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20 抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴是直线$x=-1$，且过点$(1,0)$，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①$abc＞0$；②$4a-2b+c＜0$；③抛物线上两点$A(x_1,y_1)$与$B(x_2,y_2)$，若有$x_1＜x_2$且$x_1+x_2＜-2$，则$y_1＜y_2$；④直线$y=2x+2$与抛物线$y=ax^2+bx+c$两个交点的横坐标分别为$x_3$与$x_4$，则$x_3+x_4+x_3· x_4=-5$。其中结论正确的是
①③④
。答案
20. ①③④
[提示:因为抛物线对称轴是直线$x = -1$,经过$(1, 0)$,所以$-\frac{b}{2a} = -1$,$a + b + c = 0$,所以$b = 2a$,$c = -3a$。因为$a ＜ 0$,所以$b ＜ 0$,$c ＞ 0$,所以$abc ＞ 0$,故①正确。因为抛物线对称轴是直线$x = -1$,经过$(1, 0)$,所以$(-2, 0)$和$(0, 0)$关于对称轴对称,所以当$x = -2$时,$y ＞ 0$,所以$4a - 2b + c ＞ 0$,故②错误。因为抛物线上两点$A(x_1, y_1)$与$B(x_2, y_2)$,$x_1 ＜ x_2$且$x_1 + x_2 ＜ -2$,所以$\frac{x_1 + x_2}{2} ＜ -1$,因为点$A(x_1, y_1)$到对称轴的距离大于点$B(x_2, y_2)$到对称轴的距离,因为抛物线开口向下,所以$y_1 ＜ y_2$,故③正确。令$2x + 2 = ax^2 + bx + c$,整理得$ax^2 + (b - 2)x + c - 2 = 0$。因为直线$y = 2x + 2$与抛物线$y = ax^2 + bx + c$两个交点的横坐标分别为$x_3$、$x_4$,所以$x_3 + x_4 = -\frac{b - 2}{a}$,$x_3x_4 = \frac{c - 2}{a}$,所以$x_3 + x_4 + x_3 · x_4 = -\frac{b - 2}{a} + \frac{c - 2}{a} = \frac{c - b}{a} = \frac{-3a - 2a}{a} = -5$,故④正确。故答案为:①③④。]
[提示:因为抛物线对称轴是直线$x = -1$,经过$(1, 0)$,所以$-\frac{b}{2a} = -1$,$a + b + c = 0$,所以$b = 2a$,$c = -3a$。因为$a ＜ 0$,所以$b ＜ 0$,$c ＞ 0$,所以$abc ＞ 0$,故①正确。因为抛物线对称轴是直线$x = -1$,经过$(1, 0)$,所以$(-2, 0)$和$(0, 0)$关于对称轴对称,所以当$x = -2$时,$y ＞ 0$,所以$4a - 2b + c ＞ 0$,故②错误。因为抛物线上两点$A(x_1, y_1)$与$B(x_2, y_2)$,$x_1 ＜ x_2$且$x_1 + x_2 ＜ -2$,所以$\frac{x_1 + x_2}{2} ＜ -1$,因为点$A(x_1, y_1)$到对称轴的距离大于点$B(x_2, y_2)$到对称轴的距离,因为抛物线开口向下,所以$y_1 ＜ y_2$,故③正确。令$2x + 2 = ax^2 + bx + c$,整理得$ax^2 + (b - 2)x + c - 2 = 0$。因为直线$y = 2x + 2$与抛物线$y = ax^2 + bx + c$两个交点的横坐标分别为$x_3$、$x_4$,所以$x_3 + x_4 = -\frac{b - 2}{a}$,$x_3x_4 = \frac{c - 2}{a}$,所以$x_3 + x_4 + x_3 · x_4 = -\frac{b - 2}{a} + \frac{c - 2}{a} = \frac{c - b}{a} = \frac{-3a - 2a}{a} = -5$,故④正确。故答案为:①③④。]
解析
【分析】
本题是二次函数图像与性质的综合判断题，解题思路如下：第一步，先根据题目给出的对称轴x=-1、过点(1,0)，结合对称轴公式和点在抛物线上的坐标特征，用含a的式子表示出b、c，再结合开口方向确定a、b、c的符号，判断结论①；第二步，利用抛物线的对称性，找到点(1,0)关于对称轴x=-1的对称点，得到x=-2时的函数值，判断结论②；第三步，根据$x_1+x_2＜-2$推导出两点中点在对称轴左侧，比较两点到对称轴的距离，结合开口向下的增减性判断结论③；第四步，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，利用根与系数的关系计算$x_3+x_4$和$x_3x_4$，代入代数式求值判断结论④。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，过点$(1,0)$，根据对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a$；
将点$(1,0)$代入抛物线解析式得$a+b+c=0$，把$b=2a$代入，解得$c=-3a$。
由图像可知抛物线开口向下，故$a＜0$，因此$b=2a＜0$，$c=-3a＞0$。
