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9 如图，在平面直角坐标系中，已知A(6，4)，B(2，3)，D(3，2)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是
(1, 1.5)
。答案
9.(1, 1.5)
解析
【分析】
解决本题首先明确位似中心为原点O，先找到一组已知的对应点A和D，通过对应点的坐标比值求出位似比，再根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：位似图形对应点的坐标等于原坐标乘位似比，将B点坐标乘位似比即可得到E点坐标。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，点A(6,4)的对应点为D(3,2)
∴本次位似变换的位似比$k=\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∵点B(2,3)的对应点为E
∴E点的横坐标为$2×\frac{1}{2}=1$，纵坐标为$3×\frac{1}{2}=1.5$
即E点坐标为(1,1.5)
【答案】
(1, 1.5)
【知识点】
位似的坐标变化规律，位似图形的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题考查位似变换的相关知识，解题的关键是准确找到对应点计算位似比，牢记以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先明确位似中心为原点O，先找到一组已知的对应点A和D，通过对应点的坐标比值求出位似比，再根据平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换坐标规律：位似图形对应点的坐标等于原坐标乘位似比，将B点坐标乘位似比即可得到E点坐标。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，点A(6,4)的对应点为D(3,2)
∴本次位似变换的位似比$k=\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∵点B(2,3)的对应点为E
∴E点的横坐标为$2×\frac{1}{2}=1$，纵坐标为$3×\frac{1}{2}=1.5$
即E点坐标为(1,1.5)
【答案】
(1, 1.5)
【知识点】
位似的坐标变化规律，位似图形的性质，坐标与图形变化
【点评】
本题考查位似变换的相关知识，解题的关键是准确找到对应点计算位似比，牢记以原点为位似中心的位似变换的坐标变化规律即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
10 如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,EC=2BE,连接AE交BD于点F,若△BFE的面积为2,则△AFD的面积为
18
。答案
10.18
解析
【分析】
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知EC=2BE，推出线段BE与AD的长度比；再根据平行线的性质判定△BEF和△DAF相似，得到两三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，结合△BFE的面积即可计算出△AFD的面积。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵EC=2BE，
∴BC=BE+EC=3BE，即AD=3BE，
∴BE:AD=1:3，
∵AD//BC，
∴∠FBE=∠FDA，∠FEB=∠FAD，
∴△BEF∽△DAF，
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，
∴$ S_{△ BEF}:S_{△ DAF}=(BE:AD)^2=1^2:3^2=1:9 $，
已知$ S_{△ BFE}=2 $，
∴$ S_{△ AFD}=2×9=18 $。
【答案】
18
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题的核心是准确找到相似三角形并推出其相似比，再结合相似三角形的面积性质求解，是几何部分的常见典型题。
【难度系数】
0.7
首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知EC=2BE，推出线段BE与AD的长度比；再根据平行线的性质判定△BEF和△DAF相似，得到两三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方这一性质，结合△BFE的面积即可计算出△AFD的面积。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵EC=2BE，
∴BC=BE+EC=3BE，即AD=3BE，
∴BE:AD=1:3，
∵AD//BC，
∴∠FBE=∠FDA，∠FEB=∠FAD，
∴△BEF∽△DAF，
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，
∴$ S_{△ BEF}:S_{△ DAF}=(BE:AD)^2=1^2:3^2=1:9 $，
已知$ S_{△ BFE}=2 $，
∴$ S_{△ AFD}=2×9=18 $。
【答案】
18
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的基础题型，解题的核心是准确找到相似三角形并推出其相似比，再结合相似三角形的面积性质求解，是几何部分的常见典型题。
【难度系数】
0.7
11 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=12cm，BC=27cm，点E、F分别在AB、CD上，且EF//AD，如果四边形AEFD∽四边形EBCF，则EF=
18
cm。答案
11.18
解析
【分析】
