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1 下列命题中，说法正确的个数是(
① 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
② 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
③ 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
④ 两边对应成比例的两三角形相似。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。① 有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
② 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形一定相似；
③ 两个等腰三角形腰上的高和腰对应成比例，则这两个三角形必相似；
④ 两边对应成比例的两三角形相似。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要判断正确命题的个数，需结合相似三角形的判定定理，逐个分析4个说法是否成立：首先回忆相似三角形的常用判定定理（AA、SAS、SSS等），以及直角三角形、等腰三角形的特殊性质，对每个命题逐一验证，最后统计正确的数量即可。
【解析】
我们逐个分析命题：
1. 分析命题①：两个直角三角形的直角均为90°，若再有一个锐角相等，则两个三角形有两组角对应相等，符合相似三角形的“两角对应相等，两三角形相似”判定定理，因此这两个直角三角形一定相似，①正确。
2. 分析命题②：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形，根据“HL”定理可判定这两个三角形全等，而全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，因此这两个直角三角形一定相似，②正确。
3. 分析命题③：等腰三角形腰上的高与腰的比值等于其顶角的正弦值，若该比值相等，仅说明顶角的正弦值相等，顶角可能相等也可能互补（例如顶角为30°和150°的等腰三角形，正弦值均为$\frac{1}{2}$），此时两个三角形的角不对应相等，因此不一定相似，③错误。
4. 分析命题④：相似三角形的两边成比例判定要求“两边对应成比例且夹角相等”，仅两边对应成比例、没有夹角相等的条件，无法判定两三角形相似，④错误。
综上，正确的命题是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定、直角三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题围绕相似三角形的判定设置易错点，需要注意特殊三角形判定中的隐含条件，比如两边成比例需搭配夹角相等才能判定相似，等腰三角形中正弦值相等的角存在相等或互补两种可能，解题时不要遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.7
要判断正确命题的个数，需结合相似三角形的判定定理，逐个分析4个说法是否成立：首先回忆相似三角形的常用判定定理（AA、SAS、SSS等），以及直角三角形、等腰三角形的特殊性质，对每个命题逐一验证，最后统计正确的数量即可。
【解析】
我们逐个分析命题：
1. 分析命题①：两个直角三角形的直角均为90°，若再有一个锐角相等，则两个三角形有两组角对应相等，符合相似三角形的“两角对应相等，两三角形相似”判定定理，因此这两个直角三角形一定相似，①正确。
2. 分析命题②：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形，根据“HL”定理可判定这两个三角形全等，而全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，因此这两个直角三角形一定相似，②正确。
3. 分析命题③：等腰三角形腰上的高与腰的比值等于其顶角的正弦值，若该比值相等，仅说明顶角的正弦值相等，顶角可能相等也可能互补（例如顶角为30°和150°的等腰三角形，正弦值均为$\frac{1}{2}$），此时两个三角形的角不对应相等，因此不一定相似，③错误。
4. 分析命题④：相似三角形的两边成比例判定要求“两边对应成比例且夹角相等”，仅两边对应成比例、没有夹角相等的条件，无法判定两三角形相似，④错误。
综上，正确的命题是①②，共2个。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形判定、直角三角形性质、等腰三角形性质
【点评】
本题围绕相似三角形的判定设置易错点，需要注意特殊三角形判定中的隐含条件，比如两边成比例需搭配夹角相等才能判定相似，等腰三角形中正弦值相等的角存在相等或互补两种可能，解题时不要遗漏特殊情况。
【难度系数】
0.7
2 如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC的周长与△DEF的周长比是4:9，则OA与OD之比为（
A.2:3
B.1:2
C.1:3
D.4:9
D
）。A.2:3
B.1:2
C.1:3
D.4:9
答案
D
解析
【分析】
遇到位似图形相关的比值问题，首先回忆位似图形的核心性质：位似图形是特殊的相似图形，满足相似图形的所有性质，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。本题已知两个三角形的周长比，首先可利用相似三角形周长比等于相似比得到两个图形的相似比，再结合位似的性质即可求出OA与OD的比值。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，且二者的位似比等于相似比。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
