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16 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(-1,0)$和点$B(0,2)$,点$C$在$x$轴上(不与点$A$重合)。当$△ BOC$与$△ AOB$相似时,则点$C$的坐标是
$(1,0)$或$(4,0)$或$(-4,0)$
。答案
16.$(1,0)$或$(4,0)$或$(-4,0)$
解析
【分析】
首先观察到△AOB和△BOC均为直角三角形，二者的直角∠AOB与∠BOC是相等的对应角。由于题目未明确两个相似三角形的顶点对应顺序，因此需要分两种直角边对应成比例的情况讨论，同时结合点C在x轴上的位置（正半轴、负半轴），以及点C不与点A重合的限制条件，求出OC的长度后即可确定点C的坐标。
【解析】
解：已知点A(-1,0)，点B(0,2)，可得OA=1，OB=2，且∠AOB=90°。
∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°=∠AOB，两个三角形的直角为对应相等的夹角，分两种相似情况讨论：
1. 当$△ AOB ∽ △ BOC$时，直角边对应比例为$\frac{OA}{BO}=\frac{OB}{OC}$，代入数值得$\frac{1}{2}=\frac{2}{OC}$，解得$OC=4$。
此时点C可在x轴正半轴或负半轴，对应坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$。
2. 当$△ AOB ∽ △ COB$时，直角边对应比例为$\frac{OA}{CO}=\frac{OB}{OB}$，代入数值得$\frac{1}{OC}=\frac{2}{2}$，解得$OC=1$。
由于点C不与A(-1,0)重合，因此点C只能在x轴正半轴，对应坐标为$(1,0)$。
综上，点C的坐标为$(1,0)$或$(4,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
$(1,0)$或$(4,0)$或$(-4,0)$
【知识点】
相似三角形的判定，平面直角坐标系，分类讨论
【点评】
本题考查相似三角形判定的综合应用，解题的关键是明确相似对应关系不唯一时需要分类讨论，同时要注意题目给出的点的限制条件，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
首先观察到△AOB和△BOC均为直角三角形，二者的直角∠AOB与∠BOC是相等的对应角。由于题目未明确两个相似三角形的顶点对应顺序，因此需要分两种直角边对应成比例的情况讨论，同时结合点C在x轴上的位置（正半轴、负半轴），以及点C不与点A重合的限制条件，求出OC的长度后即可确定点C的坐标。
【解析】
解：已知点A(-1,0)，点B(0,2)，可得OA=1，OB=2，且∠AOB=90°。
∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°=∠AOB，两个三角形的直角为对应相等的夹角，分两种相似情况讨论：
1. 当$△ AOB ∽ △ BOC$时，直角边对应比例为$\frac{OA}{BO}=\frac{OB}{OC}$，代入数值得$\frac{1}{2}=\frac{2}{OC}$，解得$OC=4$。
此时点C可在x轴正半轴或负半轴，对应坐标为$(4,0)$或$(-4,0)$。
2. 当$△ AOB ∽ △ COB$时，直角边对应比例为$\frac{OA}{CO}=\frac{OB}{OB}$，代入数值得$\frac{1}{OC}=\frac{2}{2}$，解得$OC=1$。
由于点C不与A(-1,0)重合，因此点C只能在x轴正半轴，对应坐标为$(1,0)$。
综上，点C的坐标为$(1,0)$或$(4,0)$或$(-4,0)$。
【答案】
$(1,0)$或$(4,0)$或$(-4,0)$
【知识点】
相似三角形的判定，平面直角坐标系，分类讨论
【点评】
本题考查相似三角形判定的综合应用，解题的关键是明确相似对应关系不唯一时需要分类讨论，同时要注意题目给出的点的限制条件，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.6
17 如图，点 D 在△ABC 的边 AB 上，AD=2，AB=9，AC=6。过点 D 的直线交 AC 于点 E，使以点 A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 AE=
第 16 题图
第 17 题图
第 18 题图
$\frac{4}{3}$或3
。第 16 题图
第 17 题图
第 18 题图
答案
17.$\frac{4}{3}$或3
解析
【分析】
本题中△ADE与△ABC有公共角∠A，要使两个三角形相似，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，夹公共角∠A的两组边的对应关系有两种，需分情况讨论计算AE的长度：第一种是△ADE∽△ABC，此时AD对应AB、AE对应AC；第二种是△ADE∽△ACB，此时AD对应AC、AE对应AB。
【解析】
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AD=2，AB=9，AC=6代入得：
$\frac{2}{9}=\frac{AE}{6}$
解得：$AE=\frac{2×6}{9}=\frac{4}{3}$
2. 当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入数值：$\frac{2}{6}=\frac{AE}{9}$
