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13. [重庆市自主招生] 按顺序排列的一列数：$x_1$，$x_2$，$x_3$，…，$x_n$（$n$是正整数），从第二个数$x_2$开始，每一个数都等于$\sqrt{2}$与它前一个数的倒数之差，即 $x_2=\sqrt{2}-\frac{1}{x_1}$，$x_3=\sqrt{2}-\frac{1}{x_2}$，…，则下列说法：
①当$x_1≠0$且$x_1≠\frac{\sqrt{2}}{2}$且$x_1≠\sqrt{2}$时，$x_1 · x_2 · x_3 · x_4=-1$；②若$x_1=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则$x_1 + x_2 + … + x_{47}=18\sqrt{2}$；③代数式$\frac{x_1}{x_{10} · x_{11} · x_{12}} + 2x_1 -1$的值恒为负；④若$(x_1-\sqrt{2})(x_2-\sqrt{2})x_7 · x_8=-1$，则$x_1=±1$。其中正确的有（
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
①当$x_1≠0$且$x_1≠\frac{\sqrt{2}}{2}$且$x_1≠\sqrt{2}$时，$x_1 · x_2 · x_3 · x_4=-1$；②若$x_1=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，则$x_1 + x_2 + … + x_{47}=18\sqrt{2}$；③代数式$\frac{x_1}{x_{10} · x_{11} · x_{12}} + 2x_1 -1$的值恒为负；④若$(x_1-\sqrt{2})(x_2-\sqrt{2})x_7 · x_8=-1$，则$x_1=±1$。其中正确的有（
B
）A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
设$x_1=a$,则$x_2=\sqrt{2}-\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}a-1}{a}$,$x_3=\sqrt{2}-\frac{1}{x_2}=\sqrt{2}-\frac{a}{\sqrt{2}a-1}=\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}$,$x_4=\sqrt{2}-\frac{1}{x_3}=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}a-1}{a-\sqrt{2}}=-\frac{1}{a-\sqrt{2}}$,$x_5=\sqrt{2}-\frac{1}{x_4}=\sqrt{2}+(a-\sqrt{2})=a$,...,可以发现每4个数为1个循环,则$x_1· x_2· x_3· x_4=a·\frac{\sqrt{2}a-1}{a}·\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}·(-\frac{1}{a-\sqrt{2}})=-1$,故①正确;若$x_1=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,则可得$x_2=\frac{2\sqrt{2}}{3}$,$x_3=\frac{\sqrt{2}}{4}$,$x_4=-\sqrt{2}$,$x_5=\frac{3\sqrt{2}}{2}$,...,可见每4个数为1个循环,所以$x_1+x_2+x_3+\dots+x_{47}=(x_1+x_2+\dots+x_{48})-x_{48}=12(x_1+x_2+x_3+x_4)-x_{48}=12×(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}-1)×\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=17\sqrt{2}+\sqrt{2}=18\sqrt{2}$,故②正确;由题意得$x_{10}=x_2$,$x_{11}=x_3$,$x_{12}=x_4$,故$\frac{x_1}{x_{10}· x_{11}· x_{12}}+2x_1-1=\frac{a}{\frac{\sqrt{2}a-1}{a}·\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}·(-\frac{1}{a-\sqrt{2}})}+2a-1=-a^2+2a-1=-(a-1)^2$. 因为对于任意的$a$都有$-(a-1)^2≤0$,所以$\frac{x_1}{x_{10}· x_{11}· x_{12}}+2x_1-1$为非正数,当$a=1$时为0,故③错误;由题意得$x_7=x_3$,$x_8=x_4$,所以$(x_1-\sqrt{2})(x_2-\sqrt{2})x_7· x_8=(a-\sqrt{2})(-\frac{1}{a})·\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}·(-\frac{1}{a-\sqrt{2}})=-1$,所以$\frac{a-\sqrt{2}}{a(\sqrt{2}a-1)}=-1$. 所以$a^2=1$. 所以$a=\pm1$,即$x_1=\pm1$. 故④正确. 综上,正确的结论有3个. 故选B.