①判断：$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，所以$abc＞0$，故①正确；
②判断：点$(1,0)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-3,0)$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(-3,0)$，当$x=-2$时，对应点在x轴上方，$y＞0$，代入解析式得$y=4a-2b+c＞0$，故②错误；
③判断：已知$x_1＜x_2$且$x_1+x_2＜-2$，可得$\frac{x_1+x_2}{2}＜-1$，即A、B两点的中点在对称轴左侧，因此点A到对称轴$x=-1$的距离大于点B到对称轴的距离。又因为抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，所以$y_1＜y_2$，故③正确；
④判断：联立直线$y=2x+2$和抛物线$y=ax^2+bx+c$，得$2x+2=ax^2+bx+c$，整理为$ax^2+(b-2)x+c-2=0$。
由根与系数的关系可知，方程的两根$x_3、x_4$满足：$x_3+x_4=-\frac{b-2}{a}$，$x_3x_4=\frac{c-2}{a}$。
代入计算：
$x_3+x_4+x_3·x_4=-\frac{b-2}{a}+\frac{c-2}{a}=\frac{-b+2+c-2}{a}=\frac{c-b}{a}$
把$b=2a$，$c=-3a$代入得：$\frac{-3a-2a}{a}=\frac{-5a}{a}=-5$，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的增减性；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的图像性质，需要结合图像提取有效信息，通过转化系数、利用对称性、韦达定理逐一验证结论，解题过程中需要熟练运用数形结合思想，准确分析点与对称轴的位置关系对函数值的影响。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数图像与性质的综合判断题，解题思路如下：第一步，先根据题目给出的对称轴x=-1、过点(1,0)，结合对称轴公式和点在抛物线上的坐标特征，用含a的式子表示出b、c，再结合开口方向确定a、b、c的符号，判断结论①；第二步，利用抛物线的对称性，找到点(1,0)关于对称轴x=-1的对称点，得到x=-2时的函数值，判断结论②；第三步，根据$x_1+x_2＜-2$推导出两点中点在对称轴左侧，比较两点到对称轴的距离，结合开口向下的增减性判断结论③；第四步，联立直线和抛物线的解析式，得到一元二次方程，利用根与系数的关系计算$x_3+x_4$和$x_3x_4$，代入代数式求值判断结论④。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=-1$，过点$(1,0)$，根据对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，可得$b=2a$；
将点$(1,0)$代入抛物线解析式得$a+b+c=0$，把$b=2a$代入，解得$c=-3a$。
由图像可知抛物线开口向下，故$a＜0$，因此$b=2a＜0$，$c=-3a＞0$。
①判断：$a＜0$，$b＜0$，$c＞0$，所以$abc＞0$，故①正确；
②判断：点$(1,0)$关于对称轴$x=-1$的对称点为$(-3,0)$，即抛物线与x轴的另一个交点为$(-3,0)$，当$x=-2$时，对应点在x轴上方，$y＞0$，代入解析式得$y=4a-2b+c＞0$，故②错误；
③判断：已知$x_1＜x_2$且$x_1+x_2＜-2$，可得$\frac{x_1+x_2}{2}＜-1$，即A、B两点的中点在对称轴左侧，因此点A到对称轴$x=-1$的距离大于点B到对称轴的距离。又因为抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，所以$y_1＜y_2$，故③正确；
④判断：联立直线$y=2x+2$和抛物线$y=ax^2+bx+c$，得$2x+2=ax^2+bx+c$，整理为$ax^2+(b-2)x+c-2=0$。
由根与系数的关系可知，方程的两根$x_3、x_4$满足：$x_3+x_4=-\frac{b-2}{a}$，$x_3x_4=\frac{c-2}{a}$。
代入计算：
$x_3+x_4+x_3·x_4=-\frac{b-2}{a}+\frac{c-2}{a}=\frac{-b+2+c-2}{a}=\frac{c-b}{a}$
把$b=2a$，$c=-3a$代入得：$\frac{-3a-2a}{a}=\frac{-5a}{a}=-5$，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
二次函数图像与系数关系；二次函数的增减性；根与系数的关系
【点评】
本题综合考查二次函数的图像性质，需要结合图像提取有效信息，通过转化系数、利用对称性、韦达定理逐一验证结论，解题过程中需要熟练运用数形结合思想，准确分析点与对称轴的位置关系对函数值的影响。
【难度系数】
0.6
21 已知一抛物线与 x 轴的交点是$A(-2,0)$、$B(1,0)$，且经过点$C(2,8)$。
（1）求该抛物线的表达式。
（2）求该抛物线的顶点坐标。
（1）求该抛物线的表达式。
（2）求该抛物线的顶点坐标。
答案
21. (1) $y = 2x^2 + 2x - 4$
