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11 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，$O$是$△ ABC$的外心，$G$是$△ ABC$的重心，则$OG$的长度为
$\frac{11}{24}$
。答案
$\frac{11}{24}$
解析
【分析】
首先，△ABC是等腰三角形，AB=AC，因此BC边上的高AD同时为BC的中线、△ABC的对称轴，重心G和外心O都在AD上，只需计算两点在AD上的距离即可：
1. 先用勾股定理求出高AD的长度；
2. 根据重心的性质，求出重心G到D点的距离GD；
3. 外心到三角形各顶点距离相等，设OD=x，利用勾股定理列方程求出OD的长度；
4. 计算GD与OD的差即为OG的长度。
【解析】
设BC的中点为D，连接AD：
∵AB=AC=5，D为BC中点，BC=6
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=3$
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$
①求重心G的位置：
重心是三角形三条中线的交点，性质为重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1
∴$AG:GD=2:1$，$GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}×4=\frac{4}{3}$
②求外心O的位置：
外心是三角形外接圆圆心，到三个顶点距离相等，即$OA=OB$
设$OD=x$，O在AD上，则$OA=AD - OD=4 - x$
在Rt△OBD中，$OB^2=BD^2 + OD^2=3^2 + x^2=9 + x^2$
由$OA=OB$得$OA^2=OB^2$，即：
$(4 - x)^2=9 + x^2$
展开得$16 - 8x + x^2=9 + x^2$
化简得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$，即$OD=\frac{7}{8}$
③计算OG：
∵G、O均在AD上，且$GD＞OD$
∴$OG=GD - OD=\frac{4}{3} - \frac{7}{8}=\frac{32}{24} - \frac{21}{24}=\frac{11}{24}$
【答案】
$\frac{11}{24}$
【知识点】
等腰三角形性质，重心的性质，外心的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形三线合一、三角形重心和外心的性质，结合勾股定理求解线段长度，解题关键是明确等腰三角形的重心、外心都在底边的高线上，可将问题简化为同一直线上的线段长度计算。
【难度系数】
0.65
首先，△ABC是等腰三角形，AB=AC，因此BC边上的高AD同时为BC的中线、△ABC的对称轴，重心G和外心O都在AD上，只需计算两点在AD上的距离即可：
1. 先用勾股定理求出高AD的长度；
2. 根据重心的性质，求出重心G到D点的距离GD；
3. 外心到三角形各顶点距离相等，设OD=x，利用勾股定理列方程求出OD的长度；
4. 计算GD与OD的差即为OG的长度。
【解析】
设BC的中点为D，连接AD：
∵AB=AC=5，D为BC中点，BC=6
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=3$
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2 - BD^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$
①求重心G的位置：
重心是三角形三条中线的交点，性质为重心到顶点的距离与到对边中点的距离之比为2:1
∴$AG:GD=2:1$，$GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}×4=\frac{4}{3}$
②求外心O的位置：
外心是三角形外接圆圆心，到三个顶点距离相等，即$OA=OB$
设$OD=x$，O在AD上，则$OA=AD - OD=4 - x$
在Rt△OBD中，$OB^2=BD^2 + OD^2=3^2 + x^2=9 + x^2$
由$OA=OB$得$OA^2=OB^2$，即：
$(4 - x)^2=9 + x^2$
展开得$16 - 8x + x^2=9 + x^2$
化简得$8x=7$，解得$x=\frac{7}{8}$，即$OD=\frac{7}{8}$
③计算OG：
∵G、O均在AD上，且$GD＞OD$
∴$OG=GD - OD=\frac{4}{3} - \frac{7}{8}=\frac{32}{24} - \frac{21}{24}=\frac{11}{24}$
【答案】
$\frac{11}{24}$
【知识点】
等腰三角形性质，重心的性质，外心的性质
【点评】
本题综合考查了等腰三角形三线合一、三角形重心和外心的性质，结合勾股定理求解线段长度，解题关键是明确等腰三角形的重心、外心都在底边的高线上，可将问题简化为同一直线上的线段长度计算。
【难度系数】
0.65
12 如图，已知点A、B、C在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CA}=2:3:4$，则$∠ BAC=$
第12题图
$60°$
。 第12题图答案
$60°$
解析
【分析】
解题时首先明确整个圆周对应的弧度数为360°，已知三段弧的比例，可先求出∠BAC所对弧的度数，再结合圆周角定理（圆周角的度数等于它所对弧度数的一半），就能算出∠BAC的度数。思考步骤：①先算弧的总份数，求出每份对应的弧度数；②找到∠BAC所对的弧，算出该弧的度数；③利用圆周角定理求角的度数。
【解析】
∵ 整个圆周的弧的总度数为$360°$，且$\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CA}=2:3:4$
∴ 弧的总份数为$2+3+4=9$份，每份对应的弧度数为$360° ÷ 9=40°$
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$3×40°=120°$