解析
【分析】
这是一道结合二次根式运算与数列规律的综合题，解题核心是先推导数列的周期规律。首先设$x_1=a$，根据递推公式依次计算出$x_2、x_3、x_4、x_5$，可发现数列每4个数为一个循环周期，再利用该周期规律逐一验证四个结论，验证过程中要遵守二次根式运算法则，注意分母不为0的隐含条件、代数式正负性判断、方程求解等细节。
【解析】
设$x_1=a$（$a≠0$，且后续计算分母均不为0），根据递推公式推导：
1. 推导周期：
$x_2=\sqrt{2}-\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}a-1}{a}$
$x_3=\sqrt{2}-\frac{a}{\sqrt{2}a-1}=\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}$
$x_4=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}a-1}{a-\sqrt{2}}=-\frac{1}{a-\sqrt{2}}$
$x_5=\sqrt{2}-\frac{1}{x_4}=a=x_1$
可得数列每4个数为1个循环周期，即$x_{n+4}=x_n$。
2. 验证①：
当$x_1≠0$且$x_1≠\frac{\sqrt{2}}{2}$且$x_1≠\sqrt{2}$时，分母均不为0：
$x_1·x_2·x_3·x_4 = a·\frac{\sqrt{2}a - 1}{a}·\frac{a - \sqrt{2}}{\sqrt{2}a - 1}·(-\frac{1}{a - \sqrt{2}}) = -1$，故①正确。
3. 验证②：
若$x_1=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，代入得$x_2=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$x_3=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$x_4=-\sqrt{2}$。
一个周期的和：$x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{17}{12}\sqrt{2}$。
47个数对应12个完整周期减第48项（$x_{48}=x_4=-\sqrt{2}$）：
$x_1+x_2+…+x_{47}=12×\frac{17}{12}\sqrt{2} - (-\sqrt{2})=18\sqrt{2}$，故②正确。
4. 验证③：
由周期得$x_{10}=x_2$，$x_{11}=x_3$，$x_{12}=x_4$，则$x_{10}x_{11}x_{12}=-\frac{1}{x_1}$。
代入代数式得：$\frac{x_1}{-\frac{1}{x_1}} + 2x_1 -1=-x_1^2+2x_1-1=-(x_1-1)^2≤0$，当$x_1=1$时原式为0，不是恒为负，故③错误。
5. 验证④：
由周期得$x_7=x_3$，$x_8=x_4$，代入等式得：
$(a-\sqrt{2})(-\frac{1}{a})·\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}·(-\frac{1}{a-\sqrt{2}})=-1$
化简得$\frac{a-\sqrt{2}}{a(\sqrt{2}a-1)}=-1$，解得$a^2=1$，即$x_1=±1$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次根式混合运算，数列周期规律，代数式化简
【点评】
本题综合考察二次根式运算、数列规律归纳、代数式化简与方程求解能力，解题关键是先找到数列的4次循环周期，再结合周期逐一验证结论，需要注意“恒为负”这类表述要考虑等于0的特殊情况，同时计算过程中需遵守分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.3
这是一道结合二次根式运算与数列规律的综合题，解题核心是先推导数列的周期规律。首先设$x_1=a$，根据递推公式依次计算出$x_2、x_3、x_4、x_5$，可发现数列每4个数为一个循环周期，再利用该周期规律逐一验证四个结论，验证过程中要遵守二次根式运算法则，注意分母不为0的隐含条件、代数式正负性判断、方程求解等细节。
【解析】
设$x_1=a$（$a≠0$，且后续计算分母均不为0），根据递推公式推导：
1. 推导周期：
$x_2=\sqrt{2}-\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}a-1}{a}$
$x_3=\sqrt{2}-\frac{a}{\sqrt{2}a-1}=\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}$
$x_4=\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}a-1}{a-\sqrt{2}}=-\frac{1}{a-\sqrt{2}}$
