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21 某中学为了解九年级学生的体能状况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级。请根据两幅统计图（不完整）中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了
（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为
（3）若从体能测试结果为D等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率。
（1）本次抽样调查共抽取了
50
名学生，并补全条形统计图。（2）“B等级”在扇形图中的圆心角度数为
$144°$
。（3）若从体能测试结果为D等级的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，作为重点帮扶对象，请用列表或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率。
答案
21. (1) 50 [提示:$10÷20\%=50$(名)。]
C等级学生人数为:$50-10-20-4=16$(人)。
补全条形图如图所示。
(2) $144°$ [提示:测试结果为B等级的学生数为20名,所以$360°×\frac{20}{50}=144°$。]
(3) 画出树状图如下:
共有12种等可能的结果数,其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2,所以抽取的两人恰好都是男生的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
解题思路如下：
（1）结合两幅统计图的信息，A等级人数为10人，对应扇形占比为20%，根据“总人数=某等级人数÷该等级人数占总人数的百分比”即可求出抽样总人数；再用总人数减去A、B、D三个等级的人数，得到C等级的人数，即可补全条形统计图。
（2）计算B等级的扇形圆心角度数，用$360°$乘B等级人数占总人数的比值即可。
（3）求抽取2人恰好都是男生的概率，先通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再找出“两人都是男生”的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
（1）已知A等级有10人，占抽样总人数的20%，因此抽样总人数为：$\displaystyle 10÷20\%=50$（名）。
C等级的人数为：$\displaystyle 50-10-20-4=16$（名），据此可补全条形统计图。
（2）B等级共有20人，因此B等级在扇形图中的圆心角度数为：$\displaystyle 360°×\frac{20}{50}=144°$。
（3）将D等级的2名男生记为男₁、男₂，2名女生记为女₁、女₂，画树状图分析所有抽取情况：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好都是男生的结果有2种，因此所求概率为$\displaystyle P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 50，补全条形图如图所示：
(2) $144°$
(3) 树状图如下：
所抽取的两人恰好都是男生的概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
统计图的应用、扇形圆心角计算、树状图求概率
【点评】
本题综合考查统计图表的信息提取和概率计算的相关知识，解题的关键是准确从统计图中获取对应数据，熟练掌握概率计算的基本方法，属于统计与概率板块的常规题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
（1）结合两幅统计图的信息，A等级人数为10人，对应扇形占比为20%，根据“总人数=某等级人数÷该等级人数占总人数的百分比”即可求出抽样总人数；再用总人数减去A、B、D三个等级的人数，得到C等级的人数，即可补全条形统计图。
（2）计算B等级的扇形圆心角度数，用$360°$乘B等级人数占总人数的比值即可。
（3）求抽取2人恰好都是男生的概率，先通过树状图或列表法列举出所有等可能的结果，再找出“两人都是男生”的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
（1）已知A等级有10人，占抽样总人数的20%，因此抽样总人数为：$\displaystyle 10÷20\%=50$（名）。
C等级的人数为：$\displaystyle 50-10-20-4=16$（名），据此可补全条形统计图。
（2）B等级共有20人，因此B等级在扇形图中的圆心角度数为：$\displaystyle 360°×\frac{20}{50}=144°$。
（3）将D等级的2名男生记为男₁、男₂，2名女生记为女₁、女₂，画树状图分析所有抽取情况：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好都是男生的结果有2种，因此所求概率为$\displaystyle P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) 50，补全条形图如图所示：
(2) $144°$
(3) 树状图如下：
所抽取的两人恰好都是男生的概率为$\frac{1}{6}$。
【知识点】
统计图的应用、扇形圆心角计算、树状图求概率
【点评】
本题综合考查统计图表的信息提取和概率计算的相关知识，解题的关键是准确从统计图中获取对应数据，熟练掌握概率计算的基本方法，属于统计与概率板块的常规题型。
【难度系数】
0.7
22 一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字－1、0、1，它们除了数字不同外，其他完全相同。
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀。接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标。如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为A(－2，0)、B(0，－2)、C(1，0)、D(0，1)，用树状图或列表法求点M落在四边形ABCD内部(含边界)的概率。
23 如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于－6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
① 若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移动2个单位；
② 若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③ 若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移动2个单位。
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若AB＝3，求x的值。
