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19 如图,在矩形纸片 ABCD 中,$AD=6\ \mathrm{cm}$,把它分割成正方形纸片 ABFE 和矩形纸片 EFCD 后,分别裁出扇形 ABF 和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的侧面和底面,则 AB 的长为
4 cm
。答案
4 cm
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住圆锥侧面与底面的对应关系：圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长。我们可以先设AB的长为x cm，再分别表示出扇形ABF的弧长和EFCD内最大圆的周长，根据二者相等列方程求解即可。首先正方形ABFE的边长为x，扇形ABF是圆心角为90°、半径为x的扇形，可直接套用弧长公式求弧长；矩形EFCD的短边长度为(6-x) cm，其内最大圆的直径等于短边长度，可求出底面圆周长，联立等式即可求出x的值。
【解析】
设AB的长为$x\ \mathrm{cm}$。
1. 求扇形ABF的弧长：
因为四边形ABFE是正方形，所以$AB=BF=x\ \mathrm{cm}$，$∠ B=90°$，根据扇形弧长公式：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{n}{360°}×2π R=\frac{90°}{360°}×2π x=\frac{π x}{2}\ \mathrm{cm}$
2. 求底面圆的周长：
矩形EFCD中，$FC=BC-BF=AD-AB=(6-x)\ \mathrm{cm}$，矩形内半径最大的圆的直径等于矩形的短边长度，即圆的直径$d=(6-x)\ \mathrm{cm}$，半径$r=\frac{6-x}{2}\ \mathrm{cm}$，则底面圆周长：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{6-x}{2}=π(6-x)\ \mathrm{cm}$
3. 列方程求解：
因为扇形为圆锥侧面、圆为圆锥底面，因此弧长等于底面周长：
$\frac{π x}{2}=π(6-x)$
两边同时除以$π$得：$\frac{x}{2}=6-x$，解得$x=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
圆锥的计算，扇形弧长计算，矩形的性质
【点评】
本题的解题突破口是明确圆锥侧面展开图与底面圆的等量关系，同时要准确判断矩形内最大圆的直径长度，结合方程思想求解即可。
【难度系数】
0.65
解决本题的核心是抓住圆锥侧面与底面的对应关系：圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长。我们可以先设AB的长为x cm，再分别表示出扇形ABF的弧长和EFCD内最大圆的周长，根据二者相等列方程求解即可。首先正方形ABFE的边长为x，扇形ABF是圆心角为90°、半径为x的扇形，可直接套用弧长公式求弧长；矩形EFCD的短边长度为(6-x) cm，其内最大圆的直径等于短边长度，可求出底面圆周长，联立等式即可求出x的值。
【解析】
设AB的长为$x\ \mathrm{cm}$。
1. 求扇形ABF的弧长：
因为四边形ABFE是正方形，所以$AB=BF=x\ \mathrm{cm}$，$∠ B=90°$，根据扇形弧长公式：
$l_{\mathrm{弧}}=\frac{n}{360°}×2π R=\frac{90°}{360°}×2π x=\frac{π x}{2}\ \mathrm{cm}$
2. 求底面圆的周长：
矩形EFCD中，$FC=BC-BF=AD-AB=(6-x)\ \mathrm{cm}$，矩形内半径最大的圆的直径等于矩形的短边长度，即圆的直径$d=(6-x)\ \mathrm{cm}$，半径$r=\frac{6-x}{2}\ \mathrm{cm}$，则底面圆周长：
$C_{\mathrm{底}}=2π r=2π×\frac{6-x}{2}=π(6-x)\ \mathrm{cm}$
3. 列方程求解：
因为扇形为圆锥侧面、圆为圆锥底面，因此弧长等于底面周长：
$\frac{π x}{2}=π(6-x)$
两边同时除以$π$得：$\frac{x}{2}=6-x$，解得$x=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
圆锥的计算，扇形弧长计算，矩形的性质
【点评】
本题的解题突破口是明确圆锥侧面展开图与底面圆的等量关系，同时要准确判断矩形内最大圆的直径长度，结合方程思想求解即可。
【难度系数】
0.65
