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23 如图，点 D 是△ABC 的边 BC 上的点，∠BAD=∠C，BE 是△ABC 的角平分线，交 AD 于点 F，BD=1，CD=3，求 BF:BE。
答案
23 因为在△ABD和△CBA中,∠BAD=∠C,∠ABD=∠CBA,所以△ABD ∽ △CBA。从而有AB:BC=BD:AB。而BD=1,CD=3,BC=4,则AB:4=1:AB,解得AB=2。由于BE是△ABC的角平分线,可证△ABF ∽ △CBE,所以BF:BE=AB:BC=2:4=1:2。
解析
【分析】
解题时首先从已知角相等的条件入手，先观察到△ABD和△CBA有公共角∠ABD=∠CBA，结合已知∠BAD=∠C，可利用两角分别相等证明两个三角形相似，通过相似三角形对应边成比例求出AB的长度；再结合BE是角平分线的条件，得到∠ABF=∠CBE，再次利用两角分别相等证明△ABF和△CBE相似，最后通过相似三角形对应边成比例即可求出BF与BE的比值。
【解析】
解：在$△ ABD$和$△ CBA$中：
$\because ∠ BAD=∠ C$，$∠ ABD=∠ CBA$（公共角）
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$
已知$BD=1$，$CD=3$，则$BC=BD+CD=1+3=4$，代入比例式得：
$\frac{AB}{4}=\frac{1}{AB}$，解得$AB^2=4$，$AB=2$（边长为正数，舍去负解）。
$\because BE$是$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠ ABF=∠ CBE$
又$\because ∠ BAF=∠ C$（已知）
$\therefore △ ABF ∽ △ CBE$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{BF}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$BF:BE=1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的常考基础题型，解题关键是充分利用已知的等角条件、公共角以及角平分线的隐含等角条件，两次证明三角形相似，结合比例式求解对应线段比，需要注意相似三角形对应边的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知角相等的条件入手，先观察到△ABD和△CBA有公共角∠ABD=∠CBA，结合已知∠BAD=∠C，可利用两角分别相等证明两个三角形相似，通过相似三角形对应边成比例求出AB的长度；再结合BE是角平分线的条件，得到∠ABF=∠CBE，再次利用两角分别相等证明△ABF和△CBE相似，最后通过相似三角形对应边成比例即可求出BF与BE的比值。
【解析】
解：在$△ ABD$和$△ CBA$中：
$\because ∠ BAD=∠ C$，$∠ ABD=∠ CBA$（公共角）
$\therefore △ ABD ∽ △ CBA$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}$
已知$BD=1$，$CD=3$，则$BC=BD+CD=1+3=4$，代入比例式得：
$\frac{AB}{4}=\frac{1}{AB}$，解得$AB^2=4$，$AB=2$（边长为正数，舍去负解）。
$\because BE$是$△ ABC$的角平分线，$\therefore ∠ ABF=∠ CBE$
又$\because ∠ BAF=∠ C$（已知）
$\therefore △ ABF ∽ △ CBE$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{BF}{BE}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，即$BF:BE=1:2$。
【答案】
$1:2$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相似三角形的常考基础题型，解题关键是充分利用已知的等角条件、公共角以及角平分线的隐含等角条件，两次证明三角形相似，结合比例式求解对应线段比，需要注意相似三角形对应边的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
24 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点D是边BC的中点，连接AD，过点C作$CE ⊥ AD$于点E，连接BE。
（1）求证：$BD^2 = DE · AD$。
（2）如果$∠ ABC = ∠ DCE$，求证：$BD · CE = BE · DE$。
（1）求证：$BD^2 = DE · AD$。
（2）如果$∠ ABC = ∠ DCE$，求证：$BD · CE = BE · DE$。
答案
24 (1) 由于CE ⊥ AD,则∠CED=∠ACB=90°。而∠CDE=∠ADC,所以△CDE ∽ △ADC,从而有$\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}$,所以$CD^2=DE·DA$。而DB=CD,所以$BD^2=DE·DA$。
(2) 由$BD^2=DE·DA$,得$\frac{BD}{DE}=\frac{DA}{BD}$,而∠BDE=∠ADB,则△BDE ∽ △ADB,所以∠DEB=∠ABC。而∠ABD=∠ECD,所以∠BED=∠BCE,而∠EBD=∠CBE,所以△EBD ∽ △CBE,从而有$\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{CE}$,所以$BD·CE=BE·DE$。
(2) 由$BD^2=DE·DA$,得$\frac{BD}{DE}=\frac{DA}{BD}$,而∠BDE=∠ADB,则△BDE ∽ △ADB,所以∠DEB=∠ABC。而∠ABD=∠ECD,所以∠BED=∠BCE,而∠EBD=∠CBE,所以△EBD ∽ △CBE,从而有$\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{CE}$,所以$BD·CE=BE·DE$。
解析
【分析】
（1）要证明等积式$BD^2 = DE · AD$，通常先将其转化为比例式$\frac{BD}{AD}=\frac{DE}{BD}$，结合D是BC中点的条件可得$BD=CD$，因此只需证明$CD^2=DE·AD$，即证明包含CD、DE、AD的两个三角形相似：由$CE⊥AD$和$∠ACB=90°$可得到两组相等的角，即可证$△ CDE ∽ △ ADC$，进而得到对应边成比例，推导得出结论。
