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1 在函数 ①$y=3x^2$；②$y=\frac{1}{2}x^2 +1$；③$y=-\frac{4}{3}x^2 -3$中，图像开口大小按序号顺序表示为（
A.①＞②＞③
B.①＞③＞②
C.②＞③＞①
D.②＞①＞③
C
）。A.①＞②＞③
B.①＞③＞②
C.②＞③＞①
D.②＞①＞③
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是明确二次函数开口大小的判断规律：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），开口大小仅与二次项系数$a$的绝对值有关，$|a|$越小，开口越大。解题时先分别提取三个函数的二次项系数，计算其绝对值，再比较绝对值大小，反向推导开口大小顺序即可。
【解析】
首先分别求出三个函数二次项系数的绝对值：
1. 函数①$y=3x^2$中，$a_1=3$，则$|a_1|=3$；
2. 函数②$y=\frac{1}{2}x^2 +1$中，$a_2=\frac{1}{2}$，则$|a_2|=\frac{1}{2}=0.5$；
3. 函数③$y=-\frac{4}{3}x^2 -3$中，$a_3=-\frac{4}{3}$，则$|a_3|=\frac{4}{3}\approx1.33$。
比较三个绝对值的大小：$\frac{1}{2}＜\frac{4}{3}＜3$，即$|a_2|＜|a_3|＜|a_1|$。
根据二次函数性质：$|a|$越小开口越大，可得开口大小顺序为②＞③＞①。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，绝对值大小比较
【点评】
本题属于基础性质类考题，重点考查二次项系数绝对值与开口大小的对应关系，解题时注意区分：$a$的正负仅决定开口方向，不影响开口大小，牢记$|a|$和开口大小的反向对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确二次函数开口大小的判断规律：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），开口大小仅与二次项系数$a$的绝对值有关，$|a|$越小，开口越大。解题时先分别提取三个函数的二次项系数，计算其绝对值，再比较绝对值大小，反向推导开口大小顺序即可。
【解析】
首先分别求出三个函数二次项系数的绝对值：
1. 函数①$y=3x^2$中，$a_1=3$，则$|a_1|=3$；
2. 函数②$y=\frac{1}{2}x^2 +1$中，$a_2=\frac{1}{2}$，则$|a_2|=\frac{1}{2}=0.5$；
3. 函数③$y=-\frac{4}{3}x^2 -3$中，$a_3=-\frac{4}{3}$，则$|a_3|=\frac{4}{3}\approx1.33$。
比较三个绝对值的大小：$\frac{1}{2}＜\frac{4}{3}＜3$，即$|a_2|＜|a_3|＜|a_1|$。
根据二次函数性质：$|a|$越小开口越大，可得开口大小顺序为②＞③＞①。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，绝对值大小比较
【点评】
本题属于基础性质类考题，重点考查二次项系数绝对值与开口大小的对应关系，解题时注意区分：$a$的正负仅决定开口方向，不影响开口大小，牢记$|a|$和开口大小的反向对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2 已知抛物线$y=-2(x+h)^2 +k$的顶点在第四象限，则（
A.$h＞0,k＞0$
B.$h＞0,k＜0$
C.$h＜0,k＞0$
D.$h＜0,k＜0$
D
）。A.$h＞0,k＞0$
B.$h＞0,k＜0$
C.$h＜0,k＞0$
D.$h＜0,k＜0$
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律，再结合第四象限内点的坐标符号特征列出不等式，解不等式即可得到h、k的取值范围，对应选出正确选项。具体思路为：第一步由抛物线顶点式推导得到顶点坐标；第二步根据第四象限点的横、纵坐标的符号要求列不等式；第三步解不等式判断h、k的符号，匹配选项即可。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+n$，其顶点坐标为$(m,n)$。
将题干中的抛物线$y=-2(x+h)^2 +k$转化为标准顶点式：$y=-2[x-(-h)]^2 +k$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-h, k)$。
已知顶点在第四象限，第四象限内点的坐标特征为横坐标大于0、纵坐标小于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}-h＞0 \\ k＜0 \end{cases}$
解不等式$-h＞0$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$h＜0$。
综上可得$h＜0$，$k＜0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；象限内点的坐标特征；一元一次不等式解法