$x_5=\sqrt{2}-\frac{1}{x_4}=a=x_1$
可得数列每4个数为1个循环周期，即$x_{n+4}=x_n$。
2. 验证①：
当$x_1≠0$且$x_1≠\frac{\sqrt{2}}{2}$且$x_1≠\sqrt{2}$时，分母均不为0：
$x_1·x_2·x_3·x_4 = a·\frac{\sqrt{2}a - 1}{a}·\frac{a - \sqrt{2}}{\sqrt{2}a - 1}·(-\frac{1}{a - \sqrt{2}}) = -1$，故①正确。
3. 验证②：
若$x_1=\frac{3\sqrt{2}}{2}$，代入得$x_2=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$x_3=\frac{\sqrt{2}}{4}$，$x_4=-\sqrt{2}$。
一个周期的和：$x_1+x_2+x_3+x_4=\frac{17}{12}\sqrt{2}$。
47个数对应12个完整周期减第48项（$x_{48}=x_4=-\sqrt{2}$）：
$x_1+x_2+…+x_{47}=12×\frac{17}{12}\sqrt{2} - (-\sqrt{2})=18\sqrt{2}$，故②正确。
4. 验证③：
由周期得$x_{10}=x_2$，$x_{11}=x_3$，$x_{12}=x_4$，则$x_{10}x_{11}x_{12}=-\frac{1}{x_1}$。
代入代数式得：$\frac{x_1}{-\frac{1}{x_1}} + 2x_1 -1=-x_1^2+2x_1-1=-(x_1-1)^2≤0$，当$x_1=1$时原式为0，不是恒为负，故③错误。
5. 验证④：
由周期得$x_7=x_3$，$x_8=x_4$，代入等式得：
$(a-\sqrt{2})(-\frac{1}{a})·\frac{a-\sqrt{2}}{\sqrt{2}a-1}·(-\frac{1}{a-\sqrt{2}})=-1$
化简得$\frac{a-\sqrt{2}}{a(\sqrt{2}a-1)}=-1$，解得$a^2=1$，即$x_1=±1$，故④正确。
综上，①②④共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次根式混合运算，数列周期规律，代数式化简
【点评】
本题综合考察二次根式运算、数列规律归纳、代数式化简与方程求解能力，解题关键是先找到数列的4次循环周期，再结合周期逐一验证结论，需要注意“恒为负”这类表述要考虑等于0的特殊情况，同时计算过程中需遵守分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.3
14. 已知$x＞0,y＞0,x^2+y^2=24,(\sqrt{x}+\sqrt{y})^4+(\sqrt{x}-\sqrt{y})^4=180$,则$xy=$
11
.答案
因为$[(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2]^2+[(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2]^2=180$,所以$(x+y+2\sqrt{xy})^2+(x+y-2\sqrt{xy})^2=180$,所以$(x+y)^2+4(x+y)\sqrt{xy}+4xy+(x+y)^2-4(x+y)\sqrt{xy}+4xy=180$,所以$(x+y)^2+4xy=90$,所以$x^2+y^2+6xy=90$. 因为$x^2+y^2=24$,所以$24+6xy=90$,所以$xy=11$.
解析
【分析】
首先观察第二个已知等式的结构，两个四次方项可变形为平方的平方实现降次；先利用完全平方公式展开内层的$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$和$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$，得到含$x+y$与$\sqrt{xy}$的式子；再对外层的两个完全平方展开，此时含$\sqrt{xy}$的交叉项会相互抵消，得到仅与$x+y$、$xy$相关的等式；最后将$(x+y)^2$变形为$x^2+y^2+2xy$，代入已知的$x^2+y^2=24$即可求出$xy$的值。
【解析】
先对第二个等式变形：
$[(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2]^2+[(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2]^2=180$
展开内层完全平方得：
$(x+y+2\sqrt{xy})^2+(x+y-2\sqrt{xy})^2=180$
再展开外层的两个完全平方：
$(x+y)^2+4(x+y)\sqrt{xy}+4xy+(x+y)^2-4(x+y)\sqrt{xy}+4xy=180$