（2）要证明$BD · CE = BE · DE$，同样先转化为比例式$\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{CE}$，需证明对应三角形相似：先利用（1）的结论证$△ BDE ∽ △ ADB$，得到角相等的关系，结合已知$∠ABC = ∠DCE$推导角的等量关系，再证$△ EBD ∽ △ CBE$，即可得到所需比例式，整理后得到结论。
【解析】
（1）证明：
∵ $CE ⊥ AD$，$∠ACB=90°$，
∴ $∠CED=∠ACB=90°$，
又
∵ $∠CDE=∠ADC$（公共角），
∴ $△ CDE ∽ △ ADC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}$，即$CD^2=DE·AD$，
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=CD$，
∴ $BD^2=DE·AD$。
（2）证明：
由（1）得$BD^2=DE·AD$，变形得$\frac{BD}{DE}=\frac{AD}{BD}$，
又
∵ $∠BDE=∠ADB$（公共角），
∴ $△ BDE ∽ △ ADB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠DEB=∠ABC$，
∵ $∠ABC=∠DCE$，
∴ $∠DEB=∠DCE$，
又
∵ $∠EBD=∠CBE$（公共角），
∴ $△ EBD ∽ △ CBE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{CE}$，交叉相乘得$BD·CE=BE·DE$。
【答案】
（1）$BD^2 = DE · AD$得证；（2）$BD · CE = BE · DE$得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型题型，核心解题思路是将等积式转化为比例式，再结合已知的垂直、公共角、等角条件寻找对应相似三角形，对逻辑推理能力和几何条件转化能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.65
（1）要证明等积式$BD^2 = DE · AD$，通常先将其转化为比例式$\frac{BD}{AD}=\frac{DE}{BD}$，结合D是BC中点的条件可得$BD=CD$，因此只需证明$CD^2=DE·AD$，即证明包含CD、DE、AD的两个三角形相似：由$CE⊥AD$和$∠ACB=90°$可得到两组相等的角，即可证$△ CDE ∽ △ ADC$，进而得到对应边成比例，推导得出结论。
（2）要证明$BD · CE = BE · DE$，同样先转化为比例式$\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{CE}$，需证明对应三角形相似：先利用（1）的结论证$△ BDE ∽ △ ADB$，得到角相等的关系，结合已知$∠ABC = ∠DCE$推导角的等量关系，再证$△ EBD ∽ △ CBE$，即可得到所需比例式，整理后得到结论。
【解析】
（1）证明：
∵ $CE ⊥ AD$，$∠ACB=90°$，
∴ $∠CED=∠ACB=90°$，
又
∵ $∠CDE=∠ADC$（公共角），
∴ $△ CDE ∽ △ ADC$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{DE}{CD}$，即$CD^2=DE·AD$，
∵ D是BC的中点，
∴ $BD=CD$，
∴ $BD^2=DE·AD$。
（2）证明：
由（1）得$BD^2=DE·AD$，变形得$\frac{BD}{DE}=\frac{AD}{BD}$，
又
∵ $∠BDE=∠ADB$（公共角），
∴ $△ BDE ∽ △ ADB$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $∠DEB=∠ABC$，
∵ $∠ABC=∠DCE$，
∴ $∠DEB=∠DCE$，
又
∵ $∠EBD=∠CBE$（公共角），
∴ $△ EBD ∽ △ CBE$（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{BD}{BE}=\frac{DE}{CE}$，交叉相乘得$BD·CE=BE·DE$。
【答案】
（1）$BD^2 = DE · AD$得证；（2）$BD · CE = BE · DE$得证。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形证明的典型题型，核心解题思路是将等积式转化为比例式，再结合已知的垂直、公共角、等角条件寻找对应相似三角形，对逻辑推理能力和几何条件转化能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.65
25 如图，AD是∠ABC的平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为点F、E，CF和EB相交于点P，连接AP。
（1）求证：$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$。
（2）若$S_{△ ABF}=4$，$S_{△ AEC}=9$，求$AP:EC$。
（1）求证：$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$。
（2）若$S_{△ ABF}=4$，$S_{△ AEC}=9$，求$AP:EC$。
答案
25 (1) 因为∠BAE=∠CAE,∠AFB=∠AEC=90°,所以△ABF ∽ △ACE,所以$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$。
(2) 因为△ABF ∽ △ACE,所以$\frac{S_{△ABF}}{S_{△AEC}}=(\frac{AF}{AE})^2$。因为$S_{△ABF}=4$,$S_{△AEC}=9$,所以$\frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}$,即$\frac{AF}{EF}=2$。因为∠DFB=∠AEC=90°,所以BF // EC,所以$\frac{BF}{EC}=\frac{PB}{PE}$。因为$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$,所以$\frac{AF}{AE}=\frac{PB}{PE}$,可证△EBF ∽ △EPA,可得AP // BF。因为BF // EC,所以EC // AP,所以$\frac{AP}{EC}=\frac{AF}{EF}=2$。
