24 如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,且AD=6,以点A为圆心,AD长为半径画弧EF,交AB于点E,交AC于点F。
(1) 求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积。
(2) 将阴影部分剪掉,余下扇形EAF,将扇形EAF围成一个圆锥的侧面,AE与AF正好重合,圆锥侧面无重叠,求这个圆锥的高h。

(1) 在等腰三角形ABC中,因为$∠ BAC=120°$,$AB=AC$,所以$∠ B=30°$。又因为AD是$∠ BAC$的平分线,所以$AD ⊥ BC$,$BD=CD$,所以$BD=\sqrt{3}AD=6\sqrt{3}$,$BC=2BD=12\sqrt{3}$,所以由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积$=S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{1}{2} × 6 × 12\sqrt{3}-\frac{120 × π × 6^2}{360}=36\sqrt{3}-12π$。
(2) 设圆锥的底面圆的半径为r,根据题意得$2π r=\frac{120 × π × 6}{180}$,解得$r=2$,所以这个圆锥的高$h=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt{2}$。

【分析】
（1）求阴影部分面积可采用割补法：观察图形可知，阴影面积等于等腰△ABC的面积减去扇形EAF的面积。首先利用等腰三角形三线合一的性质，得出AD⊥BC，结合顶角120°求出底角为30°，进而算出BC的长度，求出△ABC的面积；再代入扇形面积公式，结合圆心角120°、半径6算出扇形EAF的面积，两者作差即可得到阴影面积。
（2）扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式算出弧EF的长度，由此求出圆锥底面半径，再结合圆锥母线长等于扇形半径，用勾股定理即可求出圆锥的高。
【解析】
(1) 在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，
∴ $∠ B=\frac{180°-120°}{2}=30°$。
∵ AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一性质，
∴ $AD⊥ BC$，$BD=CD$。
在Rt△ABD中，∠B=30°，AD=6，
∴ $BD=\sqrt{3}AD=6\sqrt{3}$，
∴ $BC=2BD=12\sqrt{3}$。
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×12\sqrt{3}×6=36\sqrt{3}$。
扇形EAF的圆心角为120°，半径为6，
∴ $S_{\mathrm{扇形}EAF}=\frac{120×π×6^2}{360}=12π$。
因此阴影部分面积 = $S_{△ ABC}-S_{\mathrm{扇形}EAF}=36\sqrt{3}-12π$。
(2) 设圆锥的底面圆的半径为$r$，
∵ 扇形EAF的弧长等于圆锥底面圆的周长，
扇形弧长$l=\frac{120×π×6}{180}=4π$，
∴ $2π r=4π$，解得$r=2$。
圆锥的母线长为6，底面半径为2，由勾股定理得：
$h=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $36\sqrt{3}-12π$
(2) $4\sqrt{2}$
【知识点】
等腰三角形性质、扇形相关计算、圆锥的计算
【点评】
本题属于常见的几何综合计算题，解题关键是熟练掌握等腰三角形的性质，会用割补法求不规则图形的面积，同时理清圆锥侧面展开图和底面圆的对应关系，计算时注意准确代入公式。
【难度系数】
0.7

25 为加快新农村建设，某市投入资金建设新型农村社区。如图为农村社区内的两幢楼，它们的高 $ AB = CD = 30 \, \mathrm{m} $，现需了解甲楼对乙楼采光情况的影响。当太阳光线与水平线的夹角为 $ 30° $时，试求：
（1）若两楼间的距离 $ AC = 24 \, \mathrm{m} $，则甲楼落在乙楼上的影子有多高？（结果保留根号）
（2）若甲楼的影子刚好不影响乙楼，则两楼之间的距离应当有多远？（结果保留根号）

26 某工厂要对一机器零件表面进行喷漆，设计者给出了该零件的三视图（如图所示），请你根据三视图确定其喷漆的面积。（精确到 $ 1 \, \mathrm{cm}^2 $）