合并同类项后交叉项抵消，得：
$2(x+y)^2+8xy=180$
两边同时除以2得：
$(x+y)^2+4xy=90$
将$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$代入上式，得：
$x^2+y^2+2xy+4xy=90$，即$x^2+y^2+6xy=90$
把$x^2+y^2=24$代入得：
$24+6xy=90$
解得$6xy=66$，即$xy=11$
【答案】
$\boxed{11}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，代数式化简
【点评】
本题考查完全平方公式在二次根式运算中的综合应用，解题的核心是通过降次、展开消去含根号的交叉项，再结合完全平方公式的变形代入已知条件求解，需要熟练掌握完全平方公式的各类变形技巧。
【难度系数】
0.6
首先观察第二个已知等式的结构，两个四次方项可变形为平方的平方实现降次；先利用完全平方公式展开内层的$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2$和$(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2$，得到含$x+y$与$\sqrt{xy}$的式子；再对外层的两个完全平方展开，此时含$\sqrt{xy}$的交叉项会相互抵消，得到仅与$x+y$、$xy$相关的等式；最后将$(x+y)^2$变形为$x^2+y^2+2xy$，代入已知的$x^2+y^2=24$即可求出$xy$的值。
【解析】
先对第二个等式变形：
$[(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2]^2+[(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2]^2=180$
展开内层完全平方得：
$(x+y+2\sqrt{xy})^2+(x+y-2\sqrt{xy})^2=180$
再展开外层的两个完全平方：
$(x+y)^2+4(x+y)\sqrt{xy}+4xy+(x+y)^2-4(x+y)\sqrt{xy}+4xy=180$
合并同类项后交叉项抵消，得：
$2(x+y)^2+8xy=180$
两边同时除以2得：
$(x+y)^2+4xy=90$
将$(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$代入上式，得：
$x^2+y^2+2xy+4xy=90$，即$x^2+y^2+6xy=90$
把$x^2+y^2=24$代入得：
$24+6xy=90$
解得$6xy=66$，即$xy=11$
【答案】
$\boxed{11}$
【知识点】
完全平方公式，二次根式运算，代数式化简
【点评】
本题考查完全平方公式在二次根式运算中的综合应用，解题的核心是通过降次、展开消去含根号的交叉项，再结合完全平方公式的变形代入已知条件求解，需要熟练掌握完全平方公式的各类变形技巧。
【难度系数】
0.6
15. [全国初中数学竞赛] 设 $ a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $，则
$\frac{a^5 + a^4 - 2a^3 - a^2 - a + 2}{a^3 - a} = \_\_\_\_\_\_.$
$\frac{a^5 + a^4 - 2a^3 - a^2 - a + 2}{a^3 - a} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
因为$a^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1-a$, 所以$a^2+a=1$. 所以原式$=\frac{a^3(a^2+a)-2a^3-(a^2+a)+2}{a· a^2-a}=\frac{a^3-2a^3-1+2}{a(1-a)-a}=\frac{-a^3+1}{-a^2}=\frac{-a^2· a+1}{a-1}=\frac{(a-1)a+1}{a-1}=\frac{a^2-a+1}{a-1}=\frac{1-a-a+1}{a-1}=\frac{-2(a-1)}{a-1}=-2$.
解析
【分析】
遇到含无理数的高次分式化简求值问题，直接代入a的值计算高次幂运算量极大，因此优先推导a满足的低次整式关系，通过降次简化计算：先计算$a^2$，整理可得$a^2+a=1$，再利用这个等式将分子、分母中的高次幂逐步替换为低次幂，最后化简分式即可得到结果。
【解析】
首先计算$a^2$：
$a^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
又$1-a=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，因此得$a^2=1-a$，即$a^2+a=1$。
将$a^2+a=1$代入原式降次化简：
分子：$a^5+a^4-2a^3-a^2-a+2=a^3(a^2+a)-2a^3-(a^2+a)+2$