(2) 由$y = 2x^2 + 2x - 4 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{2}$,所以抛物线的顶点为$(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$。
(2) 由$y = 2x^2 + 2x - 4 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{2}$,所以抛物线的顶点为$(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$。
解析
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，可减少计算量；设出交点式后，将点C坐标代入即可求出未知系数a，进而整理得到抛物线的一般式表达式。（2）求抛物线顶点坐标可采用配方法，将第一问得到的一般式转化为顶点式，即可直接读出顶点坐标，也可使用顶点坐标公式直接计算。
【解析】
（1）
∵抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(1,0)两点
∴设该抛物线的解析式为$y=a(x+2)(x-1)$（$a≠0$）
将点C(2,8)代入解析式得：
$8=a×(2+2)×(2-1)$
即$8=4a$，解得$a=2$
将$a=2$代回并展开得：
$y=2(x+2)(x-1)=2(x^2+x-2)=2x^2+2x-4$
（2）对抛物线解析式$y=2x^2+2x-4$进行配方：
先提取二次项系数：$y=2(x^2+x)-4$
在括号内加上并减去一次项系数一半的平方：
$y=2(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-4$
整理得：$y=2(x+\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{4} -4 = 2(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{2}$
根据顶点式的性质，可得抛物线的顶点坐标。
【答案】
（1）$y = 2x^2 + 2x - 4$
（2）顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数配方、顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，选择合适的解析式形式可大幅简化计算，熟练掌握二次函数不同形式的转化是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，优先选用交点式设抛物线解析式，可减少计算量；设出交点式后，将点C坐标代入即可求出未知系数a，进而整理得到抛物线的一般式表达式。（2）求抛物线顶点坐标可采用配方法，将第一问得到的一般式转化为顶点式，即可直接读出顶点坐标，也可使用顶点坐标公式直接计算。
【解析】
（1）
∵抛物线与x轴交于A(-2,0)、B(1,0)两点
∴设该抛物线的解析式为$y=a(x+2)(x-1)$（$a≠0$）
将点C(2,8)代入解析式得：
$8=a×(2+2)×(2-1)$
即$8=4a$，解得$a=2$
将$a=2$代回并展开得：
$y=2(x+2)(x-1)=2(x^2+x-2)=2x^2+2x-4$
（2）对抛物线解析式$y=2x^2+2x-4$进行配方：
先提取二次项系数：$y=2(x^2+x)-4$
在括号内加上并减去一次项系数一半的平方：
$y=2(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-4$
整理得：$y=2(x+\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{4} -4 = 2(x+\frac{1}{2})^2 - \frac{9}{2}$
根据顶点式的性质，可得抛物线的顶点坐标。
【答案】
（1）$y = 2x^2 + 2x - 4$
（2）顶点坐标为$(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{2})$
【知识点】
待定系数法求解析式、二次函数配方、顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，选择合适的解析式形式可大幅简化计算，熟练掌握二次函数不同形式的转化是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
22 已知抛物线$y=ax^2+bx-1$的对称轴为直线$x=-1$，它的最高点在直线$y=2x+4$上，求抛物线表达式以及它与直线的交点坐标。
答案
22. 将$x = -1$代入直线方程$y = 2x + 4$,得$y = 2 × (-1) + 4 = -2 + 4 = 2$,所以顶点坐标为$(-1, 2)$。设抛物线的表达式为顶点式:$y = a(x + 1)^2 + 2$。由题意可得抛物线过点$(0, -1)$。将$(0, -1)$代入$y = a(x + 1)^2 + 2$,得$-1 = a + 2$,$a = -3$,所以抛物线的表达式为$y = -3(x + 1)^2 + 2$。联立抛物线与直线$y = 2x + 4$,得$-3(x + 1)^2 + 2 = 2x + 4$,解得$x = -1$或$x = -\frac{5}{3}$。当$x = -1$时,$y = 2 × (-1) + 4 = 2$;当$x = -\frac{5}{3}$时,$y = 2 × (-\frac{5}{3}) + 4 = -\frac{10}{3} + 4 = \frac{2}{3}$,所以交点坐标为$(-1, 2)$和$(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3})$。