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是对顶点式中顶点坐标的识别，结合平面直角坐标系象限的坐标符号特征即可求解，熟练掌握基础概念就能快速得分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要回忆二次函数顶点式的顶点坐标规律，再结合第四象限内点的坐标符号特征列出不等式，解不等式即可得到h、k的取值范围，对应选出正确选项。具体思路为：第一步由抛物线顶点式推导得到顶点坐标；第二步根据第四象限点的横、纵坐标的符号要求列不等式；第三步解不等式判断h、k的符号，匹配选项即可。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-m)^2+n$，其顶点坐标为$(m,n)$。
将题干中的抛物线$y=-2(x+h)^2 +k$转化为标准顶点式：$y=-2[x-(-h)]^2 +k$，因此该抛物线的顶点坐标为$(-h, k)$。
已知顶点在第四象限，第四象限内点的坐标特征为横坐标大于0、纵坐标小于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}-h＞0 \\ k＜0 \end{cases}$
解不等式$-h＞0$，两边同时乘$-1$，不等号方向改变，得$h＜0$。
综上可得$h＜0$，$k＜0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；象限内点的坐标特征；一元一次不等式解法
【点评】
本题是二次函数的基础考查题，核心是对顶点式中顶点坐标的识别，结合平面直角坐标系象限的坐标符号特征即可求解，熟练掌握基础概念就能快速得分。
【难度系数】
0.7
3 已知$a＜-1$，点$(a-1,y_1)$，$(a,y_2)$，$(a+1,y_3)$都在函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2$的图像上，则（
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
C
）。A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_1＜y_3＜y_2$
C.$y_3＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜y_1＜y_3$
答案
C
解析
【分析】
首先分析二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2$的图像性质：二次项系数为正，开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），在$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小。再根据$a＜-1$的条件，判断三个点的横坐标$(a-1)、a、(a+1)$均小于0，都在对称轴左侧的递减区间，最后根据横坐标的大小关系即可推出对应$y$值的大小。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2$：
∵ 二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$a＜-1$，可得：$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，即三个点的横坐标都在$x＜0$的递减区间内。
根据递减区间的性质：横坐标越大，对应函数值越小，因此$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$，即$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，二次函数增减性，函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是先确定目标点所在的单调区间，再结合横坐标的大小关系判断函数值大小，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
首先分析二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2$的图像性质：二次项系数为正，开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），在$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小。再根据$a＜-1$的条件，判断三个点的横坐标$(a-1)、a、(a+1)$均小于0，都在对称轴左侧的递减区间，最后根据横坐标的大小关系即可推出对应$y$值的大小。
【解析】
对于二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 -2$：
∵ 二次项系数$\frac{1}{2}＞0$，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。
已知$a＜-1$，可得：$a-1 ＜ a ＜ a+1 ＜ 0$，即三个点的横坐标都在$x＜0$的递减区间内。
根据递减区间的性质：横坐标越大，对应函数值越小，因此$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$，即$y_3 ＜ y_2 ＜ y_1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质，二次函数增减性，函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，解题核心是先确定目标点所在的单调区间，再结合横坐标的大小关系判断函数值大小，熟练掌握二次函数开口方向、对称轴与增减性的对应关系是解题关键。
【难度系数】
0.7
4 在同一平面直角坐标系中，一次函数$y=ax+c$和二次函数$y=ax^2+c$的图像大致为(
B
)。答案
B
解析
【分析】
要判断两个函数的图象是否匹配，可从两个函数共有的参数入手分析：
