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24 抛物线$y=-x^2+bx+c$交$x$轴于$A$、$B$两点(点$A$在点$B$的左侧)坐标分别为$(-2,0)(4,0)$，交$y$轴于点$C$。
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 如图，过$y$轴上点$D$作$BC$的垂线，交线段$BC$于点$E$，交抛物线于点$F$，当$EF=\frac{3}{5}\sqrt{5}$时，求出点$F$的坐标。
(3) 点$H$的坐标是$(0,2)$，点$Q$为$x$轴上一动点，点$P(2,8)$在抛物线上，把$△ PHQ$沿$HQ$翻折，使点$P$刚好落在$x$轴上，请直接写出点$Q$的坐标。
(1) 求抛物线的表达式。
(2) 如图，过$y$轴上点$D$作$BC$的垂线，交线段$BC$于点$E$，交抛物线于点$F$，当$EF=\frac{3}{5}\sqrt{5}$时，求出点$F$的坐标。
(3) 点$H$的坐标是$(0,2)$，点$Q$为$x$轴上一动点，点$P(2,8)$在抛物线上，把$△ PHQ$沿$HQ$翻折，使点$P$刚好落在$x$轴上，请直接写出点$Q$的坐标。
答案
24. (1) 将$(-2, 0)$,$(4, 0)$代入$y = -x^2 + bx + c$,得$\begin{cases}-4 - 2b + c = 0, \\ -16 + 4b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 2, \\ c = 8,\end{cases}$所以抛物线的表达式为$y = -x^2 + 2x + 8$。
(2) 由$y = -x^2 + 2x + 8$,得点C的坐标为$(0, 8)$。如图①,过点F作x轴的垂线交BC于点N,交x轴于点M。因为$∠ FNE = ∠ BNM$,$∠ FNE + ∠ EFN = ∠ BNM + ∠ MBN = 90°$,所以$∠ EFN = ∠ MBN$。在$\mathrm{Rt}△ BOC$中,$∠ BOC = 90°$,由勾股定理得$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$,所以$\cos ∠ EFN = \cos ∠ MBN = \frac{OB}{BC} = \frac{EF}{FN}$,即$\frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{FN}$,所以$FN = 3$。因为$B(4, 0)$,$C(0, 8)$,所以直线$BC$:$y = -2x + 8$,设$F(m, -m^2 + 2m + 8)$,$N(m, -2m + 8)$。当点F在点N上方时,$FN = -m^2 + 2m + 8 - (-2m + 8) = 3$。所以$-m^2 + 4m = 3$,所以$m_1 = 1$,$m_2 = 3$,所以$F(1, 9)$或$(3, 5)$。当点F在点N的下方时,$FN = -2m + 8 - (-m^2 + 2m + 8) = 3$,所以$-m^2 + 4m = -3$,所以$m_3 = 2 + \sqrt{7}$,$m_4 = 2 - \sqrt{7}$,所以$F(2 + \sqrt{7}, 1 - 2\sqrt{7})$或$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$。其中$F(1, 9)$和$(2 + \sqrt{7}, 1 - 2\sqrt{7})$两点所对应的E点不在线段BC上,所以舍去,所以点F的坐标为$(3, 5)$或$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$。
(3) 设点P的对应点$P'(m, 0)$,$Q(n, 0)$。由翻折,可得对应边$PH = P'H$,$PQ = P'Q$。因为$P(2, 8)$,$H(0, 2)$,$P'(m, 0)$,由$PH^2 = P'H^2$,得$2^2 + (8 - 2)^2 = m^2 + 2^2$,解得$m = \pm 6$,所以$P'(6, 0)$或$(-6, 0)$。 如图②,当$P'(6, 0)$时,由$PQ^2 = P'Q^2$,得$(n - 2)^2 + 8^2 = (6 - n)^2$,解得$n = -4$。 ② 如图③,当$P'(-6, 0)$时,由$PQ^2 = P'Q^2$,得$(n - 2)^2 + 8^2 = (-6 - n)^2$,解得$n = 2$。 所以$Q(-4, 0)$或$(2, 0)$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式可采用待定系数法，已知抛物线与x轴的两个交点A(-2,0)、B(4,0)，将两点坐标代入抛物线一般式，建立关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到系数，进而得到抛物线解析式。