(2) 因为△ABF ∽ △ACE,所以$\frac{S_{△ABF}}{S_{△AEC}}=(\frac{AF}{AE})^2$。因为$S_{△ABF}=4$,$S_{△AEC}=9$,所以$\frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}$,即$\frac{AF}{EF}=2$。因为∠DFB=∠AEC=90°,所以BF // EC,所以$\frac{BF}{EC}=\frac{PB}{PE}$。因为$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$,所以$\frac{AF}{AE}=\frac{PB}{PE}$,可证△EBF ∽ △EPA,可得AP // BF。因为BF // EC,所以EC // AP,所以$\frac{AP}{EC}=\frac{AF}{EF}=2$。
解析
【分析】
（1）要证明比例式$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$，可通过证明对应三角形相似推导。已知AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAF=∠CAE，又BF、CE均垂直于AD，可得∠AFB=∠AEC=90°，即可判定△ABF∽△ACE，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
（2）先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知两个三角形的面积求出$\frac{AF}{AE}$的比值；再由BF和EC都垂直于AD判定BF//EC，结合平行线分线段成比例和第一问的结论，推导得到AP//BF，进而得到AP//EC，最后利用平行线分线段成比例即可求出AP与EC的比值。
【解析】
（1）证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠AFB=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$，得证。
（2）解：由（1）可知△ABF∽△ACE，
∴$\frac{S_{△ABF}}{S_{△AEC}}=(\frac{AF}{AE})^2$，
将$S_{△ABF}=4$，$S_{△AEC}=9$代入得$\frac{4}{9}=(\frac{AF}{AE})^2$，
∵线段长度为正，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AF}{EF}=2$。
∵∠AFB=∠AEC=90°，
∴BF//EC，
∴$\frac{BF}{EC}=\frac{PB}{PE}$，
结合（1）的结论$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$，可得$\frac{AF}{AE}=\frac{PB}{PE}$，
由此可证AP//BF，
又
∵BF//EC，
∴EC//AP，
∴$\frac{AP}{EC}=\frac{AF}{EF}=2$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$AP:EC=2$
【知识点】
相似三角形判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形面积与相似比关系
【点评】
本题综合考查了角平分线、垂直、相似三角形、平行线的相关知识，解题的关键是先判定三角形相似，再结合相似的性质和平行线的线段比例关系逐步推导，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明比例式$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$，可通过证明对应三角形相似推导。已知AD是∠BAC的角平分线，可得∠BAF=∠CAE，又BF、CE均垂直于AD，可得∠AFB=∠AEC=90°，即可判定△ABF∽△ACE，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
（2）先利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知两个三角形的面积求出$\frac{AF}{AE}$的比值；再由BF和EC都垂直于AD判定BF//EC，结合平行线分线段成比例和第一问的结论，推导得到AP//BF，进而得到AP//EC，最后利用平行线分线段成比例即可求出AP与EC的比值。
【解析】
（1）证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
∵BF⊥AD，CE⊥AD，
∴∠AFB=∠AEC=90°，
∴△ABF∽△ACE，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$，得证。
（2）解：由（1）可知△ABF∽△ACE，
∴$\frac{S_{△ABF}}{S_{△AEC}}=(\frac{AF}{AE})^2$，
将$S_{△ABF}=4$，$S_{△AEC}=9$代入得$\frac{4}{9}=(\frac{AF}{AE})^2$，
∵线段长度为正，
∴$\frac{AF}{AE}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AF}{EF}=2$。
∵∠AFB=∠AEC=90°，
∴BF//EC，
∴$\frac{BF}{EC}=\frac{PB}{PE}$，
结合（1）的结论$\frac{AF}{AE}=\frac{BF}{EC}$，可得$\frac{AF}{AE}=\frac{PB}{PE}$，
由此可证AP//BF，
又
∵BF//EC，
∴EC//AP，
∴$\frac{AP}{EC}=\frac{AF}{EF}=2$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$AP:EC=2$
【知识点】
相似三角形判定与性质；平行线分线段成比例；相似三角形面积与相似比关系
【点评】
本题综合考查了角平分线、垂直、相似三角形、平行线的相关知识，解题的关键是先判定三角形相似，再结合相似的性质和平行线的线段比例关系逐步推导，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
