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22 如图，E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF·CD＝BC·AD。
（1）求证：AE⊥BC。
（2）如果BE＝CE，求证：BC²＝2BD·AC。
（1）求证：AE⊥BC。
（2）如果BE＝CE，求证：BC²＝2BD·AC。
答案
22 (1) 因为$AF · CD = BC · AD$,所以$\frac{AF}{BC} = \frac{AD}{CD}$。因为$CD ⊥ BA$,所以$∠ ADF = ∠ ADC = 90°$。在$\mathrm{Rt}△ ADF$与$\mathrm{Rt}△ CDB$中,$\frac{AF}{BC} = \frac{AD}{CD}$,所以$\mathrm{Rt}△ ADF ∽ \mathrm{Rt}△ CDB$,所以$∠ F = ∠ B$。又因为$∠ ADF + ∠ F + ∠ FAD = 180°$,$∠ AEB + ∠ B + ∠ BAE = 180°$,且$∠ FAD = ∠ BAE$,则$∠ AEB = ∠ ADF = 90°$,所以$AE ⊥ BC$。
(2) 因为$AE ⊥ BC$,$BE=CE$,即$AE$是$BC$的垂直平分线,所以$AB=AC$,所以$∠ B = ∠ ACB$。因为$AE ⊥ BC$,所以$∠ AEC = 90°$。因为$∠ ADC = 90°$,所以$∠ AEC = ∠ ADC$,可知$△ AEC ∽ △ CDB$,则$\frac{CE}{BD} = \frac{AC}{BC}$,所以$BC · CE = BD · AC$。因为$BE=CE$,则$CE = \frac{1}{2}BC$,所以$BC · \frac{1}{2}BC = BD · AC$,即$BC^2 = 2BD · AC$。
(2) 因为$AE ⊥ BC$,$BE=CE$,即$AE$是$BC$的垂直平分线,所以$AB=AC$,所以$∠ B = ∠ ACB$。因为$AE ⊥ BC$,所以$∠ AEC = 90°$。因为$∠ ADC = 90°$,所以$∠ AEC = ∠ ADC$,可知$△ AEC ∽ △ CDB$,则$\frac{CE}{BD} = \frac{AC}{BC}$,所以$BC · CE = BD · AC$。因为$BE=CE$,则$CE = \frac{1}{2}BC$,所以$BC · \frac{1}{2}BC = BD · AC$,即$BC^2 = 2BD · AC$。
解析
【分析】
（1）要证$AE⊥BC$，即要证$∠AEB=90°$。首先将已知乘积式转化为比例式，结合$CD⊥BA$得到的直角，证明对应的直角三角形相似，得到角相等，再结合对顶角相等和三角形内角和，即可推出$∠AEB$为直角。
（2）要证$BC^2=2BD·AC$，先由$BE=CE$和$AE⊥BC$得到$AE$是$BC$的垂直平分线，推出$AB=AC$，再证明对应三角形相似得到线段比例关系，结合$CE=\frac{1}{2}BC$代入比例式变形即可得证。
【解析】
（1）由$AF · CD = BC · AD$，可得$\frac{AF}{BC} = \frac{AD}{CD}$。
∵$CD ⊥ BA$，
∴$∠ ADF = ∠ CDB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$与$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$\frac{AF}{BC} = \frac{AD}{CD}$，
∴$\mathrm{Rt}△ ADF ∽ \mathrm{Rt}△ CDB$，得$∠ F = ∠ B$。
∵$∠ FAD = ∠ BAE$（对顶角相等），结合三角形内角和为$180°$，
可得$∠ AEB = ∠ ADF = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
（2）
∵$AE ⊥ BC$，$BE=CE$，
∴$AE$是$BC$的垂直平分线，得$AB=AC$，$∠ B = ∠ ACB$，且$CE = \frac{1}{2}BC$。
∵$∠ AEC = ∠ CDB = 90°$，$∠ ACE = ∠ CBD$，
∴$△ AEC ∽ △ CDB$，得$\frac{CE}{BD} = \frac{AC}{BC}$，即$BC · CE = BD · AC$。
将$CE = \frac{1}{2}BC$代入，得$BC · \frac{1}{2}BC = BD · AC$，
整理得$BC^2 = 2BD · AC$。
【答案】
（1）$AE⊥BC$得证；（2）$BC^2=2BD·AC$得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题核心是将乘积式转化为比例式，找到对应相似三角形，结合角度和线段的等量关系推导结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证$AE⊥BC$，即要证$∠AEB=90°$。首先将已知乘积式转化为比例式，结合$CD⊥BA$得到的直角，证明对应的直角三角形相似，得到角相等，再结合对顶角相等和三角形内角和，即可推出$∠AEB$为直角。