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先明确抛物线的最高点就是其顶点，顶点必定在对称轴上，已知对称轴为$x=-1$，可得顶点横坐标为$-1$，结合顶点在直线$y=2x+4$上，代入横坐标即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标；②选择顶点式设抛物线的表达式，再结合原抛物线表达式中常数项为$-1$，可知抛物线过点$(0,-1)$，将该点代入顶点式即可求出参数$a$，得到抛物线的表达式；③要求抛物线与直线的交点，只需联立两个函数的表达式，解一元二次方程得到横坐标，再代入直线方程求出对应纵坐标即可。
【解析】
1. 求抛物线顶点坐标：
将$x = -1$代入直线方程$y = 2x + 4$，得$y = 2 × (-1) + 4 = 2$，因此抛物线的顶点坐标为$(-1, 2)$。
2. 求抛物线表达式：
设抛物线的顶点式为$y = a(x + 1)^2 + 2$，由抛物线$y=ax^2+bx-1$可知，当$x=0$时，$y=-1$，即抛物线过点$(0, -1)$。
将$(0, -1)$代入$y = a(x + 1)^2 + 2$，得：
$-1 = a(0+1)^2 + 2$
解得$a = -3$，因此抛物线的表达式为$y = -3(x + 1)^2 + 2$。
3. 求抛物线与直线的交点坐标：
联立抛物线与直线的表达式：
$\begin{cases}y = -3(x + 1)^2 + 2 \\ y = 2x + 4 \end{cases}$
消去$y$得：$-3(x + 1)^2 + 2 = 2x + 4$
整理求解得$x = -1$或$x = -\frac{5}{3}$。
将$x = -1$代入$y = 2x + 4$，得$y=2$；将$x = -\frac{5}{3}$代入$y = 2x + 4$，得$y=\frac{2}{3}$。
【答案】
抛物线表达式为$y=-3(x+1)^2+2$；交点坐标为$(-1,2)$和$(-\frac{5}{3},\frac{2}{3})$。
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题关键是利用对称轴和直线方程快速确定抛物线的顶点坐标，选择顶点式求解析式可简化计算，联立方程求交点是函数类问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①首先明确抛物线的最高点就是其顶点，顶点必定在对称轴上，已知对称轴为$x=-1$，可得顶点横坐标为$-1$，结合顶点在直线$y=2x+4$上，代入横坐标即可求出顶点纵坐标，得到顶点坐标；②选择顶点式设抛物线的表达式，再结合原抛物线表达式中常数项为$-1$，可知抛物线过点$(0,-1)$，将该点代入顶点式即可求出参数$a$，得到抛物线的表达式；③要求抛物线与直线的交点，只需联立两个函数的表达式，解一元二次方程得到横坐标，再代入直线方程求出对应纵坐标即可。
【解析】
1. 求抛物线顶点坐标：
将$x = -1$代入直线方程$y = 2x + 4$，得$y = 2 × (-1) + 4 = 2$，因此抛物线的顶点坐标为$(-1, 2)$。
2. 求抛物线表达式：
设抛物线的顶点式为$y = a(x + 1)^2 + 2$，由抛物线$y=ax^2+bx-1$可知，当$x=0$时，$y=-1$，即抛物线过点$(0, -1)$。
将$(0, -1)$代入$y = a(x + 1)^2 + 2$，得：
$-1 = a(0+1)^2 + 2$
解得$a = -3$，因此抛物线的表达式为$y = -3(x + 1)^2 + 2$。
3. 求抛物线与直线的交点坐标：
联立抛物线与直线的表达式：
$\begin{cases}y = -3(x + 1)^2 + 2 \\ y = 2x + 4 \end{cases}$
消去$y$得：$-3(x + 1)^2 + 2 = 2x + 4$
整理求解得$x = -1$或$x = -\frac{5}{3}$。
将$x = -1$代入$y = 2x + 4$，得$y=2$；将$x = -\frac{5}{3}$代入$y = 2x + 4$，得$y=\frac{2}{3}$。
【答案】
抛物线表达式为$y=-3(x+1)^2+2$；交点坐标为$(-1,2)$和$(-\frac{5}{3},\frac{2}{3})$。
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，函数交点求解
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，解题关键是利用对称轴和直线方程快速确定抛物线的顶点坐标，选择顶点式求解析式可简化计算，联立方程求交点是函数类问题的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
