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19 甲、乙、丙、丁4人聚会，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起。
（1）丙从中随机抽取一件，则丙抽取的不是自己带来的礼物的概率是
（2）甲从4件礼物中随机抽取一件，不放回，乙再从剩下的3件礼物中随机抽取一件，请用树状图或列表法求甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率。
（1）丙从中随机抽取一件，则丙抽取的不是自己带来的礼物的概率是
$\frac{3}{4}$
。（2）甲从4件礼物中随机抽取一件，不放回，乙再从剩下的3件礼物中随机抽取一件，请用树状图或列表法求甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率。
答案
19. (1) $\frac{3}{4}$ [提示:因为甲、乙、丙、丁4人聚会,每人带了一件礼物,所以丙从中随机抽取一件,则丙抽取的不是自己带来的礼物的概率是$\frac{3}{4}$。]
(2) 把甲、乙、丙、丁带的礼物分别记为A、B、C、D,画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的结果有2种,即CD、DC,所以甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
（1）第一问可直接用古典概型的概率公式求解：先明确所有等可能的抽取结果总数，再统计“抽取的不是自己带来的礼物”的结果数，二者比值就是所求概率。
（2）第二问是不放回的两步随机事件求概率，首先给4件礼物做标记方便区分，再通过树状图不重不漏列举所有等可能结果，筛选出“甲、乙抽取的恰好是丙、丁带来的礼物”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）4件礼物被抽取的可能性相等，丙随机抽取1件，总共有4种等可能的结果，其中抽到自己礼物的结果只有1种，因此不是自己礼物的结果有$4-1=3$种，根据概率公式可得所求概率为$\frac{3}{4}$。
（2）记甲、乙、丙、丁带来的礼物分别为A、B、C、D，由于是不放回抽取，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果。其中甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的结果有2种，分别为CD、DC，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 把甲、乙、丙、丁带的礼物分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的结果有2种，即CD、DC，所以甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
概率公式，树状图法，不放回事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问是单事件概率的直接计算，难度较低；第二问需要注意“不放回”的抽取规则，只要通过树状图有序列举所有等可能结果，准确筛选符合条件的情况就能正确求解。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可直接用古典概型的概率公式求解：先明确所有等可能的抽取结果总数，再统计“抽取的不是自己带来的礼物”的结果数，二者比值就是所求概率。
（2）第二问是不放回的两步随机事件求概率，首先给4件礼物做标记方便区分，再通过树状图不重不漏列举所有等可能结果，筛选出“甲、乙抽取的恰好是丙、丁带来的礼物”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）4件礼物被抽取的可能性相等，丙随机抽取1件，总共有4种等可能的结果，其中抽到自己礼物的结果只有1种，因此不是自己礼物的结果有$4-1=3$种，根据概率公式可得所求概率为$\frac{3}{4}$。
（2）记甲、乙、丙、丁带来的礼物分别为A、B、C、D，由于是不放回抽取，画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果。其中甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的结果有2种，分别为CD、DC，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$
(2) 把甲、乙、丙、丁带的礼物分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的结果有2种，即CD、DC，所以甲、乙抽取的恰好是丙、丁2人带来的礼物的概率是$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【知识点】
概率公式，树状图法，不放回事件概率
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问是单事件概率的直接计算，难度较低；第二问需要注意“不放回”的抽取规则，只要通过树状图有序列举所有等可能结果，准确筛选符合条件的情况就能正确求解。
【难度系数】
0.7
20 甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a^2$、$2b-1$、$-b^2$，除正面的代数式不同外，其余均相同。
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1$，$b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为正数的概率。
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张。请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和可以分解因式的概率。
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a=1$，$b=-2$时，求取出的卡片上代数式的值为正数的概率。