解得：$AE=\frac{2×9}{6}=3$
综上，AE的长度为$\frac{4}{3}$或3。
【答案】
$\frac{4}{3}$或3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应边的不同情况，导致漏解，解题时遇到有公共角的两个三角形相似的问题，要注意分情况讨论对应边的比例关系。
【难度系数】
0.6
本题中△ADE与△ABC有公共角∠A，要使两个三角形相似，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，夹公共角∠A的两组边的对应关系有两种，需分情况讨论计算AE的长度：第一种是△ADE∽△ABC，此时AD对应AB、AE对应AC；第二种是△ADE∽△ACB，此时AD对应AC、AE对应AB。
【解析】
∵∠A是△ADE和△ABC的公共角，分两种情况讨论：
1. 当△ADE∽△ABC时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
将AD=2，AB=9，AC=6代入得：
$\frac{2}{9}=\frac{AE}{6}$
解得：$AE=\frac{2×6}{9}=\frac{4}{3}$
2. 当△ADE∽△ACB时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入数值：$\frac{2}{6}=\frac{AE}{9}$
解得：$AE=\frac{2×9}{6}=3$
综上，AE的长度为$\frac{4}{3}$或3。
【答案】
$\frac{4}{3}$或3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略相似三角形对应边的不同情况，导致漏解，解题时遇到有公共角的两个三角形相似的问题，要注意分情况讨论对应边的比例关系。
【难度系数】
0.6
18 如图，在$△ ABC$中，点$D$在边$BC$上，$AD$交$∠ ACB$的平分线$CE$于点$F$，且$∠ CAD = ∠ B$，那么图中与$△ CDF$相似的三角形是
$△ CAE$
。答案
18.$△ CAE$
解析
【分析】
要找出与△CDF相似的三角形，优先使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。首先梳理已知条件：CE是∠ACB的角平分线，可得到一组相等的角∠DCF=∠ACE；再结合已知∠CAD=∠B，利用三角形外角的性质推导△CDF的内角∠CDF与△CAE的内角∠CAE相等，两组角对应相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
1. 因为CE是∠ACB的平分线，根据角平分线的性质可得：$∠ DCF = ∠ ACE$。
2. $∠ ADC$（即$∠ CDF$）是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），可得：$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$。
3. 已知$∠ CAD = ∠ B$，代入上式得：$∠ ADC = ∠ CAD + ∠ BAD = ∠ BAC = ∠ CAE$。
4. 在$△ CDF$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ CDF = ∠ CAE \\∠ DCF = ∠ ACE\end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可证$△ CDF ∽ △ CAE$。
【答案】
$△ CAE$
【知识点】
相似三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是结合已知条件，通过角平分线性质和三角形外角性质推导两组对应相等的角，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要找出与△CDF相似的三角形，优先使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。首先梳理已知条件：CE是∠ACB的角平分线，可得到一组相等的角∠DCF=∠ACE；再结合已知∠CAD=∠B，利用三角形外角的性质推导△CDF的内角∠CDF与△CAE的内角∠CAE相等，两组角对应相等即可证明两个三角形相似。
【解析】
1. 因为CE是∠ACB的平分线，根据角平分线的性质可得：$∠ DCF = ∠ ACE$。
2. $∠ ADC$（即$∠ CDF$）是$△ ABD$的外角，根据三角形外角性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），可得：$∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$。
3. 已知$∠ CAD = ∠ B$，代入上式得：$∠ ADC = ∠ CAD + ∠ BAD = ∠ BAC = ∠ CAE$。
4. 在$△ CDF$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}∠ CDF = ∠ CAE \\∠ DCF = ∠ ACE\end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可证$△ CDF ∽ △ CAE$。
【答案】
$△ CAE$
【知识点】
相似三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是结合已知条件，通过角平分线性质和三角形外角性质推导两组对应相等的角，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