(2) 首先求出点C坐标和直线BC的解析式，通过直角三角形两锐角互余的性质推导出∠EFN=∠OBC，结合三角函数的余弦值相等建立EF与FN的等量关系，求出FN的长度；设F点横坐标为m，分别表示出F点和直线BC上横坐标为m的N点的纵坐标，分F在N点上方、下方两种情况列方程求解，最后验证E点是否在线段BC上，舍去不符合题意的解。
(3) 翻折变换的核心性质是对应边相等，设点P的对应点P'(m,0)，Q点坐标为(n,0)，先利用PH=P'H列方程求出m的取值，得到P'的两个可能坐标，再分别结合PQ=P'Q列方程求解n的值，即可得到Q点的坐标。
【解析】
(1) 将A(-2,0)、B(4,0)代入$y = -x^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases}-4 - 2b + c = 0, \\ -16 + 4b + c = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2, \\ c = 8,\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y = -x^2 + 2x + 8$。
(2) 由抛物线解析式$y = -x^2 + 2x + 8$，令x=0，得y=8，即点C坐标为(0,8)。
如图①，过点F作x轴的垂线交BC于点N，交x轴于点M。
∵$∠ FNE = ∠ BNM$，$∠ FNE + ∠ EFN = ∠ BNM + ∠ MBN = 90°$，
∴$∠ EFN = ∠ MBN$。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BOC = 90°$，由勾股定理得$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$，
∴$\cos ∠ EFN = \cos ∠ MBN = \frac{OB}{BC} = \frac{EF}{FN}$，即$\frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{FN}$，解得$FN = 3$。
由B(4,0)、C(0,8)，可求得直线BC的解析式为$y = -2x + 8$。
设$F(m, -m^2 + 2m + 8)$，则同横坐标下N点坐标为$(m, -2m + 8)$。
① 当点F在点N上方时，$FN = (-m^2 + 2m + 8) - (-2m + 8) = 3$，
整理得$-m^2 + 4m = 3$，解得$m_1 = 1$，$m_2 = 3$，对应F点坐标为$(1, 9)$、$(3, 5)$。
② 当点F在点N的下方时，$FN = (-2m + 8) - (-m^2 + 2m + 8) = 3$，
整理得$m^2 - 4m - 3 = 0$，解得$m_3 = 2 + \sqrt{7}$，$m_4 = 2 - \sqrt{7}$，对应F点坐标为$(2 + \sqrt{7}, 1 - 2\sqrt{7})$、$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$。
验证得$F(1, 9)$和$(2 + \sqrt{7}, 1 - 2\sqrt{7})$对应的E点不在线段BC上，故舍去，因此点F的坐标为$(3, 5)$或$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$。
(3) 设点P翻折后的对应点为$P'(m, 0)$，Q点坐标为$(n, 0)$。
由翻折的性质可得：$PH = P'H$，$PQ = P'Q$。
已知$P(2, 8)$，$H(0, 2)$，结合$PH^2 = P'H^2$得：
$2^2 + (8 - 2)^2 = m^2 + 2^2$，解得$m = \pm 6$，即$P'$坐标为$(6, 0)$或$(-6, 0)$。
① 如图②，当$P'(6, 0)$时，由$PQ^2 = P'Q^2$得：
$(n - 2)^2 + 8^2 = (6 - n)^2$，解得$n = -4$，即Q点坐标为$(-4,0)$。
② 如图③，当$P'(-6, 0)$时，由$PQ^2 = P'Q^2$得：
$(n - 2)^2 + 8^2 = (-6 - n)^2$，解得$n = 2$，即Q点坐标为$(2,0)$。
综上，点Q的坐标为$(-4, 0)$或$(2, 0)$。
【答案】
(1) $y = -x^2 + 2x + 8$
(2) $(3, 5)$或$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$
(3) $(-4, 0)$或$(2, 0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数综合，翻折的性质