23 有一个二次函数的图像，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线 $ x=4 $；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3。请你写出满足上述全部特点的二次函数表达式。
答案
23. 因为对称轴是直线$x = 4$,与x轴两交点的横坐标都是整数,可设与x轴两交点坐标为$(3, 0)$,$(5, 0)$。又因为以函数与x轴、y轴交点为顶点的三角形面积为3,可得与y轴的交点的坐标为$(0, 3)$或$(0, -3)$。所以抛物线的表达式为$y = \frac{1}{5}x^2 - \frac{8}{5}x + 3$或$y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x - 3$。(当与x轴交点为$(2, 0)$,$(6, 0)$时,与y轴交点为$(0, \frac{3}{2})$或$(0, -\frac{3}{2})$,不符合题意。)
解析
【分析】
解题时先结合二次函数的对称性分析：已知对称轴为直线x=4，且与x轴两交点的横坐标为整数，因此两个交点必然关于x=4对称，两交点间的距离为正偶数。再结合三角形面积条件：三个交点构成的三角形以x轴上两交点的距离为底，以y轴交点纵坐标的绝对值为高，面积为3，可推出底与高的乘积为6。结合横、纵坐标均为整数的要求，筛选出符合条件的交点坐标，最后用待定系数法求二次函数表达式即可。
【解析】
1. 由对称轴为直线$x=4$，且与x轴两交点横坐标为整数，设两交点坐标为$(4-a,0)$、$(4+a,0)$（$a$为正整数），则两交点间的距离为$2a$。
2. 设二次函数与y轴交点坐标为$(0,b)$（$b$为整数），根据三角形面积为3，可得：
$S=\frac{1}{2} × 2a × |b| = a|b|=3$
3. 因$a$、$|b|$均为正整数，分情况讨论：
当$a=1$时，$|b|=3$，即$b=3$或$b=-3$，此时x轴交点为$(3,0)$、$(5,0)$。
设二次函数交点式为$y=k(x-3)(x-5)$，将$(0,b)$代入：
若$b=3$，则$3=k×(-3)×(-5)$，解得$k=\frac{1}{5}$，展开得$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$；
若$b=-3$，则$-3=k×(-3)×(-5)$，解得$k=-\frac{1}{5}$，展开得$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$，均符合条件。
当$a=2$时，$|b|=\frac{3}{2}$，不是整数，不符合要求，排除。
【答案】
$y = \frac{1}{5}x^2 - \frac{8}{5}x + 3$或$y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x - 3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数的图像性质，解题时需结合对称性和整数条件进行分类讨论，合理使用交点式可大幅简化计算过程，要注意y轴交点的纵坐标有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题时先结合二次函数的对称性分析：已知对称轴为直线x=4，且与x轴两交点的横坐标为整数，因此两个交点必然关于x=4对称，两交点间的距离为正偶数。再结合三角形面积条件：三个交点构成的三角形以x轴上两交点的距离为底，以y轴交点纵坐标的绝对值为高，面积为3，可推出底与高的乘积为6。结合横、纵坐标均为整数的要求，筛选出符合条件的交点坐标，最后用待定系数法求二次函数表达式即可。
【解析】
1. 由对称轴为直线$x=4$，且与x轴两交点横坐标为整数，设两交点坐标为$(4-a,0)$、$(4+a,0)$（$a$为正整数），则两交点间的距离为$2a$。
2. 设二次函数与y轴交点坐标为$(0,b)$（$b$为整数），根据三角形面积为3，可得：
$S=\frac{1}{2} × 2a × |b| = a|b|=3$
3. 因$a$、$|b|$均为正整数，分情况讨论：
当$a=1$时，$|b|=3$，即$b=3$或$b=-3$，此时x轴交点为$(3,0)$、$(5,0)$。
设二次函数交点式为$y=k(x-3)(x-5)$，将$(0,b)$代入：
若$b=3$，则$3=k×(-3)×(-5)$，解得$k=\frac{1}{5}$，展开得$y=\frac{1}{5}x^2-\frac{8}{5}x+3$；
若$b=-3$，则$-3=k×(-3)×(-5)$，解得$k=-\frac{1}{5}$，展开得$y=-\frac{1}{5}x^2+\frac{8}{5}x-3$，均符合条件。
当$a=2$时，$|b|=\frac{3}{2}$，不是整数，不符合要求，排除。
【答案】
$y = \frac{1}{5}x^2 - \frac{8}{5}x + 3$或$y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{8}{5}x - 3$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；三角形面积计算
【点评】
本题综合考查二次函数的图像性质，解题时需结合对称性和整数条件进行分类讨论，合理使用交点式可大幅简化计算过程，要注意y轴交点的纵坐标有正负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.6