1. 先看常数项c：两个函数当x=0时，y的值都为c，因此两个图象与y轴交于同一点，可先排除交点不重合的选项；
2. 再看参数a：二次函数$y=ax^2+c$的开口方向由a决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；一次函数$y=ax+c$的倾斜方向由a决定，$a＞0$时图象向上倾斜（y随x增大而增大），$a＜0$时图象向下倾斜（y随x增大而减小），两个函数的a取值相同，因此开口方向和倾斜方向的正负要一致，据此排除矛盾选项即可得出答案。
【解析】
1. 验证y轴交点：
令$x=0$，一次函数$y=ax+c$的函数值为c，二次函数$y=ax^2+c$的函数值也为c，因此两个函数图象与y轴交于同一点$(0,c)$。观察选项，D中两个函数与y轴交点不同，排除D。
2. 验证参数a的一致性：
选项A：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数向上倾斜，说明$a＞0$，a的取值矛盾，排除A。
选项B：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数向下倾斜，说明$a＜0$，a的取值一致，且与y轴交于同一点，符合要求。
选项C：二次函数开口向上，说明$a＞0$；一次函数向下倾斜，说明$a＜0$，a的取值矛盾，排除C。
综上，只有B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数图象性质、函数图象参数判定
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，解题核心是抓住两个函数共有的参数，分别对应图象的特征进行验证，不需要复杂计算，重点考查对函数图象和参数对应关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数的图象是否匹配，可从两个函数共有的参数入手分析：
1. 先看常数项c：两个函数当x=0时，y的值都为c，因此两个图象与y轴交于同一点，可先排除交点不重合的选项；
2. 再看参数a：二次函数$y=ax^2+c$的开口方向由a决定，$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；一次函数$y=ax+c$的倾斜方向由a决定，$a＞0$时图象向上倾斜（y随x增大而增大），$a＜0$时图象向下倾斜（y随x增大而减小），两个函数的a取值相同，因此开口方向和倾斜方向的正负要一致，据此排除矛盾选项即可得出答案。
【解析】
1. 验证y轴交点：
令$x=0$，一次函数$y=ax+c$的函数值为c，二次函数$y=ax^2+c$的函数值也为c，因此两个函数图象与y轴交于同一点$(0,c)$。观察选项，D中两个函数与y轴交点不同，排除D。
2. 验证参数a的一致性：
选项A：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数向上倾斜，说明$a＞0$，a的取值矛盾，排除A。
选项B：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数向下倾斜，说明$a＜0$，a的取值一致，且与y轴交于同一点，符合要求。
选项C：二次函数开口向上，说明$a＞0$；一次函数向下倾斜，说明$a＜0$，a的取值矛盾，排除C。
综上，只有B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象性质、二次函数图象性质、函数图象参数判定
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，解题核心是抓住两个函数共有的参数，分别对应图象的特征进行验证，不需要复杂计算，重点考查对函数图象和参数对应关系的掌握程度。
【难度系数】
0.7
5 属于$y=ax^2+bx+c(a≠0)$模型的是(
A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计阻力）
D.圆的周长与圆的半径之间的关系
C
)。A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计阻力）
D.圆的周长与圆的半径之间的关系
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题干要求：判断哪个选项对应的函数符合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的模型。首先回忆二次函数的核心特征：函数表达式是关于自变量的整式，自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。接下来逐一推导每个选项对应的函数关系式，对照二次函数特征判断即可：①先回忆每个场景的数量关系，分别写出函数式；②将得到的函数式和二次函数的特征比对，匹配的就是正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项对应的函数类型：
1. 选项A：设固定距离为$s$，行驶速度为$v$，行驶时间为$t$，由路程公式$s=vt$可得$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数，不符合二次函数模型，排除；
2. 选项B：设初始人口总数为$N$，经过的年份为$x$，人口总数为$y$，由增长率公式可得$y=N(1+1\%)^x$，自变量$x$在指数位置，不属于二次函数，排除；
3. 选项C：设信号弹初速度为$v_0$，重力加速度为$g$，运动时间为$t$，高度为$h$，不计阻力时高度公式为$h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式（其中$a=-\frac{1}{2}g≠0$，$b=v_0$，$c=0$），属于二次函数模型；
