24 如图,在△ABC中,AB=AC,D是边BC的中点,DE⊥AC,垂足为点E。
(1) 求证:DE·CD=AD·CE。
(2) 设F为DE的中点,连接AF、BE,求证:AF·BC=AD·BE。

24 (1) 因为$AB=AC$,$D$是边$BC$的中点,所以$AD ⊥ BC$。因为$DE ⊥ AC$,所以$∠ DEC = ∠ ADC = 90°$。又因为$∠ C = ∠ C$,所以$△ CDE ∽ △ CAD$,所以$\frac{DE}{AD} = \frac{CE}{CD}$,所以$DE · CD = AD · CE$。
(2) 因为$D$是边$BC$的中点,$F$为$DE$的中点,所以$CD = \frac{1}{2}BC$,$DE=2DF$。因为$\frac{DE}{AD} = \frac{CE}{CD}$,即$\frac{DE}{CE} = \frac{AD}{CD}$,所以$\frac{2DF}{CE} = \frac{AD}{\frac{1}{2}BC}$,即$\frac{DF}{CE} = \frac{AD}{BC}$。因为$AD ⊥ BC$,所以$∠ C + ∠ DAC = 90°$。因为$DE ⊥ AC$,则$∠ ADE + ∠ DAC = 90°$,$∠ C = ∠ ADE$,所以$△ ADF ∽ △ BCE$,可得$\frac{AF}{BE} = \frac{AD}{BC}$,即$AF · BC = AD · BE$。

【分析】
(1) 要证明等积式$DE·CD=AD·CE$，可先将其转化为比例式$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}$，只需证明包含这四条线段的$△ CDE$和$△ CAD$相似即可。首先利用等腰三角形三线合一的性质得到$AD⊥ BC$，结合$DE⊥ AC$可得两个直角，再加上公共角$∠ C$，即可证明两三角形相似，进而推出比例式得到等积式。
(2) 要证明$AF·BC=AD·BE$，同样先转化为比例式$\frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，需证明$△ ADF$和$△ BCE$相似。首先根据中点的性质得到$CD=\frac{1}{2}BC$、$DE=2DF$，结合第(1)问得到的比例式变形推导可得$\frac{DF}{CE}=\frac{AD}{BC}$，再通过同角的余角相等证明$∠ ADE=∠ C$，即可得到两组对应边成比例且夹角相等，证明两三角形相似，进而推出结论。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，$D$是边$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$（等腰三角形三线合一），即$∠ ADC=90°$。
$\because DE⊥ AC$，$\therefore ∠ DEC=90°$，
$\therefore ∠ DEC=∠ ADC=90°$。
又$\because ∠ C=∠ C$，
$\therefore △ CDE ∽ △ CAD$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}$，
交叉相乘得$DE·CD=AD·CE$。
(2) 证明：$\because D$是$BC$的中点，$F$是$DE$的中点，
$\therefore CD=\frac{1}{2}BC$，$DE=2DF$。
由(1)知$\frac{DE}{AD}=\frac{CE}{CD}$，变形得$\frac{DE}{CE}=\frac{AD}{CD}$，
将$CD=\frac{1}{2}BC$、$DE=2DF$代入得：$\frac{2DF}{CE}=\frac{AD}{\frac{1}{2}BC}$，
整理得$\frac{DF}{CE}=\frac{AD}{BC}$。
$\because AD⊥ BC$，$\therefore ∠ C + ∠ DAC = 90°$，
$\because DE⊥ AC$，$\therefore ∠ ADE + ∠ DAC = 90°$，
$\therefore ∠ C=∠ ADE$（同角的余角相等）。
$\therefore △ ADF ∽ △ BCE$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AF}{BE}=\frac{AD}{BC}$，
交叉相乘得$AF·BC=AD·BE$。
【答案】
(1) $DE·CD=AD·CE$，证明成立；
(2) $AF·BC=AD·BE$，证明成立。
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型证明题，证明等积式的常规思路是先转化为比例式，再通过证明对应三角形相似得到结论，解题时注意利用前一问的结论作为后一问的推导条件，可简化思考过程。
【难度系数】
0.6