【点评】
本题属于二次函数综合题，既考查了待定系数法求函数解析式、三角函数、勾股定理等基础知识点，也考查了分类讨论思想，解题时要注意结合图形限制条件舍去不符合题意的解，翻折类问题抓住对应边相等的性质是突破点。
【难度系数】
0.3
(1) 求抛物线表达式可采用待定系数法，已知抛物线与x轴的两个交点A(-2,0)、B(4,0)，将两点坐标代入抛物线一般式，建立关于b、c的二元一次方程组，求解即可得到系数，进而得到抛物线解析式。
(2) 首先求出点C坐标和直线BC的解析式，通过直角三角形两锐角互余的性质推导出∠EFN=∠OBC，结合三角函数的余弦值相等建立EF与FN的等量关系，求出FN的长度；设F点横坐标为m，分别表示出F点和直线BC上横坐标为m的N点的纵坐标，分F在N点上方、下方两种情况列方程求解，最后验证E点是否在线段BC上，舍去不符合题意的解。
(3) 翻折变换的核心性质是对应边相等，设点P的对应点P'(m,0)，Q点坐标为(n,0)，先利用PH=P'H列方程求出m的取值，得到P'的两个可能坐标，再分别结合PQ=P'Q列方程求解n的值，即可得到Q点的坐标。
【解析】
(1) 将A(-2,0)、B(4,0)代入$y = -x^2 + bx + c$，得：
$\begin{cases}-4 - 2b + c = 0, \\ -16 + 4b + c = 0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2, \\ c = 8,\end{cases}$
因此抛物线的表达式为$y = -x^2 + 2x + 8$。
(2) 由抛物线解析式$y = -x^2 + 2x + 8$，令x=0，得y=8，即点C坐标为(0,8)。
如图①，过点F作x轴的垂线交BC于点N，交x轴于点M。
∵$∠ FNE = ∠ BNM$，$∠ FNE + ∠ EFN = ∠ BNM + ∠ MBN = 90°$，
∴$∠ EFN = ∠ MBN$。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$∠ BOC = 90°$，由勾股定理得$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = 4\sqrt{5}$，
∴$\cos ∠ EFN = \cos ∠ MBN = \frac{OB}{BC} = \frac{EF}{FN}$，即$\frac{4}{4\sqrt{5}} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{5}}{FN}$，解得$FN = 3$。
由B(4,0)、C(0,8)，可求得直线BC的解析式为$y = -2x + 8$。
设$F(m, -m^2 + 2m + 8)$，则同横坐标下N点坐标为$(m, -2m + 8)$。
① 当点F在点N上方时，$FN = (-m^2 + 2m + 8) - (-2m + 8) = 3$，
整理得$-m^2 + 4m = 3$，解得$m_1 = 1$，$m_2 = 3$，对应F点坐标为$(1, 9)$、$(3, 5)$。
② 当点F在点N的下方时，$FN = (-2m + 8) - (-m^2 + 2m + 8) = 3$，
整理得$m^2 - 4m - 3 = 0$，解得$m_3 = 2 + \sqrt{7}$，$m_4 = 2 - \sqrt{7}$，对应F点坐标为$(2 + \sqrt{7}, 1 - 2\sqrt{7})$、$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$。
验证得$F(1, 9)$和$(2 + \sqrt{7}, 1 - 2\sqrt{7})$对应的E点不在线段BC上，故舍去，因此点F的坐标为$(3, 5)$或$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$。
(3) 设点P翻折后的对应点为$P'(m, 0)$，Q点坐标为$(n, 0)$。
由翻折的性质可得：$PH = P'H$，$PQ = P'Q$。
已知$P(2, 8)$，$H(0, 2)$，结合$PH^2 = P'H^2$得：
$2^2 + (8 - 2)^2 = m^2 + 2^2$，解得$m = \pm 6$，即$P'$坐标为$(6, 0)$或$(-6, 0)$。
① 如图②，当$P'(6, 0)$时，由$PQ^2 = P'Q^2$得：
$(n - 2)^2 + 8^2 = (6 - n)^2$，解得$n = -4$，即Q点坐标为$(-4,0)$。
② 如图③，当$P'(-6, 0)$时，由$PQ^2 = P'Q^2$得：
$(n - 2)^2 + 8^2 = (-6 - n)^2$，解得$n = 2$，即Q点坐标为$(2,0)$。
综上，点Q的坐标为$(-4, 0)$或$(2, 0)$。
