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18 如图，已知$AB // DC$，$AC // DE$。如果$S_{△ ABC}=9$，$S_{△ DCE}=4$，那么$S_{△ ACD}=$
6
。答案
18.6
解析
【分析】解题思路：首先利用两组平行线得到相等的同位角，证明△ABC与△DCE相似；再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，求出两三角形对应边的比；最后结合平行线得到的相等内错角，利用三角形面积公式建立△ACD与△DCE的面积比例关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because AB// DC$，$AC// DE$
$\therefore ∠ B=∠ DCE$，$∠ ACB=∠ E$
$\therefore △ ABC ∽ △ DCE$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DCE}}=(\frac{AC}{DE})^2$
将$S_{△ ABC}=9$，$S_{△ DCE}=4$代入得：
$\frac{9}{4}=(\frac{AC}{DE})^2$，解得$\frac{AC}{DE}=\frac{3}{2}$（边长为正，舍去负解）
$\because AC// DE$
$\therefore ∠ ACD=∠ CDE$
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（$θ$为边$a$、$b$的夹角）：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· CD· \sin∠ ACD$
$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}· CD· DE· \sin∠ CDE$
$\because ∠ ACD=∠ CDE$，$\therefore \sin∠ ACD=\sin∠ CDE$
$\therefore \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ DCE}}=\frac{AC}{DE}=\frac{3}{2}$
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{3}{2}×4=6$
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】本题是相似三角形的典型应用题型，需要先通过平行线构造相似三角形得到边长比例，再结合面积的比例关系求解，解题时要注意相似三角形的面积比与相似比的平方对应，不要混淆比例关系。
【难度系数】0.6
【解析】
解：$\because AB// DC$，$AC// DE$
$\therefore ∠ B=∠ DCE$，$∠ ACB=∠ E$
$\therefore △ ABC ∽ △ DCE$
根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DCE}}=(\frac{AC}{DE})^2$
将$S_{△ ABC}=9$，$S_{△ DCE}=4$代入得：
$\frac{9}{4}=(\frac{AC}{DE})^2$，解得$\frac{AC}{DE}=\frac{3}{2}$（边长为正，舍去负解）
$\because AC// DE$
$\therefore ∠ ACD=∠ CDE$
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sinθ$（$θ$为边$a$、$b$的夹角）：
$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· CD· \sin∠ ACD$
$S_{△ DCE}=\frac{1}{2}· CD· DE· \sin∠ CDE$
$\because ∠ ACD=∠ CDE$，$\therefore \sin∠ ACD=\sin∠ CDE$
$\therefore \frac{S_{△ ACD}}{S_{△ DCE}}=\frac{AC}{DE}=\frac{3}{2}$
$\therefore S_{△ ACD}=\frac{3}{2}×4=6$
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形面积计算
【点评】本题是相似三角形的典型应用题型，需要先通过平行线构造相似三角形得到边长比例，再结合面积的比例关系求解，解题时要注意相似三角形的面积比与相似比的平方对应，不要混淆比例关系。
【难度系数】0.6
19 一绿化地带是腰长为 40 米的等腰三角形,一地下水管沿此三角形一腰的垂直平分线进行地下铺设,水管经过绿化地带的长度是 15 米,由此判断这块绿化地带的面积是
第18题图 第20题图
480或768
平方米。第18题图 第20题图
答案
19.480或768 [提示:若为钝角三角形,高在形外。]
解析
【分析】
解题时需先明确绿化地带为腰长40m的等腰三角形，结合等腰三角形顶角的类型分两种情况讨论：①先根据垂直平分线的性质得到腰的一半长度为20m，结合垂直平分线在三角形内的线段长15m，用勾股定理求出所在直角三角形的斜边长；②再通过公共角+直角的条件判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质求出等腰三角形的高，最后代入三角形面积公式计算即可。注意钝角等腰三角形的高对应的位置，避免漏解。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC=40\mathrm{m}$，分两种情况求解：