∵ $∠ BAC$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半
∴ $∠ BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
弧的比例计算、圆周角定理、圆周的度数
【点评】
本题属于圆的基本性质的基础题型，解题的核心是准确找到圆周角对应的弧，结合比例运算和圆周角定理即可求解，是圆相关考点中的常见基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确整个圆周对应的弧度数为360°，已知三段弧的比例，可先求出∠BAC所对弧的度数，再结合圆周角定理（圆周角的度数等于它所对弧度数的一半），就能算出∠BAC的度数。思考步骤：①先算弧的总份数，求出每份对应的弧度数；②找到∠BAC所对的弧，算出该弧的度数；③利用圆周角定理求角的度数。
【解析】
∵ 整个圆周的弧的总度数为$360°$，且$\overset{\frown}{AB}:\overset{\frown}{BC}:\overset{\frown}{CA}=2:3:4$
∴ 弧的总份数为$2+3+4=9$份，每份对应的弧度数为$360° ÷ 9=40°$
∴ $\overset{\frown}{BC}$的度数为$3×40°=120°$
∵ $∠ BAC$是$\odot O$的圆周角，所对的弧为$\overset{\frown}{BC}$，根据圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半
∴ $∠ BAC=\frac{1}{2}×120°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
弧的比例计算、圆周角定理、圆周的度数
【点评】
本题属于圆的基本性质的基础题型，解题的核心是准确找到圆周角对应的弧，结合比例运算和圆周角定理即可求解，是圆相关考点中的常见基础题。
【难度系数】
0.8
13 如图,在扇形AOD中,∠AOD=90°,若AB=BC=CD,AC和BD相交于点K,则∠AKD的度数为
$150°$
。答案
$150°$
解析
【分析】
首先，根据同圆中相等的弦对应的圆心角相等，结合已知∠AOD=90°，AB=BC=CD，可先求出三个小圆心角的度数；再分别求出△AOC、△BOD的内角，结合等腰Rt△AOD的底角度数，得到△AKD的两个底角度数，最后用三角形内角和即可求出∠AKD的度数。
【解析】
解：
∵在扇形AOD中，OA、OB、OC、OD均为扇形半径，
∴OA=OB=OC=OD，
又
∵AB=BC=CD，同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=90°÷3=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，结合OA=OC，可知△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
同理，∠BOD=∠BOC+∠COD=60°，结合OB=OD，可知△BOD是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∵△AOD中，OA=OD，∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠KAD=∠OAC - ∠OAD=60°-45°=15°，
∠KDA=∠ODB - ∠ODA=60°-45°=15°，
在△AKD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AKD=180° - ∠KAD - ∠KDA=180°-15°-15°=150°。
【答案】
$150°$
【知识点】
圆心角与弦的关系，等边三角形判定，三角形内角和
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质和三角形相关性质，解题关键是先利用等弦对等圆心角求出各小圆心角的度数，再结合特殊三角形的角度特征推导所求角的度数，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.65
首先，根据同圆中相等的弦对应的圆心角相等，结合已知∠AOD=90°，AB=BC=CD，可先求出三个小圆心角的度数；再分别求出△AOC、△BOD的内角，结合等腰Rt△AOD的底角度数，得到△AKD的两个底角度数，最后用三角形内角和即可求出∠AKD的度数。
【解析】
解：
∵在扇形AOD中，OA、OB、OC、OD均为扇形半径，
∴OA=OB=OC=OD，
又
∵AB=BC=CD，同圆中相等的弦所对的圆心角相等，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=90°÷3=30°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，结合OA=OC，可知△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
同理，∠BOD=∠BOC+∠COD=60°，结合OB=OD，可知△BOD是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∵△AOD中，OA=OD，∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=(180°-90°)÷2=45°，
∴∠KAD=∠OAC - ∠OAD=60°-45°=15°，
∠KDA=∠ODB - ∠ODA=60°-45°=15°，
在△AKD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠AKD=180° - ∠KAD - ∠KDA=180°-15°-15°=150°。
【答案】
$150°$
【知识点】
圆心角与弦的关系，等边三角形判定，三角形内角和
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质和三角形相关性质，解题关键是先利用等弦对等圆心角求出各小圆心角的度数，再结合特殊三角形的角度特征推导所求角的度数，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.65