25 如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=16,D为BC边上的一个动点(点D不与点B、C重合)。以D为顶点作∠ADE=∠B,射线DE交AC边于点E。
(1) 求证:AB·CE=BD·CD。
(2) 当DE平分∠ADC时,求AE的长。

25 (1) 由于$AB=AC$,则$∠ B = ∠ C$。而$∠ ADC = ∠ BAD + ∠ B$,$∠ ADE = ∠ B$,$∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE$,所以$∠ BAD = ∠ CDE$。又因为$∠ B = ∠ C$,所以$△ BAD ∽ △ CDE$,从而有$\frac{AB}{CD} = \frac{BD}{CE}$,即$AB · CE = BD · CD$。
(2) 由题意得$∠ ADE = ∠ CDE$,又因为$∠ CDE = ∠ BAD$,所以$∠ ADE = ∠ BAD$,从而得到$DE // AB$,所以$\frac{AE}{AC} = \frac{BD}{BC}$。因为$∠ BAD = ∠ ADE = ∠ B$,所以$∠ BAD = ∠ C$。又因为$∠ B = ∠ B$,所以$△ BDA ∽ △ BAC$,从而有$\frac{BD}{BA} = \frac{BA}{BC}$,解得$AE = \frac{125}{32}$。

【分析】
(1) 要证明等积式$AB·CE=BD·CD$，可先转化为证明比例式$\frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，只需证对应的$△ BAD$与$△ CDE$相似即可。首先利用等腰三角形等边对等角得$∠ B=∠ C$，再结合三角形外角性质和已知$∠ ADE=∠ B$，推导得到$∠ BAD=∠ CDE$，即可证得两三角形相似，进而推出等积式。
(2) 已知DE平分$∠ ADC$，结合第一问得到的$∠ CDE=∠ BAD$，可推导出$∠ ADE=∠ BAD$，进而得到$DE// AB$，再通过角的等量代换证明$△ BDA∽△ BAC$，先求出BD的长度，最后利用平行线分线段成比例的性质即可求出AE的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。
$\because ∠ ADC$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ ADC=∠ BAD+∠ B$。
又$\because ∠ ADC=∠ ADE+∠ CDE$，且已知$∠ ADE=∠ B$，
$\therefore ∠ BAD+∠ B=∠ ADE+∠ CDE$，化简得$∠ BAD=∠ CDE$。
在$△ BAD$和$△ CDE$中，$\begin{cases}∠ B=∠ C\\∠ BAD=∠ CDE\end{cases}$，
$\therefore △ BAD∽△ CDE$，
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{BD}{CE}$，交叉相乘得$AB·CE=BD·CD$，原式得证。
(2) 解：$\because DE$平分$∠ ADC$，$\therefore ∠ ADE=∠ CDE$。
由(1)可知$∠ CDE=∠ BAD$，$\therefore ∠ ADE=∠ BAD$，
$\therefore DE// AB$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}$ ①。
又$\because ∠ ADE=∠ B$，$\therefore ∠ BAD=∠ B=∠ C$，
在$△ BDA$和$△ BAC$中，$\begin{cases}∠ B=∠ B\\∠ BAD=∠ C\end{cases}$，
$\therefore △ BDA∽△ BAC$，
$\therefore \frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$，代入$AB=10$，$BC=16$，得$\frac{BD}{10}=\frac{10}{16}$，
解得$BD=\frac{25}{4}$。
将$BD=\frac{25}{4}$、$AC=10$、$BC=16$代入①式：
$\frac{AE}{10}=\frac{\frac{25}{4}}{16}=\frac{25}{64}$，
解得$AE=10×\frac{25}{64}=\frac{125}{32}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\frac{125}{32}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是通过角的等量代换找到相似三角形的判定条件，同时结合等腰三角形、角平分线、平行线的性质逐步推导，需熟练掌握等积式和比例式的互相转化，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65