情况1：顶角$∠ A$为锐角
取$AB$的中点$D$，作$AB$的垂直平分线$DE$，交$AC$于点$E$，由题意得$DE=15\mathrm{m}$，$AD=BD=\frac{1}{2}AB=20\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25\mathrm{m}$
过点$C$作$CF⊥ AB$于点$F$，$\because∠ A=∠ A$，$∠ ADE=∠ AFC=90°$，$\therefore△ ADE∽△ AFC$。
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{CF}$，代入数据：
$\frac{25}{40}=\frac{15}{CF}$，解得$CF=24\mathrm{m}$
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF=\frac{1}{2}×40×24=480\mathrm{m}^2$。
情况2：顶角$∠ A$为钝角
取$AB$的中点$D$，作$AB$的垂直平分线$DE$，交$BC$于点$E$，由题意得$DE=15\mathrm{m}$，$BD=20\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25\mathrm{m}$
过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，$\because∠ B=∠ B$，$∠ BDE=∠ BHA=90°$，$\therefore△ BDE∽△ BHA$。
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，代入$BA=40\mathrm{m}$：
$\frac{25}{40}=\frac{15}{AH}=\frac{20}{BH}$，解得$AH=24\mathrm{m}$，$BH=32\mathrm{m}$
$\because AB=AC$，$AH⊥ BC$，$\therefore BC=2BH=64\mathrm{m}$
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AH=\frac{1}{2}×64×24=768\mathrm{m}^2$。
【答案】
$480$或$768$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时需结合等腰三角形顶角的不同类型分别构造图形，结合垂直平分线和相似三角形的性质求解，容易遗漏顶角为钝角的情况导致漏解，需注意验证图形的合理性。
【难度系数】
0.6
解题时需先明确绿化地带为腰长40m的等腰三角形，结合等腰三角形顶角的类型分两种情况讨论：①先根据垂直平分线的性质得到腰的一半长度为20m，结合垂直平分线在三角形内的线段长15m，用勾股定理求出所在直角三角形的斜边长；②再通过公共角+直角的条件判定两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质求出等腰三角形的高，最后代入三角形面积公式计算即可。注意钝角等腰三角形的高对应的位置，避免漏解。
【解析】
设等腰三角形为$△ ABC$，$AB=AC=40\mathrm{m}$，分两种情况求解：
情况1：顶角$∠ A$为锐角
取$AB$的中点$D$，作$AB$的垂直平分线$DE$，交$AC$于点$E$，由题意得$DE=15\mathrm{m}$，$AD=BD=\frac{1}{2}AB=20\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25\mathrm{m}$
过点$C$作$CF⊥ AB$于点$F$，$\because∠ A=∠ A$，$∠ ADE=∠ AFC=90°$，$\therefore△ ADE∽△ AFC$。
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{CF}$，代入数据：
$\frac{25}{40}=\frac{15}{CF}$，解得$CF=24\mathrm{m}$
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF=\frac{1}{2}×40×24=480\mathrm{m}^2$。
情况2：顶角$∠ A$为钝角
取$AB$的中点$D$，作$AB$的垂直平分线$DE$，交$BC$于点$E$，由题意得$DE=15\mathrm{m}$，$BD=20\mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$BE=\sqrt{BD^2+DE^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25\mathrm{m}$
过点$A$作$AH⊥ BC$于点$H$，$\because∠ B=∠ B$，$∠ BDE=∠ BHA=90°$，$\therefore△ BDE∽△ BHA$。
根据相似三角形对应边成比例得$\frac{BE}{BA}=\frac{DE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，代入$BA=40\mathrm{m}$：