代入$a^2+a=1$得：$a^3-2a^3-1+2=-a^3+1$
分母：$a^3-a=a· a^2-a$，代入$a^2=1-a$得：$a(1-a)-a=-a^2$
此时原式化简为$\frac{-a^3+1}{-a^2}$，继续将$a^3=a· a^2=a(1-a)$代入分子：
$-a^3+1=-a(1-a)+1=a^2-a+1$，再代入$a^2=1-a$得：$1-a-a+1=2-2a=-2(a-1)$
分母$-a^2=-(1-a)=a-1$
因此原式$=\frac{-2(a-1)}{a-1}=-2$（$a≠1$，可约分化简）
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式运算，整体代入，分式化简
【点评】
本题核心是通过推导a满足的低次等式实现高次幂降次，避免了直接计算高次无理数幂的繁琐，体现了整体代入的代数化简思想，熟练掌握降次技巧能大幅提升这类代数式求值题的解题效率。
【难度系数】
0.3
遇到含无理数的高次分式化简求值问题，直接代入a的值计算高次幂运算量极大，因此优先推导a满足的低次整式关系，通过降次简化计算：先计算$a^2$，整理可得$a^2+a=1$，再利用这个等式将分子、分母中的高次幂逐步替换为低次幂，最后化简分式即可得到结果。
【解析】
首先计算$a^2$：
$a^2=(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2=\frac{(\sqrt{5})^2-2\sqrt{5}+1}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
又$1-a=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，因此得$a^2=1-a$，即$a^2+a=1$。
将$a^2+a=1$代入原式降次化简：
分子：$a^5+a^4-2a^3-a^2-a+2=a^3(a^2+a)-2a^3-(a^2+a)+2$
代入$a^2+a=1$得：$a^3-2a^3-1+2=-a^3+1$
分母：$a^3-a=a· a^2-a$，代入$a^2=1-a$得：$a(1-a)-a=-a^2$
此时原式化简为$\frac{-a^3+1}{-a^2}$，继续将$a^3=a· a^2=a(1-a)$代入分子：
$-a^3+1=-a(1-a)+1=a^2-a+1$，再代入$a^2=1-a$得：$1-a-a+1=2-2a=-2(a-1)$
分母$-a^2=-(1-a)=a-1$
因此原式$=\frac{-2(a-1)}{a-1}=-2$（$a≠1$，可约分化简）
【答案】
$-2$
【知识点】
二次根式运算，整体代入，分式化简
【点评】
本题核心是通过推导a满足的低次等式实现高次幂降次，避免了直接计算高次无理数幂的繁琐，体现了整体代入的代数化简思想，熟练掌握降次技巧能大幅提升这类代数式求值题的解题效率。
【难度系数】
0.3
16. 某市去年口袋公园建设成效显著，推动完善了“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了绿化感受度和获得感. 在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，如图，地块的长为$2\sqrt{108}$米，宽为$2\sqrt{98}$米，现要在地块中间修建两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为$(2\sqrt{13}+3)$米，宽为$(2\sqrt{13}-3)$米.
(1)求长方形空闲地块的周长.
(2)除绿地部分，其他部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，铺地砖的费用为多少？
(1)求长方形空闲地块的周长.
(2)除绿地部分，其他部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为50元/平方米，铺地砖的费用为多少？
答案
(1)由题意可得,长方形空闲地块的周长为$2×(2\sqrt{108}+2\sqrt{98})=4(6\sqrt{3}+7\sqrt{2})=(24\sqrt{3}+28\sqrt{2})$米.
(2)铺地砖的面积为$2\sqrt{108}×2\sqrt{98}-2(2\sqrt{13}+3)·(2\sqrt{13}-3)=12\sqrt{3}×14\sqrt{2}-2×(52-9)=(168\sqrt{6}-86)$平方米,所以铺地砖的费用为$(168\sqrt{6}-86)×50=(8400\sqrt{6}-4300)$元.
(2)铺地砖的面积为$2\sqrt{108}×2\sqrt{98}-2(2\sqrt{13}+3)·(2\sqrt{13}-3)=12\sqrt{3}×14\sqrt{2}-2×(52-9)=(168\sqrt{6}-86)$平方米,所以铺地砖的费用为$(168\sqrt{6}-86)×50=(8400\sqrt{6}-4300)$元.