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是
$\frac{1}{3}$
。（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀。接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标。如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为A(－2，0)、B(0，－2)、C(1，0)、D(0，1)，用树状图或列表法求点M落在四边形ABCD内部(含边界)的概率。
23 如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于－6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
① 若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移动2个单位；
② 若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③ 若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移动2个单位。
（1）经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
（2）从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
（3）从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若AB＝3，求x的值。
答案
22. (1) $\frac{1}{3}$ [提示:$-1、0、1$中,正数有1个,所以摸出的球上面标的数字为正数的概率是$\frac{1}{3}$。]
(2) 如图。
列表如下：
| | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | $(-1,-1)$ | $(0,-1)$ | $(1,-1)$ |
| $0$ | $(-1,0)$ | $(0,0)$ | $(1,0)$ |
| $1$ | $(-1,1)$ | $(0,1)$ | $(1,1)$ |
由表知,共有9种等可能结果,其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内(含边界)的有:$(-1,-1),(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)$这6个,所以点M落在四边形ABCD内部(含边界)的概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
23. (1) 根据题意,B点移动到4,即该点向左移动5个单位,第一次就移动到4,故两次向上面的点数均为奇数$(1、3、5)$,则$P(奇数)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$,所以$P(B点移动到4)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$。
(2) 当向上面的点数均为偶数时,A点向右移动a个单位;当向上面的点数均为奇数时,A点向左移动$2(12-a)$个单位。所以$b=-6+a-2(12-a)=3a-30$,当$b=0$时,$3a-30=0$,所以$a=10$,即均为偶数有10次,均为奇数有2次,所以B点表示的数为$9-10×2-2×5=-21$。
(3) 刚开始AB的距离等于15。均为偶数时,AB距离缩短3;均为奇数时,AB距离缩短3;均为一奇一偶时,AB距离也缩短3。当缩短至3时,$(15-3)÷3=4$,所以$x=4$;当缩短至0再增长3时,$(15+3)÷3=6$,所以$x=6$,所以x的值为4或6。
解析
【分析】
22题
(1) 本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路：先确定摸球的总等可能情况数，再筛选出数字为正数的情况数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$即可求解。
(2) 本题考查放回型试验的概率计算，结合平面直角坐标系中点的位置判断。解题思路：由于是放回摸球，横、纵坐标各有3种取值，用列表法列出所有等可能的点坐标，再结合四边形ABCD的范围筛选出落在内部（含边界）的点，最后代入概率公式计算。
23题
(1) 本题考查概率的实际应用，解题思路：先根据B点初始位置和目标位置反推对应的移动规则，再计算该规则对应事件的发生概率即可。
(2) 本题考查列代数式及代数式求值，解题思路：先用含$a$的式子表示出两次点数均为奇数的移动次数，结合A点的移动规则列出$b$的表达式；当A落在原点时令$b=0$求出$a$的值，再代入B点的移动规则计算B点对应的数。
(3) 本题考查数轴上的距离计算及分类讨论思想，解题思路：先计算初始AB的距离，再分析三类移动规则下每次移动后AB距离的变化量，分“AB未相遇时距离为3”和“AB相遇后反向拉开距离为3”两种情况计算$x$的值。
【解析】
22题
(1) 袋子中3个小球的数字为$-1、0、1$，共3种等可能的摸球结果，其中正数只有$1$这1种结果，因此摸出数字为正数的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 列表得出所有等可能的点坐标如下：
| 横坐标\纵坐标 | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | $(-1,-1)$ | $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| $0$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ |
| $1$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
总共有9种等可能的结果，结合四边形ABCD的范围判断，落在内部（含边界）的点有$(-1,-1)、(-1,0)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)$共6种，因此所求概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
23题
(1) B点初始位置为$9$，要移动到$4$，需要向左移动$9-4=5$个单位，对应规则②：两次掷骰子点数均为奇数。掷一次骰子点数为奇数的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，因此两次均为奇数的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，即B点移动到4的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 12次移动中两次点数均为偶数的次数为$a$，则两次均为奇数的次数为$12-a$。A点初始位置为$-6$，每次均为偶数右移1个单位，$a$次共右移$a$个单位；每次均为奇数左移2个单位，$12-a$次共左移$2(12-a)$个单位，因此A点最终位置：
