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1 在$△ ABC$中，点$D$、$E$分别在边$AB$、$AC$上，$DE // BC$，$AD:DB=1:2$，用$S$表示面积，$C$表示周长，则下列结论中正确的是（
A.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$
C.$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{4}$
C
）。A.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$
C.$\frac{C_{△ ADE}}{C_{△ ABC}}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=\frac{1}{4}$
答案
1.C
解析
【分析】
首先根据DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再结合AD:DB=1:2求出两个三角形的相似比，最后利用相似三角形对应边的比、周长比、面积比与相似比的关系，逐一分析各选项即可得出正确答案。
【解析】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∵AD:DB=1:2，
∴相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$。
对选项A、B：相似三角形对应边的比等于相似比，故$\frac{DE}{BC}=k=\frac{1}{3}$，A、B均错误；
对选项C：相似三角形的周长比等于相似比，故$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=k=\frac{1}{3}$，C正确；
对选项D：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是先准确求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形的性质逐一验证选项。
【难度系数】
0.8
首先根据DE//BC可判定△ADE与△ABC相似，再结合AD:DB=1:2求出两个三角形的相似比，最后利用相似三角形对应边的比、周长比、面积比与相似比的关系，逐一分析各选项即可得出正确答案。
【解析】
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。
∵AD:DB=1:2，
∴相似比$k=\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$。
对选项A、B：相似三角形对应边的比等于相似比，故$\frac{DE}{BC}=k=\frac{1}{3}$，A、B均错误；
对选项C：相似三角形的周长比等于相似比，故$\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=k=\frac{1}{3}$，C正确；
对选项D：相似三角形的面积比等于相似比的平方，故$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，D错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是先准确求出两个三角形的相似比，再结合相似三角形的性质逐一验证选项。
【难度系数】
0.8
2 在四边形ABCD中，AB // CD，对角线AC、BD相交于点E，如果$S_{△ DEC}:S_{△ DBC}=2:5$，那么$S_{△ DEC}:S_{△ AEB}$为（
A.2：5
B.2：3
C.4：25
D.4：9
D
）。A.2：5
B.2：3
C.4：25
D.4：9
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先观察已知面积比的两个三角形的位置关系：△DEC和△DBC共享顶点C，且底边DE、EB在同一直线BD上，可先通过面积比推导得到线段DE与EB的比值；再结合AB//CD的条件证明△DEC与△BEA相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出所求面积比。
【解析】
1. 求线段DE与EB的比值：
△DEC和△BEC同高（以点C为顶点，向BD作的垂线为公共高），因此两个三角形的面积比等于底边长的比，即$S_{△ DEC}:S_{△ BEC}=DE:EB$。
已知$S_{△ DEC}:S_{△ DBC}=2:5$，且$S_{△ DBC}=S_{△ DEC}+S_{△ BEC}$，代入可得$S_{△ DEC}:(S_{△ DEC}+S_{△ BEC})=2:5$，解得$S_{△ DEC}:S_{△ BEC}=2:3$，因此$DE:EB=2:3$。
2. 证明三角形相似：
∵$AB// CD$，
∴$∠ EDC=∠ EBA$，$∠ ECD=∠ EAB$（两直线平行，内错角相等）。
∴$△ DEC∽△ BEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 计算面积比：
相似三角形的面积比等于相似比的平方，两三角形的相似比为$DE:EB=2:3$，因此$S_{△ DEC}:S_{△ AEB}=(2:3)^2=4:9$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，共高三角形面积比
【点评】
本题将三角形面积比例关系和相似三角形的性质结合考查，解题的关键是先通过共高三角形的面积比得到对应线段的比，再结合相似性质推导所求面积比。
【难度系数】
0.65
解题时先观察已知面积比的两个三角形的位置关系：△DEC和△DBC共享顶点C，且底边DE、EB在同一直线BD上，可先通过面积比推导得到线段DE与EB的比值；再结合AB//CD的条件证明△DEC与△BEA相似，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出所求面积比。
【解析】
1. 求线段DE与EB的比值：