解析
【分析】
(1) 求解长方形空闲地块的周长，首先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。解题时先将题目给出的长、宽中的二次根式化简为最简二次根式，再代入公式计算即可。
(2) 求铺地砖的总费用，首先需要计算铺地砖的面积：铺地砖面积=大长方形地块总面积 - 2块阴影绿地的面积。先利用长方形面积公式计算大长方形的面积，再观察小长方形绿地的长和宽的形式，符合平方差公式的结构，用平方差公式快速计算单块绿地面积，乘以2得到两块绿地总面积，两者作差得到地砖面积后，再乘以每平方米的费用即可得到总费用，计算过程中注意遵循二次根式的运算法则。
【解析】
(1) 已知长方形地块长为$2\sqrt{108}$米，宽为$2\sqrt{98}$米，根据长方形周长公式：
周长$=2×(长+宽)$
先化简二次根式：$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{98}=7\sqrt{2}$
代入得：
$2×(2\sqrt{108}+2\sqrt{98})=2×(2×6\sqrt{3}+2×7\sqrt{2})=4×(6\sqrt{3}+7\sqrt{2})=24\sqrt{3}+28\sqrt{2}$（米）
(2) 先计算大长方形地块的面积：
$S_{大}=长×宽=2\sqrt{108}×2\sqrt{98}=12\sqrt{3}×14\sqrt{2}=168\sqrt{6}$（平方米）
再计算单块小长方形绿地的面积，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=2\sqrt{13}$，$b=3$：
$S_{单块}=(2\sqrt{13}+3)(2\sqrt{13}-3)=(2\sqrt{13})^2-3^2=52-9=43$（平方米）
两块绿地总面积为$2×43=86$（平方米）
则铺地砖的面积为$S_{地砖}=168\sqrt{6}-86$（平方米）
已知铺地砖费用为50元/平方米，总费用为：
$(168\sqrt{6}-86)×50=8400\sqrt{6}-4300$（元）
【答案】
(1) 长方形空闲地块的周长为$(24\sqrt{3}+28\sqrt{2})$米；
(2) 铺地砖的费用为$(8400\sqrt{6}-4300)$元。
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式，长方形周长与面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考察了二次根式的化简、运算等基础知识点，也要求学生能灵活运用平方差公式简化计算，解题时注意先化简二次根式再运算，能有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
(1) 求解长方形空闲地块的周长，首先回忆长方形周长公式：周长=2×(长+宽)。解题时先将题目给出的长、宽中的二次根式化简为最简二次根式，再代入公式计算即可。
(2) 求铺地砖的总费用，首先需要计算铺地砖的面积：铺地砖面积=大长方形地块总面积 - 2块阴影绿地的面积。先利用长方形面积公式计算大长方形的面积，再观察小长方形绿地的长和宽的形式，符合平方差公式的结构，用平方差公式快速计算单块绿地面积，乘以2得到两块绿地总面积，两者作差得到地砖面积后，再乘以每平方米的费用即可得到总费用，计算过程中注意遵循二次根式的运算法则。
【解析】
(1) 已知长方形地块长为$2\sqrt{108}$米，宽为$2\sqrt{98}$米，根据长方形周长公式：
周长$=2×(长+宽)$
先化简二次根式：$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{98}=7\sqrt{2}$
代入得：
$2×(2\sqrt{108}+2\sqrt{98})=2×(2×6\sqrt{3}+2×7\sqrt{2})=4×(6\sqrt{3}+7\sqrt{2})=24\sqrt{3}+28\sqrt{2}$（米）
(2) 先计算大长方形地块的面积：
$S_{大}=长×宽=2\sqrt{108}×2\sqrt{98}=12\sqrt{3}×14\sqrt{2}=168\sqrt{6}$（平方米）
再计算单块小长方形绿地的面积，利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，其中$a=2\sqrt{13}$，$b=3$：
$S_{单块}=(2\sqrt{13}+3)(2\sqrt{13}-3)=(2\sqrt{13})^2-3^2=52-9=43$（平方米）
两块绿地总面积为$2×43=86$（平方米）
则铺地砖的面积为$S_{地砖}=168\sqrt{6}-86$（平方米）
已知铺地砖费用为50元/平方米，总费用为：
$(168\sqrt{6}-86)×50=8400\sqrt{6}-4300$（元）
【答案】
(1) 长方形空闲地块的周长为$(24\sqrt{3}+28\sqrt{2})$米；
(2) 铺地砖的费用为$(8400\sqrt{6}-4300)$元。
【知识点】
二次根式的混合运算，平方差公式，长方形周长与面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景出题，既考察了二次根式的化简、运算等基础知识点，也要求学生能灵活运用平方差公式简化计算，解题时注意先化简二次根式再运算，能有效降低计算出错概率。
【难度系数】
0.7
17. ★★ [2026 上海实验学校模拟] 材料一:由$(\sqrt{5}+\sqrt{3})· (\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2$可以看出,两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,在进行二次根式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如:
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2};$
材料二:根式变形:
$\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}});$
$\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{15}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}).$
请根据以上材料,回答下列问题:
(1)$\frac{3}{3-\sqrt{6}}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)$\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+···+\frac{1}{49\sqrt{47}+47\sqrt{49}}=\_\_\_\_\_\_;$
(3)计算:
