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⑧ 在$△ ABC$和$△ DEF$中，如果$∠ A=45°$，$AB=12\mathrm{cm}$，$AC=15\mathrm{cm}$，$∠ D=45°$，$DE=16\mathrm{cm}$，那么$DF=\underline{\hspace{2em}}$时，$△ ABC$与$△ DEF$相似。
答案
8.20 cm 或 12.8 cm
解析
【分析】
要解决这道题，首先抓住已知条件中两个三角形的相等角$∠ A=∠ D=45°$，根据相似三角形判定定理中“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”求解。由于题目未明确两个三角形的顶点对应顺序，因此夹$45°$角的两组边的对应关系存在两种可能，需分情况计算DF的长度，避免漏解。
【解析】
已知$∠ A=∠ D=45°$，根据两边成比例且夹角相等的相似判定定理，分两种情况讨论：
情况1：当AB与DE为对应边、AC与DF为对应边时，满足$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
代入$AB=12\mathrm{cm}$，$DE=16\mathrm{cm}$，$AC=15\mathrm{cm}$得：
$\frac{12}{16}=\frac{15}{DF}$
解得$DF=\frac{15×16}{12}=20\mathrm{cm}$
情况2：当AB与DF为对应边、AC与DE为对应边时，满足$\frac{AB}{DF}=\frac{AC}{DE}$
代入数值得：
$\frac{12}{DF}=\frac{15}{16}$
解得$DF=\frac{12×16}{15}=12.8\mathrm{cm}$
【答案】
20 cm 或 12.8 cm
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.相似三角形的性质 3.分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形判定的应用，解题核心是明确无明确对应顶点顺序时，需分类讨论对应边的关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先抓住已知条件中两个三角形的相等角$∠ A=∠ D=45°$，根据相似三角形判定定理中“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”求解。由于题目未明确两个三角形的顶点对应顺序，因此夹$45°$角的两组边的对应关系存在两种可能，需分情况计算DF的长度，避免漏解。
【解析】
已知$∠ A=∠ D=45°$，根据两边成比例且夹角相等的相似判定定理，分两种情况讨论：
情况1：当AB与DE为对应边、AC与DF为对应边时，满足$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}$
代入$AB=12\mathrm{cm}$，$DE=16\mathrm{cm}$，$AC=15\mathrm{cm}$得：
$\frac{12}{16}=\frac{15}{DF}$
解得$DF=\frac{15×16}{12}=20\mathrm{cm}$
情况2：当AB与DF为对应边、AC与DE为对应边时，满足$\frac{AB}{DF}=\frac{AC}{DE}$
代入数值得：
$\frac{12}{DF}=\frac{15}{16}$
解得$DF=\frac{12×16}{15}=12.8\mathrm{cm}$
【答案】
20 cm 或 12.8 cm
【知识点】
1.相似三角形的判定 2.相似三角形的性质 3.分类讨论思想
【点评】
本题考查相似三角形判定的应用，解题核心是明确无明确对应顶点顺序时，需分类讨论对应边的关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
9 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于点D。给出下列结论：①△AED∽△AFC；②∠AFC=∠C；③∠FAC=∠BFD；④△ADE∽△FDB。其中正确的结论是
②③④
。（填写所有正确结论的序号）答案
9.②③④
解析
【分析】
解题时首先根据已知的AB=AE、∠B=∠E、BC=EF，利用SAS判定定理证明△ABC≌△AEF，得到对应边AF=AC、对应角∠EAF=∠BAC、∠C=∠AFE，再结合等腰三角形性质、相似三角形判定定理、对顶角相等的性质，逐个分析四个结论是否成立即可。
【解析】
1. 先证明△ABC≌△AEF：
在△ABC和△AEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠B=∠E \\BC=EF\end{array} $
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF=AC，∠EAF=∠BAC，∠C=∠AFE。
2. 逐个判断结论：
①判断△AED∽△AFC：
由∠EAF=∠BAC可得∠EAF-∠DAF=∠BAC-∠DAF，即∠EAD=∠FAC，仅能得到一组角相等，无其他对应角相等或对应边成比例的条件，无法证明△AED∽△AFC，故①错误。
②判断∠AFC=∠C：
由全等得AF=AC，即△AFC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠AFC=∠C，故②正确。
③判断∠FAC=∠BFD：
在△ADE和△FDB中，∠E=∠B，∠ADE=∠FDB（对顶角相等），根据三角形内角和为180°，可得∠EAD=∠BFD，又
∵∠EAD=∠FAC，等量代换得∠FAC=∠BFD，故③正确。
④判断△ADE∽△FDB：
在△ADE和△FDB中，∠E=∠B，∠ADE=∠FDB（对顶角相等），两组对应角分别相等，故△ADE∽△FDB，故④正确。
综上，正确的结论是②③④。
【答案】②③④
【知识点】全等三角形判定与性质，相似三角形判定，等腰三角形性质
【点评】本题是三角形全等、相似的综合题，解题突破口是先利用SAS证明两个三角形全等，再结合角的等量代换、等腰三角形性质、相似三角形判定定理逐一验证结论，需要熟练掌握三角形全等、相似的判定定理，具备一定的角的关系推导能力。
【难度系数】0.6
解题时首先根据已知的AB=AE、∠B=∠E、BC=EF，利用SAS判定定理证明△ABC≌△AEF，得到对应边AF=AC、对应角∠EAF=∠BAC、∠C=∠AFE，再结合等腰三角形性质、相似三角形判定定理、对顶角相等的性质，逐个分析四个结论是否成立即可。
【解析】
1. 先证明△ABC≌△AEF：
