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1 下列语句中正确的是(
A.半圆是弧
B.以直径为弦的弓形是半圆
C.经过圆心的线段是半径
D.同圆中相等的弦所对的弧相等
A
)。A.半圆是弧
B.以直径为弦的弓形是半圆
C.经过圆心的线段是半径
D.同圆中相等的弦所对的弧相等
答案
A
解析
【分析】
本题考查圆的相关基本概念辨析，解题时需逐一对应各概念的定义，逐个判断选项的正误：首先回忆弧、半圆、半径、弦与弧的对应关系等基础定义，再结合每个选项的表述比对定义，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：弧的定义是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点将圆分成的两条等弧，符合弧的定义，因此半圆是弧，该表述正确。
B选项：弓形是由弦及其所对的弧组成的图形，以直径为弦时，对应的弧可以是优弧也可以是劣弧，只有当弦所对的弧是半圆弧时，对应的弓形才是半圆，因此该表述错误。
C选项：半径的定义是连接圆心和圆上任意一点的线段，经过圆心的线段，两个端点不一定分别在圆心和圆上（比如过圆心且两端都在圆上的线段是直径，不符合半径定义），因此该表述错误。
D选项：同圆中一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），相等的弦所对的劣弧相等、优弧也相等，但如果没有限定是同类型的弧，不能直接说所对的弧相等，因此该表述错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
弧的定义；半径的定义；弦与弧的关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略弦对应两条弧、半径的端点要求等细节，解题的核心是准确掌握圆的各类基础概念的内涵，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关基本概念辨析，解题时需逐一对应各概念的定义，逐个判断选项的正误：首先回忆弧、半圆、半径、弦与弧的对应关系等基础定义，再结合每个选项的表述比对定义，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：弧的定义是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点将圆分成的两条等弧，符合弧的定义，因此半圆是弧，该表述正确。
B选项：弓形是由弦及其所对的弧组成的图形，以直径为弦时，对应的弧可以是优弧也可以是劣弧，只有当弦所对的弧是半圆弧时，对应的弓形才是半圆，因此该表述错误。
C选项：半径的定义是连接圆心和圆上任意一点的线段，经过圆心的线段，两个端点不一定分别在圆心和圆上（比如过圆心且两端都在圆上的线段是直径，不符合半径定义），因此该表述错误。
D选项：同圆中一条弦对应两条弧（优弧和劣弧），相等的弦所对的劣弧相等、优弧也相等，但如果没有限定是同类型的弧，不能直接说所对的弧相等，因此该表述错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
弧的定义；半径的定义；弦与弧的关系
【点评】
本题属于基础概念辨析题，易错点在于容易忽略弦对应两条弧、半径的端点要求等细节，解题的核心是准确掌握圆的各类基础概念的内涵，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2 已知A、B、C是平面内的三点，$AB=1$，$BC=2$，$AC=3$，则下列说法中正确的是（
A.可以画一个圆，使点A、B、C都在圆上
B.可以画一个圆，使点A、B在圆上，点C在圆内
C.可以画一个圆，使点A、C在圆上，点B在圆内
D.可以画一个圆，使点B、C在圆上，点A在圆内
C
）。A.可以画一个圆，使点A、B、C都在圆上
B.可以画一个圆，使点A、B在圆上，点C在圆内
C.可以画一个圆，使点A、C在圆上，点B在圆内
D.可以画一个圆，使点B、C在圆上，点A在圆内
答案
C
解析
【分析】
首先根据三条线段的长度关系判断A、B、C三点的位置：因为AB+BC=1+2=3=AC，说明三点共线，且点B在线段AC上。再结合圆的相关性质：①不在同一直线上的三个点确定一个圆，共线的三个点无法共圆，可先排除选项A；②再结合点与圆的位置关系（点到圆心的距离d＜r时在圆内，d=r时在圆上，d＞r时在圆外），逐个分析剩余选项即可得出答案。
【解析】
1. 判断三点位置
∵AB=1，BC=2，AC=3，
∴AB+BC=AC，可得A、B、C三点共线，且点B在线段AC上。
2. 分析各选项
选项A：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，共线的三点无法共圆，故A错误。
选项B：若A、B在圆上，则圆心在AB的垂直平分线上，半径r等于圆心到A（或B）的距离。点C在AB的延长线上（B的外侧），点C到圆心的距离必然大于r，因此点C在圆外，故B错误。