已知△ABC与△DEF的周长比为4:9，可得△ABC与△DEF的相似比为4:9，即位似比为4:9。
又
∵位似图形中，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，点A和点D是一组对应点，
∴OA:OD = 位似比 = 4:9。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形周长与相似比的关系
【点评】
本题是基础类题型，重点考查位似和相似的基础性质，解题的关键是明确位似图形的相似比、周长比、对应点到位似中心的距离比三者之间的等量关系，避免混淆比例的前后项即可得分。
【难度系数】
0.8
遇到位似图形相关的比值问题，首先回忆位似图形的核心性质：位似图形是特殊的相似图形，满足相似图形的所有性质，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比（即相似比）。本题已知两个三角形的周长比，首先可利用相似三角形周长比等于相似比得到两个图形的相似比，再结合位似的性质即可求出OA与OD的比值。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，且二者的位似比等于相似比。
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
已知△ABC与△DEF的周长比为4:9，可得△ABC与△DEF的相似比为4:9，即位似比为4:9。
又
∵位似图形中，对应点到位似中心的距离之比等于位似比，点A和点D是一组对应点，
∴OA:OD = 位似比 = 4:9。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形周长与相似比的关系
【点评】
本题是基础类题型，重点考查位似和相似的基础性质，解题的关键是明确位似图形的相似比、周长比、对应点到位似中心的距离比三者之间的等量关系，避免混淆比例的前后项即可得分。
【难度系数】
0.8
3 如图,两条不平行的直线 $ l_1 $ 与直线 $ l_2 $ 相交于点 $ O $,四条平行线分别交直线 $ l_1 $ 于点 $ A、B、C、D $,分别交直线 $ l_2 $ 于点 $ A_1、B_1、C_1、D_1 $,则有 $ AA_1 // BB_1 // CC_1 // DD_1 $。如果 $ A_1O=3 $, $ OB_1=B_1C_1=2 $, $ C_1D_1=4 $,那么在下列结果中,线段长度之差最大的是(
A.$ BD - AB $
B.$ OC - OA $
C.$ OC - CD $
D.$ CD - OB $
D
)。A.$ BD - AB $
B.$ OC - OA $
C.$ OC - CD $
D.$ CD - OB $
答案
D
解析
【分析】
本题可利用平行线分线段成比例定理求解：首先观察图形，一组平行线被两条相交直线$l_1$、$l_2$所截，因此$l_1$和$l_2$上被截得的对应线段成比例。我们可以先根据$l_2$上已知的线段长度，得到$l_1$上各线段的比例关系，设参数表示$l_1$上各线段长度，再分别计算四个选项的线段差，比较大小即可得到结果。
【解析】
∵ $AA_1 // BB_1 // CC_1 // DD_1$
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{OA}{OA_1}=\frac{OB}{OB_1}=\frac{OC}{OC_1}=\frac{OD}{OD_1}$
已知$OA_1=3$，$OB_1=2$，$B_1C_1=2$，$C_1D_1=4$，因此：
$OC_1=OB_1+B_1C_1=2+2=4$，$OD_1=OC_1+C_1D_1=4+4=8$
设$\frac{OA}{3}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}=\frac{OD}{8}=k$（$k＞0$），则：
$OA=3k$，$OB=2k$，$OC=4k$，$OD=8k$
计算各线段长度：
$AB=OA+OB=3k+2k=5k$，$BD=OD-OB=8k-2k=6k$，$CD=OD-OC=8k-4k=4k$
分别计算各选项的差值：
A. $BD - AB=6k-5k=k$
B. $OC - OA=4k-3k=k$
C. $OC - CD=4k-4k=0$
D. $CD - OB=4k-2k=2k$
比较得$2k＞k＞0$，因此差值最大的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题侧重对平行线分线段成比例定理的基础应用，解题时通过设参数的方式统一表示各线段长度，可避免直接计算的麻烦，快速比较出差值的大小。
【难度系数】
0.7
本题可利用平行线分线段成比例定理求解：首先观察图形，一组平行线被两条相交直线$l_1$、$l_2$所截，因此$l_1$和$l_2$上被截得的对应线段成比例。我们可以先根据$l_2$上已知的线段长度，得到$l_1$上各线段的比例关系，设参数表示$l_1$上各线段长度，再分别计算四个选项的线段差，比较大小即可得到结果。
【解析】
∵ $AA_1 // BB_1 // CC_1 // DD_1$
根据平行线分线段成比例定理，可得：$\frac{OA}{OA_1}=\frac{OB}{OB_1}=\frac{OC}{OC_1}=\frac{OD}{OD_1}$
已知$OA_1=3$，$OB_1=2$，$B_1C_1=2$，$C_1D_1=4$，因此：
$OC_1=OB_1+B_1C_1=2+2=4$，$OD_1=OC_1+C_1D_1=4+4=8$
设$\frac{OA}{3}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}=\frac{OD}{8}=k$（$k＞0$），则：
$OA=3k$，$OB=2k$，$OC=4k$，$OD=8k$