在△ABC和△AEF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AE \\∠B=∠E \\BC=EF\end{array} $
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF=AC，∠EAF=∠BAC，∠C=∠AFE。
2. 逐个判断结论：
①判断△AED∽△AFC：
由∠EAF=∠BAC可得∠EAF-∠DAF=∠BAC-∠DAF，即∠EAD=∠FAC，仅能得到一组角相等，无其他对应角相等或对应边成比例的条件，无法证明△AED∽△AFC，故①错误。
②判断∠AFC=∠C：
由全等得AF=AC，即△AFC为等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得∠AFC=∠C，故②正确。
③判断∠FAC=∠BFD：
在△ADE和△FDB中，∠E=∠B，∠ADE=∠FDB（对顶角相等），根据三角形内角和为180°，可得∠EAD=∠BFD，又
∵∠EAD=∠FAC，等量代换得∠FAC=∠BFD，故③正确。
④判断△ADE∽△FDB：
在△ADE和△FDB中，∠E=∠B，∠ADE=∠FDB（对顶角相等），两组对应角分别相等，故△ADE∽△FDB，故④正确。
综上，正确的结论是②③④。
【答案】②③④
【知识点】全等三角形判定与性质，相似三角形判定，等腰三角形性质
【点评】本题是三角形全等、相似的综合题，解题突破口是先利用SAS证明两个三角形全等，再结合角的等量代换、等腰三角形性质、相似三角形判定定理逐一验证结论，需要熟练掌握三角形全等、相似的判定定理，具备一定的角的关系推导能力。
【难度系数】0.6
⑩ 在$△ ABC$中，点D、E分别在边AB、AC上，且$DE // BC$，如果$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$，那么$\frac{AE}{EC}=$
$\frac{2}{3}$
。答案
10.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先观察题中给出DE//BC的条件，可联想到平行线构造的“A型”相似三角形，先判定△ADE与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到DE与BC的比等于AE与AC的比，最后结合AC=AE+EC的线段和关系，即可推导出AE与EC的比值。
【解析】
解：
∵ DE//BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$
设AE=2k（k≠0），则AC=5k
∵ AC=AE+EC
∴ EC=AC-AE=5k-2k=3k
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考查平行线构造相似三角形的模型，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边比例，再结合线段的和差关系即可快速求解比值。
【难度系数】
0.8
首先观察题中给出DE//BC的条件，可联想到平行线构造的“A型”相似三角形，先判定△ADE与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，得到DE与BC的比等于AE与AC的比，最后结合AC=AE+EC的线段和关系，即可推导出AE与EC的比值。
【解析】
解：
∵ DE//BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}$
设AE=2k（k≠0），则AC=5k
∵ AC=AE+EC
∴ EC=AC-AE=5k-2k=3k
∴ $\frac{AE}{EC}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考查平行线构造相似三角形的模型，解题的关键是准确找到相似三角形的对应边比例，再结合线段的和差关系即可快速求解比值。
【难度系数】
0.8
11 如图,在线段AB同侧有CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AB=11,AC=4,BD=6,点P在AB上运动,当AP=
3或8或4.4
时,△ACP与△BDP相似。答案
11.3或8或4.4
解析
【分析】
本题是动点结合相似三角形的题型，已知两个三角形均为直角三角形，公共的相等角为直角∠A=∠B=90°，相似的对应顶点不固定，因此需要分类讨论两种相似情况：①△ACP∽△BDP，②△ACP∽△BPD。我们设AP=x，可得PB=11-x，再根据相似三角形对应边成比例分别列方程求解，最后验证解是否符合线段长度的取值范围即可。
【解析】
解：
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°。
设AP=x，则BP=AB-AP=11-x（0＜x＜11），分两种情况讨论：
1. 当△ACP∽△BDP时，对应边成比例：$\frac{AC}{BD}=\frac{AP}{BP}$
代入AC=4，BD=6得：$\frac{4}{6}=\frac{x}{11-x}$
交叉相乘化简：$4(11-x)=6x$，解得$x=4.4$，符合取值范围。
2. 当△ACP∽△BPD时，对应边成比例：$\frac{AC}{BP}=\frac{AP}{BD}$
代入得：$\frac{4}{11-x}=\frac{x}{6}$
交叉相乘整理得：$x^2-11x+24=0$，因式分解得$(x-3)(x-8)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=8$，均符合取值范围。
综上，AP的长度为3或8或4.4。
【答案】
3或8或4.4
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想、一元二次方程求解
【点评】
本题是相似三角形的经典动点题型，易错点是容易遗漏相似的对应情况，解题时要注意在直角相等的前提下，两种不同的角对应相等对应不同的比例式，求出结果后要验证是否符合线段的实际取值范围。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合相似三角形的题型，已知两个三角形均为直角三角形，公共的相等角为直角∠A=∠B=90°，相似的对应顶点不固定，因此需要分类讨论两种相似情况：①△ACP∽△BDP，②△ACP∽△BPD。我们设AP=x，可得PB=11-x，再根据相似三角形对应边成比例分别列方程求解，最后验证解是否符合线段长度的取值范围即可。
【解析】
解：
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°。
设AP=x，则BP=AB-AP=11-x（0＜x＜11），分两种情况讨论：
