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22 如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB = 5 m，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC = 2 m。
（1）请你画出此时 DE 在阳光下的投影。
（2）在测量 AB 的投影长时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 4 m，请你计算 DE 的长。
（1）请你画出此时 DE 在阳光下的投影。
（2）在测量 AB 的投影长时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 4 m，请你计算 DE 的长。
答案
(1) 图略。
(2) 设 DE 的投影为 DF。因为AC // DF,所以∠ACB=∠DFE。又因为∠ABC=∠DEF=90°。所以Rt△ABC ∽ Rt△DEF。所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$,可得$DE=10\ \mathrm{m}$。
(2) 设 DE 的投影为 DF。因为AC // DF,所以∠ACB=∠DFE。又因为∠ABC=∠DEF=90°。所以Rt△ABC ∽ Rt△DEF。所以$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$,可得$DE=10\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
（1）阳光下的光线为平行光线，因此先连接AC得到AB对应的太阳光线方向，再过D作AC的平行线，与地面的交点和E的连线就是DE的投影；（2）同一时刻平行光线照射下，两个立柱与各自影长构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可计算DE的长度。
【解析】
（1）画法：连接AC，过点D作DF//AC，交直线BE于点F，则线段EF即为DE在阳光下的投影，图略。
（2）由平行投影的性质可知AC//DF，因此∠ACB=∠DFE。
又
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
已知AB=5 m，BC=2 m，EF=4 m，代入得：
$\frac{5}{DE}=\frac{2}{4}$，
解得DE=10 m。
【答案】
（1）图略；（2）DE的长为$\boxed{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查平行投影的规律和相似三角形的实际应用，解题关键是理解同一时刻不同物体的高度与影长的比值相等，能准确构造相似三角形求解。
【难度系数】
0.8
（1）阳光下的光线为平行光线，因此先连接AC得到AB对应的太阳光线方向，再过D作AC的平行线，与地面的交点和E的连线就是DE的投影；（2）同一时刻平行光线照射下，两个立柱与各自影长构成的直角三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知数值即可计算DE的长度。
【解析】
（1）画法：连接AC，过点D作DF//AC，交直线BE于点F，则线段EF即为DE在阳光下的投影，图略。
（2）由平行投影的性质可知AC//DF，因此∠ACB=∠DFE。
又
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$。
已知AB=5 m，BC=2 m，EF=4 m，代入得：
$\frac{5}{DE}=\frac{2}{4}$，
解得DE=10 m。
【答案】
（1）图略；（2）DE的长为$\boxed{10\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平行投影的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的投影场景，考查平行投影的规律和相似三角形的实际应用，解题关键是理解同一时刻不同物体的高度与影长的比值相等，能准确构造相似三角形求解。
【难度系数】
0.8
23 如图①是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图②，桌面 EF 可绕点 D 转动，EF // AB，$DE=DF=DC=25\ \mathrm{cm}$，$DB=25\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。$∠ CAB=45°$，点 B 是 F 点在地面的正投影。（参考数据：$\sqrt{2} \approx 1.41$，$\sqrt{10} \approx 3.16$，$\tan71.6° \approx 3$）
(1) ① 桌面 EF 到地面 AB 的距离为
② 求桌脚 AC 的长。（结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$）
(2) 当桌面 EF 绕点 D 转动到图③所示的位置时，求点 $E'$到地面 AB 的距离。（结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$）
(1) ① 桌面 EF 到地面 AB 的距离为
75
$\mathrm{cm}$，$∠ ACD \approx$ 116.6
$°$。② 求桌脚 AC 的长。（结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$）
(2) 当桌面 EF 绕点 D 转动到图③所示的位置时，求点 $E'$到地面 AB 的距离。（结果精确到$0.1\ \mathrm{cm}$）
答案
(1) ① 75，116.6 ② 过点C作$CH ⊥ AB$于点H。由$\tan ∠ CBH = \tan ∠ CDF = 3$，$BC=(25\sqrt{10}-25)\mathrm{cm}$,可得$CH=\frac{150-15\sqrt{10}}{2}\mathrm{cm}$,所以$AC=\sqrt{2}CH \approx72.3\ \mathrm{cm}$,所以桌脚AC的长约为72.3 cm。
(2) 过点$E'$作$E'G ⊥ AB$于点G,由(1)可知$\tan ∠ E'BG=3$,$BE'=25\sqrt{10}+25\mathrm{cm}$,于是可得$E'G=\frac{150+15\sqrt{10}}{2} \approx98.7\ \mathrm{cm}$,所以点$E'$到地面AB的距离约为98.7 cm。
(2) 过点$E'$作$E'G ⊥ AB$于点G,由(1)可知$\tan ∠ E'BG=3$,$BE'=25\sqrt{10}+25\mathrm{cm}$,于是可得$E'G=\frac{150+15\sqrt{10}}{2} \approx98.7\ \mathrm{cm}$,所以点$E'$到地面AB的距离约为98.7 cm。
解析
【分析】
(1)① 求桌面EF到地面AB的距离，因为点B是F在地面的正投影，故FB⊥AB，又EF//AB，所以FB就是EF到AB的距离，可在Rt△DFB中用勾股定理计算；求∠ACD时，先由三角函数求出∠FDB的度数，再结合平行线性质、三角形内角和定理推导即可。
② 求AC的长，可过C作CH⊥AB于H，构造直角三角形，利用∠CAB=45°得AC=√2 CH，先求出CH的长度再计算AC即可。
(2) 求E'到AB的距离，过E'作E'G⊥AB于G，先求出BE'的长度，再利用对应角的三角函数值求出E'G即可。
