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1. 比较$\sqrt{6}+\sqrt{11}$与$\sqrt{14}+\sqrt{3}$的大小.
答案
因为$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2=17+2\sqrt{66}$，$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2=17+2\sqrt{42}$，$17+2\sqrt{66}＞17+2\sqrt{42}$，所以$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2＞(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2$。又因为$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$，所以$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要比较两个均为二次根式之和的式子的大小，直接估算或作差的方法比较繁琐。我们知道正数的平方越大，对应的原数也越大，因此可以先判断两个式子都为正数，再通过分别计算平方消去部分根号，转化为更易比较的形式，最后根据平方的大小关系推导原式的大小关系。
【解析】
解：$\because \sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$，
分别计算两个式子的平方：
$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2=(\sqrt{6})^2+2×\sqrt{6}×\sqrt{11}+(\sqrt{11})^2=6+2\sqrt{66}+11=17+2\sqrt{66}$，
$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{14})^2+2×\sqrt{14}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=14+2\sqrt{42}+3=17+2\sqrt{42}$，
$\because \sqrt{66}＞\sqrt{42}$，$\therefore 17+2\sqrt{66}＞17+2\sqrt{42}$，即$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2＞(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2$，
根据正数比较大小的性质：两个正数中平方更大的数本身更大，
可得$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算，实数大小比较，平方法比较大小
【点评】
本题是含二次根式式子比较大小的基础典型题，平方法是解决这类问题的常用技巧，解题时需先确定待比较式子的正负性，再通过平方运算简化式子，降低比较难度。
【难度系数】
0.7
要比较两个均为二次根式之和的式子的大小，直接估算或作差的方法比较繁琐。我们知道正数的平方越大，对应的原数也越大，因此可以先判断两个式子都为正数，再通过分别计算平方消去部分根号，转化为更易比较的形式，最后根据平方的大小关系推导原式的大小关系。
【解析】
解：$\because \sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$，
分别计算两个式子的平方：
$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2=(\sqrt{6})^2+2×\sqrt{6}×\sqrt{11}+(\sqrt{11})^2=6+2\sqrt{66}+11=17+2\sqrt{66}$，
$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2=(\sqrt{14})^2+2×\sqrt{14}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=14+2\sqrt{42}+3=17+2\sqrt{42}$，
$\because \sqrt{66}＞\sqrt{42}$，$\therefore 17+2\sqrt{66}＞17+2\sqrt{42}$，即$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^2＞(\sqrt{14}+\sqrt{3})^2$，
根据正数比较大小的性质：两个正数中平方更大的数本身更大，
可得$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式运算，实数大小比较，平方法比较大小
【点评】
本题是含二次根式式子比较大小的基础典型题，平方法是解决这类问题的常用技巧，解题时需先确定待比较式子的正负性，再通过平方运算简化式子，降低比较难度。
【难度系数】
0.7
2. 一题多解 比较$\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 2}$与$\frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 3}$的大小.
答案
解法1：$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2} ÷ \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3} = \frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)^2} = \frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}＜1$。
易知$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$，$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$，所以$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
解法2：$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{a+4\sqrt{a}+4}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}=\frac{-1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}＜0$，
所以$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
易知$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$，$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$，所以$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
解法2：$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{a+4\sqrt{a}+4}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}=\frac{-1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}＜0$，
所以$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
解析
【分析】
比较两个代数式大小的常用方法有作差法和作商法，解题前先明确隐含条件：二次根式的被开方数非负，即$a≥0$，因此$\sqrt{a}≥0$，可得两个分式的分子、分母均为正数，两个分式都大于0，可选择两种方法解题：
1. 作商法：两个正数相除，若商小于1，则被除数小于除数；若商大于1，则被除数大于除数。将两个分式相除，化简后对比结果和1的大小即可判断。
2. 作差法：两个代数式作差，若差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数。将两个分式通分后计算差值，判断差值的符号即可判断大小。
【解析】
由二次根式的性质得$a≥0$，因此$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$，$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$。
解法1（作商法）：
$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2} ÷ \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3} = \frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)^2} = \frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}$
因为分子$a+4\sqrt{a}+3$比分母$a+4\sqrt{a}+4$小1，所以$\frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}＜1$，因此$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