20 如图,圆锥的母线$AB=AC=R$,底面半径$OB=r$,扇形$ACD$是圆锥的侧面展开图,$AE ⊥ CD$。依据上述条件,小明得到如下结论:①$AO=AE$;②$S_{圆锥侧面积}=πRr$;③若$∠ DAC=n°$,则$n=360·\cos∠ ABC$。其中正确的结论有
②③
。(填序号)答案
②③
解析
【分析】
我们需要逐个验证三个结论是否正确：首先利用圆锥的高、母线、底面半径的勾股关系求出AO，再结合侧面展开图的性质求出AE，判断二者是否相等；其次直接用圆锥侧面积公式验证结论②；最后推导侧面展开图圆心角n的表达式，再结合三角函数表示cos∠ABC，验证二者的关系是否符合结论③。
【解析】
逐个分析结论：
1. 验证结论①：
圆锥的高$AO⊥$底面，在$Rt△ AOB$中，$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{R^2-r^2}$。
圆锥侧面展开图扇形$ACD$的弧长等于底面圆周长，即弧$CD$长$=2π r$。设$∠ DAC=n°$，由弧长公式得：$\frac{nπ R}{180}=2π r$，解得$n=\frac{360r}{R}$。
在等腰$△ ACD$中，$AC=AD=R$，$AE⊥CD$，故$∠ CAE=\frac{n}{2}$，则$AE=AC·\cos\frac{n}{2}=R·\cos\frac{180r}{R}$，显然$AO$与$AE$不一定相等，故①错误。
2. 验证结论②：
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π×底面半径×母线长$，代入$r$和$R$得$S_{圆锥侧面积}=π Rr$，故②正确。
3. 验证结论③：
在$Rt△ AOB$中，$\cos∠ ABC=\frac{OB}{AB}=\frac{r}{R}$，结合前面推导的$n=\frac{360r}{R}$，可得$n=360·\cos∠ ABC$，故③正确。
综上，正确的结论是②③。
【答案】
②③
【知识点】
圆锥的性质；圆锥侧面积计算；解直角三角形
【点评】
本题综合考查圆锥的相关计算，需要熟练掌握圆锥侧面展开图和原圆锥各量的对应关系，结合勾股定理、三角函数知识即可判断结论。
【难度系数】
0.65
我们需要逐个验证三个结论是否正确：首先利用圆锥的高、母线、底面半径的勾股关系求出AO，再结合侧面展开图的性质求出AE，判断二者是否相等；其次直接用圆锥侧面积公式验证结论②；最后推导侧面展开图圆心角n的表达式，再结合三角函数表示cos∠ABC，验证二者的关系是否符合结论③。
【解析】
逐个分析结论：
1. 验证结论①：
圆锥的高$AO⊥$底面，在$Rt△ AOB$中，$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{R^2-r^2}$。
圆锥侧面展开图扇形$ACD$的弧长等于底面圆周长，即弧$CD$长$=2π r$。设$∠ DAC=n°$，由弧长公式得：$\frac{nπ R}{180}=2π r$，解得$n=\frac{360r}{R}$。
在等腰$△ ACD$中，$AC=AD=R$，$AE⊥CD$，故$∠ CAE=\frac{n}{2}$，则$AE=AC·\cos\frac{n}{2}=R·\cos\frac{180r}{R}$，显然$AO$与$AE$不一定相等，故①错误。
2. 验证结论②：
圆锥侧面积公式为$S_{侧}=π×底面半径×母线长$，代入$r$和$R$得$S_{圆锥侧面积}=π Rr$，故②正确。
3. 验证结论③：
在$Rt△ AOB$中，$\cos∠ ABC=\frac{OB}{AB}=\frac{r}{R}$，结合前面推导的$n=\frac{360r}{R}$，可得$n=360·\cos∠ ABC$，故③正确。
综上，正确的结论是②③。
【答案】
②③
【知识点】
圆锥的性质；圆锥侧面积计算；解直角三角形
【点评】
本题综合考查圆锥的相关计算，需要熟练掌握圆锥侧面展开图和原圆锥各量的对应关系，结合勾股定理、三角函数知识即可判断结论。
【难度系数】
0.65
21 右图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体,请你画出它的三视图。
答案
解：
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，三个视图的形态如下：
1. 主视图：共2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层中间正方形的正上方绘制1个全等正方形，整体呈凸字形。
2. 俯视图：共1层，横向并排绘制3个全等正方形，与主视图底层的3个正方形竖直对齐。
3. 左视图：共2层，纵向竖排绘制2个全等正方形，总高度与主视图的总高度相等。
在对应网格内用实线描出上述图形，即得到该几何体的正确三视图。