本题已知两个四边形相似，解题核心是利用相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先根据两个四边形的结构确定对应边：四边形AEFD的边AD对应四边形EBCF的边EF，四边形AEFD的边EF对应四边形EBCF的边BC，据此列出比例式后，代入已知边长即可求解EF的长度。
【解析】
∵ 四边形AEFD∽四边形EBCF
∴ 对应边成比例，即$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$
∴ $EF^2 = AD · BC$
已知$AD=12\mathrm{cm}$，$BC=27\mathrm{cm}$，代入得：
$EF^2 = 12 × 27 = 324$
∵ EF为线段长度，是正数
∴ $EF=\sqrt{324}=18\mathrm{cm}$
【答案】
18
【知识点】
相似多边形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的关键是准确识别相似多边形的对应边，列出正确的比例式，计算时注意线段长度为正，舍去负的平方根即可。
【难度系数】
0.7
本题已知两个四边形相似，解题核心是利用相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例。首先根据两个四边形的结构确定对应边：四边形AEFD的边AD对应四边形EBCF的边EF，四边形AEFD的边EF对应四边形EBCF的边BC，据此列出比例式后，代入已知边长即可求解EF的长度。
【解析】
∵ 四边形AEFD∽四边形EBCF
∴ 对应边成比例，即$\frac{AD}{EF}=\frac{EF}{BC}$
∴ $EF^2 = AD · BC$
已知$AD=12\mathrm{cm}$，$BC=27\mathrm{cm}$，代入得：
$EF^2 = 12 × 27 = 324$
∵ EF为线段长度，是正数
∴ $EF=\sqrt{324}=18\mathrm{cm}$
【答案】
18
【知识点】
相似多边形的性质，比例的基本性质
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的关键是准确识别相似多边形的对应边，列出正确的比例式，计算时注意线段长度为正，舍去负的平方根即可。
【难度系数】
0.7
12 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点D，若$AB=4$，$BC=2$，则$DB=$
1
。答案
12.1
解析
【分析】
本题可通过相似三角形求解：首先观察到Rt△ABC中CD⊥AB，∠B是△BCD和△BAC的公共角，且两个三角形都有直角，可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DB的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
又
∵∠B=∠B（公共角），
∴△BCD∽△BAC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^2=BD· BA$，
将AB=4，BC=2代入得：
$2^2=4· BD$，
解得$BD=1$。
【答案】
1
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是准确识别出直角三角形斜边上的高所构成的相似三角形，结合角的等量关系判定相似后，通过比例式即可快速计算线段长度，属于几何中常见的基础计算类考题。
【难度系数】
0.8
本题可通过相似三角形求解：首先观察到Rt△ABC中CD⊥AB，∠B是△BCD和△BAC的公共角，且两个三角形都有直角，可判定两三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DB的长度。
【解析】
解：
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
又
∵∠B=∠B（公共角），
∴△BCD∽△BAC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，即$BC^2=BD· BA$，
将AB=4，BC=2代入得：
$2^2=4· BD$，
解得$BD=1$。
【答案】
1
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题核心是准确识别出直角三角形斜边上的高所构成的相似三角形，结合角的等量关系判定相似后，通过比例式即可快速计算线段长度，属于几何中常见的基础计算类考题。
【难度系数】
0.8
13 已知在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$在$BC$上，$∠ B=∠ DAC$，且$S_{△ ACD}:S_{△ BCA}=4:9$，若$AC=6$，则$CD$的长为________。
答案
13.4
解析
【分析】
解题时首先观察三角形的角的特征：△ACD和△BCA有公共直角∠C，且已知∠B=∠DAC，可根据两角对应相等判定两个三角形相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知的面积比求出相似比；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AC长度即可求出CD的长。
【解析】
解：在△ACD和△BCA中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C=90° \\∠DAC=∠B\end{array} $
∴△ACD∽△BCA（两角对应相等，两三角形相似）
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ACD}:S_{△BCA}=4:9$
∴两三角形的相似比$k=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{CD}{AC}=k=\frac{2}{3}$