计算各线段长度：
$AB=OA+OB=3k+2k=5k$，$BD=OD-OB=8k-2k=6k$，$CD=OD-OC=8k-4k=4k$
分别计算各选项的差值：
A. $BD - AB=6k-5k=k$
B. $OC - OA=4k-3k=k$
C. $OC - CD=4k-4k=0$
D. $CD - OB=4k-2k=2k$
比较得$2k＞k＞0$，因此差值最大的是D选项。
【答案】
D
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题侧重对平行线分线段成比例定理的基础应用，解题时通过设参数的方式统一表示各线段长度，可避免直接计算的麻烦，快速比较出差值的大小。
【难度系数】
0.7
4 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E、F分别在AD、BC上,且EF//AB,矩形ABCD与矩形BFEA相似,则矩形BFEA的面积为(
A.16
B.$\frac{40}{3}$
C.$\frac{32}{3}$
D.$\frac{16}{3}$
C
)。A.16
B.$\frac{40}{3}$
C.$\frac{32}{3}$
D.$\frac{16}{3}$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心条件是两个矩形相似，需结合相似多边形的性质求解：第一步先梳理两个矩形的已知边长，矩形ABCD的邻边长分别为AB=4、BC=AD=6；矩形BFEA的一边为AB=4，另一边BF为未知量。第二步根据相似多边形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式求出BF的长度，最后用矩形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6
∴AD=BC=6
∵矩形ABCD∽矩形BFEA
∴对应边成比例，可得$\frac{AB}{BF}=\frac{AD}{AB}$
将AB=4，AD=6代入比例式得：$\frac{4}{BF}=\frac{6}{4}$
交叉相乘解得：$BF=\frac{8}{3}$
矩形BFEA的面积为：$S=AB× BF=4×\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题的易错点是相似矩形的对应边匹配错误，解题时可结合顶点的顺序找准对应边，再列比例式计算即可，是相似图形性质的基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目核心条件是两个矩形相似，需结合相似多边形的性质求解：第一步先梳理两个矩形的已知边长，矩形ABCD的邻边长分别为AB=4、BC=AD=6；矩形BFEA的一边为AB=4，另一边BF为未知量。第二步根据相似多边形对应边成比例的性质，找准对应边列出比例式求出BF的长度，最后用矩形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=6
∴AD=BC=6
∵矩形ABCD∽矩形BFEA
∴对应边成比例，可得$\frac{AB}{BF}=\frac{AD}{AB}$
将AB=4，AD=6代入比例式得：$\frac{4}{BF}=\frac{6}{4}$
交叉相乘解得：$BF=\frac{8}{3}$
矩形BFEA的面积为：$S=AB× BF=4×\frac{8}{3}=\frac{32}{3}$
【答案】
C
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题的易错点是相似矩形的对应边匹配错误，解题时可结合顶点的顺序找准对应边，再列比例式计算即可，是相似图形性质的基础应用题。
【难度系数】
0.7
5 如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=36°,AD是△ABC的角平分线,$\frac{AB}{BC}$是(
A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C
)。A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
首先根据已知AC=BC、∠C=36°，先计算△ABC的底角度数，再结合AD是角平分线推导图中的等腰三角形，再通过等角证明△ABC与△DBA相似，得到对应边的比例关系，最后设参数列一元二次方程求解比值即可，解题时需注意线段长度为正，舍去不合理的负根。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=36°
∴∠B=∠BAC=(180°-36°)÷2=72°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=36°
∴∠CAD=∠C=36°，即AD=CD
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72°
∴∠ADB=∠B，即AD=AB
∴AB=AD=CD
又
∵∠C=∠BAD=36°，∠B为公共角
∴△ABC∽△DBA（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，即$AB^2=BC· BD$
设AB=x，BC=a，则CD=AB=x，BD=BC-CD=a-x
代入得：$x^2=a(a-x)$，整理为$x^2+ax-a^2=0$
解得$x=\frac{-a±\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{(-1±\sqrt{5})a}{2}$
∵线段长度为正，
∴取正根$x=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2}$