△DEC和△BEC同高（以点C为顶点，向BD作的垂线为公共高），因此两个三角形的面积比等于底边长的比，即$S_{△ DEC}:S_{△ BEC}=DE:EB$。
已知$S_{△ DEC}:S_{△ DBC}=2:5$，且$S_{△ DBC}=S_{△ DEC}+S_{△ BEC}$，代入可得$S_{△ DEC}:(S_{△ DEC}+S_{△ BEC})=2:5$，解得$S_{△ DEC}:S_{△ BEC}=2:3$，因此$DE:EB=2:3$。
2. 证明三角形相似：
∵$AB// CD$，
∴$∠ EDC=∠ EBA$，$∠ ECD=∠ EAB$（两直线平行，内错角相等）。
∴$△ DEC∽△ BEA$（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 计算面积比：
相似三角形的面积比等于相似比的平方，两三角形的相似比为$DE:EB=2:3$，因此$S_{△ DEC}:S_{△ AEB}=(2:3)^2=4:9$。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，共高三角形面积比
【点评】
本题将三角形面积比例关系和相似三角形的性质结合考查，解题的关键是先通过共高三角形的面积比得到对应线段的比，再结合相似性质推导所求面积比。
【难度系数】
0.65
3 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，则$△ BCD$与$△ ABC$的周长之比为(
A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
A
)。A.$1:2$
B.$1:3$
C.$1:4$
D.$1:5$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决本题，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解。首先通过角的关系证明△BCD与△ABC相似，再结合含30°角的直角三角形的性质求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=180° - 90° -30°=60°$，且30°角所对直角边$BC=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$。
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=∠ ACB=90°$，
又$\because ∠ B$是$△ BCD$和$△ BAC$的公共角，
$\therefore △ BCD ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
$\therefore △ BCD$与$△ ABC$的周长之比$=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}=1:2$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是先判定两个三角形相似，再结合直角三角形的特殊边角关系求出相似比，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，可利用相似三角形周长比等于相似比的性质求解。首先通过角的关系证明△BCD与△ABC相似，再结合含30°角的直角三角形的性质求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=180° - 90° -30°=60°$，且30°角所对直角边$BC=\frac{1}{2}AB$，即$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$。
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB=∠ ACB=90°$，
又$\because ∠ B$是$△ BCD$和$△ BAC$的公共角，
$\therefore △ BCD ∽ △ BAC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
$\therefore △ BCD$与$△ ABC$的周长之比$=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}=1:2$。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是先判定两个三角形相似，再结合直角三角形的特殊边角关系求出相似比，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
4 若一个三角形的一条边长为6 cm，平行于这条边的直线将该三角形分成面积相等的两部分，则该直线被这个三角形两边所截得的线段长为(
A.3 cm
B.$2\sqrt{3}$ cm
C.$3\sqrt{2}$ cm
D.$6\sqrt{2}$ cm
C
)。A.3 cm
B.$2\sqrt{3}$ cm
C.$3\sqrt{2}$ cm
D.$6\sqrt{2}$ cm
答案
4.C
解析
【分析】
首先，看到平行于三角形一边的直线截三角形另外两边，可判定截得的小三角形与原三角形相似；其次，直线将原三角形分成面积相等的两部分，说明小三角形面积是原三角形面积的$\frac{1}{2}$，即二者面积比为$1:2$；接下来回忆相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，由此可求出两个三角形的相似比；最后结合原三角形对应边的长度，利用相似比即可求出截得线段的长度。
【解析】
设该直线被三角形两边截得的线段长为$ x \, \mathrm{cm} $。
∵ 截线平行于长度为6cm的边，
∴ 截得的小三角形与原三角形相似。