将$AC=6$代入，得$CD=6×\frac{2}{3}=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是准确识别相似三角形、找对对应边，结合面积比与相似比的关系求解线段长度，是几何中很常见的考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察三角形的角的特征：△ACD和△BCA有公共直角∠C，且已知∠B=∠DAC，可根据两角对应相等判定两个三角形相似；再结合相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知的面积比求出相似比；最后根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的AC长度即可求出CD的长。
【解析】
解：在△ACD和△BCA中：
$\{\begin{array}{l}∠C=∠C=90° \\∠DAC=∠B\end{array} $
∴△ACD∽△BCA（两角对应相等，两三角形相似）
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且$S_{△ACD}:S_{△BCA}=4:9$
∴两三角形的相似比$k=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{CD}{AC}=k=\frac{2}{3}$
将$AC=6$代入，得$CD=6×\frac{2}{3}=4$
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是准确识别相似三角形、找对对应边，结合面积比与相似比的关系求解线段长度，是几何中很常见的考法。
【难度系数】
0.7
14 如图,将$△ ABC$沿$BC$边上的中线$AD$平移到$△ A'B'C'$的位置,如果$A'A:A'D=2$, $A'B'$、$A'C'$分别与$BC$交于点$M$、$N$,那么$△ A'MN$的面积与$△ ABC$的面积之比是
第14题图
1:9
。 第14题图答案
14.1:9
解析
【分析】
解题思路可分三步梳理：①首先根据平移的性质可得对应边互相平行，进而可证△A'MN与△ABC相似，要求面积比需先求两个三角形的相似比；②平移沿AD进行，因此点A'在AD上，结合已知的A'A与A'D的比例关系，可求出A'D与AD的比值，即相似三角形对应中线的比，也就是两个三角形的相似比；③最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出最终的面积比值。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A'B'//AB，A'C'//AC，且点A'落在线段AD上，
∴∠A'MN=∠B，∠A'NM=∠C，
∴△A'MN∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意得$A'A:A'D=2:1$，设$A'D=x$，则$A'A=2x$，
∴$AD=A'A + A'D=2x + x=3x$，
∴$\frac{A'D}{AD}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$。
∵AD是△ABC中BC边上的中线，且$MN// BC$，
∴A'D是△A'MN中MN边上的中线，相似三角形对应中线的比等于相似比，即△A'MN与△ABC的相似比为$\frac{1}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△A'MN}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即面积比为$1:9$。
【答案】
$1:9$
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何常见综合题，将平移变换和相似三角形的知识结合考查，解题的突破口是利用平移的平行性质判定三角形相似，再结合线段比例关系求出相似比，熟练掌握相似三角形的面积与相似比的关系就能快速求解。
【难度系数】
0.6
解题思路可分三步梳理：①首先根据平移的性质可得对应边互相平行，进而可证△A'MN与△ABC相似，要求面积比需先求两个三角形的相似比；②平移沿AD进行，因此点A'在AD上，结合已知的A'A与A'D的比例关系，可求出A'D与AD的比值，即相似三角形对应中线的比，也就是两个三角形的相似比；③最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出最终的面积比值。
【解析】
解：
∵△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A'B'//AB，A'C'//AC，且点A'落在线段AD上，
∴∠A'MN=∠B，∠A'NM=∠C，
∴△A'MN∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
由题意得$A'A:A'D=2:1$，设$A'D=x$，则$A'A=2x$，
∴$AD=A'A + A'D=2x + x=3x$，
∴$\frac{A'D}{AD}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$。
∵AD是△ABC中BC边上的中线，且$MN// BC$，
∴A'D是△A'MN中MN边上的中线，相似三角形对应中线的比等于相似比，即△A'MN与△ABC的相似比为$\frac{1}{3}$。
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△A'MN}}{S_{△ABC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，即面积比为$1:9$。
【答案】
$1:9$
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何常见综合题，将平移变换和相似三角形的知识结合考查，解题的突破口是利用平移的平行性质判定三角形相似，再结合线段比例关系求出相似比，熟练掌握相似三角形的面积与相似比的关系就能快速求解。
【难度系数】
0.6
15 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AE=3$，$BF=4$，正方形$DEFG$内接于$△ ABC$，则正方形的边长为
$2\sqrt{3}$
。答案