4. 选项D：设圆的半径为$r$，周长为$C$，由圆周长公式可得$C=2πr$，属于正比例函数（一次函数），不符合二次函数模型，排除。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、函数模型判断、实际问题函数建模
【点评】
本题考查不同实际场景下的函数类型识别，解题关键是熟练掌握各类常见函数的形式特征，结合相关常识推导对应函数关系式再比对判断即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题干要求：判断哪个选项对应的函数符合二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的模型。首先回忆二次函数的核心特征：函数表达式是关于自变量的整式，自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。接下来逐一推导每个选项对应的函数关系式，对照二次函数特征判断即可：①先回忆每个场景的数量关系，分别写出函数式；②将得到的函数式和二次函数的特征比对，匹配的就是正确选项。
【解析】
我们逐个分析选项对应的函数类型：
1. 选项A：设固定距离为$s$，行驶速度为$v$，行驶时间为$t$，由路程公式$s=vt$可得$v=\frac{s}{t}$，属于反比例函数，不符合二次函数模型，排除；
2. 选项B：设初始人口总数为$N$，经过的年份为$x$，人口总数为$y$，由增长率公式可得$y=N(1+1\%)^x$，自变量$x$在指数位置，不属于二次函数，排除；
3. 选项C：设信号弹初速度为$v_0$，重力加速度为$g$，运动时间为$t$，高度为$h$，不计阻力时高度公式为$h=v_0t-\frac{1}{2}gt^2$，符合$y=ax^2+bx+c$的形式（其中$a=-\frac{1}{2}g≠0$，$b=v_0$，$c=0$），属于二次函数模型；
4. 选项D：设圆的半径为$r$，周长为$C$，由圆周长公式可得$C=2πr$，属于正比例函数（一次函数），不符合二次函数模型，排除。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、函数模型判断、实际问题函数建模
【点评】
本题考查不同实际场景下的函数类型识别，解题关键是熟练掌握各类常见函数的形式特征，结合相关常识推导对应函数关系式再比对判断即可，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
6 若二次函数$y=x^2 - 2mx + 2m^2 - 2$的顶点在$x$轴上，则$m$的值是（
A.0
B.$\pm1$
C.$\pm2$
D.$\pm\sqrt{2}$
D
）。A.0
B.$\pm1$
C.$\pm2$
D.$\pm\sqrt{2}$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次函数顶点在x轴上的等价条件：此时抛物线与x轴只有1个公共点，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0；也可利用顶点纵坐标为0的性质列式。我们只需将二次函数的对应系数代入判别式公式，求解关于m的方程即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - 2mx + 2m^2 - 2$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=2m^2-2$。
∵ 二次函数的顶点在x轴上，
∴ 抛物线与x轴有且只有一个交点，对应判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
代入系数得：
$(-2m)^2 - 4×1×(2m^2 - 2) = 0$
展开计算：
$4m^2 - 8m^2 + 8 = 0$
整理得：
$-4m^2 + 8 = 0$，即$m^2=2$
解得$m=\pm\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像性质，判别式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题的核心是掌握“二次函数顶点在x轴上等价于判别式Δ=0”这一对应关系，计算难度低，熟练掌握性质即可快速得分。
【难度系数】
0.75
要解决这道题，首先需明确二次函数顶点在x轴上的等价条件：此时抛物线与x轴只有1个公共点，对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0；也可利用顶点纵坐标为0的性质列式。我们只需将二次函数的对应系数代入判别式公式，求解关于m的方程即可得到结果。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - 2mx + 2m^2 - 2$，其中$a=1$，$b=-2m$，$c=2m^2-2$。
∵ 二次函数的顶点在x轴上，
∴ 抛物线与x轴有且只有一个交点，对应判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
代入系数得：
$(-2m)^2 - 4×1×(2m^2 - 2) = 0$
展开计算：
$4m^2 - 8m^2 + 8 = 0$
整理得：
$-4m^2 + 8 = 0$，即$m^2=2$
解得$m=\pm\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像性质，判别式的应用