解法2（作差法）：
$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{(\sqrt{a}+2)^2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{a+4\sqrt{a}+4}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{-1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}$
因为分母$(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)＞0$，分子为-1，所以差值小于0，因此$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 2}＜\frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 3}$
【知识点】
作差法比较大小，作商法比较大小，二次根式运算
【点评】
本题是代数式大小比较的典型习题，给出了两种常用的比较思路，解题时需先挖掘二次根式的隐含条件确定代数式符号，再结合分式、二次根式的运算化简判断，能有效训练解题思维，掌握多方法解题的技巧。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式大小的常用方法有作差法和作商法，解题前先明确隐含条件：二次根式的被开方数非负，即$a≥0$，因此$\sqrt{a}≥0$，可得两个分式的分子、分母均为正数，两个分式都大于0，可选择两种方法解题：
1. 作商法：两个正数相除，若商小于1，则被除数小于除数；若商大于1，则被除数大于除数。将两个分式相除，化简后对比结果和1的大小即可判断。
2. 作差法：两个代数式作差，若差小于0，则被减数小于减数；若差大于0，则被减数大于减数。将两个分式通分后计算差值，判断差值的符号即可判断大小。
【解析】
由二次根式的性质得$a≥0$，因此$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＞0$，$\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}＞0$。
解法1（作商法）：
$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2} ÷ \frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3} = \frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)^2} = \frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}$
因为分子$a+4\sqrt{a}+3$比分母$a+4\sqrt{a}+4$小1，所以$\frac{a+4\sqrt{a}+3}{a+4\sqrt{a}+4}＜1$，因此$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
解法2（作差法）：
$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}=\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{(\sqrt{a}+2)^2}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{a+4\sqrt{a}+3}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}-\frac{a+4\sqrt{a}+4}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}$
$=\frac{-1}{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)}$
因为分母$(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}+3)＞0$，分子为-1，所以差值小于0，因此$\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}＜\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 2}＜\frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 3}$
【知识点】
作差法比较大小，作商法比较大小，二次根式运算
【点评】
本题是代数式大小比较的典型习题，给出了两种常用的比较思路，解题时需先挖掘二次根式的隐含条件确定代数式符号，再结合分式、二次根式的运算化简判断，能有效训练解题思维，掌握多方法解题的技巧。
【难度系数】
0.7
3. (1)比较$\sqrt{15}-\sqrt{14}$与$\sqrt{14}-\sqrt{13}$的大小；
(2)比较$\sqrt{15}-\sqrt{13}$与$\sqrt{13}-\sqrt{11}$的大小。
(2)比较$\sqrt{15}-\sqrt{13}$与$\sqrt{13}-\sqrt{11}$的大小。
答案
(1) 因为$\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
且$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$，
所以$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(2) 因为$\sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$，
$\sqrt{13}-\sqrt{11}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，
且$\sqrt{15}+\sqrt{13}＞\sqrt{13}+\sqrt{11}＞0$，
所以$\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}＜\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，即$\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$。
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
且$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$，
所以$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(2) 因为$\sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$，
$\sqrt{13}-\sqrt{11}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，
且$\sqrt{15}+\sqrt{13}＞\sqrt{13}+\sqrt{11}＞0$，
所以$\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}＜\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，即$\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$。
解析
【分析】
比较两个二次根式差的大小时，直接作差或者估算误差较大，可采用分子有理化的方法，将两个式子转化为分子为相同正数、分母为两个二次根式之和的形式，再根据“分子相同的正分数，分母越大，分数值越小”的性质比较大小。本题两小问中，式子有理化后分子分别均为1、均为2，只需比较对应分母的大小即可得出原式的大小关系。
【解析】
(1) 对两个式子进行分子有理化：
$\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{14})^2}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{(\sqrt{14})^2-(\sqrt{13})^2}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
因为$\sqrt{15}＞\sqrt{13}$，所以$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$，
根据同分子正分数的性质，得$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(2) 对两个式子进行分子有理化：
$\sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{13})^2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$，
$\sqrt{13}-\sqrt{11}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{11})^2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，
因为$\sqrt{15}＞\sqrt{11}$，所以$\sqrt{15}+\sqrt{13}＞\sqrt{13}+\sqrt{11}＞0$，