19 如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD=2，那么EF=。
答案
19.$\frac{32}{15}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用翻折的性质，得到翻折前后图形全等，推出对应边、对应角的等量关系；2. 结合等腰三角形底角相等的性质，得到两组角对应相等，证明△DFE与△AFC相似，确定相似比；3. 设未知数表示相关线段长度，结合线段和的关系列方程求解，即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵ 将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，
∴ △ABD≌△AED，
∴ DE=BD=2，AE=AB=8，∠E=∠B，
∵ AB=AC=8，
∴ ∠B=∠C，
∴ ∠E=∠C，
又
∵ ∠DFE=∠AFC（对顶角相等），
∴ △DFE∽△AFC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{AC}=\frac{DF}{AF}=\frac{EF}{FC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，
∴ $AF=4DF$，$FC=4EF$，
设$DF=m$，则$AF=4m$，
∵ $AE=AF+EF=8$，
∴ $EF=8-AF=8-4m$，
∴ $FC=4EF=4(8-4m)=32-16m$，
∵ $BC=12$，$BD=2$，
∴ $DC=BC-BD=12-2=10$，
又
∵ $DC=DF+FC$，
∴ $m+(32-16m)=10$，
解得$m=\frac{22}{15}$，
∴ $EF=8-4×\frac{22}{15}=8-\frac{88}{15}=\frac{32}{15}$。
【答案】
$\frac{32}{15}$
【知识点】
翻折的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常考题，将翻折变换、等腰三角形性质与相似三角形知识点结合考查，解题核心是准确找到相似三角形，理清线段间的数量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先利用翻折的性质，得到翻折前后图形全等，推出对应边、对应角的等量关系；2. 结合等腰三角形底角相等的性质，得到两组角对应相等，证明△DFE与△AFC相似，确定相似比；3. 设未知数表示相关线段长度，结合线段和的关系列方程求解，即可得到EF的长度。
【解析】
解：
∵ 将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，
∴ △ABD≌△AED，
∴ DE=BD=2，AE=AB=8，∠E=∠B，
∵ AB=AC=8，
∴ ∠B=∠C，
∴ ∠E=∠C，
又
∵ ∠DFE=∠AFC（对顶角相等），
∴ △DFE∽△AFC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{AC}=\frac{DF}{AF}=\frac{EF}{FC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，
∴ $AF=4DF$，$FC=4EF$，
设$DF=m$，则$AF=4m$，
∵ $AE=AF+EF=8$，
∴ $EF=8-AF=8-4m$，
∴ $FC=4EF=4(8-4m)=32-16m$，
∵ $BC=12$，$BD=2$，
∴ $DC=BC-BD=12-2=10$，
又
∵ $DC=DF+FC$，
∴ $m+(32-16m)=10$，
解得$m=\frac{22}{15}$，
∴ $EF=8-4×\frac{22}{15}=8-\frac{88}{15}=\frac{32}{15}$。
【答案】
$\frac{32}{15}$
【知识点】
翻折的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常考题，将翻折变换、等腰三角形性质与相似三角形知识点结合考查，解题核心是准确找到相似三角形，理清线段间的数量关系列方程求解。
【难度系数】
0.6
20 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$BC = 2$，$AB = 2\sqrt{5}$，点$D$在边$AC$上，$CD:AD = 1:3$，连接$BD$，点$E$在线段$BD$上，如果$∠ BCE = ∠ A$，那么$CE =$。
答案
20.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先在直角△ABC中用勾股定理求出AC的长度，再结合CD与AD的比例关系得到CD的长度；接下来通过作EF⊥BC的辅助线，利用平行线判定△BEF和△BDC相似，得到EF与BF的数量关系；再结合∠BCE=∠A，利用等角的正切值相等得到EF与CF的数量关系，结合BC的长度求出EF、CF的长度，最后用勾股定理计算CE即可。
【解析】
1. 计算AC、CD的长度：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AB=2√5，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$
∵$CD:AD=1:3$，$AC=CD+AD=4$
∴$CD=4×\frac{1}{1+3}=1$
2. 作辅助线找线段关系：
