登录
19 如图，等边$△ ABC$的边长为2，点A、B在半径为$\sqrt{2}$的圆上，点C在圆内，将正$△ ABC$绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，旋转角的正切值是
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
。答案
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
解题时首先设圆心为O，先通过OA、OB、AB的长度，利用勾股定理逆定理判断△OAB的形状，求出∠OAB的度数；再结合等边三角形的内角为60°，计算出∠OAC的度数；当点C旋转后第一次落在圆上时记为点C'，根据旋转性质可知AC'=AC=2，连接OC'，同理可判断△OAC'的形状，求出∠OAC'的度数；∠OAC'与∠OAC的差即为旋转角，最后计算该角的正切值即可。
【解析】
设圆的圆心为O，连接OA、OB，当点C旋转后第一次落在圆上时记该点为C'，连接OC'。
1. 由题意知OA=OB=√2，AB=2，因此OA²+OB²=(√2)²+(√2)²=4=AB²，根据勾股定理逆定理可得△OAB是等腰直角三角形，故∠OAB=45°。
2. 因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°，AC=AB=2，因此∠OAC=∠BAC - ∠OAB=60°-45°=15°。
3. 由旋转的性质可知AC'=AC=2，又OA=OC'=√2，同理OA²+OC'²=(√2)²+(√2)²=4=AC'²，可得△OAC'是等腰直角三角形，故∠OAC'=45°。
4. 旋转角∠CAC'=∠OAC' - ∠OAC=45°-15°=30°，因此tan∠CAC'=tan30°=√3/3。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的判定与三角函数的计算，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，准确求出旋转角的度数，对几何图形性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先设圆心为O，先通过OA、OB、AB的长度，利用勾股定理逆定理判断△OAB的形状，求出∠OAB的度数；再结合等边三角形的内角为60°，计算出∠OAC的度数；当点C旋转后第一次落在圆上时记为点C'，根据旋转性质可知AC'=AC=2，连接OC'，同理可判断△OAC'的形状，求出∠OAC'的度数；∠OAC'与∠OAC的差即为旋转角，最后计算该角的正切值即可。
【解析】
设圆的圆心为O，连接OA、OB，当点C旋转后第一次落在圆上时记该点为C'，连接OC'。
1. 由题意知OA=OB=√2，AB=2，因此OA²+OB²=(√2)²+(√2)²=4=AB²，根据勾股定理逆定理可得△OAB是等腰直角三角形，故∠OAB=45°。
2. 因为△ABC是等边三角形，所以∠BAC=60°，AC=AB=2，因此∠OAC=∠BAC - ∠OAB=60°-45°=15°。
3. 由旋转的性质可知AC'=AC=2，又OA=OC'=√2，同理OA²+OC'²=(√2)²+(√2)²=4=AC'²，可得△OAC'是等腰直角三角形，故∠OAC'=45°。
4. 旋转角∠CAC'=∠OAC' - ∠OAC=45°-15°=30°，因此tan∠CAC'=tan30°=√3/3。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
旋转的性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值
【点评】
本题综合考查了圆的基本性质、特殊三角形的判定与三角函数的计算，解题的关键是通过作辅助线构造等腰直角三角形，准确求出旋转角的度数，对几何图形性质的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
20 如图，$\odot O$的半径为2，A为圆内一定点，$AO=1$。P为圆上一动点，以AP为边作等腰$△ APG$，$AP=PG$，$∠ APG=120°$，OG的最大值为
$2\sqrt{3}+1$
。答案
$2\sqrt{3}+1$
提示:如图,将OA绕点O顺时针旋转120°得线段OT,连接AT、OP、TG。因为OA=OT,∠AOT=120°,又因为AP=PG,∠APG=120°,所以△AOT ∽ △APG,所以$\frac{AO}{AT}=\frac{AP}{AG}=\frac{\sqrt{3}}{3},∠OAT=∠PAG$,所以∠OAP=∠TAG,所以可得△OAP ∽ △TAG,所以$\frac{OP}{GT}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。因为OP=2,所以GT=$2\sqrt{3}$。因为OG≤OT+TG=$2\sqrt{3}+1$,所以当O、T、G三点共线时,OG的最大值为$2\sqrt{3}+1$。
解析
【分析】
本题是圆背景下的线段最值问题，解题核心是通过构造旋转相似转化线段长度。首先观察到△APG是顶角为120°的等腰三角形，我们可以构造同顶角的等腰三角形，得到相似关系，将与动点相关的线段转化为定长线段，再利用三角形三边关系（两点之间线段最短）求解OG的最大值。具体思考步骤：1. 构造旋转：将OA绕O旋转120°得到OT，得到顶角120°的等腰△AOT，与△APG相似；2. 推导相似：通过角的等量代换证明△OAP∽△TAG，得到TG为定长；3. 求最值：结合OT为定长，利用OG≤OT+TG，当三点共线时取等号，得到最大值。
【解析】
解：将OA绕点O顺时针旋转120°得线段OT，连接AT、OP、TG。
∵ OA=OT=1，∠AOT=120°，AP=PG，∠APG=120°，
∴ △AOT和△APG均为顶角120°的等腰三角形，
∴ $\frac{AO}{AT}=\frac{AP}{AG}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且∠OAT=∠PAG=30°，
∴ ∠OAT + ∠TAP = ∠PAG + ∠TAP，即∠OAP=∠TAG，