根据同分子正分数的性质，得$\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}＜\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$。
【答案】
(1) $\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$；(2) $\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$
【知识点】
1. 二次根式大小比较；2. 分子有理化；3. 分数性质
【点评】
分子有理化是比较两个二次根式差的大小的常用技巧，本题通过将分子转化为相同的常数，把问题转化为比较分母大小，简化了计算过程，避免了直接估算的误差，该方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
比较两个二次根式差的大小时，直接作差或者估算误差较大，可采用分子有理化的方法，将两个式子转化为分子为相同正数、分母为两个二次根式之和的形式，再根据“分子相同的正分数，分母越大，分数值越小”的性质比较大小。本题两小问中，式子有理化后分子分别均为1、均为2，只需比较对应分母的大小即可得出原式的大小关系。
【解析】
(1) 对两个式子进行分子有理化：
$\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{14})(\sqrt{15}+\sqrt{14})}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{14})^2}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$，
$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{14}-\sqrt{13})(\sqrt{14}+\sqrt{13})}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{(\sqrt{14})^2-(\sqrt{13})^2}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
因为$\sqrt{15}＞\sqrt{13}$，所以$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}＞0$，
根据同分子正分数的性质，得$\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}＜\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(2) 对两个式子进行分子有理化：
$\sqrt{15}-\sqrt{13}=\frac{(\sqrt{15}-\sqrt{13})(\sqrt{15}+\sqrt{13})}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{(\sqrt{15})^2-(\sqrt{13})^2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}$，
$\sqrt{13}-\sqrt{11}=\frac{(\sqrt{13}-\sqrt{11})(\sqrt{13}+\sqrt{11})}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{(\sqrt{13})^2-(\sqrt{11})^2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}=\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，
因为$\sqrt{15}＞\sqrt{11}$，所以$\sqrt{15}+\sqrt{13}＞\sqrt{13}+\sqrt{11}＞0$，
根据同分子正分数的性质，得$\frac{2}{\sqrt{15}+\sqrt{13}}＜\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$，
即$\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$。
【答案】
(1) $\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$；(2) $\sqrt{15}-\sqrt{13}＜\sqrt{13}-\sqrt{11}$
【知识点】
1. 二次根式大小比较；2. 分子有理化；3. 分数性质
【点评】
分子有理化是比较两个二次根式差的大小的常用技巧，本题通过将分子转化为相同的常数，把问题转化为比较分母大小，简化了计算过程，避免了直接估算的误差，该方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
4. 比较$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$与$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$的大小.
答案
因为$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$，$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$。
解析
【分析】
要比较两个分母含二次根式的分式大小，直接通分计算复杂度高，因此优先选择分母有理化的方法：利用平方差公式给两个分式的分子分母同乘对应分母的有理化因式，将分母化为有理数，化简后两个式子都含有公共项$\sqrt{3}$，只需比较剩余部分的大小即可得出结论。
【解析】
1. 对$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$分母有理化：
给分子、分母同时乘$2+\sqrt{3}$，得
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
2. 对$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$分母有理化：
给分子、分母同时乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，得
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
3. 比较化简后式子的大小：
因为$2＞\sqrt{2}$，所以$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$，即$\frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
【答案】
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 分母有理化 2. 二次根式大小比较 3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础典型题，解题关键是熟练掌握分母有理化的操作，将形式复杂的分式转化为整式后再比较大小，能大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.8
要比较两个分母含二次根式的分式大小，直接通分计算复杂度高，因此优先选择分母有理化的方法：利用平方差公式给两个分式的分子分母同乘对应分母的有理化因式，将分母化为有理数，化简后两个式子都含有公共项$\sqrt{3}$，只需比较剩余部分的大小即可得出结论。
【解析】
1. 对$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$分母有理化：
给分子、分母同时乘$2+\sqrt{3}$，得
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1×(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
2. 对$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$分母有理化：
给分子、分母同时乘$\sqrt{3}+\sqrt{2}$，得
$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{1×(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$
3. 比较化简后式子的大小：
因为$2＞\sqrt{2}$，所以$2+\sqrt{3}＞\sqrt{3}+\sqrt{2}$，即$\frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
【答案】
$\frac{1}{2-\sqrt{3}}＞\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
【知识点】
1. 分母有理化 2. 二次根式大小比较 3. 平方差公式
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础典型题，解题关键是熟练掌握分母有理化的操作，将形式复杂的分式转化为整式后再比较大小，能大幅降低解题难度。
【难度系数】
0.8
5. 比较 $3 - \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6} - 2$ 的大小.