$\frac{25}{40}=\frac{15}{AH}=\frac{20}{BH}$，解得$AH=24\mathrm{m}$，$BH=32\mathrm{m}$
$\because AB=AC$，$AH⊥ BC$，$\therefore BC=2BH=64\mathrm{m}$
此时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AH=\frac{1}{2}×64×24=768\mathrm{m}^2$。
【答案】
$480$或$768$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题时需结合等腰三角形顶角的不同类型分别构造图形，结合垂直平分线和相似三角形的性质求解，容易遗漏顶角为钝角的情况导致漏解，需注意验证图形的合理性。
【难度系数】
0.6
20 如图,在矩形ABCD中,E是AD上一点,把△ABE沿直线BE翻折,点A正好落在BC边上的点F处,如果四边形CDEF和矩形ABCD相似,那么四边形CDEF和矩形ABCD面积比是
$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
。答案
20.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ [提示:由相似可得$AE^2=AD·ED$,可知点E为线段AD的黄金分割点。]
解析
【分析】
解决本题首先利用翻折的性质得到边的等量关系，判断出四边形ABFE为正方形，将各边用参数表示后，结合相似多边形对应边成比例的性质建立边长的方程，最后求出面积比即可。第一步，根据翻折的全等性质及矩形的内角特征，可得AB=AE；第二步，设矩形ABCD的长为a、宽为b，用a、b表示出四边形CDEF的相邻边长；第三步，根据相似多边形对应边成比例列等式，求出边长的比值，进而推导面积比。
【解析】
由翻折的性质可得△ABE≌△FBE，因此AB=BF，AE=EF，∠A=∠BFE=90°。
∵矩形ABCD中∠A=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，又AB=BF，
∴四边形ABFE是正方形，即AB=AE。
设矩形ABCD的长AD=BC=a，宽AB=CD=b，则AE=AB=b，
∴DE=AD-AE=a-b，FC=BC-BF=a-b。
∵四边形CDEF是矩形，且与矩形ABCD相似，
∴相似多边形对应边成比例，即$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{AB}$，
代入边长得$\frac{b}{a}=\frac{a-b}{b}$，
交叉相乘整理得$a^2 -ab -b^2=0$。
四边形CDEF与矩形ABCD的面积比为：
$\frac{S_{CDEF}}{S_{ABCD}}=\frac{CD·DE}{AB·AD}=\frac{b(a-b)}{ab}=\frac{a-b}{a}$。
设$k=\frac{b}{a}(k＞0)$，将$a^2 -ab -b^2=0$两边同除以$a^2$得：
$1 -k -k^2=0$，
解得$k=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，舍去负根，得$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
因此$\frac{a-b}{a}=1 -k=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
翻折的性质；相似多边形的性质；黄金分割
【点评】
本题综合考查图形的翻折变换、矩形的判定与性质、相似多边形的性质，解题的关键是找准相似多边形的对应边，建立边长的比例关系，通过设参数的方法简化计算，要注意舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.6
解决本题首先利用翻折的性质得到边的等量关系，判断出四边形ABFE为正方形，将各边用参数表示后，结合相似多边形对应边成比例的性质建立边长的方程，最后求出面积比即可。第一步，根据翻折的全等性质及矩形的内角特征，可得AB=AE；第二步，设矩形ABCD的长为a、宽为b，用a、b表示出四边形CDEF的相邻边长；第三步，根据相似多边形对应边成比例列等式，求出边长的比值，进而推导面积比。
【解析】
由翻折的性质可得△ABE≌△FBE，因此AB=BF，AE=EF，∠A=∠BFE=90°。
∵矩形ABCD中∠A=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE是矩形，又AB=BF，
∴四边形ABFE是正方形，即AB=AE。
设矩形ABCD的长AD=BC=a，宽AB=CD=b，则AE=AB=b，
∴DE=AD-AE=a-b，FC=BC-BF=a-b。
∵四边形CDEF是矩形，且与矩形ABCD相似，
∴相似多边形对应边成比例，即$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{AB}$，
代入边长得$\frac{b}{a}=\frac{a-b}{b}$，
交叉相乘整理得$a^2 -ab -b^2=0$。
四边形CDEF与矩形ABCD的面积比为：
$\frac{S_{CDEF}}{S_{ABCD}}=\frac{CD·DE}{AB·AD}=\frac{b(a-b)}{ab}=\frac{a-b}{a}$。
设$k=\frac{b}{a}(k＞0)$，将$a^2 -ab -b^2=0$两边同除以$a^2$得：