∴ △OAP ∽ △TAG（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），
∴ $\frac{OP}{GT}=\frac{AO}{AT}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵ P在⊙O上，⊙O半径为2，
∴ OP=2，
代入得 $\frac{2}{GT}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得 $GT=2\sqrt{3}$。
又
∵ OT=OA=1为定长，根据三角形三边关系，OG≤OT+TG，
当且仅当O、T、G三点共线，且T在线段OG上时，等号成立，
∴ OG的最大值为 $1+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+1$。
【答案】
$2\sqrt{3}+1$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 旋转的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题考查几何最值的求解，关键在于结合等腰三角形的特征构造旋转相似，将未知线段转化为定长线段的和，利用三点共线的临界情况求最值，能很好地考查几何构造和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
本题是圆背景下的线段最值问题，解题核心是通过构造旋转相似转化线段长度。首先观察到△APG是顶角为120°的等腰三角形，我们可以构造同顶角的等腰三角形，得到相似关系，将与动点相关的线段转化为定长线段，再利用三角形三边关系（两点之间线段最短）求解OG的最大值。具体思考步骤：1. 构造旋转：将OA绕O旋转120°得到OT，得到顶角120°的等腰△AOT，与△APG相似；2. 推导相似：通过角的等量代换证明△OAP∽△TAG，得到TG为定长；3. 求最值：结合OT为定长，利用OG≤OT+TG，当三点共线时取等号，得到最大值。
【解析】
解：将OA绕点O顺时针旋转120°得线段OT，连接AT、OP、TG。
∵ OA=OT=1，∠AOT=120°，AP=PG，∠APG=120°，
∴ △AOT和△APG均为顶角120°的等腰三角形，
∴ $\frac{AO}{AT}=\frac{AP}{AG}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，且∠OAT=∠PAG=30°，
∴ ∠OAT + ∠TAP = ∠PAG + ∠TAP，即∠OAP=∠TAG，
∴ △OAP ∽ △TAG（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似），
∴ $\frac{OP}{GT}=\frac{AO}{AT}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵ P在⊙O上，⊙O半径为2，
∴ OP=2，
代入得 $\frac{2}{GT}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得 $GT=2\sqrt{3}$。
又
∵ OT=OA=1为定长，根据三角形三边关系，OG≤OT+TG，
当且仅当O、T、G三点共线，且T在线段OG上时，等号成立，
∴ OG的最大值为 $1+2\sqrt{3}=2\sqrt{3}+1$。
【答案】
$2\sqrt{3}+1$
【知识点】
1. 相似三角形的判定与性质
2. 旋转的性质
3. 三角形三边关系
【点评】
本题考查几何最值的求解，关键在于结合等腰三角形的特征构造旋转相似，将未知线段转化为定长线段的和，利用三点共线的临界情况求最值，能很好地考查几何构造和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
21 已知一个直角三角形的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，周长为$12\ \mathrm{cm}$，求这个直角三角形外接圆的半径。
答案
设直角三角形的两直角边分别为a、b(a＜b),则S=$\frac{1}{2}ab$=6,C=$a+b+\sqrt{a^2+b^2}$=12。
由$\sqrt{a^2+b^2}=12-a-b$,得$a^2+b^2=a^2+b^2+144-24a-24b+2ab$,整理得a+b=7,于是解得a=3,b=4。因此该直角三角形的外接圆半径为斜边的一半,即$\frac{5}{2}$。
由$\sqrt{a^2+b^2}=12-a-b$,得$a^2+b^2=a^2+b^2+144-24a-24b+2ab$,整理得a+b=7,于是解得a=3,b=4。因此该直角三角形的外接圆半径为斜边的一半,即$\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确核心目标是求直角三角形外接圆的半径，而直角三角形的外接圆直径等于其斜边，因此半径为斜边的一半，所以只需先求出斜边长即可。我们可以设两条直角边为a、b，斜边为c，结合题目给出的面积、周长条件，以及勾股定理列方程，通过代数变形消元求出斜边长度，最终得到外接圆半径。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，根据题意可得：
1. 由面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，得$\frac{1}{2}ab=6$，即$ab=12$；
2. 由周长为$12\ \mathrm{cm}$，得$a+b+c=12$，变形得$c=12-(a+b)$；
3. 根据勾股定理，得$c^2=a^2+b^2$。
将$c=12-(a+b)$代入勾股定理的式子中，展开得：
$(12-a-b)^2=a^2+b^2$
$144-24(a+b)+(a+b)^2=a^2+b^2$
又因为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$ab=12$得：
$144-24(a+b)+a^2+24+b^2=a^2+b^2$
消去等式两边的$a^2$、$b^2$，整理得：
$168-24(a+b)=0$
解得$a+b=7$，因此斜边$c=12-7=5\ \mathrm{cm}$。