1. 当△ACP∽△BDP时，对应边成比例：$\frac{AC}{BD}=\frac{AP}{BP}$
代入AC=4，BD=6得：$\frac{4}{6}=\frac{x}{11-x}$
交叉相乘化简：$4(11-x)=6x$，解得$x=4.4$，符合取值范围。
2. 当△ACP∽△BPD时，对应边成比例：$\frac{AC}{BP}=\frac{AP}{BD}$
代入得：$\frac{4}{11-x}=\frac{x}{6}$
交叉相乘整理得：$x^2-11x+24=0$，因式分解得$(x-3)(x-8)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=8$，均符合取值范围。
综上，AP的长度为3或8或4.4。
【答案】
3或8或4.4
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想、一元二次方程求解
【点评】
本题是相似三角形的经典动点题型，易错点是容易遗漏相似的对应情况，解题时要注意在直角相等的前提下，两种不同的角对应相等对应不同的比例式，求出结果后要验证是否符合线段的实际取值范围。
【难度系数】
0.6
12 如图，$△ OPQ$在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A、B、C、D、E也是小正方形的顶点，从点A、B、C、D、E中选取三个点所构成的三角形与$△ OPQ$相似，那么这个三角形是
$△ CDB$
。答案
12.$△ CDB$
解析
【分析】
要判断网格中哪个三角形与△OPQ相似，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题步骤如下：①先通过勾股定理计算△OPQ的三边长，化简得到三边的长度比；②再依次计算从A、B、C、D、E中选取三点构成的三角形的三边长，求出其长度比，找到与△OPQ三边比相等的三角形即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
第一步：计算△OPQ的三边长：
由勾股定理得：$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$OQ=2$，$PQ=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△OPQ的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$（各项同除以$\sqrt{2}$化简）。
第二步：计算△CDB的三边长：
$CD=1$，由勾股定理得：$CB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
因此△CDB的三边长度比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
因为△CDB与△OPQ的三边对应成比例，所以两个三角形相似。
【答案】
$△ CDB$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是网格类相似判定的常见题型，核心是通过勾股定理准确计算线段长度，再结合相似三角形的判定定理验证即可，计算边长时要注意对应边的顺序，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
要判断网格中哪个三角形与△OPQ相似，可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理求解。解题步骤如下：①先通过勾股定理计算△OPQ的三边长，化简得到三边的长度比；②再依次计算从A、B、C、D、E中选取三点构成的三角形的三边长，求出其长度比，找到与△OPQ三边比相等的三角形即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
第一步：计算△OPQ的三边长：
由勾股定理得：$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$OQ=2$，$PQ=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
因此△OPQ的三边长度比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$（各项同除以$\sqrt{2}$化简）。
第二步：计算△CDB的三边长：
$CD=1$，由勾股定理得：$CB=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
因此△CDB的三边长度比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
因为△CDB与△OPQ的三边对应成比例，所以两个三角形相似。
【答案】
$△ CDB$
【知识点】
1. 勾股定理 2. 相似三角形的判定
【点评】
本题是网格类相似判定的常见题型，核心是通过勾股定理准确计算线段长度，再结合相似三角形的判定定理验证即可，计算边长时要注意对应边的顺序，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.7
13 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$, $BC=8$厘米,$AC=6$厘米,点$P$从点$B$出发,沿$BC$以2厘米/秒的速度向点$C$移动,点$Q$从点$C$出发,以1厘米/秒的速度向点$A$移动,若点$P$、$Q$分别从点$B$、$C$同时出发,设运动时间为$t$秒,当$t=$
$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
时,$△ CPQ$与$△ CBA$相似。答案
13.$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
解析
【分析】
本题是相似三角形结合动点的问题，首先先表示出运动t秒后△CPQ的两条直角边长度，因为△CPQ和△CBA都有公共直角∠C，所以相似时对应顶点存在两种不同情况：一是△CPQ∽△CBA，二是△CPQ∽△CAB，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
设运动时间为t秒，由题意得：
BP=2t厘米，CQ=t厘米，
∴ CP=BC-BP=(8-2t)厘米，
∵ ∠C=90°，即∠C是△CPQ和△CBA的公共直角，分两种情况讨论：
1. 当△CPQ∽△CBA时，对应边成比例：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$