$1 -k -k^2=0$，
解得$k=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，舍去负根，得$k=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
因此$\frac{a-b}{a}=1 -k=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
翻折的性质；相似多边形的性质；黄金分割
【点评】
本题综合考查图形的翻折变换、矩形的判定与性质、相似多边形的性质，解题的关键是找准相似多边形的对应边，建立边长的比例关系，通过设参数的方法简化计算，要注意舍去不符合实际意义的负根。
【难度系数】
0.6
21 如图，矩形$A'B'C'D'$在矩形$ABCD$的内部，$AB // A'B'$，$AD // A'D'$，且$AD=12$，$AB=6$，设$AB$与$A'B'$、$BC$与$B'C'$、$CD$与$C'D'$、$DA$与$D'A'$之间的距离分别为$a$、$b$、$c$、$d$，当$a = b = c = d = 2$，矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$相似吗？为什么？
答案
21 不相似。理由如下:当a=b=c=d=2时,因为AD=12,AB=6,所以A'D'=12-2×2=8,A'B'=6-2×2=2。因为$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$,而$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3$,因为$\frac{3}{2}≠3$,所以矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似。
解析
【分析】
要判断两个矩形是否相似，首先明确相似多边形的判定条件为：对应角相等，且对应边成比例。由于矩形的四个内角都是直角，因此两个矩形的对应角已经满足相等的要求，仅需要验证对应边是否成比例即可。解题时首先根据大矩形的边长和各边的间距，计算出小矩形的长和宽，再分别计算大、小矩形对应长的比值、对应宽的比值，若两个比值相等则两矩形相似，否则不相似。
【解析】
解：先计算矩形$A'B'C'D'$的边长：
已知大矩形$AD=12$，水平方向左右间距$a=2$、$c=2$，因此小矩形的长$A'D'=AD - a - c=12-2-2=8$；
已知大矩形$AB=6$，竖直方向上下间距$d=2$、$b=2$，因此小矩形的宽$A'B'=AB - d - b=6-2-2=2$。
再计算对应边的比值：
$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3$。
因为$\frac{3}{2}≠3$，即两个矩形的对应边不成比例，因此矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似。
【答案】
不相似，理由：当$a=b=c=d=2$时，$A'D'=12-2×2=8$，$A'B'=6-2×2=2$，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3$，$\frac{3}{2}≠3$，对应边不成比例，故两个矩形不相似。
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题是相似多边形判定的基础应用题，需要注意矩形仅满足对应角相等不能判定相似，必须同时满足对应边成比例才是相似多边形，解题时不要遗漏对应边比例的验证步骤。
【难度系数】
0.8
要判断两个矩形是否相似，首先明确相似多边形的判定条件为：对应角相等，且对应边成比例。由于矩形的四个内角都是直角，因此两个矩形的对应角已经满足相等的要求，仅需要验证对应边是否成比例即可。解题时首先根据大矩形的边长和各边的间距，计算出小矩形的长和宽，再分别计算大、小矩形对应长的比值、对应宽的比值，若两个比值相等则两矩形相似，否则不相似。
【解析】
解：先计算矩形$A'B'C'D'$的边长：
已知大矩形$AD=12$，水平方向左右间距$a=2$、$c=2$，因此小矩形的长$A'D'=AD - a - c=12-2-2=8$；
已知大矩形$AB=6$，竖直方向上下间距$d=2$、$b=2$，因此小矩形的宽$A'B'=AB - d - b=6-2-2=2$。
再计算对应边的比值：
$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3$。
因为$\frac{3}{2}≠3$，即两个矩形的对应边不成比例，因此矩形$A'B'C'D'$和矩形$ABCD$不相似。
【答案】
不相似，理由：当$a=b=c=d=2$时，$A'D'=12-2×2=8$，$A'B'=6-2×2=2$，$\frac{AD}{A'D'}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{6}{2}=3$，$\frac{3}{2}≠3$，对应边不成比例，故两个矩形不相似。
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题是相似多边形判定的基础应用题，需要注意矩形仅满足对应角相等不能判定相似，必须同时满足对应边成比例才是相似多边形，解题时不要遗漏对应边比例的验证步骤。
【难度系数】
0.8