选项C：若A、C在圆上，取AC中点为圆心，此时半径$r=\frac{AC}{2}=1.5$。点B到AC中点的距离为$1.5-1=0.5＜1.5$，即点B到圆心的距离小于半径，点B在圆内，符合要求，故C正确。
选项D：若B、C在圆上，取BC中点为圆心，此时半径$r=\frac{BC}{2}=1$。点A到BC中点的距离为$1+1=2＞1$，即点A到圆心的距离大于半径，点A在圆外，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三点定圆条件；点与圆的位置关系；垂直平分线性质
【点评】
本题解题的核心是先通过线段长度关系判断三点共线，再结合点和圆的位置关系逐一验证选项，是基础几何概念的综合应用。
【难度系数】
0.7
首先根据三条线段的长度关系判断A、B、C三点的位置：因为AB+BC=1+2=3=AC，说明三点共线，且点B在线段AC上。再结合圆的相关性质：①不在同一直线上的三个点确定一个圆，共线的三个点无法共圆，可先排除选项A；②再结合点与圆的位置关系（点到圆心的距离d＜r时在圆内，d=r时在圆上，d＞r时在圆外），逐个分析剩余选项即可得出答案。
【解析】
1. 判断三点位置
∵AB=1，BC=2，AC=3，
∴AB+BC=AC，可得A、B、C三点共线，且点B在线段AC上。
2. 分析各选项
选项A：不在同一直线上的三点才能确定一个圆，共线的三点无法共圆，故A错误。
选项B：若A、B在圆上，则圆心在AB的垂直平分线上，半径r等于圆心到A（或B）的距离。点C在AB的延长线上（B的外侧），点C到圆心的距离必然大于r，因此点C在圆外，故B错误。
选项C：若A、C在圆上，取AC中点为圆心，此时半径$r=\frac{AC}{2}=1.5$。点B到AC中点的距离为$1.5-1=0.5＜1.5$，即点B到圆心的距离小于半径，点B在圆内，符合要求，故C正确。
选项D：若B、C在圆上，取BC中点为圆心，此时半径$r=\frac{BC}{2}=1$。点A到BC中点的距离为$1+1=2＞1$，即点A到圆心的距离大于半径，点A在圆外，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三点定圆条件；点与圆的位置关系；垂直平分线性质
【点评】
本题解题的核心是先通过线段长度关系判断三点共线，再结合点和圆的位置关系逐一验证选项，是基础几何概念的综合应用。
【难度系数】
0.7
3 三个同心圆的半径分别为$r_1$、$r_2$、$r_3$，且$r_1 ＜ r_2 ＜ r_3$。如果大圆的面积被两个小圆三等分，那么$r_1:r_2:r_3$等于（
A.$1:2:3$
B.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$1:4:6$
D.$2:3:5$
B
）。A.$1:2:3$
B.$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$
C.$1:4:6$
D.$2:3:5$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的面积公式，明确圆的面积与半径的平方成正比。首先理解“大圆的面积被两个小圆三等分”的含义：三个同心圆把大圆分成的3个区域（最内小圆、中间圆环、外侧圆环）面积相等，由此可得到三个圆的面积比例关系，再结合面积和半径平方的正比关系，即可推导得出半径的比值。
【解析】
解：圆的面积公式为$S=π r^2$，因此圆的面积之比等于半径的平方之比。
已知大圆面积被两个小圆三等分，即每个区域的面积为大圆面积的$\frac{1}{3}$：
1. 最内小圆面积是大圆面积的$\frac{1}{3}$，可得$π r_1^2 = \frac{1}{3}π r_3^2$，约去$π$得$r_1^2 = \frac{1}{3}r_3^2$，即$r_1 = \frac{r_3}{\sqrt{3}}$；
2. 半径为$r_2$的圆的面积是大圆面积的$\frac{2}{3}$，可得$π r_2^2 = \frac{2}{3}π r_3^2$，约去$π$得$r_2^2 = \frac{2}{3}r_3^2$，即$r_2 = \frac{\sqrt{2}r_3}{\sqrt{3}}$。
因此$r_1:r_2:r_3 = \frac{r_3}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{2}r_3}{\sqrt{3}}:r_3 = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积计算、比例的化简、平方根的运算
【点评】
本题解题的核心是正确理解“三等分”的含义，将面积关系转化为半径平方的比例关系，属于基础类题型，只要熟练掌握圆的面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆的面积公式，明确圆的面积与半径的平方成正比。首先理解“大圆的面积被两个小圆三等分”的含义：三个同心圆把大圆分成的3个区域（最内小圆、中间圆环、外侧圆环）面积相等，由此可得到三个圆的面积比例关系，再结合面积和半径平方的正比关系，即可推导得出半径的比值。
【解析】