代入得：$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$
交叉相乘得：$6(8-2t)=8t$
解得：$t=\frac{12}{5}$，符合$0＜t＜4$的运动范围。
2. 当△CPQ∽△CAB时，对应边成比例：$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$
代入得：$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$
交叉相乘得：$8(8-2t)=6t$
解得：$t=\frac{32}{11}$，符合$0＜t＜4$的运动范围。
综上，t的值为$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
【知识点】
相似三角形判定，动点问题，比例计算
【点评】
本题属于相似三角形的常考题型，解题的关键是根据相似三角形对应边的不同对应关系分情况讨论，同时要注意检验所求的解是否符合动点的实际运动范围，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
本题是相似三角形结合动点的问题，首先先表示出运动t秒后△CPQ的两条直角边长度，因为△CPQ和△CBA都有公共直角∠C，所以相似时对应顶点存在两种不同情况：一是△CPQ∽△CBA，二是△CPQ∽△CAB，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
设运动时间为t秒，由题意得：
BP=2t厘米，CQ=t厘米，
∴ CP=BC-BP=(8-2t)厘米，
∵ ∠C=90°，即∠C是△CPQ和△CBA的公共直角，分两种情况讨论：
1. 当△CPQ∽△CBA时，对应边成比例：$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CA}$
代入得：$\frac{8-2t}{8}=\frac{t}{6}$
交叉相乘得：$6(8-2t)=8t$
解得：$t=\frac{12}{5}$，符合$0＜t＜4$的运动范围。
2. 当△CPQ∽△CAB时，对应边成比例：$\frac{CP}{CA}=\frac{CQ}{CB}$
代入得：$\frac{8-2t}{6}=\frac{t}{8}$
交叉相乘得：$8(8-2t)=6t$
解得：$t=\frac{32}{11}$，符合$0＜t＜4$的运动范围。
综上，t的值为$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$或$\frac{32}{11}$
【知识点】
相似三角形判定，动点问题，比例计算
【点评】
本题属于相似三角形的常考题型，解题的关键是根据相似三角形对应边的不同对应关系分情况讨论，同时要注意检验所求的解是否符合动点的实际运动范围，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
14 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,AB 的垂直平分线 DE 交 BC 的延长线于点 E,则 CE 的长为
$\frac{7}{6}$
。答案
14.$\frac{7}{6}$
解析
【分析】
解题时首先从已知的Rt△ABC入手，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；接着看到AB的垂直平分线DE，根据垂直平分线的性质，可得DE垂直AB，且D是AB中点，即得∠EDB=90°、BD=AB/2；此时观察图形，△ABC和△EBD有公共角∠B，且都有90°的角，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，可证两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例求出BE的长度，最后用BE减去已知的BC长度，即可得到CE的长。也可通过设CE为未知数，利用垂直平分线性质得AE=BE，再在Rt△ACE中用勾股定理列方程求解。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 因为DE是AB的垂直平分线，所以$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$∠ EDB=90°$
3. 在$△ ABC$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ EDB=90°\\∠ B=∠ B\end{cases}$
所以$△ ABC ∽ △ EBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
4. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BC}{BD}=\frac{AB}{BE}$，代入数值：
$\frac{3}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{BE}$，解得$BE=\frac{25}{6}$
5. 计算CE的长度：$CE=BE-BC=\frac{25}{6}-3=\frac{25}{6}-\frac{18}{6}=\frac{7}{6}$
【答案】
$\frac{7}{6}$
【知识点】
勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
这道题是几何基础综合题，解题突破口是找到两个三角形的公共角和相等的直角，证明相似后利用比例关系求解，也可以用方程思想结合勾股定理解答，方法较为灵活，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的Rt△ABC入手，已知两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边AB的长度；接着看到AB的垂直平分线DE，根据垂直平分线的性质，可得DE垂直AB，且D是AB中点，即得∠EDB=90°、BD=AB/2；此时观察图形，△ABC和△EBD有公共角∠B，且都有90°的角，满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，可证两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例求出BE的长度，最后用BE减去已知的BC长度，即可得到CE的长。也可通过设CE为未知数，利用垂直平分线性质得AE=BE，再在Rt△ACE中用勾股定理列方程求解。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