答案
因为$3-\sqrt{6}-(\sqrt{6}-2)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$，$5-2\sqrt{6}=\sqrt{25}-\sqrt{24}＞0$，所以$3-\sqrt{6}＞\sqrt{6}-2$。
解析
【分析】
比较两个实数的大小可优先选用作差法：若两个式子的差大于0，则被减数大于减数；若差小于0，则被减数小于减数。本题中两个式子都含有$\sqrt{6}$，作差后可合并同类二次根式得到差为$5-2\sqrt{6}$，接下来只需判断这个差的正负即可。判断差的正负时，可将整数和带系数的二次根式都转化为纯算术平方根的形式，根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能快速判断差的正负，进而得出两个原式的大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小：
1. 计算两式的差：
$3-\sqrt{6}-(\sqrt{6}-2)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$
2. 判断差的正负：
将差中的各项转化为算术平方根形式，$5=\sqrt{5^2}=\sqrt{25}$，$2\sqrt{6}=\sqrt{2^2×6}=\sqrt{24}$。
因为$25＞24$，所以$\sqrt{25}＞\sqrt{24}$，即$5＞2\sqrt{6}$，因此$5-2\sqrt{6}＞0$。
3. 根据差的正负判断原式大小：两式的差大于0，说明被减数更大。
【答案】
$3-\sqrt{6}＞\sqrt{6}-2$
【知识点】
作差法比较大小；二次根式的化简；实数大小比较
【点评】
本题是含二次根式的实数大小比较的典型基础题，作差法是解决此类问题的常用基础方法，解题关键是将作差后的结果变形为容易判断正负的形式，将整数转化为算术平方根比较大小的技巧实用性强，能有效巩固二次根式的性质与大小比较的方法。
【难度系数】
0.7
比较两个实数的大小可优先选用作差法：若两个式子的差大于0，则被减数大于减数；若差小于0，则被减数小于减数。本题中两个式子都含有$\sqrt{6}$，作差后可合并同类二次根式得到差为$5-2\sqrt{6}$，接下来只需判断这个差的正负即可。判断差的正负时，可将整数和带系数的二次根式都转化为纯算术平方根的形式，根据“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，就能快速判断差的正负，进而得出两个原式的大小关系。
【解析】
利用作差法比较大小：
1. 计算两式的差：
$3-\sqrt{6}-(\sqrt{6}-2)=3-\sqrt{6}-\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6}$
2. 判断差的正负：
将差中的各项转化为算术平方根形式，$5=\sqrt{5^2}=\sqrt{25}$，$2\sqrt{6}=\sqrt{2^2×6}=\sqrt{24}$。
因为$25＞24$，所以$\sqrt{25}＞\sqrt{24}$，即$5＞2\sqrt{6}$，因此$5-2\sqrt{6}＞0$。
3. 根据差的正负判断原式大小：两式的差大于0，说明被减数更大。
【答案】
$3-\sqrt{6}＞\sqrt{6}-2$
【知识点】
作差法比较大小；二次根式的化简；实数大小比较
【点评】
本题是含二次根式的实数大小比较的典型基础题，作差法是解决此类问题的常用基础方法，解题关键是将作差后的结果变形为容易判断正负的形式，将整数转化为算术平方根比较大小的技巧实用性强，能有效巩固二次根式的性质与大小比较的方法。
【难度系数】
0.7
6. 已知$x=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1},y=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}$，试比较$x,y$的大小.