由题意得，小三角形与原三角形的面积比为$ 1:2 $。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得相似比为$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵ 相似比为对应边的比值，即$\frac{x}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$ x = 3\sqrt{2} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用考题，解题的关键是明确截得的小三角形与原三角形相似，结合面积比推导出对应边的比例关系即可求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
首先，看到平行于三角形一边的直线截三角形另外两边，可判定截得的小三角形与原三角形相似；其次，直线将原三角形分成面积相等的两部分，说明小三角形面积是原三角形面积的$\frac{1}{2}$，即二者面积比为$1:2$；接下来回忆相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方，由此可求出两个三角形的相似比；最后结合原三角形对应边的长度，利用相似比即可求出截得线段的长度。
【解析】
设该直线被三角形两边截得的线段长为$ x \, \mathrm{cm} $。
∵ 截线平行于长度为6cm的边，
∴ 截得的小三角形与原三角形相似。
由题意得，小三角形与原三角形的面积比为$ 1:2 $。
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得相似比为$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵ 相似比为对应边的比值，即$\frac{x}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得$ x = 3\sqrt{2} $。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形面积比性质
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用考题，解题的关键是明确截得的小三角形与原三角形相似，结合面积比推导出对应边的比例关系即可求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.7
5 如图,在$△ ABC$中,$DE // FG // BC$,$AD:DF:FB=1:2:3$,则$S_{△ ADE}:S_{四边形DFGE}:S_{四边形FBCG}$为(
A.$1:4:9$
B.$1:3:5$
C.$1:9:36$
D.$1:8:27$
D
)。A.$1:4:9$
B.$1:3:5$
C.$1:9:36$
D.$1:8:27$
答案
5.D
解析
【分析】
看到DE、FG均平行于BC，可先依据平行线判定三角形相似，得到△ADE、△AFG、△ABC两两相似；再结合已知的线段比例，求出三个相似三角形对应边的相似比；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到三个三角形的面积比；最后用大三角形面积减去小三角形面积，得到两个四边形的面积份数，即可求出三者的比值。
【解析】
解：
∵$DE // FG // BC$，
∴$△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
∵$AD:DF:FB=1:2:3$，
∴$AD:AF:AB = AD:(AD+DF):(AD+DF+FB) = 1:(1+2):(1+2+3) = 1:3:6$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC} = 1^2:3^2:6^2 = 1:9:36$，
设$S_{△ ADE}=k$（$k＞0$），则$S_{△ AFG}=9k$，$S_{△ ABC}=36k$，
∴$S_{四边形DFGE} = S_{△ AFG} - S_{△ ADE} = 9k - k = 8k$，
$S_{四边形FBCG} = S_{△ ABC} - S_{△ AFG} = 36k - 9k = 27k$，
∴$S_{△ ADE}:S_{四边形DFGE}:S_{四边形FBCG} = 1k:8k:27k = 1:8:27$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积比性质；面积和差计算
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题，解题核心是先通过平行线得到相似三角形，结合线段比例求出相似比，再利用面积比和相似比的关系计算各部分面积，解题时要注意不能直接将线段的比例当做四边形的面积比，避免错选。
【难度系数】
0.6
看到DE、FG均平行于BC，可先依据平行线判定三角形相似，得到△ADE、△AFG、△ABC两两相似；再结合已知的线段比例，求出三个相似三角形对应边的相似比；根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得到三个三角形的面积比；最后用大三角形面积减去小三角形面积，得到两个四边形的面积份数，即可求出三者的比值。
【解析】
解：
∵$DE // FG // BC$，
∴$△ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$，
∵$AD:DF:FB=1:2:3$，
∴$AD:AF:AB = AD:(AD+DF):(AD+DF+FB) = 1:(1+2):(1+2+3) = 1:3:6$，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC} = 1^2:3^2:6^2 = 1:9:36$，
设$S_{△ ADE}=k$（$k＞0$），则$S_{△ AFG}=9k$，$S_{△ ABC}=36k$，
∴$S_{四边形DFGE} = S_{△ AFG} - S_{△ ADE} = 9k - k = 8k$，
$S_{四边形FBCG} = S_{△ ABC} - S_{△ AFG} = 36k - 9k = 27k$，