15.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先观察图形，Rt△ABC中内接正方形DEFG，我们可以通过角的等量代换找到相似三角形：∠A与∠B互余，∠A与∠ADE也互余，因此∠ADE=∠B，结合两个直角相等，可证△ADE∽△GBF。接下来设正方形边长为x，利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求解边长。
【解析】
解：设正方形DEFG的边长为$ x $，则$ DE = FG = x $，且$ ∠ AED = ∠ GFB = 90° $。
∵ 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ACB = 90° $，
∴ $ ∠ A + ∠ B = 90° $，
又
∵ 在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，$ ∠ A + ∠ ADE = 90° $，
∴ $ ∠ ADE = ∠ B $，
∴ $ △ ADE ∽ △ GBF $（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：$ \frac{AE}{GF} = \frac{DE}{BF} $，
代入$ AE=3 $，$ BF=4 $，得$ \frac{3}{x} = \frac{x}{4} $，
整理得$ x^2 = 12 $，
∵ 边长为正数，
∴ $ x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用，核心是通过等角代换找到相似三角形，再利用对应边成比例建立方程求解，掌握角的互余关系推导等角的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先观察图形，Rt△ABC中内接正方形DEFG，我们可以通过角的等量代换找到相似三角形：∠A与∠B互余，∠A与∠ADE也互余，因此∠ADE=∠B，结合两个直角相等，可证△ADE∽△GBF。接下来设正方形边长为x，利用相似三角形对应边成比例列方程，即可求解边长。
【解析】
解：设正方形DEFG的边长为$ x $，则$ DE = FG = x $，且$ ∠ AED = ∠ GFB = 90° $。
∵ 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ACB = 90° $，
∴ $ ∠ A + ∠ B = 90° $，
又
∵ 在$ \mathrm{Rt}△ ADE $中，$ ∠ A + ∠ ADE = 90° $，
∴ $ ∠ ADE = ∠ B $，
∴ $ △ ADE ∽ △ GBF $（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：$ \frac{AE}{GF} = \frac{DE}{BF} $，
代入$ AE=3 $，$ BF=4 $，得$ \frac{3}{x} = \frac{x}{4} $，
整理得$ x^2 = 12 $，
∵ 边长为正数，
∴ $ x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $。
【答案】
$ 2\sqrt{3} $
【知识点】
相似三角形的判定与性质，正方形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型应用，核心是通过等角代换找到相似三角形，再利用对应边成比例建立方程求解，掌握角的互余关系推导等角的技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.6
16 如图,在矩形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米,点P沿AB边从点A开始向点B以每秒2厘米的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以每秒1厘米的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动时间(0≤t≤6),那么,当t=
1.2或3
秒时,以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似。答案
16.1.2或3
解析
【分析】
本题为矩形背景下的动点相似问题，首先根据矩形性质可知△QAP和△ABC均为直角三角形，直角对应相等，因此相似需分两种对应边成比例的情况讨论：第一步先根据动点的速度和运动时间，用含t的代数式表示出AQ、AP的长度；第二步分两种相似对应关系列比例方程；第三步解方程后结合t的取值范围0≤t≤6验证解是否合理，最终得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=6cm，AB=12cm
由运动规律得：$DQ = t\ \mathrm{cm}$，$AP = 2t\ \mathrm{cm}$
∴$AQ = AD - DQ = (6 - t)\ \mathrm{cm}$
∵以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC均为直角三角形，直角对应相等，因此分两种相似情况：
① 当$△ QAP ∽ △ CBA$时，对应边成比例：$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BA}$
代入数值：$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$
化简得：$6-t=t$，解得$t=3$，符合$0≤t≤6$的取值范围。
② 当$△ QAP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{BC}$
代入数值：$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$
化简得：$6-t=4t$，解得$t=1.2$，符合$0≤t≤6$的取值范围。
综上，t的值为1.2或3。
【答案】
1.2或3
【知识点】
相似三角形的判定，矩形的性质，动点问题求解
【点评】
本题是相似三角形与动点结合的常考题型，解题关键是明确直角三角形相似时的两种对应边关系，避免漏解，同时要注意验证所求结果是否符合动点的运动范围。
【难度系数】
0.6