解：圆的面积公式为$S=π r^2$，因此圆的面积之比等于半径的平方之比。
已知大圆面积被两个小圆三等分，即每个区域的面积为大圆面积的$\frac{1}{3}$：
1. 最内小圆面积是大圆面积的$\frac{1}{3}$，可得$π r_1^2 = \frac{1}{3}π r_3^2$，约去$π$得$r_1^2 = \frac{1}{3}r_3^2$，即$r_1 = \frac{r_3}{\sqrt{3}}$；
2. 半径为$r_2$的圆的面积是大圆面积的$\frac{2}{3}$，可得$π r_2^2 = \frac{2}{3}π r_3^2$，约去$π$得$r_2^2 = \frac{2}{3}r_3^2$，即$r_2 = \frac{\sqrt{2}r_3}{\sqrt{3}}$。
因此$r_1:r_2:r_3 = \frac{r_3}{\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{2}r_3}{\sqrt{3}}:r_3 = 1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆的面积计算、比例的化简、平方根的运算
【点评】
本题解题的核心是正确理解“三等分”的含义，将面积关系转化为半径平方的比例关系，属于基础类题型，只要熟练掌握圆的面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
4 下列命题中真命题是(
A.过三点可以作一个圆
B.三角形的外心是三条角平分线的交点
C.任何一个三角形都有一个外接圆
D.等腰三角形的外心一定在它的内部
C
)。A.过三点可以作一个圆
B.三角形的外心是三条角平分线的交点
C.任何一个三角形都有一个外接圆
D.等腰三角形的外心一定在它的内部
答案
C
解析
【分析】
本题考查圆的基本性质相关的概念辨析，解题时需逐个分析选项对应的知识点：首先回忆确定圆的条件、三角形外心的定义、不同类型三角形外心的位置等内容，结合概念判断每个选项的正误，排除假命题即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：只有过不在同一条直线上的三点才可以作一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆，因此该命题是假命题；
B选项：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，而三条角平分线的交点是三角形的内心，因此该命题是假命题；
C选项：任意三角形的三个顶点都不在同一直线上，因此都能确定唯一的外接圆，任何一个三角形都有一个外接圆的表述是正确的，该命题是真命题；
D选项：等腰三角形若为钝角等腰三角形，外心在三角形的外部；若为直角等腰三角形，外心在斜边的中点（三角形边上），因此外心不一定在三角形内部，该命题是假命题。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外心；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于忽略确定圆的前提条件、混淆三角形外心和内心的定义、未考虑特殊类型等腰三角形外心的位置，只要准确记忆相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的基本性质相关的概念辨析，解题时需逐个分析选项对应的知识点：首先回忆确定圆的条件、三角形外心的定义、不同类型三角形外心的位置等内容，结合概念判断每个选项的正误，排除假命题即可得到正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A选项：只有过不在同一条直线上的三点才可以作一个圆，若三点共线则无法作出过这三点的圆，因此该命题是假命题；
B选项：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，而三条角平分线的交点是三角形的内心，因此该命题是假命题；
C选项：任意三角形的三个顶点都不在同一直线上，因此都能确定唯一的外接圆，任何一个三角形都有一个外接圆的表述是正确的，该命题是真命题；
D选项：等腰三角形若为钝角等腰三角形，外心在三角形的外部；若为直角等腰三角形，外心在斜边的中点（三角形边上），因此外心不一定在三角形内部，该命题是假命题。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外心；三角形外接圆
【点评】
本题属于基础概念题，易错点在于忽略确定圆的前提条件、混淆三角形外心和内心的定义、未考虑特殊类型等腰三角形外心的位置，只要准确记忆相关基础概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5 如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形，设$BC=a$，$EF=b$，$NH=c$，则下列各式中正确的是（
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$a = b = c$