∴$S_{△ ADE}:S_{四边形DFGE}:S_{四边形FBCG} = 1k:8k:27k = 1:8:27$，
故选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形面积比性质；面积和差计算
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题，解题核心是先通过平行线得到相似三角形，结合线段比例求出相似比，再利用面积比和相似比的关系计算各部分面积，解题时要注意不能直接将线段的比例当做四边形的面积比，避免错选。
【难度系数】
0.6
6 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，把$△ ABC$绕$C$点旋转得到$△ A'B'C$，其中点$A'$在线段$AB$上，则$S_{△ A'B'B}=$（
A.$\dfrac{7}{5}$
B.$\dfrac{7}{10}$
C.$\dfrac{112}{25}$
D.$\dfrac{84}{25}$
D
）。A.$\dfrac{7}{5}$
B.$\dfrac{7}{10}$
C.$\dfrac{112}{25}$
D.$\dfrac{84}{25}$
答案
6.D
解析
【分析】
解题可按以下思路推进：① 先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；② 根据旋转的性质得到相等的边和旋转角，作等腰△CAA'底边的高，用面积法求出高的长度，再结合勾股定理算出AA'的长度，进而得到A'B的长度；③ 利用两边成比例且夹角相等证明△ACA'∽△BCB'，通过相似比求出BB'的长度，再推导得到∠A'BB'为直角；④ 最后用直角三角形面积公式计算△A'B'B的面积即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由旋转的性质可知：$CA'=CA=3$，$CB'=CB=4$，$∠ ACA'=∠ BCB'$。
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，由等腰三角形三线合一得$AD=A'D$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数据得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
因此$AA'=2AD=\frac{18}{5}$，则$A'B=AB-AA'=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。
因为$\frac{CA}{CB}=\frac{3}{4}$，$\frac{CA'}{CB'}=\frac{3}{4}$，且$∠ ACA'=∠ BCB'$，所以$△ ACA'∽△ BCB'$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），相似比为$3:4$。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{AA'}{BB'}=\frac{3}{4}$，因此$BB'=\frac{4}{3}AA'=\frac{4}{3}×\frac{18}{5}=\frac{24}{5}$。
又因为相似三角形对应角相等，所以$∠ A=∠ CBB'$，在$Rt△ ABC$中$∠ A+∠ ABC=90°$，因此$∠ CBB'+∠ ABC=90°$，即$∠ A'BB'=90°$。
故$S_{△ A'B'B}=\frac{1}{2}· A'B· BB'=\frac{1}{2}×\frac{7}{5}×\frac{24}{5}=\frac{84}{25}$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合了旋转、相似、直角三角形的相关考点，解题的核心是抓住旋转前后边和角的对应关系，通过证明相似三角形得到边的比例关系和直角，进而计算面积，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路推进：① 先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；② 根据旋转的性质得到相等的边和旋转角，作等腰△CAA'底边的高，用面积法求出高的长度，再结合勾股定理算出AA'的长度，进而得到A'B的长度；③ 利用两边成比例且夹角相等证明△ACA'∽△BCB'，通过相似比求出BB'的长度，再推导得到∠A'BB'为直角；④ 最后用直角三角形面积公式计算△A'B'B的面积即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
由旋转的性质可知：$CA'=CA=3$，$CB'=CB=4$，$∠ ACA'=∠ BCB'$。
过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$，由等腰三角形三线合一得$AD=A'D$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数据得：
$CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$，
因此$AA'=2AD=\frac{18}{5}$，则$A'B=AB-AA'=5-\frac{18}{5}=\frac{7}{5}$。
因为$\frac{CA}{CB}=\frac{3}{4}$，$\frac{CA'}{CB'}=\frac{3}{4}$，且$∠ ACA'=∠ BCB'$，所以$△ ACA'∽△ BCB'$（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），相似比为$3:4$。
由相似三角形对应边成比例得$\frac{AA'}{BB'}=\frac{3}{4}$，因此$BB'=\frac{4}{3}AA'=\frac{4}{3}×\frac{18}{5}=\frac{24}{5}$。
又因为相似三角形对应角相等，所以$∠ A=∠ CBB'$，在$Rt△ ABC$中$∠ A+∠ ABC=90°$，因此$∠ CBB'+∠ ABC=90°$，即$∠ A'BB'=90°$。