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是黄金三角形的典型考题，解题核心是通过角度推导找到等腰三角形和相似三角形，结合比例关系列方程求解，能较好地考查学生对三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先根据已知AC=BC、∠C=36°，先计算△ABC的底角度数，再结合AD是角平分线推导图中的等腰三角形，再通过等角证明△ABC与△DBA相似，得到对应边的比例关系，最后设参数列一元二次方程求解比值即可，解题时需注意线段长度为正，舍去不合理的负根。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=36°
∴∠B=∠BAC=(180°-36°)÷2=72°
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD=36°
∴∠CAD=∠C=36°，即AD=CD
在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72°
∴∠ADB=∠B，即AD=AB
∴AB=AD=CD
又
∵∠C=∠BAD=36°，∠B为公共角
∴△ABC∽△DBA（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，即$AB^2=BC· BD$
设AB=x，BC=a，则CD=AB=x，BD=BC-CD=a-x
代入得：$x^2=a(a-x)$，整理为$x^2+ax-a^2=0$
解得$x=\frac{-a±\sqrt{a^2+4a^2}}{2}=\frac{(-1±\sqrt{5})a}{2}$
∵线段长度为正，
∴取正根$x=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2}$
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{x}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、相似三角形判定与性质、一元二次方程求解
【点评】
本题是黄金三角形的典型考题，解题核心是通过角度推导找到等腰三角形和相似三角形，结合比例关系列方程求解，能较好地考查学生对三角形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6 如图，一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长为22.5 cm。现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示。已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是(
A.第4张
B.第5张
C.第6张
D.第7张
C
)。A.第4张
B.第5张
C.第6张
D.第7张
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先明确当纸条为正方形时，其边长等于纸条宽度3cm，此时正方形上方的小等腰三角形与原大等腰三角形相似。我们可以利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，结合裁剪的纸条高度建立方程，即可求出对应的纸条序号。
【解析】
设这张正方形纸条是第$x$张。
已知正方形纸条宽度为3cm，因此正方形的边长为3cm，裁剪$x$张纸条后，剩余上方小等腰三角形的高为$(22.5 - 3x)\mathrm{cm}$，小等腰三角形的底边长等于正方形的边长3cm。
因为小等腰三角形与原大等腰三角形相似，根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{3}{15} = \frac{22.5 - 3x}{22.5}$
化简左边得$\frac{1}{5}$，因此：
$22.5 - 3x = 22.5 × \frac{1}{5} = 4.5$
移项计算得：
$3x = 22.5 - 4.5 = 18$
解得$x=6$，即这张正方形纸条是第6张。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题将相似三角形的知识结合实际裁剪场景考查，解题的核心是找准相似三角形的对应边和对应高的关系，通过建立方程求解，能很好地考查学生结合图形分析问题、应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确当纸条为正方形时，其边长等于纸条宽度3cm，此时正方形上方的小等腰三角形与原大等腰三角形相似。我们可以利用相似三角形对应高的比等于相似比的性质，结合裁剪的纸条高度建立方程，即可求出对应的纸条序号。
【解析】
设这张正方形纸条是第$x$张。
已知正方形纸条宽度为3cm，因此正方形的边长为3cm，裁剪$x$张纸条后，剩余上方小等腰三角形的高为$(22.5 - 3x)\mathrm{cm}$，小等腰三角形的底边长等于正方形的边长3cm。
因为小等腰三角形与原大等腰三角形相似，根据相似三角形的性质，对应边的比等于对应高的比，可得：
$\frac{3}{15} = \frac{22.5 - 3x}{22.5}$
化简左边得$\frac{1}{5}$，因此：
$22.5 - 3x = 22.5 × \frac{1}{5} = 4.5$
移项计算得：
$3x = 22.5 - 4.5 = 18$
解得$x=6$，即这张正方形纸条是第6张。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题将相似三角形的知识结合实际裁剪场景考查，解题的核心是找准相似三角形的对应边和对应高的关系，通过建立方程求解，能很好地考查学生结合图形分析问题、应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