因为直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，所以外接圆半径$R=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形外接圆性质、勾股定理、方程应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是掌握直角三角形外接圆半径与斜边的关系，再通过设未知数列式，巧用代数变形消元求出斜边长度，能够很好地考察学生的综合运算能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确核心目标是求直角三角形外接圆的半径，而直角三角形的外接圆直径等于其斜边，因此半径为斜边的一半，所以只需先求出斜边长即可。我们可以设两条直角边为a、b，斜边为c，结合题目给出的面积、周长条件，以及勾股定理列方程，通过代数变形消元求出斜边长度，最终得到外接圆半径。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，根据题意可得：
1. 由面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，得$\frac{1}{2}ab=6$，即$ab=12$；
2. 由周长为$12\ \mathrm{cm}$，得$a+b+c=12$，变形得$c=12-(a+b)$；
3. 根据勾股定理，得$c^2=a^2+b^2$。
将$c=12-(a+b)$代入勾股定理的式子中，展开得：
$(12-a-b)^2=a^2+b^2$
$144-24(a+b)+(a+b)^2=a^2+b^2$
又因为$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入$ab=12$得：
$144-24(a+b)+a^2+24+b^2=a^2+b^2$
消去等式两边的$a^2$、$b^2$，整理得：
$168-24(a+b)=0$
解得$a+b=7$，因此斜边$c=12-7=5\ \mathrm{cm}$。
因为直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，所以外接圆半径$R=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\frac{5}{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直角三角形外接圆性质、勾股定理、方程应用
【点评】
本题是几何与代数结合的典型题型，解题的关键是掌握直角三角形外接圆半径与斜边的关系，再通过设未知数列式，巧用代数变形消元求出斜边长度，能够很好地考察学生的综合运算能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
22 如图，半圆⊙O上依次有四个点A、B、C、D，且∠AOB=∠COD，求证：AD // BC。
第22题图
第22题图答案
设OB与AD交于点E、OC与AD交于点F。在⊙O中,因为OA=OD,所以∠OAD=∠ODA。因为∠AOB=∠COD,所以∠OEF=∠OFE。因为OB=OC,所以∠OBC=∠OCB。通过三角形内角和可知∠OEF=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC=∠OBC,因此AD // BC。
解析
【分析】
要证明AD平行于BC，可通过证明两条直线被第三条直线所截得到的同位角相等来推导。本题在同圆中，所有半径长度相等，可得到多个等腰三角形，结合已知的∠AOB=∠COD的条件，我们可以通过角的等量代换，推导出AD、BC被OB所截形成的同位角相等，进而完成平行的证明，解题时可先标记AD与OB、OC的交点，方便角的关系推导。
【解析】
证明：设OB与AD交于点E、OC与AD交于点F。
在⊙O中，OA、OD均为半径，故OA=OD，因此∠OAD=∠ODA。
已知∠AOB=∠COD，结合外角性质可得∠OEF=∠OAD+∠AOB，∠OFE=∠ODA+∠COD，因此∠OEF=∠OFE。
又因为OB、OC均为⊙O的半径，故OB=OC，因此∠OBC=∠OCB。
根据三角形内角和为180°可得：∠OEF=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC，同理∠OBC=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC，因此∠OEF=∠OBC，二者为同位角，故AD // BC。
【答案】
AD//BC，得证
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形性质；平行线的判定
【点评】
本题是圆基础性质的典型应用题型，核心是利用同圆半径相等得到等腰三角形，再通过角的等量代换得到平行所需的等角条件，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要证明AD平行于BC，可通过证明两条直线被第三条直线所截得到的同位角相等来推导。本题在同圆中，所有半径长度相等，可得到多个等腰三角形，结合已知的∠AOB=∠COD的条件，我们可以通过角的等量代换，推导出AD、BC被OB所截形成的同位角相等，进而完成平行的证明，解题时可先标记AD与OB、OC的交点，方便角的关系推导。
【解析】
证明：设OB与AD交于点E、OC与AD交于点F。
在⊙O中，OA、OD均为半径，故OA=OD，因此∠OAD=∠ODA。
已知∠AOB=∠COD，结合外角性质可得∠OEF=∠OAD+∠AOB，∠OFE=∠ODA+∠COD，因此∠OEF=∠OFE。
又因为OB、OC均为⊙O的半径，故OB=OC，因此∠OBC=∠OCB。
根据三角形内角和为180°可得：∠OEF=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC，同理∠OBC=$\frac{180°-∠BOC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠BOC，因此∠OEF=∠OBC，二者为同位角，故AD // BC。
【答案】
AD//BC，得证