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张。请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和可以分解因式的概率。
答案
20. (1) 从三张卡片中随机抽取一张,总共有3种等可能的抽取情况,而其中代数式的值为正数的只有$a^2$这1种情况,所以取出的卡片上代数式的值为正数的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 表格如下。
| | $a^2$ | $2b-1$ | $-b^2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2$ | $2a^2$ | $a^2+2b-1$ | $a^2-b^2$ |
| $2b-1$ | $a^2+2b-1$ | $4b-2$ | $-b^2+2b-1$ |
| $-b^2$ | $a^2-b^2$ | $-b^2+2b-1$ | $-2b^2$ |
两次抽取卡片上代数式之和共有9种等可能的结果,其中可以分解因式的情况有5种。所以可得,和可以分解因式的概率为$\frac{5}{9}$。
(2) 表格如下。
| | $a^2$ | $2b-1$ | $-b^2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2$ | $2a^2$ | $a^2+2b-1$ | $a^2-b^2$ |
| $2b-1$ | $a^2+2b-1$ | $4b-2$ | $-b^2+2b-1$ |
| $-b^2$ | $a^2-b^2$ | $-b^2+2b-1$ | $-2b^2$ |
两次抽取卡片上代数式之和共有9种等可能的结果,其中可以分解因式的情况有5种。所以可得,和可以分解因式的概率为$\frac{5}{9}$。
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先将给定的a、b值代入三个代数式分别计算结果，统计值为正数的情况数量，再结合概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可，抽取卡片共3种等可能情况。
（2）第二问是放回抽取，两次抽取相互独立，共3×3=9种等可能结果。首先按照“两次抽取的代数式相加并化简”的规则补全表格，再逐个判断每个和（多项式）是否可以因式分解，统计能分解的情况数，最后代入概率公式计算。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a^2=1^2=1＞0$，
$2b-1=2×(-2)-1=-5＜0$，
$-b^2=-(-2)^2=-4＜0$，
值为正数的情况共1种，总共有3种等可能的抽取情况，
因此$P(\mathrm{代数式的值为正数})=\frac{1}{3}$。
（2）补全两次抽取代数式之和的表格如下：
| | $a^2$ | $2b-1$ | $-b^2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2$ | $2a^2$ | $a^2+2b-1$ | $a^2-b^2$ |
| $2b-1$ | $a^2+2b-1$ | $4b-2$ | $-b^2+2b-1$ |
| $-b^2$ | $a^2-b^2$ | $-b^2+2b-1$ | $-2b^2$ |
逐个判断多项式和能否因式分解：
$2a^2$、$-2b^2$为单项式，不纳入因式分解判断；$a^2+2b-1$无法分解因式；剩余$a^2-b^2$（平方差公式可分解）、$4b-2$（提公因式可分解）、$-b^2+2b-1$（完全平方公式可分解）三类可分解的和，共对应5种等可能的抽取结果。
总共有9种等可能的结果，因此$P(\mathrm{和可以分解因式})=\frac{5}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$
（2）补全表格见解析，和可以分解因式的概率为$\frac{5}{9}$
【知识点】
概率计算，代数式化简，因式分解
【点评】
本题结合代数运算与概率知识点考查综合应用能力，需要熟练掌握代数式求值、化简、因式分解的方法，同时明确放回抽取的概率计算逻辑，解题时注意不要漏判可因式分解的情况。
【难度系数】
0.7
（1）求解第一问时，先将给定的a、b值代入三个代数式分别计算结果，统计值为正数的情况数量，再结合概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算即可，抽取卡片共3种等可能情况。
（2）第二问是放回抽取，两次抽取相互独立，共3×3=9种等可能结果。首先按照“两次抽取的代数式相加并化简”的规则补全表格，再逐个判断每个和（多项式）是否可以因式分解，统计能分解的情况数，最后代入概率公式计算。
【解析】
（1）当$a=1$，$b=-2$时，分别计算三个代数式的值：
$a^2=1^2=1＞0$，
$2b-1=2×(-2)-1=-5＜0$，
$-b^2=-(-2)^2=-4＜0$，
值为正数的情况共1种，总共有3种等可能的抽取情况，
因此$P(\mathrm{代数式的值为正数})=\frac{1}{3}$。
（2）补全两次抽取代数式之和的表格如下：
| | $a^2$ | $2b-1$ | $-b^2$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $a^2$ | $2a^2$ | $a^2+2b-1$ | $a^2-b^2$ |
| $2b-1$ | $a^2+2b-1$ | $4b-2$ | $-b^2+2b-1$ |
| $-b^2$ | $a^2-b^2$ | $-b^2+2b-1$ | $-2b^2$ |
逐个判断多项式和能否因式分解：
$2a^2$、$-2b^2$为单项式，不纳入因式分解判断；$a^2+2b-1$无法分解因式；剩余$a^2-b^2$（平方差公式可分解）、$4b-2$（提公因式可分解）、$-b^2+2b-1$（完全平方公式可分解）三类可分解的和，共对应5种等可能的抽取结果。
总共有9种等可能的结果，因此$P(\mathrm{和可以分解因式})=\frac{5}{9}$。
【答案】
（1）$\frac{1}{3}$
（2）补全表格见解析，和可以分解因式的概率为$\frac{5}{9}$
【知识点】
概率计算，代数式化简，因式分解
【点评】
本题结合代数运算与概率知识点考查综合应用能力，需要熟练掌握代数式求值、化简、因式分解的方法，同时明确放回抽取的概率计算逻辑，解题时注意不要漏判可因式分解的情况。
【难度系数】
0.7