22 如图,点 D 为$△ ABC$ 的边AB 上的一点,连接 CD,过点 B 作$BE // AC$交CD 的延长线于点 E,且$∠ ACD = ∠ DBC$, $S_{△ ADC}: S_{△ BED}=4:9$, $AB=10$, 求AC 的长。
答案
22 因为AC // BE,所以△ADC ∽ △BDE,所以$(\frac{AD}{BD})^2=\frac{S_{△ADC}}{S_{△BDE}}$。因为$\frac{S_{△ADC}}{S_{△BDE}}=\frac{4}{9}$,所以$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$。因为AB=10,所以AD=4。因为∠ACD=∠DBC,∠CAD=∠BAC,所以△ADC ∽ △ACB,所以$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$,所以$\frac{AC}{10}=\frac{4}{AC}$,所以$AC=2\sqrt{10}$。
解析
【分析】
解题时首先根据已知的$BE// AC$，可得到$△ ADC$与$△ BDE$相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知的面积比求出$AD$与$BD$的比值，再结合$AB$的长度算出$AD$的长；接下来观察到$∠ ACD=∠ DBC$，且$∠ A$是$△ ADC$和$△ ACB$的公共角，可判定这两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出$AC$的长度。
【解析】
解：$\because BE// AC$，
$\therefore △ ADC ∽ △ BDE$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$(\frac{AD}{BD})^2=\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BDE}}$，
$\because \frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BDE}}=\frac{4}{9}$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，
又$\because AB=AD+BD=10$，
$\therefore AD=10×\frac{2}{2+3}=4$，
$\because ∠ ACD=∠ DBC$，$∠ CAD=∠ BAC$（公共角），
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AB· AD$，
代入$AB=10$，$AD=4$，得$AC^2=10×4=40$，
$\because AC$为线段长度，取正值，
$\therefore AC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题的核心是合理利用平行、公共角、等角条件两次判定三角形相似，再结合相似的性质推导线段比例关系求解，需要熟练掌握相似的判定定理与性质，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题时首先根据已知的$BE// AC$，可得到$△ ADC$与$△ BDE$相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，由已知的面积比求出$AD$与$BD$的比值，再结合$AB$的长度算出$AD$的长；接下来观察到$∠ ACD=∠ DBC$，且$∠ A$是$△ ADC$和$△ ACB$的公共角，可判定这两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例列方程即可求出$AC$的长度。
【解析】
解：$\because BE// AC$，
$\therefore △ ADC ∽ △ BDE$，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得$(\frac{AD}{BD})^2=\frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BDE}}$，
$\because \frac{S_{△ ADC}}{S_{△ BDE}}=\frac{4}{9}$，
$\therefore \frac{AD}{BD}=\frac{2}{3}$，
又$\because AB=AD+BD=10$，
$\therefore AD=10×\frac{2}{2+3}=4$，
$\because ∠ ACD=∠ DBC$，$∠ CAD=∠ BAC$（公共角），
$\therefore △ ADC ∽ △ ACB$，
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AB· AD$，
代入$AB=10$，$AD=4$，得$AC^2=10×4=40$，
$\because AC$为线段长度，取正值，
$\therefore AC=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，比例运算
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题的核心是合理利用平行、公共角、等角条件两次判定三角形相似，再结合相似的性质推导线段比例关系求解，需要熟练掌握相似的判定定理与性质，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