故$S_{△ A'B'B}=\frac{1}{2}· A'B· BB'=\frac{1}{2}×\frac{7}{5}×\frac{24}{5}=\frac{84}{25}$。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合了旋转、相似、直角三角形的相关考点，解题的核心是抓住旋转前后边和角的对应关系，通过证明相似三角形得到边的比例关系和直角，进而计算面积，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7 如果两个相似三角形的相似比为1:3，它们的面积之和为20 $\mathrm{cm}^2$，那么较大的三角形的面积是
18
$\mathrm{cm}^2$。答案
7.18
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。第一步先根据已知的相似比1:3求出两个三角形的面积比；第二步结合两个三角形的面积之和为20cm²，按比例分配即可求出较大三角形的面积。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的相似比为1:3，且相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴两个三角形的面积比为$(1:3)^2=1:9$
设较小三角形的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则较大三角形的面积为$9x\ \mathrm{cm}^2$
根据题意列方程得：$x + 9x = 20$
解得：$x=2$
∴较大三角形的面积为$9x = 9×2 = 18\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的性质；按比分配
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题时需注意不要直接将相似比等同于面积比，牢记面积比是相似比的平方即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似三角形的核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方。第一步先根据已知的相似比1:3求出两个三角形的面积比；第二步结合两个三角形的面积之和为20cm²，按比例分配即可求出较大三角形的面积。
【解析】
解：
∵两个相似三角形的相似比为1:3，且相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴两个三角形的面积比为$(1:3)^2=1:9$
设较小三角形的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，则较大三角形的面积为$9x\ \mathrm{cm}^2$
根据题意列方程得：$x + 9x = 20$
解得：$x=2$
∴较大三角形的面积为$9x = 9×2 = 18\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
18
【知识点】
相似三角形的性质；按比分配
【点评】
本题是基础类题型，核心考查相似三角形面积比与相似比的关系，解题时需注意不要直接将相似比等同于面积比，牢记面积比是相似比的平方即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
⑧ 如果四边形ABCD的四条边长分别为54 cm、48 cm、45 cm、63 cm，另一个和它相似的四边形的最短边的长度为15 cm，那么这个四边形的最长边的长度为
21 cm
。答案
8.21 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。第一步先确定原四边形的最短边和最长边，第二步结合已知的相似四边形的最短边求出两个四边形的相似比，第三步根据相似比等于对应边的比值，代入原四边形最长边的长度即可求出所求四边形的最长边。
【解析】
解：已知四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，
可得原四边形的最短边为45cm，最长边为63cm。
因为两个四边形相似，且相似四边形的最短边为15cm，
所以两个四边形的相似比为 $ \frac{15}{45}=\frac{1}{3} $。
设所求四边形的最长边为$ x $ cm，根据相似多边形对应边成比例可得：
$ \frac{x}{63}=\frac{1}{3} $
解得 $ x=21 $。
【答案】
21 cm
【知识点】
相似多边形的性质、比例线段计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题核心是找准对应边、正确计算相似比，熟悉相似多边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。第一步先确定原四边形的最短边和最长边，第二步结合已知的相似四边形的最短边求出两个四边形的相似比，第三步根据相似比等于对应边的比值，代入原四边形最长边的长度即可求出所求四边形的最长边。
【解析】
解：已知四边形ABCD的四条边长分别为54cm、48cm、45cm、63cm，
可得原四边形的最短边为45cm，最长边为63cm。
因为两个四边形相似，且相似四边形的最短边为15cm，
所以两个四边形的相似比为 $ \frac{15}{45}=\frac{1}{3} $。
设所求四边形的最长边为$ x $ cm，根据相似多边形对应边成比例可得：
$ \frac{x}{63}=\frac{1}{3} $
解得 $ x=21 $。
【答案】
21 cm
【知识点】
相似多边形的性质、比例线段计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题核心是找准对应边、正确计算相似比，熟悉相似多边形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