【解析】
(1)① 连接FB，
∵点B是F点在地面的正投影，
∴FB⊥AB，又EF//AB，
∴FB⊥EF，即△DFB是直角三角形。
由勾股定理得：$FB=\sqrt{DB^2-DF^2}=\sqrt{(25\sqrt{10})^2-25^2}=\sqrt{6250-625}=\sqrt{5625}=75\ \mathrm{cm}$，即EF到AB的距离为75cm。
$\tan∠FDB=\frac{FB}{DF}=\frac{75}{25}=3$，由参考数据得∠FDB≈71.6°，
∵EF//AB，
∴∠ABD=∠FDB≈71.6°。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABD=180°-45°-71.6°=63.4°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-63.4°=116.6°。
② 过点C作$CH ⊥ AB$于点H。
由①得$\tan∠CBH=\tan∠CDF=3$，可得$\sin∠CBH=\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∵$BC=BD-CD=25\sqrt{10}-25\ \mathrm{cm}$，
∴$CH=BC·\sin∠CBH=(25\sqrt{10}-25)×\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{150-15\sqrt{10}}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵∠CAB=45°，△ACH是等腰直角三角形，
∴$AC=\sqrt{2}CH=\sqrt{2}×\frac{150-15\sqrt{10}}{2}\approx1.41×\frac{150-15×3.16}{2}\approx72.3\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$E'$作$E'G ⊥ AB$于点G，
由题意得$DE'=DE=25\ \mathrm{cm}$，
∴$BE'=BD+DE'=25\sqrt{10}+25\ \mathrm{cm}$，
由(1)可知$\tan∠E'BG=3$，即$\sin∠E'BG=\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴$E'G=BE'·\sin∠E'BG=(25\sqrt{10}+25)×\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{150+15\sqrt{10}}{2}\approx\frac{150+15×3.16}{2}\approx98.7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) ① $\boxed{75}$，$\boxed{116.6}$；② 桌脚AC的长约为$\boxed{72.3\ \mathrm{cm}}$
(2) 点$E'$到地面AB的距离约为$\boxed{98.7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的折叠会议桌场景出题，将实际问题转化为几何解直角三角形问题，需要准确构造直角三角形，结合三角函数、勾股定理、等腰直角三角形的性质计算，对运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)① 求桌面EF到地面AB的距离，因为点B是F在地面的正投影，故FB⊥AB，又EF//AB，所以FB就是EF到AB的距离，可在Rt△DFB中用勾股定理计算；求∠ACD时，先由三角函数求出∠FDB的度数，再结合平行线性质、三角形内角和定理推导即可。
② 求AC的长，可过C作CH⊥AB于H，构造直角三角形，利用∠CAB=45°得AC=√2 CH，先求出CH的长度再计算AC即可。
(2) 求E'到AB的距离，过E'作E'G⊥AB于G，先求出BE'的长度，再利用对应角的三角函数值求出E'G即可。
【解析】
(1)① 连接FB，
∵点B是F点在地面的正投影，
∴FB⊥AB，又EF//AB，
∴FB⊥EF，即△DFB是直角三角形。
由勾股定理得：$FB=\sqrt{DB^2-DF^2}=\sqrt{(25\sqrt{10})^2-25^2}=\sqrt{6250-625}=\sqrt{5625}=75\ \mathrm{cm}$，即EF到AB的距离为75cm。
$\tan∠FDB=\frac{FB}{DF}=\frac{75}{25}=3$，由参考数据得∠FDB≈71.6°，
∵EF//AB，
∴∠ABD=∠FDB≈71.6°。
在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABD=180°-45°-71.6°=63.4°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-63.4°=116.6°。
② 过点C作$CH ⊥ AB$于点H。
由①得$\tan∠CBH=\tan∠CDF=3$，可得$\sin∠CBH=\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∵$BC=BD-CD=25\sqrt{10}-25\ \mathrm{cm}$，
∴$CH=BC·\sin∠CBH=(25\sqrt{10}-25)×\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{150-15\sqrt{10}}{2}\ \mathrm{cm}$，
∵∠CAB=45°，△ACH是等腰直角三角形，
∴$AC=\sqrt{2}CH=\sqrt{2}×\frac{150-15\sqrt{10}}{2}\approx1.41×\frac{150-15×3.16}{2}\approx72.3\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$E'$作$E'G ⊥ AB$于点G，
由题意得$DE'=DE=25\ \mathrm{cm}$，
∴$BE'=BD+DE'=25\sqrt{10}+25\ \mathrm{cm}$，
由(1)可知$\tan∠E'BG=3$，即$\sin∠E'BG=\frac{3}{\sqrt{10}}$，
∴$E'G=BE'·\sin∠E'BG=(25\sqrt{10}+25)×\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{150+15\sqrt{10}}{2}\approx\frac{150+15×3.16}{2}\approx98.7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) ① $\boxed{75}$，$\boxed{116.6}$；② 桌脚AC的长约为$\boxed{72.3\ \mathrm{cm}}$
(2) 点$E'$到地面AB的距离约为$\boxed{98.7\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理，解直角三角形，平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的折叠会议桌场景出题，将实际问题转化为几何解直角三角形问题，需要准确构造直角三角形，结合三角函数、勾股定理、等腰直角三角形的性质计算，对运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