按照三视图“长对正、高平齐、宽相等”的绘制规则，三个视图的形态如下：
1. 主视图：共2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层中间正方形的正上方绘制1个全等正方形，整体呈凸字形。
2. 俯视图：共1层，横向并排绘制3个全等正方形，与主视图底层的3个正方形竖直对齐。
3. 左视图：共2层，纵向竖排绘制2个全等正方形，总高度与主视图的总高度相等。
在对应网格内用实线描出上述图形，即得到该几何体的正确三视图。
解析
【分析】
解决本题首先要明确三视图的观察方向：主视图是从几何体正面向后观察得到的图形，俯视图是从几何体上方向下观察得到的图形，左视图是从几何体左面向右观察得到的图形。其次要牢记三视图绘制“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则。接下来分步分析各视图的形状：①从正面看：底层有3个横向排列的正方体，上层仅中间位置有1个正方体，因此主视图为底层3个正方形、上层中间1个正方形的凸字形；②从上面看：仅能看到底层3个横向排列的正方体，上层正方体与底层中间的正方体重合，因此俯视图为3个横向并排的正方形；③从左面看：所有正方体在观察方向上仅为1列，共2层，因此左视图为2个纵向竖排的正方形。最后按分析的形状在对应网格用实线绘制即可。
【解析】
绘制三视图需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的规则，具体绘制步骤如下：
1. 绘制主视图：共2层，先在底层横向画3个全等的正方形，再在底层中间正方形的正上方画1个全等的正方形，整体呈凸字形，画在主视图对应的网格内。
2. 绘制俯视图：共1层，横向并排画3个全等的正方形，位置与主视图底层的3个正方形竖直对齐（满足长对正要求），画在俯视图对应的网格内。
3. 绘制左视图：共2层，纵向竖排画2个全等的正方形，总高度与主视图的总高度相等（满足高平齐要求），画在左视图对应的网格内。
所有可见轮廓均用实线绘制。
【答案】
按照三视图绘制规则，三个视图形态为：1.主视图：2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层中间正方形正上方有1个全等正方形，呈凸字形；2.俯视图：1层，横向并排3个全等正方形，与主视图底层正方形竖直对齐；3.左视图：2层，纵向竖排2个全等正方形，总高度与主视图总高度相等。在对应网格内用实线描出上述图形即可。
【知识点】
1. 三视图的概念
2. 三视图绘制规则
【点评】
本题是立体几何的基础常考题，主要考察学生将立体图形转化为平面视图的能力，熟练掌握三视图的观察角度和绘制原则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确三视图的观察方向：主视图是从几何体正面向后观察得到的图形，俯视图是从几何体上方向下观察得到的图形，左视图是从几何体左面向右观察得到的图形。其次要牢记三视图绘制“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则。接下来分步分析各视图的形状：①从正面看：底层有3个横向排列的正方体，上层仅中间位置有1个正方体，因此主视图为底层3个正方形、上层中间1个正方形的凸字形；②从上面看：仅能看到底层3个横向排列的正方体，上层正方体与底层中间的正方体重合，因此俯视图为3个横向并排的正方形；③从左面看：所有正方体在观察方向上仅为1列，共2层，因此左视图为2个纵向竖排的正方形。最后按分析的形状在对应网格用实线绘制即可。
【解析】
绘制三视图需遵循“长对正、高平齐、宽相等”的规则，具体绘制步骤如下：
1. 绘制主视图：共2层，先在底层横向画3个全等的正方形，再在底层中间正方形的正上方画1个全等的正方形，整体呈凸字形，画在主视图对应的网格内。
2. 绘制俯视图：共1层，横向并排画3个全等的正方形，位置与主视图底层的3个正方形竖直对齐（满足长对正要求），画在俯视图对应的网格内。
3. 绘制左视图：共2层，纵向竖排画2个全等的正方形，总高度与主视图的总高度相等（满足高平齐要求），画在左视图对应的网格内。
所有可见轮廓均用实线绘制。
【答案】
按照三视图绘制规则，三个视图形态为：1.主视图：2层，底层横向排列3个全等正方形，上层仅在底层中间正方形正上方有1个全等正方形，呈凸字形；2.俯视图：1层，横向并排3个全等正方形，与主视图底层正方形竖直对齐；3.左视图：2层，纵向竖排2个全等正方形，总高度与主视图总高度相等。在对应网格内用实线描出上述图形即可。
【知识点】
1. 三视图的概念
2. 三视图绘制规则
【点评】
本题是立体几何的基础常考题，主要考察学生将立体图形转化为平面视图的能力，熟练掌握三视图的观察角度和绘制原则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