C.$c ＞ a ＞ b$
D.$b ＞ c ＞ a$
B
）。A.$a ＞ b ＞ c$
B.$a = b = c$
C.$c ＞ a ＞ b$
D.$b ＞ c ＞ a$
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是利用矩形的性质和圆的半径特征进行线段的等量转化。首先观察到a、b、c分别是三个矩形的对角线，而这三个矩形的另一条对角线恰好都是半圆的半径，因为矩形的对角线相等，且同一个圆的所有半径长度相等，因此可以通过中间量“半径”判断三条线段的大小关系。
【解析】
1. 对于矩形ABOC：矩形的对角线相等，因此$BC=OA$，其中$OA$是半圆的半径，即$a=r$（$r$为半圆半径）。
2. 对于矩形DEOF：同理可得$EF=OD$，$OD$是半圆的半径，即$b=r$。
3. 对于矩形HMNO：同理可得$NH=OM$，$OM$是半圆的半径，即$c=r$。
因此$a=b=c$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形对角线相等；同圆半径相等
【点评】
本题运用转化思想，将待比较的三条线段通过矩形对角线性质转化为同一个圆的半径，无需计算即可直接判断线段长度关系，解题的关键是找到三条线段和圆半径的关联。
【难度系数】
0.7
解题的核心是利用矩形的性质和圆的半径特征进行线段的等量转化。首先观察到a、b、c分别是三个矩形的对角线，而这三个矩形的另一条对角线恰好都是半圆的半径，因为矩形的对角线相等，且同一个圆的所有半径长度相等，因此可以通过中间量“半径”判断三条线段的大小关系。
【解析】
1. 对于矩形ABOC：矩形的对角线相等，因此$BC=OA$，其中$OA$是半圆的半径，即$a=r$（$r$为半圆半径）。
2. 对于矩形DEOF：同理可得$EF=OD$，$OD$是半圆的半径，即$b=r$。
3. 对于矩形HMNO：同理可得$NH=OM$，$OM$是半圆的半径，即$c=r$。
因此$a=b=c$，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形对角线相等；同圆半径相等
【点评】
本题运用转化思想，将待比较的三条线段通过矩形对角线性质转化为同一个圆的半径，无需计算即可直接判断线段长度关系，解题的关键是找到三条线段和圆半径的关联。
【难度系数】
0.7
6 如图，在扇形AOB中，∠AOB=110°，将扇形AOB沿过B的直线折叠，点O恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点D处，折痕交OA于点C，则$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为（
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
）。A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的轴对称性质得到边的等量关系，再利用扇形半径相等的性质，推导得出△OBD为等边三角形，求出∠BOD的度数，最后用∠AOB的度数减去∠BOD的度数，即可得到$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数。
【解析】
连接OD，
∵ 沿BC折叠后点O落在D处，
∴ 由折叠的性质可得：OB=BD，
又
∵ OD、OB都是扇形AOB的半径，
∴ OD=OB，
∴ OD=OB=BD，即△OBD是等边三角形，
∴ ∠BOD=60°，
∵ ∠AOB=110°，
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠BOD=110° - 60°=50°，
即$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为50°。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，等边三角形的判定与性质，圆心角计算
【点评】
本题属于圆的基本性质的常规考题，将折叠变换和圆的特征结合，解题突破口是利用边长等量关系判断等边三角形，整体难度不高，需要熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合折叠的轴对称性质得到边的等量关系，再利用扇形半径相等的性质，推导得出△OBD为等边三角形，求出∠BOD的度数，最后用∠AOB的度数减去∠BOD的度数，即可得到$\overset{\frown}{AD}$所对圆心角的度数。
【解析】
连接OD，
∵ 沿BC折叠后点O落在D处，
∴ 由折叠的性质可得：OB=BD，
又
∵ OD、OB都是扇形AOB的半径，
∴ OD=OB，
∴ OD=OB=BD，即△OBD是等边三角形，
∴ ∠BOD=60°，
∵ ∠AOB=110°，
∴ ∠AOD=∠AOB - ∠BOD=110° - 60°=50°，
即$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为50°。
