 0$，结合$a＜0$，可得$-b ＜ 0$，即$b＞0$；
又因为$a = b - 1 ＜ 0$，解得$b ＜ 1$。
因此$b$的取值范围是$0 ＜ b ＜ 1$。
步骤4：求S的范围
因为$S=2b$，$0 ＜ b ＜ 1$，所以两边同乘2得$0 ＜ S ＜ 2$。
【答案】
$0 ＜ S ＜ 2$
【知识点】
1. 二次函数的图像与性质
2. 待定系数法求参数
3. 不等式的应用
【点评】
本题综合考查二次函数的图像特征、点与函数解析式的关系，以及不等式的推导运算，解题的核心是将待求的S转化为单一参数的表达式，再结合图像的限制条件推导参数范围，是二次函数章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