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3×5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{5×7}}+···+\frac{\sqrt{2027}-\sqrt{2025}}{1+\sqrt{2025}+\sqrt{2027}+\sqrt{2025×2027}}.$
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\sqrt{3}-\sqrt{2};$
材料二:根式变形:
$\frac{1}{3+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}});$
$\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{15}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{15}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}).$
请根据以上材料,回答下列问题:
(1)$\frac{3}{3-\sqrt{6}}=\_\_\_\_\_\_;$
(2)$\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+···+\frac{1}{49\sqrt{47}+47\sqrt{49}}=\_\_\_\_\_\_;$
(3)计算:
$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3×5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{5×7}}+···+\frac{\sqrt{2027}-\sqrt{2025}}{1+\sqrt{2025}+\sqrt{2027}+\sqrt{2025×2027}}.$
答案
(1)$3+\sqrt{6}$
(2)$\frac{3}{7}$
$\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+\dots+\frac{1}{49\sqrt{47}+47\sqrt{49}}$
$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}})+\dots+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{\sqrt{49}})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{7})=\frac{3}{7}$.
(3)原式$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}×\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{5}×\sqrt{7}}+\dots+\frac{\sqrt{2027}-\sqrt{2025}}{1+\sqrt{2025}+\sqrt{2027}+\sqrt{2025}×\sqrt{2027}}$
$=\frac{(\sqrt{5}+1)-(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)}+\frac{(\sqrt{7}+1)-(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{7}+1)}+\dots+\frac{(\sqrt{2027}+1)-(\sqrt{2025}+1)}{(\sqrt{2027}+1)(\sqrt{2025}+1)}$
$=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+1}-\frac{1}{\sqrt{7}+1}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}-\frac{\sqrt{2027}-1}{(\sqrt{2027}+1)(\sqrt{2027}-1)}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\sqrt{2027}-1}{2026}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2027}}{2}-\frac{506}{1013}$.
(2)$\frac{3}{7}$
$\frac{1}{3+\sqrt{3}}+\frac{1}{5\sqrt{3}+3\sqrt{5}}+\frac{1}{7\sqrt{5}+5\sqrt{7}}+\dots+\frac{1}{49\sqrt{47}+47\sqrt{49}}$
$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}})+\dots+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})$
$=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{\sqrt{49}})=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{7})=\frac{3}{7}$.
(3)原式$=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}×\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{5}×\sqrt{7}}+\dots+\frac{\sqrt{2027}-\sqrt{2025}}{1+\sqrt{2025}+\sqrt{2027}+\sqrt{2025}×\sqrt{2027}}$
$=\frac{(\sqrt{5}+1)-(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)}+\frac{(\sqrt{7}+1)-(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{7}+1)}+\dots+\frac{(\sqrt{2027}+1)-(\sqrt{2025}+1)}{(\sqrt{2027}+1)(\sqrt{2025}+1)}$
$=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+1}-\frac{1}{\sqrt{7}+1}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}-\frac{\sqrt{2027}-1}{(\sqrt{2027}+1)(\sqrt{2027}-1)}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\sqrt{2027}-1}{2026}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2027}}{2}-\frac{506}{1013}$.