【答案】
B
【知识点】
折叠的性质，等边三角形的判定与性质，圆心角计算
【点评】
本题属于圆的基本性质的常规考题，将折叠变换和圆的特征结合，解题突破口是利用边长等量关系判断等边三角形，整体难度不高，需要熟练掌握相关基础性质。
【难度系数】
0.7
7 过平面上两点的圆有
无数
个，这些圆的圆心一定在连接这两点的线段的垂直平分线
上。答案
无数,垂直平分线
解析
【分析】
解题时首先结合圆的定义思考：过两点的圆的圆心需要满足到两个点的距离都等于半径，即圆心到这两点的距离相等。接着回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，由此可得圆心的位置。再结合垂直平分线上有无数个点，即可判断过两点的圆的数量。
【解析】
设平面上的两个点为A、B：
1. 若圆同时经过A、B两点，则圆心O到A、B的距离相等，即$OA=OB=r$（r为圆的半径）。根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上。
2. 由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，任取其中一个点作为圆心，以该点到A（或B）的距离为半径作圆，都能同时经过A、B两点，因此过平面上两点的圆有无数个。
【答案】
无数，垂直平分线
【知识点】
1.圆的基本定义 2.线段垂直平分线的判定 3.确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念题，重点考察圆的确定条件和线段垂直平分线的相关性质，熟练掌握相关定理即可快速作答，该知识点是后续学习三点定圆、三角形外接圆等内容的基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合圆的定义思考：过两点的圆的圆心需要满足到两个点的距离都等于半径，即圆心到这两点的距离相等。接着回忆线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，由此可得圆心的位置。再结合垂直平分线上有无数个点，即可判断过两点的圆的数量。
【解析】
设平面上的两个点为A、B：
1. 若圆同时经过A、B两点，则圆心O到A、B的距离相等，即$OA=OB=r$（r为圆的半径）。根据线段垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上。
2. 由于线段AB的垂直平分线上有无数个点，任取其中一个点作为圆心，以该点到A（或B）的距离为半径作圆，都能同时经过A、B两点，因此过平面上两点的圆有无数个。
【答案】
无数，垂直平分线
【知识点】
1.圆的基本定义 2.线段垂直平分线的判定 3.确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念题，重点考察圆的确定条件和线段垂直平分线的相关性质，熟练掌握相关定理即可快速作答，该知识点是后续学习三点定圆、三角形外接圆等内容的基础。
【难度系数】
0.9
⑧ 平面上一点P到⊙O上一点的距离最长6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为
⑨ 三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的
4或2
cm。⑨ 三角形外接圆的圆心叫作这个三角形的
外心
；它是三角形三边垂直平分线
的交点。答案
8. 4或2
9. 外心;垂直平分线
9. 外心;垂直平分线
解析
【分析】
第⑧题：解题需先明确点P与⊙O存在两种位置关系（点在圆内、点在圆外），点到圆上各点的连线中，过圆心的线段对应的距离分别为最长距离和最短距离，结合两种位置下最长、最短距离和直径的数量关系即可求出半径。
第⑨题：本题为基础概念题，直接结合三角形外接圆圆心的定义和性质作答即可。
【解析】
⑧ 分两种情况讨论：
1. 若点P在⊙O内部：设⊙O半径为r，点P到圆心O的距离为d，此时最长距离为r+d，最短距离为r-d，可得方程组：
$\begin{cases}r+d=6\mathrm{cm}\\r-d=2\mathrm{cm}\end{cases}$
两式相加得$2r=8\mathrm{cm}$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
2. 若点P在⊙O外部：此时最长距离为d+r，最短距离为d-r，可得方程组：
$\begin{cases}d+r=6\mathrm{cm}\\d-r=2\mathrm{cm}\end{cases}$
两式相减得$2r=4\mathrm{cm}$，解得$r=2\mathrm{cm}$。
综上，⊙O的半径为4cm或2cm。
⑨ 根据定义，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；因为外心到三角形三个顶点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此外心是三角形三边垂直平分线的交点。
【答案】