（2）要证$BC^2=2BD·AC$，先由$BE=CE$和$AE⊥BC$得到$AE$是$BC$的垂直平分线，推出$AB=AC$，再证明对应三角形相似得到线段比例关系，结合$CE=\frac{1}{2}BC$代入比例式变形即可得证。
【解析】
（1）由$AF · CD = BC · AD$，可得$\frac{AF}{BC} = \frac{AD}{CD}$。
∵$CD ⊥ BA$，
∴$∠ ADF = ∠ CDB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADF$与$\mathrm{Rt}△ CDB$中，$\frac{AF}{BC} = \frac{AD}{CD}$，
∴$\mathrm{Rt}△ ADF ∽ \mathrm{Rt}△ CDB$，得$∠ F = ∠ B$。
∵$∠ FAD = ∠ BAE$（对顶角相等），结合三角形内角和为$180°$，
可得$∠ AEB = ∠ ADF = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
（2）
∵$AE ⊥ BC$，$BE=CE$，
∴$AE$是$BC$的垂直平分线，得$AB=AC$，$∠ B = ∠ ACB$，且$CE = \frac{1}{2}BC$。
∵$∠ AEC = ∠ CDB = 90°$，$∠ ACE = ∠ CBD$，
∴$△ AEC ∽ △ CDB$，得$\frac{CE}{BD} = \frac{AC}{BC}$，即$BC · CE = BD · AC$。
将$CE = \frac{1}{2}BC$代入，得$BC · \frac{1}{2}BC = BD · AC$，
整理得$BC^2 = 2BD · AC$。
【答案】
（1）$AE⊥BC$得证；（2）$BC^2=2BD·AC$得证。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题核心是将乘积式转化为比例式，找到对应相似三角形，结合角度和线段的等量关系推导结论，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
23 如图，$△ ABC$中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于点F，$∠ BGD = ∠ BAD = ∠ C$。
（1）求证：$BD · BC = BG · BE$。
（2）如果$∠ BAC = 90°$，求证：$AG ⊥ BE$。
（1）求证：$BD · BC = BG · BE$。
（2）如果$∠ BAC = 90°$，求证：$AG ⊥ BE$。
答案
23 (1) 因为$∠ BGD = ∠ C$,$∠ GBD = ∠ CBE$,所以$△ BGD ∽ △ BCE$,所以$\frac{BG}{BC} = \frac{BD}{BE}$,所以$BD · BC = BG · BE$。
(2) 因为$∠ BAD = ∠ C$,$∠ ABD = ∠ CBA$,所以$△ ABD ∽ △ CBA$,则$\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}$,所以$AB^2 = BD · BC$。因为$BD · BC = BG · BE$,所以$AB^2 = BG · BE$,则$\frac{AB}{BG} = \frac{BE}{AB}$。因为$∠ ABG = ∠ EBA$,所以$△ ABG ∽ △ EBA$,所以$∠ BGA = ∠ BAE$。因为$∠ BAC = 90°$,所以$∠ BGA = 90°$,即$AG ⊥ BE$。
(2) 因为$∠ BAD = ∠ C$,$∠ ABD = ∠ CBA$,所以$△ ABD ∽ △ CBA$,则$\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}$,所以$AB^2 = BD · BC$。因为$BD · BC = BG · BE$,所以$AB^2 = BG · BE$,则$\frac{AB}{BG} = \frac{BE}{AB}$。因为$∠ ABG = ∠ EBA$,所以$△ ABG ∽ △ EBA$,所以$∠ BGA = ∠ BAE$。因为$∠ BAC = 90°$,所以$∠ BGA = 90°$,即$AG ⊥ BE$。
解析
【分析】
（1）要证明等积式$BD · BC = BG · BE$，先将其转化为比例式$\frac{BG}{BC}=\frac{BD}{BE}$，只需证明包含这四条线段的$△ BGD$和$△ BCE$相似即可。已知$∠ BGD=∠ C$，再结合公共角$∠ GBD=∠ CBE$，即可证明两三角形相似，进而推出待证等积式。