过点E作$EF⊥ BC$于点F，
∵∠ACB=90°，
∴$EF// AC$
∴$△ BEF ∽ △ BDC$，则$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BC}$，代入CD=1，BC=2得：
$\frac{EF}{1}=\frac{BF}{2}$，即$BF=2EF$
3. 结合角相等推导线段关系：
∵∠BCE=∠A，在Rt△ABC中$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∴在Rt△EFC中，$\tan∠ BCE=\frac{EF}{CF}=\tan A=\frac{1}{2}$，即$CF=2EF$
4. 计算CE长度：
∵$BC=BF+CF=2EF+2EF=4EF=2$，解得$EF=\frac{1}{2}$，则$CF=2×\frac{1}{2}=1$
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CF^2+EF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过作垂直辅助线构造相似三角形和直角三角形，将已知的角相等关系转化为线段比例关系求解，需要熟练掌握相似判定和三角函数的基本应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先在直角△ABC中用勾股定理求出AC的长度，再结合CD与AD的比例关系得到CD的长度；接下来通过作EF⊥BC的辅助线，利用平行线判定△BEF和△BDC相似，得到EF与BF的数量关系；再结合∠BCE=∠A，利用等角的正切值相等得到EF与CF的数量关系，结合BC的长度求出EF、CF的长度，最后用勾股定理计算CE即可。
【解析】
1. 计算AC、CD的长度：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AB=2√5，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$
∵$CD:AD=1:3$，$AC=CD+AD=4$
∴$CD=4×\frac{1}{1+3}=1$
2. 作辅助线找线段关系：
过点E作$EF⊥ BC$于点F，
∵∠ACB=90°，
∴$EF// AC$
∴$△ BEF ∽ △ BDC$，则$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BC}$，代入CD=1，BC=2得：
$\frac{EF}{1}=\frac{BF}{2}$，即$BF=2EF$
3. 结合角相等推导线段关系：
∵∠BCE=∠A，在Rt△ABC中$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∴在Rt△EFC中，$\tan∠ BCE=\frac{EF}{CF}=\tan A=\frac{1}{2}$，即$CF=2EF$
4. 计算CE长度：
∵$BC=BF+CF=2EF+2EF=4EF=2$，解得$EF=\frac{1}{2}$，则$CF=2×\frac{1}{2}=1$
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CF^2+EF^2}=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是通过作垂直辅助线构造相似三角形和直角三角形，将已知的角相等关系转化为线段比例关系求解，需要熟练掌握相似判定和三角函数的基本应用。
【难度系数】
0.6
21 如图,在△ABC中,AB=20,BC=16,AC=8,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=2,AE=5,DE与BC的延长线相交于点F,求△CEF的各边长。
答案
21 作$DH // BC$交AC于点H。由题意可得$\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB} = \frac{1}{4}$,易得$△ ADE ∽ △ ACB$,所以$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AC}$,所以$DE=4$。因为$DH // BC$,所以$\frac{AH}{AC} = \frac{DH}{BC} = \frac{AD}{AB}$,所以$AH = \frac{4}{5}$, $DH = \frac{8}{5}$,所以$HE = \frac{21}{5}$,而$CE=AC-AE=3$。因为$DH // CF$,所以$\frac{DE}{EF} = \frac{DH}{CF} = \frac{EH}{EC}$,所以$EF = \frac{20}{7}$, $CF = \frac{8}{7}$。
解析
【分析】
解题首先从已知边长入手，先观察△ADE与△ACB的边的比例关系：已知AD=2，AC=8，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{4}$；AE=5，AB=20，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$，两个三角形有公共角∠A，可先判定△ADE∽△ACB，求出DE的长度。接下来要求△CEF的边长，仅靠现有相似无法直接建立与点F相关的线段关系，因此作$DH // BC$的辅助线，利用平行线分线段成比例求出AH、DH、HE的长度，再结合$DH // CF$得到对应线段成比例，即可求出EF和CF，CE可直接通过$AC-AE$计算得到。
【解析】
解：过点D作$DH // BC$，交AC于点H。
