26 在平面内,先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小,再将所得多边形沿过该点的直线翻折,我们称这种变换为自位似轴对称变换,变换前后的图形成自位似轴对称。
例如:如图①,先将△ABC以点A为位似中心缩小,得到△ADE,再将△ADE沿过点A的直线l翻折,得到△AFG,则△ABC与△AFG成自位似轴对称。
(1) 如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,AC ＜ BC,CD ⊥ AB,垂足为D,下列3对三角形:①△ABC与△ACD;②△BAC与△BCD;③△DAC与△DCB。其中成自位似轴对称的是。(填写所有符合条件的序号)
(2) 如图③,已知△ABC经过自位似轴对称变换得到△ADE,Q是DE上一点,用直尺和圆规作点P,使P与Q是该变换前后的对应点。(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(3) 如图④,在△ABC中,D是BC的中点,E是△ABC内一点,∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,连接DE,求证:DE // AC。

26 (1) ①②
(2) 如图①,分三步:第1步,分别在AC和AB上截取AE'=AE,AD'=AD;第2步,连接D'E',在D'E'上截取D'Q'=DQ;第3步,连接AQ'并延长交BC于P,则点P即为所求。
(3) 如图②,延长BE交AC于点F。因为∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,所以△ABE ∽ △ACD,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$。因为∠BAF=∠CAB,所以△ABF ∽ △ACB,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$。因为$\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}$,D是BC中点,所以BD=CD,所以$\frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}$,所以$\frac{BE}{BF}=\frac{BD}{BC}$。又因为∠DBE=∠CBF,所以△BDE ∽ △BCF,所以∠BDE=∠C,所以DE // AC。

【分析】
(1) 首先明确自位似轴对称的核心要求：两个图形有公共顶点（位似中心+翻折轴经过的点）、两图形相似、以该公共顶点为位似中心可完成位似变换，再沿过该点的直线翻折可重合。据此逐一判断三对三角形：①△ABC与△ACD共顶点A，共∠A且均为直角三角形，相似，满足位似+翻折的要求；②△BAC与△BCD共顶点B，共∠B且均为直角三角形，相似，满足要求；③△DAC与△DCB对应边不平行，无法以公共顶点D为位似中心变换，不符合要求。
(2) 作图思路：自位似轴对称的对应点连线均过公共顶点A，先作△ADE关于过A的对称轴的对称图形△AD'E'，该图形与△ABC位似，找到Q的对称点Q'后，延长AQ'与BC的交点即为对应点P。
(3) 证明思路：要证DE//AC，可证同位角∠BDE=∠C。通过延长BE交AC于F，先利用两组等角证△ABE∽△ACD、△ABF∽△ACB，得到边的比例关系，结合D是BC中点的条件，证△BDE∽△BCF，推导角相等即可得平行。
【解析】
(1) 根据自位似轴对称的定义判断：
①△ABC和△ACD：∠ACB=∠ADC=90°，∠A为公共角，故△ABC∽△ACD，公共顶点为A，以A为位似中心可将△ABC缩小得到△ACD，沿过A的直线翻折可使两图形对应，符合要求；
②△BAC和△BCD：∠ACB=∠CDB=90°，∠B为公共角，故△BAC∽△BCD，公共顶点为B，以B为位似中心可将△BAC缩小得到△BCD，沿过B的直线翻折可使两图形对应，符合要求；
③△DAC和△DCB：两三角形相似，但对应边DA与DC不平行，无法以公共顶点D为位似中心变换得到，不符合要求。
因此符合条件的为①②。
(2) 作图步骤：
第1步：以A为顶点，分别在AC和AB上截取AE'=AE，AD'=AD；
第2步：连接D'E'，在D'E'上截取D'Q'=DQ，得到Q关于过A的对称轴的对应点Q'；
第3步：连接AQ'并延长交BC于点P，点P即为所求。
(3) 证明：延长BE交AC于点F。
∵ ∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，
∴ △ABE ∽ △ACD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$。
又
∵ ∠ABF=∠C，∠BAF=∠CAB，
∴ △ABF ∽ △ACB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$。
联立得 $\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}$。
∵ D是BC中点，
∴ BD=CD，代入得 $\frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}$，即 $\frac{BE}{BF}=\frac{BD}{BC}$。
又
∵ ∠DBE=∠CBF（公共角），
∴ △BDE ∽ △BCF（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ ∠BDE=∠C，
∴ DE // AC（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) ①②
(2) 如图①,分三步:第1步,分别在AC和AB上截取AE'=AE,AD'=AD;第2步,连接D'E',在D'E'上截取D'Q'=DQ;第3步,连接AQ'并延长交BC于P,则点P即为所求。
(3) 如图②,延长BE交AC于点F。因为∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,所以△ABE ∽ △ACD,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$。因为∠BAF=∠CAB,所以△ABF ∽ △ACB,所以$\frac{AB}{AC}=\frac{BF}{BC}$。因为$\frac{BE}{CD}=\frac{BF}{BC}$,D是BC中点,所以BD=CD,所以$\frac{BE}{BD}=\frac{BF}{BC}$,所以$\frac{BE}{BF}=\frac{BD}{BC}$。又因为∠DBE=∠CBF,所以△BDE ∽ △BCF,所以∠BDE=∠C,所以DE // AC。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，位似图形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题为新定义综合题型，需先准确理解新变换的定义，结合位似、轴对称的性质解决基础问题；第三问需合理构造辅助线，多次运用相似的判定与性质推导边角关系，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.55