【答案】
(1) $y = -x^2 + 2x + 8$
(2) $(3, 5)$或$(2 - \sqrt{7}, 2\sqrt{7} + 1)$
(3) $(-4, 0)$或$(2, 0)$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数综合，翻折的性质
【点评】
本题属于二次函数综合题，既考查了待定系数法求函数解析式、三角函数、勾股定理等基础知识点，也考查了分类讨论思想，解题时要注意结合图形限制条件舍去不符合题意的解，翻折类问题抓住对应边相等的性质是突破点。
【难度系数】
0.3
25 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + 2x$ 与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA。
(1) 直接写出点A的坐标和$∠ AOB$的度数。
(2) 若将抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + 2x$ 向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C。连接OC和AC,把$△ AOC$沿OA翻折得到四边形$ACOC'$,试判断其形状,并说明理由。
(3) 在(2)的情况下,判断点$C'$是否在抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + 2x$ 上,请说明理由。
(4) 若点P为x轴上的一个动点,试探究在x轴下方的抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由。
(1) 直接写出点A的坐标和$∠ AOB$的度数。
(2) 若将抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + 2x$ 向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C。连接OC和AC,把$△ AOC$沿OA翻折得到四边形$ACOC'$,试判断其形状,并说明理由。
(3) 在(2)的情况下,判断点$C'$是否在抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 + 2x$ 上,请说明理由。
(4) 若点P为x轴上的一个动点,试探究在x轴下方的抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由。
答案
25. (1) 由$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$,得$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$,所以抛物线的顶点A的坐标为$(-2, -2)$。令$\frac{1}{2}x^2 + 2x = 0$,解得$x_1 = 0$,$x_2 = -4$,所以点B的坐标为$(-4, 0)$。如图①,过点A作$AD ⊥ x$轴,垂足为点D,所以$∠ ADO = 90°$。因为点A的坐标为$(-2, -2)$,所以点D的坐标为$(-2, 0)$,所以$OD = AD = 2$,所以$∠ AOB = 45°$。
(2) 由题意可知抛物线m的二次项系数为$\frac{1}{2}$,且过顶点C的坐标是$(2, -4)$,所以$OC = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$,同理,$AC = 2\sqrt{5}$,$OC = AC$。由翻折可知,$OC = AC = OC' = AC'$(如图①),故四边形$ACOC'$为菱形。
(3) 因为四边形$ACOC'$为菱形,所以$OC // C'A$,$OC = C'A$。由$C(2, -4)$向左平移2个单位,向上平移4个单位得到点O,可知点$A(-2, -2)$向左平移2个单位,向上平移4个单位得到点$C'$,所以点$C'$的坐标为$(-4, 2)$。把$x = -4$代入抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$,得$y = 0$,所以点$C'$不在抛物线$y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$上。
(4) 如图②,设点$P(a, 0)$,连接AP,过$△ AOP$的每个顶点作对边的平行线,两两相交得到三个点Q,由题意知,点Q在x轴下方,所以$Q_1$、$Q_2$为所求。由$OP // AQ$且$OP = AQ$,得$y_Q = -2$。将$y = -2$代入$y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 - 4$,得$x_1 = 4$,$x_2 = 0$,所以$Q(4, -2)$或$(0, -2)$。① 当点$Q(4, -2)$时,$OP = AQ = 6$,所以$P(6, 0)$或$(-6, 0)$。② 当点$Q(0, -2)$时,$OP = AQ = 2$,所以$P(2, 0)$或$(-2, 0)$。