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，解题的核心是掌握“二次函数顶点在x轴上等价于判别式Δ=0”这一对应关系，计算难度低，熟练掌握性质即可快速得分。
【难度系数】
0.75
7 $y=(m^2 - 2m - 3)x^2 + (m - 1)x + m^2$ 是关于$x$的二次函数，$m$要满足的条件是
$m≠3$且$m≠-1$
。答案
$m≠3$且$m≠-1$
解析
【分析】
要判断给定函数是二次函数，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心要求是$x$的最高次为2，即二次项系数不能为0。因此本题只需要让$x^2$的系数$m^2-2m-3$不等于0，求解对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵$y=(m^2 - 2m - 3)x^2 + (m - 1)x + m^2$是关于$x$的二次函数
∴二次项系数不能为0，即：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
对等式左边因式分解可得：
$(m - 3)(m + 1) ≠ 0$
∴$m - 3 ≠ 0$且$m + 1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
【答案】
$m≠3$且$m≠-1$
【知识点】
二次函数的定义；因式分解；不等式求解
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的隐含限制条件，避免遗漏该条件导致结果错误。
【难度系数】
0.8
要判断给定函数是二次函数，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数，核心要求是$x$的最高次为2，即二次项系数不能为0。因此本题只需要让$x^2$的系数$m^2-2m-3$不等于0，求解对应的不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵$y=(m^2 - 2m - 3)x^2 + (m - 1)x + m^2$是关于$x$的二次函数
∴二次项系数不能为0，即：
$m^2 - 2m - 3 ≠ 0$
对等式左边因式分解可得：
$(m - 3)(m + 1) ≠ 0$
∴$m - 3 ≠ 0$且$m + 1 ≠ 0$
解得：$m ≠ 3$且$m ≠ -1$
【答案】
$m≠3$且$m≠-1$
【知识点】
二次函数的定义；因式分解；不等式求解
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的隐含限制条件，避免遗漏该条件导致结果错误。
【难度系数】
0.8
8 使二次函数$y=x^2 -5x -6$的值为0的x的值是
6或-1
。答案
6或-1
解析
【分析】
要使二次函数的函数值为0，只需令y=0，此时问题可转化为求解对应一元二次方程的根，这是因为二次函数值为0时对应的自变量取值就是其对应一元二次方程的解。求解该一元二次方程选择因式分解法更简便，先对二次三项式因式分解，再令每个因式为0即可求出x的取值。
【解析】
解：令y=0，可得一元二次方程：
$x^2 -5x -6 = 0$
对左侧多项式十字相乘因式分解得：
$(x-6)(x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-6=0$ 或 $x+1=0$
分别解得：$x_1=6$，$x_2=-1$
【答案】
6或-1
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查将函数值为0的问题转化为方程问题的转化思维，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要使二次函数的函数值为0，只需令y=0，此时问题可转化为求解对应一元二次方程的根，这是因为二次函数值为0时对应的自变量取值就是其对应一元二次方程的解。求解该一元二次方程选择因式分解法更简便，先对二次三项式因式分解，再令每个因式为0即可求出x的取值。
【解析】
解：令y=0，可得一元二次方程：
$x^2 -5x -6 = 0$
对左侧多项式十字相乘因式分解得：
$(x-6)(x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-6=0$ 或 $x+1=0$
分别解得：$x_1=6$，$x_2=-1$
【答案】
6或-1
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的联系
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查将函数值为0的问题转化为方程问题的转化思维，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速作答。
【难度系数】
0.9
9 抛物线$y=(m-1)x^{m^2 - m}$的开口方向向下，则$m=$
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】要解决这道题，首先明确抛物线对应的函数是二次函数，需先结合二次函数的定义列出关于m的条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0；再根据抛物线开口向下的性质，得到二次项系数小于0，最后对求出的m的可能值进行筛选即可得到结果。
【解析】
∵ 函数$y=(m-1)x^{m^2 - m}$的图像是抛物线，
∴ 该函数是二次函数，满足以下条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2 - m = 2$，
整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，