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形性质；平行线的判定
【点评】
本题是圆基础性质的典型应用题型，核心是利用同圆半径相等得到等腰三角形，再通过角的等量代换得到平行所需的等角条件，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
23 如图，已知AB是$\odot O$的弦，点C、D在$\odot O$上，点C在点D的左侧，$AB // CD$。
（1）如果CD是$\odot O$的直径，求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
（2）如果CD不是$\odot O$的直径，那么$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BD}$是否相等？请说明理由。
第23题图
（1）如果CD是$\odot O$的直径，求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
（2）如果CD不是$\odot O$的直径，那么$\overset{\frown}{AC}$与$\overset{\frown}{BD}$是否相等？请说明理由。
第23题图答案
（1）连接OA、OB。在⊙O中,OA=OB,所以∠OAB=∠OBA。因为AB // CD,所以∠AOC=∠OAB,∠BOD=∠OBA,所以∠AOC=∠BOD,所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2)$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。理由如下:过点O作AB的平行线交⊙O于点E、F(点E在点F左侧)。因为AB // CD,所以EF // CD。由(1)可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$,$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DF}$。①若CD在EF下方,$\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{DF}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。②若CD在EF上方,在AB下方,$\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。③若CD在AB上方,$\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DF}-\overset{\frown}{BF}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。综上所述,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2)$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。理由如下:过点O作AB的平行线交⊙O于点E、F(点E在点F左侧)。因为AB // CD,所以EF // CD。由(1)可得$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$,$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DF}$。①若CD在EF下方,$\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{DF}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。②若CD在EF上方,在AB下方,$\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。③若CD在AB上方,$\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{DF}-\overset{\frown}{BF}$,即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。综上所述,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
解析
【分析】
（1）要证明同圆中两条弧相等，可通过证明弧对应的圆心角相等推导。首先连接OA、OB，利用同圆半径相等得到△OAB是等腰三角形，推出底角相等，再结合平行线的内错角相等，得到∠AOC和∠BOD相等，即可证对应弧相等。
（2）当CD不是直径时，可构造平行于AB、CD的直径EF，将问题转化为（1）的已知结论，得到$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$、$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DF}$，再分CD与EF、AB的三种位置关系，对弧长做加减运算，即可推导得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【解析】
（1）证明：连接OA、OB。
在$\odot O$中，OA和OB都是半径，故$OA=OB$，因此$∠ OAB=∠ OBA$。
因为$AB // CD$，且CD是$\odot O$的直径，根据两直线平行、内错角相等，得$∠ AOC=∠ OAB$，$∠ BOD=∠ OBA$。
所以$∠ AOC=∠ BOD$，同圆中圆心角相等则对应的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
（2）$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，理由如下：
过点O作AB的平行线，交$\odot O$于点E、F（点E在点F左侧）。
因为$AB // CD$，所以$EF // CD$。
由（1）的结论可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DF}$。
分三种情况讨论：