14 如图，点A、B、C都在圆O上，已知∠B=15°，∠C=50°，则∠BOC的度数为
$70°$
。答案
$70°$
解析
【分析】
首先观察图形，OA、OB、OC都是圆O的半径，根据圆的半径相等可得OA=OB、OA=OC，因此△OAB和△OAC都是等腰三角形。我们可以先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和分别求出∠AOB和∠AOC的度数，再根据图中角的和差关系即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC均为圆O的半径
∴OA=OB，OA=OC
∴△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA=15°
△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=50°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-15°×2=150°
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-50°×2=80°
结合图形的角的位置关系，∠BOC=∠AOB-∠AOC
∴∠BOC=150°-80°=70°
【答案】
$70°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题的突破口是通过圆的半径相等得到等腰三角形，再结合内角和公式计算对应角度，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形，OA、OB、OC都是圆O的半径，根据圆的半径相等可得OA=OB、OA=OC，因此△OAB和△OAC都是等腰三角形。我们可以先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和分别求出∠AOB和∠AOC的度数，再根据图中角的和差关系即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵OA、OB、OC均为圆O的半径
∴OA=OB，OA=OC
∴△OAB为等腰三角形，∠OAB=∠OBA=15°
△OAC为等腰三角形，∠OAC=∠OCA=50°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-15°×2=150°
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-50°×2=80°
结合图形的角的位置关系，∠BOC=∠AOB-∠AOC
∴∠BOC=150°-80°=70°
【答案】
$70°$
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题的突破口是通过圆的半径相等得到等腰三角形，再结合内角和公式计算对应角度，熟练掌握基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
15 如图，AB为圆O的直径，CD是圆O的弦，AB和CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=20°，则∠AOC的度数为
$60°$
。答案
$60°$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件AB=2DE和圆的半径相等的性质，可知DE与圆的半径长度相等，因此考虑添加辅助线连接OD，构造等腰△ODE；再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质，逐步推导得到∠OCD的度数，最后再次利用三角形外角性质即可求出∠AOC的度数。
【解析】
解：连接OD
∵AB为圆O的直径，OC、OD均为圆O的半径
∴AB=2OC=2OD
又
∵AB=2DE
∴OD=DE
∴△ODE为等腰三角形，∠DOE=∠E=20°
∵∠ODC是△ODE的外角
∴∠ODC=∠DOE+∠E=20°+20°=40°
∵OC=OD
∴△OCD为等腰三角形，∠OCD=∠ODC=40°
∵∠AOC是△OCE的外角
∴∠AOC=∠OCD+∠E=40°+20°=60°
【答案】
$60°$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，结合圆的半径相等的性质，利用角度之间的和差关系推导求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件AB=2DE和圆的半径相等的性质，可知DE与圆的半径长度相等，因此考虑添加辅助线连接OD，构造等腰△ODE；再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质，逐步推导得到∠OCD的度数，最后再次利用三角形外角性质即可求出∠AOC的度数。
【解析】
解：连接OD
∵AB为圆O的直径，OC、OD均为圆O的半径
∴AB=2OC=2OD
又
∵AB=2DE
∴OD=DE
∴△ODE为等腰三角形，∠DOE=∠E=20°
∵∠ODC是△ODE的外角
∴∠ODC=∠DOE+∠E=20°+20°=40°
∵OC=OD
∴△OCD为等腰三角形，∠OCD=∠ODC=40°
∵∠AOC是△OCE的外角
∴∠AOC=∠OCD+∠E=40°+20°=60°
【答案】
$60°$
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形外角定理
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是合理添加辅助线构造等腰三角形，结合圆的半径相等的性质，利用角度之间的和差关系推导求解。
【难度系数】
0.7
16 如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，将△ADC沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F，连接FC。若FC//AB，则∠BAC的度数为