解析
【分析】
(1) 求抛物线顶点坐标可先将一般式配方为顶点式直接得到；求∠AOB的度数，可过A作x轴的垂线构造直角三角形，通过边的关系判断三角形形状得到角度。
(2) 先根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后抛物线m的顶点C的坐标，再分别计算OC、AC的长度，结合翻折的性质得到四条边的关系，判断四边形形状。
(3) 先根据菱形的性质和平移规律求出点C'的坐标，再将C'的横坐标代入原抛物线解析式，计算对应的y值，和C'的纵坐标比较即可判断是否在抛物线上。
(4) 根据平行四边形对边平行且相等的性质，可知点Q的纵坐标和点A的纵坐标相同，代入抛物线m的解析式求出Q的坐标，再根据线段长度关系求出对应P的坐标，结合Q在x轴下方的条件筛选结果即可。
【解析】
(1) 对抛物线解析式配方：$y=\frac{1}{2}x^2+2x=\frac{1}{2}(x^2+4x)=\frac{1}{2}(x+2)^2-2$，因此顶点A的坐标为$(-2,-2)$。
令$y=0$，即$\frac{1}{2}x^2+2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-4$，得B点坐标$(-4,0)$。
过A作$AD⊥ x$轴于D，D坐标为$(-2,0)$，则$OD=2$，$AD=2$，$△ ADO$为等腰直角三角形，故$∠ AOB=45°$。
(2) 根据抛物线平移规律：向右平移4个单位，再向下平移2个单位，原顶点A$(-2,-2)$平移后顶点C的坐标为$(-2+4,-2-2)$即$(2,-4)$。
计算长度：$OC=\sqrt{2^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(2+2)^2+(-4+2)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，故$OC=AC$。
由翻折的性质可得：$OC=OC'$，$AC=AC'$，因此$OC=AC=OC'=AC'$，所以四边形$ACOC'$为菱形。
(3) 因为四边形$ACOC'$是菱形，所以$OC// C'A$且$OC=C'A$。
点C$(2,-4)$平移到O$(0,0)$的平移方式为：向左平移2个单位，向上平移4个单位，同理点A$(-2,-2)$按相同方式平移得到$C'$，则$C'$的坐标为$(-2-2,-2+4)=(-4,2)$。
将$x=-4$代入原抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+2x$，得$y=\frac{1}{2}× (-4)^2+2× (-4)=8-8=0≠ 2$，所以点$C'$不在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+2x$上。
(4) 抛物线m的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-4$。
设P$(a,0)$，以O、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形，且Q在x轴下方，故AQ平行于x轴，即Q的纵坐标与A相同，为$-2$。
将$y=-2$代入$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-4$，得$\frac{1}{2}(x-2)^2=2$，解得$x_1=4$，$x_2=0$，即Q点坐标为$(4,-2)$或$(0,-2)$。
① 当Q为$(4,-2)$时，$AQ$的长度为$4-(-2)=6$，故$OP=6$，即P为$(6,0)$或$(-6,0)$；
② 当Q为$(0,-2)$时，$AQ$的长度为$0-(-2)=2$，故$OP=2$，即P为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$(-2,-2)$，$∠ AOB=45°$；
(2) 四边形$ACOC'$是菱形，理由见解析；
(3) 点$C'$不在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+2x$上，理由见解析；
(4) 存在，对应坐标为：$\begin{cases}P(6,0),Q(4,-2)\\P(-6,0),Q(4,-2)\\P(2,0),Q(0,-2)\\P(-2,0),Q(0,-2)\end{cases}$
【知识点】