①若CD在EF下方：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{CE}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{DF}$，代入得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；
②若CD在EF上方、AB下方：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CE}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$，代入得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；
③若CD在AB上方：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DF}-\overset{\frown}{BF}$，代入得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
综上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
（1）证明见上述解析，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$得证；（2）$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 平行线的性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题围绕圆的基本性质设题，核心考查同圆中弧相等的证明方法，第二问通过构造辅助直径将未知问题转化为已证结论，渗透了转化思想和分类讨论思想，能有效考查对圆性质的掌握程度和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明同圆中两条弧相等，可通过证明弧对应的圆心角相等推导。首先连接OA、OB，利用同圆半径相等得到△OAB是等腰三角形，推出底角相等，再结合平行线的内错角相等，得到∠AOC和∠BOD相等，即可证对应弧相等。
（2）当CD不是直径时，可构造平行于AB、CD的直径EF，将问题转化为（1）的已知结论，得到$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$、$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DF}$，再分CD与EF、AB的三种位置关系，对弧长做加减运算，即可推导得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【解析】
（1）证明：连接OA、OB。
在$\odot O$中，OA和OB都是半径，故$OA=OB$，因此$∠ OAB=∠ OBA$。
因为$AB // CD$，且CD是$\odot O$的直径，根据两直线平行、内错角相等，得$∠ AOC=∠ OAB$，$∠ BOD=∠ OBA$。
所以$∠ AOC=∠ BOD$，同圆中圆心角相等则对应的弧相等，因此$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
（2）$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，理由如下：
过点O作AB的平行线，交$\odot O$于点E、F（点E在点F左侧）。
因为$AB // CD$，所以$EF // CD$。
由（1）的结论可得：$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BF}$，$\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{DF}$。
分三种情况讨论：
①若CD在EF下方：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}+\overset{\frown}{CE}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}+\overset{\frown}{DF}$，代入得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；
②若CD在EF上方、AB下方：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}-\overset{\frown}{CE}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$，代入得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$；
③若CD在AB上方：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{AE}$，$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{DF}-\overset{\frown}{BF}$，代入得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
综上，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
（1）证明见上述解析，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$得证；（2）$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，理由见上述解析。
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 平行线的性质
3. 等腰三角形性质
【点评】
本题围绕圆的基本性质设题，核心考查同圆中弧相等的证明方法，第二问通过构造辅助直径将未知问题转化为已证结论，渗透了转化思想和分类讨论思想，能有效考查对圆性质的掌握程度和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