25. (1) 由题意可得四边形ABDC是矩形,所以$BD=AC=24\ \mathrm{m}$,$∠ BDE=90°$。因为$∠ DBE=30°$。在$\mathrm{Rt}△ BDE$中,$DE=BD · \tan 30°=8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,所以$EC=CD-DE=(30-8\sqrt{3})\mathrm{m}$,所以甲楼落在乙楼上的影子有$(30-8\sqrt{3})\mathrm{m}$高。
(2) 如图,当太阳光照射到点C时,甲楼的影子刚好不影响乙楼。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=30\ \mathrm{m}$,$∠ ACB=30°$,所以$AC=\frac{AB}{\tan 30°}=30\sqrt{3}(\mathrm{m})$,所以若甲楼的影子刚好不影响乙楼,则两楼之间的距离应当有$30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$远。
26. 长方体的表面积为$(30 × 40 + 40 × 25 + 25 × 30) × 2=5900(\mathrm{cm}^2)$。
圆柱体的侧面积为$3.14 × 20 × 32 \approx 2010(\mathrm{cm}^2)$。
其喷漆的面积为$5900+2010=7910(\mathrm{cm}^2)$。

第25题
【分析】
这是解直角三角形在实际采光问题中的应用，解题思路如下：
（1）求甲楼落在乙楼上的影子高度时，先将实际问题转化为几何模型：四边形ABDC是矩形，因此两楼水平距离$BD=AC=24\ \mathrm{m}$。设太阳光线交CD于点E，构造$\mathrm{Rt}△ BDE$，已知$∠ DBE=30°$、BD长度，利用30°角的正切值可求出DE的长度，再用乙楼高度CD减去DE，即可得到影子EC的高度。
（2）若甲楼影子刚好不影响乙楼，说明太阳光线刚好经过点C，此时构造$\mathrm{Rt}△ ABC$，已知$AB=30\ \mathrm{m}$、$∠ ACB=30°$，利用30°角的正切值即可求出两楼所需的最小水平距离AC。
【解析】
（1）由题意可知四边形ABDC是矩形，因此$BD=AC=24\ \mathrm{m}$，$∠ BDE=90°$。
已知太阳光线与水平线夹角为$30°$，即$∠ DBE=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$\tan30°=\frac{DE}{BD}$，因此：
$DE=BD·\tan30°=24×\frac{\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
则甲楼落在乙楼上的影子高度$EC=CD-DE=(30-8\sqrt{3})\ \mathrm{m}$。
（2）当太阳光线刚好照射到点C时，甲楼的影子刚好不影响乙楼，此时在$\mathrm{Rt}△ ABC$中：
$AB=30\ \mathrm{m}$，$∠ ACB=30°$，$\tan30°=\frac{AB}{AC}$，因此：
$AC=\frac{AB}{\tan30°}=\frac{30}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【答案】
(1) 甲楼落在乙楼上的影子高为$(30-8\sqrt{3})\mathrm{m}$；
(2) 两楼之间的距离应当为$30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。

【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，特殊角的三角函数
【点评】
本题结合生活中的采光问题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为几何模型，构造对应的直角三角形，结合特殊角的三角函数值进行计算，贴近生活实际，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
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第26题
【分析】
本题是根据三视图求组合体的喷漆面积，解题思路如下：首先根据三视图判断该零件是长方体与圆柱体的组合体，喷漆时圆柱与长方体接触的底面被遮挡无需喷漆，因此总喷漆面积为长方体的完整表面积加上圆柱体的侧面积。先根据三视图提取长方体的长宽高、圆柱的底面直径和高的数值，再分别代入对应表面积公式计算，最后求和即可。
【解析】
由三视图可知：长方体的长为40cm，宽为30cm，高为25cm；圆柱体的底面直径为20cm，高为32cm。
① 计算长方体的表面积：
$S_{\mathrm{长方体}}=2×(ab+bc+ac)=2×(40×30 + 40×25 + 30×25)=2×2950=5900\ \mathrm{cm}^2$
② 计算圆柱体的侧面积：
$S_{\mathrm{圆柱侧}}=π dh\approx3.14×20×32\approx2010\ \mathrm{cm}^2$
③ 总喷漆面积为两者之和：
$S_{\mathrm{总}}=5900+2010=7910\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
喷漆的面积约为$7910\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
三视图识别，组合体表面积计算，圆柱侧面积计算
【点评】
本题考查三视图的应用与组合体表面积的计算，解题关键是准确判断组合体的构成，明确喷漆时需要计算的面，避免多算或漏算遮挡面的面积，是几何知识在实际生产中的典型应用。
【难度系数】
0.75