解得$m=2$或$m=-1$；
2. 二次项系数不为0：$m-1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，上述两个解均满足该条件。
又
∵ 抛物线开口方向向下，
∴ 二次项系数$m-1 ＜ 0$，即$m ＜ 1$，
结合解得的m的取值，只有$m=-1$满足$m ＜ 1$的要求，故$m=-1$。
【答案】$-1$
【知识点】二次函数的定义；二次函数的图像性质
【点评】本题属于基础题型，解题的关键是牢记二次函数的定义，同时要注意结合抛物线开口方向对参数的取值进行筛选，不要遗漏二次项系数的符号限制条件。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ 函数$y=(m-1)x^{m^2 - m}$的图像是抛物线，
∴ 该函数是二次函数，满足以下条件：
1. 自变量的最高次数为2：$m^2 - m = 2$，
整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，
解得$m=2$或$m=-1$；
2. 二次项系数不为0：$m-1 ≠ 0$，即$m ≠ 1$，上述两个解均满足该条件。
又
∵ 抛物线开口方向向下，
∴ 二次项系数$m-1 ＜ 0$，即$m ＜ 1$，
结合解得的m的取值，只有$m=-1$满足$m ＜ 1$的要求，故$m=-1$。
【答案】$-1$
【知识点】二次函数的定义；二次函数的图像性质
【点评】本题属于基础题型，解题的关键是牢记二次函数的定义，同时要注意结合抛物线开口方向对参数的取值进行筛选，不要遗漏二次项系数的符号限制条件。
【难度系数】0.7
⑩ 若二次函数 $ y = 2x^2 + 8 $，当 $ x $ 取 $ x_1 $、$ x_2 $（$ x_1 ≠ x_2 $）时，函数值相等，则 $ x $ 取 $ x_1 + x_2 $ 时，函数的值为
$8$
。答案
8 [提示:当抛物线上两个点的函数值相等时,说明这两个点关于对称轴对称,本题抛物线的对称轴为y轴,所以$x_1+x_2=0$,将$x=0$代入函数表达式,可得$y=8$。]
解析
【分析】
解题时首先结合二次函数的性质思考：当二次函数取两个不同的自变量$x_1$、$x_2$得到相等的函数值时，说明这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称。接下来先求出给定二次函数的对称轴，再根据对称性推导$x_1$和$x_2$的数量关系，得到$x_1+x_2$的值后，代入函数表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=2x^2+8$中，$a=2$，$b=0$，$c=8$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×2}=0$，即对称轴为y轴。
∵ 当$x$取$x_1$、$x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴ 点$(x_1,y)$和$(x_2,y)$关于y轴对称，即$x_1=-x_2$，
∴ $x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=2x^2+8$，得$y=2×0^2+8=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，核心考查对二次函数对称性的理解，只要熟练掌握二次函数对称轴的计算方法以及对称点的坐标特征，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合二次函数的性质思考：当二次函数取两个不同的自变量$x_1$、$x_2$得到相等的函数值时，说明这两个自变量对应的点关于抛物线的对称轴对称。接下来先求出给定二次函数的对称轴，再根据对称性推导$x_1$和$x_2$的数量关系，得到$x_1+x_2$的值后，代入函数表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 二次函数$y=2x^2+8$中，$a=2$，$b=0$，$c=8$，
∴ 抛物线的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2×2}=0$，即对称轴为y轴。
∵ 当$x$取$x_1$、$x_2$（$x_1≠x_2$）时函数值相等，
∴ 点$(x_1,y)$和$(x_2,y)$关于y轴对称，即$x_1=-x_2$，
∴ $x_1+x_2=0$，
将$x=0$代入$y=2x^2+8$，得$y=2×0^2+8=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数对称轴计算；二次函数求值
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题型，核心考查对二次函数对称性的理解，只要熟练掌握二次函数对称轴的计算方法以及对称点的坐标特征，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
11 二次函数$y=-x^2 + 6x -5$，当x
$＞5$
时，$y＜0$，且y随x的增大而减小。答案
$＞5$ [提示:由函数图像可知,当$x＜1$或$x＞5$时,$y＜0$。又因为y随x的增大而减小,故$x＞5$。]
解析
【分析】
解题思路：题目要求同时满足两个条件：①$y＜0$；②$y$随$x$的增大而减小，因此需要先分别求出两个条件对应的$x$的取值范围，再取两个范围的交集即可得到最终结果。首先先确定二次函数的开口方向、与$x$轴的交点，从而得到$y＜0$的区间；再根据二次函数的对称轴和开口方向，得到$y$随$x$增大而减小的区间，最后取公共部分即可。