2. 因为DE是AB的垂直平分线，所以$BD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$，$∠ EDB=90°$
3. 在$△ ABC$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}∠ ACB=∠ EDB=90°\\∠ B=∠ B\end{cases}$
所以$△ ABC ∽ △ EBD$（两角分别相等的两个三角形相似）
4. 根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{BC}{BD}=\frac{AB}{BE}$，代入数值：
$\frac{3}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{BE}$，解得$BE=\frac{25}{6}$
5. 计算CE的长度：$CE=BE-BC=\frac{25}{6}-3=\frac{25}{6}-\frac{18}{6}=\frac{7}{6}$
【答案】
$\frac{7}{6}$
【知识点】
勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
这道题是几何基础综合题，解题突破口是找到两个三角形的公共角和相等的直角，证明相似后利用比例关系求解，也可以用方程思想结合勾股定理解答，方法较为灵活，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
15 如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$、$E$分别在$AC$、$AB$上，且$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$AE=BE$，那么$BD:DE=$
2
。答案
15.2
解析
【分析】
解题时先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，设合适的参数表示各边长度简化计算，再通过作垂线构造直角三角形，借助含30°角的直角三角形的边长关系求出直角边长度，最后用勾股定理分别计算BD和DE的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
设等边$△ ABC$的边长为$6a$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=AC=6a$，$∠ A=60°$。
$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$\therefore AD=\frac{1}{3}×6a=2a$；
$\because AE=BE$，$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=3a$。
过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=60°$，则$∠ ADF=30°$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=a$，$DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
可得$EF=AE-AF=3a-a=2a$，$BF=AB-AF=6a-a=5a$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理：
$DE^2=EF^2+DF^2=(2a)^2+(\sqrt{3}a)^2=7a^2$，即$DE=\sqrt{7}a$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，由勾股定理：
$BD^2=BF^2+DF^2=(5a)^2+(\sqrt{3}a)^2=28a^2$，即$BD=2\sqrt{7}a$。
$\therefore BD:DE=2\sqrt{7}a:\sqrt{7}a=2$。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，通过设参数、作垂线构造直角三角形的方法可大幅降低计算难度，解题时需注意线段的对应关系，避免运算失误。
【难度系数】
0.65
解题时先利用等边三角形三边相等、内角为60°的性质，设合适的参数表示各边长度简化计算，再通过作垂线构造直角三角形，借助含30°角的直角三角形的边长关系求出直角边长度，最后用勾股定理分别计算BD和DE的长度，即可求出二者的比值。
【解析】
设等边$△ ABC$的边长为$6a$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB=AC=6a$，$∠ A=60°$。
$\because \frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}$，$\therefore AD=\frac{1}{3}×6a=2a$；
$\because AE=BE$，$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=3a$。
过点$D$作$DF⊥ AB$于点$F$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$∠ A=60°$，则$∠ ADF=30°$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}AD=a$，$DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$。
可得$EF=AE-AF=3a-a=2a$，$BF=AB-AF=6a-a=5a$。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，由勾股定理：
$DE^2=EF^2+DF^2=(2a)^2+(\sqrt{3}a)^2=7a^2$，即$DE=\sqrt{7}a$。
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，由勾股定理：
$BD^2=BF^2+DF^2=(5a)^2+(\sqrt{3}a)^2=28a^2$，即$BD=2\sqrt{7}a$。
$\therefore BD:DE=2\sqrt{7}a:\sqrt{7}a=2$。
【答案】
2
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，通过设参数、作垂线构造直角三角形的方法可大幅降低计算难度，解题时需注意线段的对应关系，避免运算失误。
【难度系数】
0.65