本题为矩形背景下的动点相似问题，首先根据矩形性质可知△QAP和△ABC均为直角三角形，直角对应相等，因此相似需分两种对应边成比例的情况讨论：第一步先根据动点的速度和运动时间，用含t的代数式表示出AQ、AP的长度；第二步分两种相似对应关系列比例方程；第三步解方程后结合t的取值范围0≤t≤6验证解是否合理，最终得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC=6cm，AB=12cm
由运动规律得：$DQ = t\ \mathrm{cm}$，$AP = 2t\ \mathrm{cm}$
∴$AQ = AD - DQ = (6 - t)\ \mathrm{cm}$
∵以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC均为直角三角形，直角对应相等，因此分两种相似情况：
① 当$△ QAP ∽ △ CBA$时，对应边成比例：$\frac{AQ}{BC}=\frac{AP}{BA}$
代入数值：$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{12}$
化简得：$6-t=t$，解得$t=3$，符合$0≤t≤6$的取值范围。
② 当$△ QAP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：$\frac{AQ}{AB}=\frac{AP}{BC}$
代入数值：$\frac{6-t}{12}=\frac{2t}{6}$
化简得：$6-t=4t$，解得$t=1.2$，符合$0≤t≤6$的取值范围。
综上，t的值为1.2或3。
【答案】
1.2或3
【知识点】
相似三角形的判定，矩形的性质，动点问题求解
【点评】
本题是相似三角形与动点结合的常考题型，解题关键是明确直角三角形相似时的两种对应边关系，避免漏解，同时要注意验证所求结果是否符合动点的运动范围。
【难度系数】
0.6
17 从三角形(非等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形。如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫作这个三角形的完美分割线。如图，在△ABC中，DB=1，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为
第17题图
1.5
。第17题图答案
17.1.5
解析
【分析】
首先理解“完美分割线”的定义：分割后一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似。本题已知△ACD是以CD为底边的等腰三角形，可得AC=AD，且另一个小三角形△BCD与原△ABC相似。观察到∠B是△BCD和△BAC的公共角，可确定相似三角形的对应关系，再通过对应边成比例列方程，先求出AC的长度，最终计算出CD的长。
【解析】
解：
∵CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形
∴AC=AD，△BCD∽△BAC
∵∠B是△BCD和△BAC的公共角
∴两三角形的对应边成比例：$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{AC}$
设AD=AC=x，则BA=BD+AD=1+x
将BC=2，BD=1代入$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$得：
$\frac{2}{1+x}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$1+x=4$，解得$x=3$，即AC=3
再将AC=3，BD=1，BC=2代入$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{AC}$得：
$\frac{1}{2}=\frac{CD}{3}$
解得$CD=\frac{3}{2}=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；比例运算
【点评】
本题属于新定义类几何题，解题的核心是准确理解新定义的内涵，结合已知条件确定等腰三角形的边的关系以及相似三角形的对应关系，再通过比例式计算未知线段长度，考察了对新知识的迁移应用能力和基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
首先理解“完美分割线”的定义：分割后一个小三角形为等腰三角形，另一个小三角形与原三角形相似。本题已知△ACD是以CD为底边的等腰三角形，可得AC=AD，且另一个小三角形△BCD与原△ABC相似。观察到∠B是△BCD和△BAC的公共角，可确定相似三角形的对应关系，再通过对应边成比例列方程，先求出AC的长度，最终计算出CD的长。
【解析】
解：
∵CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形
∴AC=AD，△BCD∽△BAC
∵∠B是△BCD和△BAC的公共角
∴两三角形的对应边成比例：$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{AC}$
设AD=AC=x，则BA=BD+AD=1+x
将BC=2，BD=1代入$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$得：
$\frac{2}{1+x}=\frac{1}{2}$
交叉相乘得：$1+x=4$，解得$x=3$，即AC=3
再将AC=3，BD=1，BC=2代入$\frac{BD}{BC}=\frac{CD}{AC}$得：
$\frac{1}{2}=\frac{CD}{3}$
解得$CD=\frac{3}{2}=1.5$
【答案】
1.5
【知识点】
相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；比例运算
【点评】
本题属于新定义类几何题，解题的核心是准确理解新定义的内涵，结合已知条件确定等腰三角形的边的关系以及相似三角形的对应关系，再通过比例式计算未知线段长度，考察了对新知识的迁移应用能力和基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