⑧ 4或2；⑨ 外心；垂直平分线
【知识点】
点与圆的位置关系；三角形外心定义
【点评】
第⑧题容易遗漏点在圆外的情况，解题时要养成分类讨论点与圆位置关系的习惯；第⑨题是基础概念题，注意区分外心、内心等易混淆的三角形相关概念。
【难度系数】
0.7
第⑧题：解题需先明确点P与⊙O存在两种位置关系（点在圆内、点在圆外），点到圆上各点的连线中，过圆心的线段对应的距离分别为最长距离和最短距离，结合两种位置下最长、最短距离和直径的数量关系即可求出半径。
第⑨题：本题为基础概念题，直接结合三角形外接圆圆心的定义和性质作答即可。
【解析】
⑧ 分两种情况讨论：
1. 若点P在⊙O内部：设⊙O半径为r，点P到圆心O的距离为d，此时最长距离为r+d，最短距离为r-d，可得方程组：
$\begin{cases}r+d=6\mathrm{cm}\\r-d=2\mathrm{cm}\end{cases}$
两式相加得$2r=8\mathrm{cm}$，解得$r=4\mathrm{cm}$。
2. 若点P在⊙O外部：此时最长距离为d+r，最短距离为d-r，可得方程组：
$\begin{cases}d+r=6\mathrm{cm}\\d-r=2\mathrm{cm}\end{cases}$
两式相减得$2r=4\mathrm{cm}$，解得$r=2\mathrm{cm}$。
综上，⊙O的半径为4cm或2cm。
⑨ 根据定义，三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心；因为外心到三角形三个顶点的距离相等，而线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此外心是三角形三边垂直平分线的交点。
【答案】
⑧ 4或2；⑨ 外心；垂直平分线
【知识点】
点与圆的位置关系；三角形外心定义
【点评】
第⑧题容易遗漏点在圆外的情况，解题时要养成分类讨论点与圆位置关系的习惯；第⑨题是基础概念题，注意区分外心、内心等易混淆的三角形相关概念。
【难度系数】
0.7
⑩ 已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=15$，若要找一张圆形纸片将这个三角形完全遮盖，则这个圆形纸片的面积至少是
$\frac{289}{4}π$
。答案
$\frac{289}{4}π$
解析
【分析】
要找到能完全遮盖Rt△ABC的最小圆形纸片，该圆是三角形的最小覆盖圆，即三角形的外接圆。直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，直径等于斜边长度，因此解题步骤为：先用勾股定理求出斜边长度，得到外接圆半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=15$，
根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289$，
解得$AB=17$。
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以外接圆半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{17}{2}$，
则圆形纸片的最小面积为：
$S=π r^2=π×(\frac{17}{2})^2=\frac{289}{4}π$。
【答案】
$\frac{289}{4}π$
【知识点】
勾股定理，三角形外接圆，圆的面积计算
【点评】
本题解题的关键是明确能完全覆盖三角形的最小圆为该三角形的外接圆，且直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，结合勾股定理即可顺利求解，需要注意区分外接圆和内切圆的性质，避免混淆。
【难度系数】
0.7
要找到能完全遮盖Rt△ABC的最小圆形纸片，该圆是三角形的最小覆盖圆，即三角形的外接圆。直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，直径等于斜边长度，因此解题步骤为：先用勾股定理求出斜边长度，得到外接圆半径，再代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8$，$BC=15$，
根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289$，
解得$AB=17$。
因为直角三角形的外接圆直径等于斜边长，所以外接圆半径$r=\frac{AB}{2}=\frac{17}{2}$，
则圆形纸片的最小面积为：
$S=π r^2=π×(\frac{17}{2})^2=\frac{289}{4}π$。
【答案】
$\frac{289}{4}π$
【知识点】
勾股定理，三角形外接圆，圆的面积计算
【点评】
本题解题的关键是明确能完全覆盖三角形的最小圆为该三角形的外接圆，且直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，结合勾股定理即可顺利求解，需要注意区分外接圆和内切圆的性质，避免混淆。
【难度系数】
0.7