1. 证明$△ ADE ∽ △ ACB$：
已知$AD=2$，$AC=8$，则$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
$AE=5$，$AB=20$，则$\frac{AE}{AB}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$，
又
∵$∠ A = ∠ A$，
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，代入$BC=16$，得$DE=\frac{1}{4} × 16=4$。
2. 求AH、DH、HE、CE的长度：
∵$DH // BC$，
∴$\frac{AH}{AC}=\frac{DH}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$，
解得$AH=\frac{1}{10} × 8=\frac{4}{5}$，$DH=\frac{1}{10} × 16=\frac{8}{5}$，
∴$HE=AE - AH=5 - \frac{4}{5}=\frac{21}{5}$，
$CE=AC - AE=8 - 5=3$。
3. 求EF、CF的长度：
∵$DH // CF$，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{EH}{EC}=\frac{DH}{CF}$，
代入已知线段得$\frac{4}{EF}=\frac{\frac{21}{5}}{3}=\frac{\frac{8}{5}}{CF}$，
计算得$\frac{\frac{21}{5}}{3}=\frac{7}{5}$，因此$\frac{4}{EF}=\frac{7}{5}$，解得$EF=\frac{20}{7}$；
$\frac{\frac{8}{5}}{CF}=\frac{7}{5}$，解得$CF=\frac{8}{7}$。
【答案】
△CEF的三边长为$CE=3$，$EF=\frac{20}{7}$，$CF=\frac{8}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题时先通过已知边的比例关系判定三角形相似，再通过构造平行辅助线建立所求线段与已知线段的比例关系，逐步推导即可得到结果，核心考查相似相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
解题首先从已知边长入手，先观察△ADE与△ACB的边的比例关系：已知AD=2，AC=8，可得$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{4}$；AE=5，AB=20，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{4}$，两个三角形有公共角∠A，可先判定△ADE∽△ACB，求出DE的长度。接下来要求△CEF的边长，仅靠现有相似无法直接建立与点F相关的线段关系，因此作$DH // BC$的辅助线，利用平行线分线段成比例求出AH、DH、HE的长度，再结合$DH // CF$得到对应线段成比例，即可求出EF和CF，CE可直接通过$AC-AE$计算得到。
【解析】
解：过点D作$DH // BC$，交AC于点H。
1. 证明$△ ADE ∽ △ ACB$：
已知$AD=2$，$AC=8$，则$\frac{AD}{AC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$；
$AE=5$，$AB=20$，则$\frac{AE}{AB}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$，
又
∵$∠ A = ∠ A$，
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，代入$BC=16$，得$DE=\frac{1}{4} × 16=4$。
2. 求AH、DH、HE、CE的长度：
∵$DH // BC$，
∴$\frac{AH}{AC}=\frac{DH}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$，
解得$AH=\frac{1}{10} × 8=\frac{4}{5}$，$DH=\frac{1}{10} × 16=\frac{8}{5}$，
∴$HE=AE - AH=5 - \frac{4}{5}=\frac{21}{5}$，
$CE=AC - AE=8 - 5=3$。
3. 求EF、CF的长度：
∵$DH // CF$，
∴$\frac{DE}{EF}=\frac{EH}{EC}=\frac{DH}{CF}$，
代入已知线段得$\frac{4}{EF}=\frac{\frac{21}{5}}{3}=\frac{\frac{8}{5}}{CF}$，
计算得$\frac{\frac{21}{5}}{3}=\frac{7}{5}$，因此$\frac{4}{EF}=\frac{7}{5}$，解得$EF=\frac{20}{7}$；
$\frac{\frac{8}{5}}{CF}=\frac{7}{5}$，解得$CF=\frac{8}{7}$。
【答案】
△CEF的三边长为$CE=3$，$EF=\frac{20}{7}$，$CF=\frac{8}{7}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形应用的典型题型，解题时先通过已知边的比例关系判定三角形相似，再通过构造平行辅助线建立所求线段与已知线段的比例关系，逐步推导即可得到结果，核心考查相似相关性质的灵活运用。
【难度系数】
0.6