$30°$
。答案
$30°$
解析
【分析】
首先设∠BAC=x，利用翻折的性质可得对应角相等，即∠EAC=∠BAC=x，因此∠FAB=2x；再结合FC//AB的平行线性质，可得同旁内角互补，进而用x表示出∠AFC的度数；接着利用圆内接四边形的对角互补性质得到∠ABC的表达式，最后根据直径所对的圆周角为直角，在Rt△ACB中利用直角三角形两锐角互余建立方程求解即可。
【解析】
设∠BAC=x：
1. 由翻折的性质可知，∠EAC=∠DAC=x，因此∠FAB=∠EAC+∠DAC=2x；
2. 因为FC//AB，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠AFC+∠FAB=180°，代入得∠AFC=180°-2x；
3. 因为四边形ABCF是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠AFC+∠ABC=180°，因此∠ABC=180°-(180°-2x)=2x；
4. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，两锐角互余，即∠BAC+∠ABC=90°，代入得x+2x=90°，解得x=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
翻折的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题属于圆的性质综合题，需要将翻折变换、平行线性质和圆的基本性质结合分析，通过设未知数列方程的方法求解，能较好地考查知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
首先设∠BAC=x，利用翻折的性质可得对应角相等，即∠EAC=∠BAC=x，因此∠FAB=2x；再结合FC//AB的平行线性质，可得同旁内角互补，进而用x表示出∠AFC的度数；接着利用圆内接四边形的对角互补性质得到∠ABC的表达式，最后根据直径所对的圆周角为直角，在Rt△ACB中利用直角三角形两锐角互余建立方程求解即可。
【解析】
设∠BAC=x：
1. 由翻折的性质可知，∠EAC=∠DAC=x，因此∠FAB=∠EAC+∠DAC=2x；
2. 因为FC//AB，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠AFC+∠FAB=180°，代入得∠AFC=180°-2x；
3. 因为四边形ABCF是圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，可得∠AFC+∠ABC=180°，因此∠ABC=180°-(180°-2x)=2x；
4. 因为AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，可知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，两锐角互余，即∠BAC+∠ABC=90°，代入得x+2x=90°，解得x=30°。
【答案】
$30°$
【知识点】
翻折的性质；圆周角定理；平行线的性质
【点评】
本题属于圆的性质综合题，需要将翻折变换、平行线性质和圆的基本性质结合分析，通过设未知数列方程的方法求解，能较好地考查知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
17 如图，在$\odot O$中，AB是直径，$CO ⊥ AB$，D是CO的中点，$DE // AB$，则$\frac{\overset{\frown}{CE}}{\overset{\frown}{AE}}=$
2
。答案
2
解析
【分析】
要求同圆中两条弧的比值，根据圆的性质，同圆内弧长之比等于其所对圆心角的度数之比，因此只需计算两条弧对应圆心角的度数比即可。首先连接辅助线OE构造圆心角，结合已知的垂直、平行关系可得△ODE为直角三角形，再利用D是CO中点得到直角边OD与斜边OE的数量关系，通过直角三角形的性质求出两个圆心角的度数，最终得到弧长的比值。
【解析】
连接OE，
∵ CO⊥AB，DE//AB，
∴ DE⊥CO，即∠ODE=90°，
∵ D是CO的中点，CO、OE均为⊙O的半径，
∴ $OD = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{2}OE$，
在Rt△ODE中，直角边OD为斜边OE的一半，
∴ ∠OED=30°，则∠COE=90°-30°=60°，
又
∵ CO⊥AB，
∴ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOE=∠AOC - ∠COE = 90°-60°=30°，
∵ 同圆中弧长之比等于对应圆心角的度数之比，
∴ $\frac{\overset{\frown}{CE}}{\overset{\frown}{AE}}=\frac{∠COE}{∠AOE}=\frac{60°}{30°}=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆心角与弧的关系，直角三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用题型，解题核心是通过连接辅助线将弧长比转化为圆心角的度数比，结合特殊直角三角形的角度特征求解，解题思路清晰，对辅助线构造的考查较为基础。
【难度系数】
0.65
要求同圆中两条弧的比值，根据圆的性质，同圆内弧长之比等于其所对圆心角的度数之比，因此只需计算两条弧对应圆心角的度数比即可。首先连接辅助线OE构造圆心角，结合已知的垂直、平行关系可得△ODE为直角三角形，再利用D是CO中点得到直角边OD与斜边OE的数量关系，通过直角三角形的性质求出两个圆心角的度数，最终得到弧长的比值。
【解析】
连接OE，
∵ CO⊥AB，DE//AB，
∴ DE⊥CO，即∠ODE=90°，
∵ D是CO的中点，CO、OE均为⊙O的半径，
∴ $OD = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{2}OE$，
在Rt△ODE中，直角边OD为斜边OE的一半，
∴ ∠OED=30°，则∠COE=90°-30°=60°，
又
∵ CO⊥AB，