二次函数的图像与性质，图形的平移与翻折，特殊四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查二次函数相关性质、图形变换规律以及特殊四边形的判定和性质，解题时需要运用数形结合思想和分类讨论思想，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求抛物线顶点坐标可先将一般式配方为顶点式直接得到；求∠AOB的度数，可过A作x轴的垂线构造直角三角形，通过边的关系判断三角形形状得到角度。
(2) 先根据抛物线平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后抛物线m的顶点C的坐标，再分别计算OC、AC的长度，结合翻折的性质得到四条边的关系，判断四边形形状。
(3) 先根据菱形的性质和平移规律求出点C'的坐标，再将C'的横坐标代入原抛物线解析式，计算对应的y值，和C'的纵坐标比较即可判断是否在抛物线上。
(4) 根据平行四边形对边平行且相等的性质，可知点Q的纵坐标和点A的纵坐标相同，代入抛物线m的解析式求出Q的坐标，再根据线段长度关系求出对应P的坐标，结合Q在x轴下方的条件筛选结果即可。
【解析】
(1) 对抛物线解析式配方：$y=\frac{1}{2}x^2+2x=\frac{1}{2}(x^2+4x)=\frac{1}{2}(x+2)^2-2$，因此顶点A的坐标为$(-2,-2)$。
令$y=0$，即$\frac{1}{2}x^2+2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-4$，得B点坐标$(-4,0)$。
过A作$AD⊥ x$轴于D，D坐标为$(-2,0)$，则$OD=2$，$AD=2$，$△ ADO$为等腰直角三角形，故$∠ AOB=45°$。
(2) 根据抛物线平移规律：向右平移4个单位，再向下平移2个单位，原顶点A$(-2,-2)$平移后顶点C的坐标为$(-2+4,-2-2)$即$(2,-4)$。
计算长度：$OC=\sqrt{2^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(2+2)^2+(-4+2)^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$，故$OC=AC$。
由翻折的性质可得：$OC=OC'$，$AC=AC'$，因此$OC=AC=OC'=AC'$，所以四边形$ACOC'$为菱形。
(3) 因为四边形$ACOC'$是菱形，所以$OC// C'A$且$OC=C'A$。
点C$(2,-4)$平移到O$(0,0)$的平移方式为：向左平移2个单位，向上平移4个单位，同理点A$(-2,-2)$按相同方式平移得到$C'$，则$C'$的坐标为$(-2-2,-2+4)=(-4,2)$。
将$x=-4$代入原抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+2x$，得$y=\frac{1}{2}× (-4)^2+2× (-4)=8-8=0≠ 2$，所以点$C'$不在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+2x$上。
(4) 抛物线m的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-4$。
设P$(a,0)$，以O、P、A、Q为顶点的四边形是平行四边形，且Q在x轴下方，故AQ平行于x轴，即Q的纵坐标与A相同，为$-2$。
将$y=-2$代入$y=\frac{1}{2}(x-2)^2-4$，得$\frac{1}{2}(x-2)^2=2$，解得$x_1=4$，$x_2=0$，即Q点坐标为$(4,-2)$或$(0,-2)$。
① 当Q为$(4,-2)$时，$AQ$的长度为$4-(-2)=6$，故$OP=6$，即P为$(6,0)$或$(-6,0)$；
② 当Q为$(0,-2)$时，$AQ$的长度为$0-(-2)=2$，故$OP=2$，即P为$(2,0)$或$(-2,0)$。
【答案】
(1) 点A的坐标为$(-2,-2)$，$∠ AOB=45°$；
(2) 四边形$ACOC'$是菱形，理由见解析；
(3) 点$C'$不在抛物线$y=\frac{1}{2}x^2+2x$上，理由见解析；
(4) 存在，对应坐标为：$\begin{cases}P(6,0),Q(4,-2)\\P(-6,0),Q(4,-2)\\P(2,0),Q(0,-2)\\P(-2,0),Q(0,-2)\end{cases}$
【知识点】
二次函数的图像与性质，图形的平移与翻折，特殊四边形的判定与性质
【点评】
本题综合考查二次函数相关性质、图形变换规律以及特殊四边形的判定和性质，解题时需要运用数形结合思想和分类讨论思想，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