$b=-6+a-2(12-a)=3a-30$
当A落在原点时$b=0$，即$3a-30=0$，解得$a=10$，即两次均为偶数共10次，两次均为奇数共$12-10=2$次。B点初始位置为$9$，每次均为偶数左移2个单位，每次均为奇数左移5个单位，因此B点最终表示的数为：
$9-2×10-5×2=-21$
(3) 初始AB的距离为$9-(-6)=15$，分析三类移动规则下AB的变化：
① 两次均偶：A右移1，B左移2，AB缩短$1+2=3$；
② 两次均奇：A左移2，B左移5，AB缩短$5-2=3$；
③ 一奇一偶：A右移5，B右移2，AB缩短$5-2=3$；
因此每次移动AB都固定缩短3个单位，当$AB=3$时分两种情况：
AB未相遇：共缩短$15-3=12$，$x=12÷3=4$；
AB相遇后反向拉开距离为3：共缩短$15+3=18$，$x=18÷3=6$；
综上$x$的值为4或6。
【答案】
22. (1) $\frac{1}{3}$
(2)
列表如下：
| | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | $(-1,-1)$ | $(0,-1)$ | $(1,-1)$ |
| $0$ | $(-1,0)$ | $(0,0)$ | $(1,0)$ |
| $1$ | $(-1,1)$ | $(0,1)$ | $(1,1)$ |
点M落在四边形ABCD内部(含边界)的概率为$\frac{2}{3}$。
23. (1) $\frac{1}{4}$
(2) $b=3a-30$，此时B点表示的数为$-21$
(3) $x$的值为$4$或$6$
【知识点】
概率计算、列表法求概率、数轴动点问题
【点评】
本组题目将概率计算与平面直角坐标系、数轴动点问题结合考查，既需要熟练掌握等可能事件概率的计算方法，也需要准确理解坐标、数轴距离的相关概念，读懂移动规则，解题时注意分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.65
22题
(1) 本题考查简单随机事件的概率计算，解题思路：先确定摸球的总等可能情况数，再筛选出数字为正数的情况数，代入概率公式$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}$即可求解。
(2) 本题考查放回型试验的概率计算，结合平面直角坐标系中点的位置判断。解题思路：由于是放回摸球，横、纵坐标各有3种取值，用列表法列出所有等可能的点坐标，再结合四边形ABCD的范围筛选出落在内部（含边界）的点，最后代入概率公式计算。
23题
(1) 本题考查概率的实际应用，解题思路：先根据B点初始位置和目标位置反推对应的移动规则，再计算该规则对应事件的发生概率即可。
(2) 本题考查列代数式及代数式求值，解题思路：先用含$a$的式子表示出两次点数均为奇数的移动次数，结合A点的移动规则列出$b$的表达式；当A落在原点时令$b=0$求出$a$的值，再代入B点的移动规则计算B点对应的数。
(3) 本题考查数轴上的距离计算及分类讨论思想，解题思路：先计算初始AB的距离，再分析三类移动规则下每次移动后AB距离的变化量，分“AB未相遇时距离为3”和“AB相遇后反向拉开距离为3”两种情况计算$x$的值。
【解析】
22题
(1) 袋子中3个小球的数字为$-1、0、1$，共3种等可能的摸球结果，其中正数只有$1$这1种结果，因此摸出数字为正数的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 列表得出所有等可能的点坐标如下：
| 横坐标\纵坐标 | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | $(-1,-1)$ | $(-1,0)$ | $(-1,1)$ |
| $0$ | $(0,-1)$ | $(0,0)$ | $(0,1)$ |
| $1$ | $(1,-1)$ | $(1,0)$ | $(1,1)$ |
总共有9种等可能的结果，结合四边形ABCD的范围判断，落在内部（含边界）的点有$(-1,-1)、(-1,0)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)$共6种，因此所求概率为$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
23题
(1) B点初始位置为$9$，要移动到$4$，需要向左移动$9-4=5$个单位，对应规则②：两次掷骰子点数均为奇数。掷一次骰子点数为奇数的概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，因此两次均为奇数的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，即B点移动到4的概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 12次移动中两次点数均为偶数的次数为$a$，则两次均为奇数的次数为$12-a$。A点初始位置为$-6$，每次均为偶数右移1个单位，$a$次共右移$a$个单位；每次均为奇数左移2个单位，$12-a$次共左移$2(12-a)$个单位，因此A点最终位置：
$b=-6+a-2(12-a)=3a-30$
当A落在原点时$b=0$，即$3a-30=0$，解得$a=10$，即两次均为偶数共10次，两次均为奇数共$12-10=2$次。B点初始位置为$9$，每次均为偶数左移2个单位，每次均为奇数左移5个单位，因此B点最终表示的数为：
$9-2×10-5×2=-21$
(3) 初始AB的距离为$9-(-6)=15$，分析三类移动规则下AB的变化：
① 两次均偶：A右移1，B左移2，AB缩短$1+2=3$；
② 两次均奇：A左移2，B左移5，AB缩短$5-2=3$；
③ 一奇一偶：A右移5，B右移2，AB缩短$5-2=3$；
因此每次移动AB都固定缩短3个单位，当$AB=3$时分两种情况：
AB未相遇：共缩短$15-3=12$，$x=12÷3=4$；
AB相遇后反向拉开距离为3：共缩短$15+3=18$，$x=18÷3=6$；
综上$x$的值为4或6。
【答案】
22. (1) $\frac{1}{3}$
(2)
列表如下：
| | $-1$ | $0$ | $1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $-1$ | $(-1,-1)$ | $(0,-1)$ | $(1,-1)$ |
| $0$ | $(-1,0)$ | $(0,0)$ | $(1,0)$ |
| $1$ | $(-1,1)$ | $(0,1)$ | $(1,1)$ |
点M落在四边形ABCD内部(含边界)的概率为$\frac{2}{3}$。
23. (1) $\frac{1}{4}$
(2) $b=3a-30$，此时B点表示的数为$-21$
(3) $x$的值为$4$或$6$
【知识点】
概率计算、列表法求概率、数轴动点问题
【点评】
本组题目将概率计算与平面直角坐标系、数轴动点问题结合考查，既需要熟练掌握等可能事件概率的计算方法，也需要准确理解坐标、数轴距离的相关概念，读懂移动规则，解题时注意分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.65