【解析】
1. 分析二次函数基本特征：二次函数$y=-x^2+6x-5$的二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图像开口向下。
2. 求$y＜0$时$x$的取值范围：令$y=0$，即$-x^2+6x-5=0$，整理得$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$。因为函数开口向下，所以$y＜0$时$x$的取值范围是$x＜1$或$x＞5$。
3. 求$y$随$x$增大而减小时$x$的取值范围：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，开口向下的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，即此时$x$的取值范围是$x＞3$。
4. 取两个范围的交集：同时满足两个条件的$x$的公共范围为$x＞5$。
【答案】
$＞5$
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数增减性；二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础综合题，解题核心是明确要同时满足两个条件时需取对应范围的交集，避免漏看条件导致错误。
【难度系数】
0.7
解题思路：题目要求同时满足两个条件：①$y＜0$；②$y$随$x$的增大而减小，因此需要先分别求出两个条件对应的$x$的取值范围，再取两个范围的交集即可得到最终结果。首先先确定二次函数的开口方向、与$x$轴的交点，从而得到$y＜0$的区间；再根据二次函数的对称轴和开口方向，得到$y$随$x$增大而减小的区间，最后取公共部分即可。
【解析】
1. 分析二次函数基本特征：二次函数$y=-x^2+6x-5$的二次项系数$a=-1＜0$，因此函数图像开口向下。
2. 求$y＜0$时$x$的取值范围：令$y=0$，即$-x^2+6x-5=0$，整理得$x^2-6x+5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$。因为函数开口向下，所以$y＜0$时$x$的取值范围是$x＜1$或$x＞5$。
3. 求$y$随$x$增大而减小时$x$的取值范围：二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)}=3$，开口向下的二次函数在对称轴右侧$y$随$x$增大而减小，即此时$x$的取值范围是$x＞3$。
4. 取两个范围的交集：同时满足两个条件的$x$的公共范围为$x＞5$。
【答案】
$＞5$
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数增减性；二次函数与不等式
【点评】
本题属于二次函数性质的基础综合题，解题核心是明确要同时满足两个条件时需取对应范围的交集，避免漏看条件导致错误。
【难度系数】
0.7
12 若抛物线$y=2x^{m^2 -4m -3}+(m-5)$的顶点在x轴下方，则m的值为
$-1$
。答案
$-1$
解析
【分析】
本题需要结合二次函数的定义和图象性质求解。首先，抛物线对应的函数是二次函数，因此自变量x的最高次数必须为2，据此可列方程求出m的可能取值；其次，该抛物线的解析式为$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，顶点在x轴下方说明顶点纵坐标小于0，据此对m的可能取值进行筛选，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 函数图象是抛物线，
∴ 该函数是二次函数，满足x的最高次数为2：
$m^2 -4m -3 = 2$
整理得：$m^2 -4m -5 = 0$
因式分解得：$(m-5)(m+1)=0$
解得：$m=5$ 或 $m=-1$
又
∵ 抛物线顶点在x轴下方，该抛物线顶点坐标为$(0, m-5)$
∴ 顶点纵坐标$m-5 ＜ 0$，即$m ＜ 5$
综上，$m=5$不符合要求舍去，故$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的顶点性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先根据二次函数的定义确定参数的候选值，再结合图象的限制条件筛选出正确结果，容易出错的地方是忽略二次函数次数的限制，或者未验证解是否符合顶点位置的要求。
【难度系数】
0.7
本题需要结合二次函数的定义和图象性质求解。首先，抛物线对应的函数是二次函数，因此自变量x的最高次数必须为2，据此可列方程求出m的可能取值；其次，该抛物线的解析式为$y=ax^2+k$的形式，顶点坐标为$(0,k)$，顶点在x轴下方说明顶点纵坐标小于0，据此对m的可能取值进行筛选，即可得到最终结果。
【解析】
∵ 函数图象是抛物线，
∴ 该函数是二次函数，满足x的最高次数为2：
$m^2 -4m -3 = 2$
整理得：$m^2 -4m -5 = 0$
因式分解得：$(m-5)(m+1)=0$
解得：$m=5$ 或 $m=-1$
又
∵ 抛物线顶点在x轴下方，该抛物线顶点坐标为$(0, m-5)$
∴ 顶点纵坐标$m-5 ＜ 0$，即$m ＜ 5$
综上，$m=5$不符合要求舍去，故$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的顶点性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是先根据二次函数的定义确定参数的候选值，再结合图象的限制条件筛选出正确结果，容易出错的地方是忽略二次函数次数的限制，或者未验证解是否符合顶点位置的要求。
【难度系数】
0.7