（2）要证明$AG⊥ BE$，只需证明$∠ BGA=90°$，已知$∠ BAC=90°$，因此可通过证明$△ ABG∽△ EBA$，得到对应角$∠ BGA=∠ BAE=90°$即可。首先利用$∠ BAD=∠ C$和公共角$∠ ABD=∠ CBA$证明$△ ABD∽△ CBA$，得到$AB^2=BD·BC$，再结合第一问的结论等量代换得到$AB^2=BG·BE$，转化为比例式后结合公共角即可证明$△ ABG∽△ EBA$，最终得到垂直结论。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠ BGD = ∠ C$，$∠ GBD = ∠ CBE$（公共角）
∴ $△ BGD ∽ △ BCE$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{BG}{BC} = \frac{BD}{BE}$（相似三角形对应边成比例）
交叉相乘得：$BD · BC = BG · BE$。
（2）证明：
∵ $∠ BAD = ∠ C$，$∠ ABD = ∠ CBA$（公共角）
∴ $△ ABD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}$（相似三角形对应边成比例）
交叉相乘得：$AB^2 = BD · BC$。
由（1）知$BD · BC = BG · BE$，等量代换得：
$AB^2 = BG · BE$，即$\frac{AB}{BG} = \frac{BE}{AB}$。
又
∵ $∠ ABG = ∠ EBA$（公共角）
∴ $△ ABG ∽ △ EBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $∠ BGA = ∠ BAE$（相似三角形对应角相等）。
∵ $∠ BAC = 90°$，即$∠ BAE=90°$，
∴ $∠ BGA = 90°$，即$AG ⊥ BE$。
【答案】
（1）$BD · BC = BG · BE$得证；
（2）$AG ⊥ BE$得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等积式证明
【点评】
本题是相似三角形综合应用题，解题核心是掌握等积式与比例式的互相转化，能结合已知等角、公共角条件快速判定三角形相似，同时注意前一问的结论可直接作为后一问的推导条件，简化运算。
【难度系数】
0.65
（1）要证明等积式$BD · BC = BG · BE$，先将其转化为比例式$\frac{BG}{BC}=\frac{BD}{BE}$，只需证明包含这四条线段的$△ BGD$和$△ BCE$相似即可。已知$∠ BGD=∠ C$，再结合公共角$∠ GBD=∠ CBE$，即可证明两三角形相似，进而推出待证等积式。
（2）要证明$AG⊥ BE$，只需证明$∠ BGA=90°$，已知$∠ BAC=90°$，因此可通过证明$△ ABG∽△ EBA$，得到对应角$∠ BGA=∠ BAE=90°$即可。首先利用$∠ BAD=∠ C$和公共角$∠ ABD=∠ CBA$证明$△ ABD∽△ CBA$，得到$AB^2=BD·BC$，再结合第一问的结论等量代换得到$AB^2=BG·BE$，转化为比例式后结合公共角即可证明$△ ABG∽△ EBA$，最终得到垂直结论。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠ BGD = ∠ C$，$∠ GBD = ∠ CBE$（公共角）
∴ $△ BGD ∽ △ BCE$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{BG}{BC} = \frac{BD}{BE}$（相似三角形对应边成比例）
交叉相乘得：$BD · BC = BG · BE$。
（2）证明：
∵ $∠ BAD = ∠ C$，$∠ ABD = ∠ CBA$（公共角）
∴ $△ ABD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}$（相似三角形对应边成比例）
交叉相乘得：$AB^2 = BD · BC$。
由（1）知$BD · BC = BG · BE$，等量代换得：
$AB^2 = BG · BE$，即$\frac{AB}{BG} = \frac{BE}{AB}$。
又
∵ $∠ ABG = ∠ EBA$（公共角）
∴ $△ ABG ∽ △ EBA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $∠ BGA = ∠ BAE$（相似三角形对应角相等）。
∵ $∠ BAC = 90°$，即$∠ BAE=90°$，
∴ $∠ BGA = 90°$，即$AG ⊥ BE$。
【答案】
（1）$BD · BC = BG · BE$得证；
（2）$AG ⊥ BE$得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等积式证明
【点评】
本题是相似三角形综合应用题，解题核心是掌握等积式与比例式的互相转化，能结合已知等角、公共角条件快速判定三角形相似，同时注意前一问的结论可直接作为后一问的推导条件，简化运算。
【难度系数】
0.65