∴ ∠AOC=90°，
∴ ∠AOE=∠AOC - ∠COE = 90°-60°=30°，
∵ 同圆中弧长之比等于对应圆心角的度数之比，
∴ $\frac{\overset{\frown}{CE}}{\overset{\frown}{AE}}=\frac{∠COE}{∠AOE}=\frac{60°}{30°}=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆心角与弧的关系，直角三角形性质，平行线的性质
【点评】
本题是圆的基本性质的典型应用题型，解题核心是通过连接辅助线将弧长比转化为圆心角的度数比，结合特殊直角三角形的角度特征求解，解题思路清晰，对辅助线构造的考查较为基础。
【难度系数】
0.65
18 如图①，点P是以r为半径的圆O外一点，点$P'$在线段OP上，若满足$OP · OP' = r^2$，则称点$P'$是点P关于圆O的反演点。如图②，在$Rt△ ABO$中，$∠ B = 90°$，$AB = 2$，$BO = 4$，圆O的半径为2，如果点$A'$、$B'$分别是点A、B关于圆O的反演点，那么$A'B'$的长是
第18题图①
第18题图②
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
。第18题图①
第18题图②
答案
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
解析
【分析】
解题时先理解反演点的定义，第一步先利用勾股定理求出Rt△ABO中斜边OA的长度；第二步根据反演点满足的OP·OP'=r²，分别计算出OA'、OB'的长度；第三步观察到△OA'B'和△OAB有公共角∠O，结合反演点的性质推导两边对应成比例，证明两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例求出A'B'的长度即可。
【解析】
1. 在$Rt△ ABO$中，$∠ B=90°$，$AB=2$，$BO=4$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
2. 根据反演点的定义，圆$O$半径$r=2$，因此满足$OA· OA'=r^2=4$，$OB· OB'=r^2=4$，代入数值计算：
$OA'=\frac{4}{OA}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$OB'=\frac{4}{OB}=\frac{4}{4}=1$
3. 证明$△ OAB ∽ △ OB'A'$：
$∠ O$是两个三角形的公共角，又因为$OA· OA'=OB· OB'$，变形可得$\frac{OA}{OB'}=\frac{OB}{OA'}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ OAB ∽ △ OB'A'$。
4. 由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{OA}{OB'}$，代入$AB=2$，$OA=2\sqrt{5}$，$OB'=1$得：
$\frac{2}{A'B'}=\frac{2\sqrt{5}}{1}$，解得$A'B'=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，新定义运算
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解反演点的定义，将新定义规则转化为已学的线段比例关系，再结合相似三角形的性质求解，侧重考查对新信息的理解能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先理解反演点的定义，第一步先利用勾股定理求出Rt△ABO中斜边OA的长度；第二步根据反演点满足的OP·OP'=r²，分别计算出OA'、OB'的长度；第三步观察到△OA'B'和△OAB有公共角∠O，结合反演点的性质推导两边对应成比例，证明两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例求出A'B'的长度即可。
【解析】
1. 在$Rt△ ABO$中，$∠ B=90°$，$AB=2$，$BO=4$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AB^2+BO^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$
2. 根据反演点的定义，圆$O$半径$r=2$，因此满足$OA· OA'=r^2=4$，$OB· OB'=r^2=4$，代入数值计算：
$OA'=\frac{4}{OA}=\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$OB'=\frac{4}{OB}=\frac{4}{4}=1$
3. 证明$△ OAB ∽ △ OB'A'$：
$∠ O$是两个三角形的公共角，又因为$OA· OA'=OB· OB'$，变形可得$\frac{OA}{OB'}=\frac{OB}{OA'}$，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$△ OAB ∽ △ OB'A'$。
4. 由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AB}{A'B'}=\frac{OA}{OB'}$，代入$AB=2$，$OA=2\sqrt{5}$，$OB'=1$得：
$\frac{2}{A'B'}=\frac{2\sqrt{5}}{1}$，解得$A'B'=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
【答案】
$\frac{\sqrt{5}}{5}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质，新定义运算
【点评】
本题属于新定义题型，核心是准确理解反演点的定义，将新定义规则转化为已学的线段比例关系，再结合相似三角形的性质求解，侧重考查对新信息的理解能力和知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
