27 综合与实践
问题情境:如图,将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为$n°$,半径为$l$的扇形$BOB'$,圆锥底面是一个半径为$r$的圆。母线$OA$在展开图上对应的半径$OA'$经过$\overset{\frown}{BB'}$的中点。

(1) 特例研究:当$r=3$,$l=9$时,$n=$,展开图上,$OA'$与$OB$的夹角为。
(2) 问题提出:求证:$n=\dfrac{360r}{l}$。
(3) 问题解决:如图②,一种纸质圆锥形生日帽,底面直径为12 cm,母线长也为12 cm,为了美观,想在底面圆上一点$A$和与之相对的母线$PB$中点$C$之间拉一条细彩带进行装饰,求彩带长度的最小值。

(1) 120，$60°$
(2) 由圆锥底面的周长等于其展开图中$\overset{\frown}{BB'}$的长度,可得$2π r=\frac{nπ l}{180}$,所以$n=\frac{360r}{l}$。
(3) 因为$l=12\ \mathrm{cm}$,$r=6\ \mathrm{cm}$,所以$n=\frac{360 × 6}{12}=180$,所以圆锥的侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形(如图)。所以$∠ BPA=\frac{1}{2} × 180°=90°$。连接AC,即为彩带长度的最小值。因为$PA=PB=12\ \mathrm{cm}$,$PC=\frac{1}{2}PB=6\ \mathrm{cm}$,由勾股定理得$AC=\sqrt{PA^2+PC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}(\mathrm{cm})$,所以彩带长度的最小值为$6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 解题核心是利用“圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长”这一等量关系，代入已知数值即可求出圆心角n；已知OA'是$\overset{\frown}{BB'}$的中点，因此OA'与OB的夹角为圆心角n的一半。
(2) 同样以“圆锥底面周长=侧面展开扇形弧长”为等量关系，分别代入圆周长公式和扇形弧长公式，整理后即可证得结论。
(3) 求解立体图形上两点的最短路径，需先将圆锥侧面展开为平面图形，根据“两点之间线段最短”，连接两点的线段长度即为所求最小值；先根据已知条件计算展开图的圆心角，确定两点在展开图中的位置关系，再用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
(1) 圆锥底面周长为$2π r=2π×3=6π$，侧面展开扇形弧长公式为$\frac{nπ l}{180}$，二者相等，即$6π=\frac{nπ×9}{180}$，解得$n=120$；
因为$OA'$是$\overset{\frown}{BB'}$的中点，因此$OA'$与$OB$的夹角为$\frac{1}{2}×120°=60°$。
(2) 证明：
∵ 圆锥底面的周长等于其侧面展开图中$\overset{\frown}{BB'}$的长度，
圆锥底面周长为$2π r$，$\overset{\frown}{BB'}$的弧长为$\frac{nπ l}{180}$，
∴ $2π r=\frac{nπ l}{180}$，
约去$π$后整理可得$n=\frac{360r}{l}$，得证。
(3) 解：由题意得，圆锥底面半径$r=12÷2=6\ \mathrm{cm}$，母线长$l=12\ \mathrm{cm}$，
代入$n=\frac{360r}{l}$得$n=\frac{360×6}{12}=180$，即圆锥侧面展开图是圆心角为$180°$的扇形，
由题可知展开图中$∠ BPA=\frac{1}{2}×180°=90°$，
根据两点之间线段最短，连接$AC$，$AC$的长度即为彩带的最小值，
已知$PA=PB=12\ \mathrm{cm}$，$C$是$PB$中点，因此$PC=\frac{1}{2}PB=6\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ PAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{PA^2+PC^2}=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\ (\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) $120$，$60°$
(2) $n=\dfrac{360r}{l}$，证明见解析
(3) 彩带长度的最小值为$6\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$

【知识点】
圆锥侧面展开性质、弧长计算、勾股定理
【点评】
本题围绕圆锥侧面展开的相关知识点设置问题，既考查了基础公式的推导应用，也结合了最短路径的实际问题，需要熟练掌握圆锥展开前后各量的对应关系，能够将立体图形的最短路径问题转化为平面几何问题求解。
【难度系数】
0.6