解析
【分析】
(1) 本题考查基础分母有理化，只需找到分母$3-\sqrt{6}$的有理化因式$3+\sqrt{6}$，给分子分母同乘该因式即可化去分母中的根号计算结果。
(2) 结合材料二给出的根式变形规律，每一项都可拆为两个含根号分数差的$\frac{1}{2}$，拆分后中间项相互抵消，仅剩首尾两项，代入计算即可得到结果。
(3) 先对每一项的分母因式分解：$1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}=(1+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})$，再将分子$\sqrt{b}-\sqrt{a}$变形为$(1+\sqrt{b})-(1+\sqrt{a})$，即可把每一项拆为两个分式的差，利用裂项相消抵消中间项后，对剩余项分母有理化计算即可。
【解析】
(1) 对$\frac{3}{3-\sqrt{6}}$分母有理化：
$\frac{3}{3-\sqrt{6}}=\frac{3(3+\sqrt{6})}{(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}=\frac{3(3+\sqrt{6})}{9-6}=3+\sqrt{6}$
(2) 根据材料裂项规律拆分每一项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}})+\dots+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{7})\\&=\frac{3}{7}\end{aligned}$
(3) 先拆分每一项再裂项相消：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\sqrt{5}+1)-(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)}+\frac{(\sqrt{7}+1)-(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{7}+1)}+\dots+\frac{(\sqrt{2027}+1)-(\sqrt{2025}+1)}{(\sqrt{2025}+1)(\sqrt{2027}+1)}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+1}-\frac{1}{\sqrt{7}+1}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}-\frac{\sqrt{2027}-1}{(\sqrt{2027}+1)(\sqrt{2027}-1)}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\sqrt{2027}-1}{2026}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2027}}{2026}-\frac{506}{1013}\end{aligned}$
【答案】
(1) $3+\sqrt{6}$
(2) $\frac{3}{7}$
(3) $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2027}}{2026}-\frac{506}{1013}$
【知识点】
分母有理化，裂项相消法，二次根式混合运算
【点评】
本题为二次根式创新应用题，重点考查对材料方法的迁移应用能力，解题核心是发现算式的变形规律，利用裂项相消简化运算，能有效考查学生的类比推理和运算能力。
【难度系数】
0.4
(1) 本题考查基础分母有理化，只需找到分母$3-\sqrt{6}$的有理化因式$3+\sqrt{6}$，给分子分母同乘该因式即可化去分母中的根号计算结果。
(2) 结合材料二给出的根式变形规律，每一项都可拆为两个含根号分数差的$\frac{1}{2}$，拆分后中间项相互抵消，仅剩首尾两项，代入计算即可得到结果。
(3) 先对每一项的分母因式分解：$1+\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{ab}=(1+\sqrt{a})(1+\sqrt{b})$，再将分子$\sqrt{b}-\sqrt{a}$变形为$(1+\sqrt{b})-(1+\sqrt{a})$，即可把每一项拆为两个分式的差，利用裂项相消抵消中间项后，对剩余项分母有理化计算即可。
【解析】
(1) 对$\frac{3}{3-\sqrt{6}}$分母有理化：
$\frac{3}{3-\sqrt{6}}=\frac{3(3+\sqrt{6})}{(3-\sqrt{6})(3+\sqrt{6})}=\frac{3(3+\sqrt{6})}{9-6}=3+\sqrt{6}$
(2) 根据材料裂项规律拆分每一项：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}})+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt{7}})+\dots+\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{47}}-\frac{1}{\sqrt{49}})\\&=\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{7})\\&=\frac{3}{7}\end{aligned}$
(3) 先拆分每一项再裂项相消：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(\sqrt{5}+1)-(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)}+\frac{(\sqrt{7}+1)-(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{7}+1)}+\dots+\frac{(\sqrt{2027}+1)-(\sqrt{2025}+1)}{(\sqrt{2025}+1)(\sqrt{2027}+1)}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+1}-\frac{1}{\sqrt{7}+1}+\dots+\frac{1}{\sqrt{2025}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}\\&=\frac{1}{\sqrt{3}+1}-\frac{1}{\sqrt{2027}+1}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}-\frac{\sqrt{2027}-1}{(\sqrt{2027}+1)(\sqrt{2027}-1)}\\&=\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\sqrt{2027}-1}{2026}\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2027}}{2026}-\frac{506}{1013}\end{aligned}$
【答案】
(1) $3+\sqrt{6}$
(2) $\frac{3}{7}$
(3) $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2027}}{2026}-\frac{506}{1013}$
【知识点】
分母有理化，裂项相消法，二次根式混合运算
【点评】
本题为二次根式创新应用题，重点考查对材料方法的迁移应用能力，解题核心是发现算式的变形规律，利用裂项相消简化运算，能有效考查学生的类比推理和运算能力。
【难度系数】
0.4