答案
$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}＞0$，
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$。
因为$\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＞0$，
所以$\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$，所以$x＜y$。
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$。
因为$\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+\sqrt{n}＞0$，
所以$\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$，所以$x＜y$。
解析
【分析】
要比较两个均为二次根式作差形式的式子x、y的大小，直接作差或作商计算较复杂。观察可知x和y均为正数（被开方数越大，算术平方根越大，因此√(n+3)＞√(n+1)，√(n+2)＞√n，故x＞0，y＞0），对于正数而言，倒数越大原数越小，因此可采用倒数法：先分别对x、y求倒数，通过分母有理化将倒数转化为两个二次根式相加的形式，再比较倒数的大小，最终反推x、y的大小关系。
【解析】
首先判断x、y的符号：
∵n+3＞n+1，n+2＞n，
∴√(n+3)＞√(n+1)，√(n+2)＞√n，
∴x＞0，y＞0。
分别求x、y的倒数并分母有理化：
$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{(n+3)-(n+1)}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}＞0$
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{(n+2)-n}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$
比较两个倒数的大小：
∵√(n+3)＞√(n+2)，√(n+1)＞√n，
∴√(n+3)+√(n+1) ＞ √(n+2)+√n ＞ 0，
∴$\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2} ＞ \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}$，即$\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$。
根据正数的倒数越大，原数越小，可得x＜y。
【答案】
$x＜y$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式大小比较
3. 倒数法比较大小
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，当遇到两个二次根式作差、且被开方数的差相等的结构时，采用倒数法结合分母有理化能快速简化运算，降低比较难度。使用倒数法比较大小时要注意先判断两个数的符号，只有当两数同号时，才能通过倒数大小反推原数大小。
【难度系数】
0.6
要比较两个均为二次根式作差形式的式子x、y的大小，直接作差或作商计算较复杂。观察可知x和y均为正数（被开方数越大，算术平方根越大，因此√(n+3)＞√(n+1)，√(n+2)＞√n，故x＞0，y＞0），对于正数而言，倒数越大原数越小，因此可采用倒数法：先分别对x、y求倒数，通过分母有理化将倒数转化为两个二次根式相加的形式，再比较倒数的大小，最终反推x、y的大小关系。
【解析】
首先判断x、y的符号：
∵n+3＞n+1，n+2＞n，
∴√(n+3)＞√(n+1)，√(n+2)＞√n，
∴x＞0，y＞0。
分别求x、y的倒数并分母有理化：
$\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{(n+3)-(n+1)}=\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2}＞0$
$\frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{(n+2)-n}=\frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}＞0$
比较两个倒数的大小：
∵√(n+3)＞√(n+2)，√(n+1)＞√n，
∴√(n+3)+√(n+1) ＞ √(n+2)+√n ＞ 0，
∴$\frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}{2} ＞ \frac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}{2}$，即$\frac{1}{x}＞\frac{1}{y}＞0$。
根据正数的倒数越大，原数越小，可得x＜y。
【答案】
$x＜y$
【知识点】
1. 分母有理化
2. 二次根式大小比较
3. 倒数法比较大小
【点评】
本题是二次根式大小比较的典型题型，当遇到两个二次根式作差、且被开方数的差相等的结构时，采用倒数法结合分母有理化能快速简化运算，降低比较难度。使用倒数法比较大小时要注意先判断两个数的符号，只有当两数同号时，才能通过倒数大小反推原数大小。
【难度系数】
0.6
7. 比较 $A = \sqrt{54\ 321 × 54\ 324}$ 与 $B = \sqrt{54\ 323 × 54\ 322}$ 的大小.
答案
设$54321=x$，则$A=\sqrt{x(x+3)}=\sqrt{x^2+3x}$，
$B=\sqrt{(x+2)(x+1)}=\sqrt{x^2+3x+2}$。
因为$x^2+3x＜x^2+3x+2$，所以$A＜B$。
$B=\sqrt{(x+2)(x+1)}=\sqrt{x^2+3x+2}$。
因为$x^2+3x＜x^2+3x+2$，所以$A＜B$。
解析
【分析】
要比较两个二次根式的大小，由于根号下的两个乘数都是相近的大数，直接计算乘积数值过大，运算繁琐。观察发现四个乘数54321、54322、54323、54324是连续的正整数，因此可以采用换元法，将最小的数设为x，把其余三个数用含x的代数式表示，再分别展开两个根号下的乘积，最后根据二次根式的性质：当被开方数均为非负数时，被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较被开方数的大小即可判断A、B的大小。
【解析】
设$54321 = x$，则：
$A = \sqrt{x(x+3)} = \sqrt{x^2 + 3x}$
$B = \sqrt{(x+1)(x+2)} = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$
因为$x^2 + 3x ＜ x^2 + 3x + 2$，且两个二次根式的被开方数均为正数，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{x^2 + 3x} ＜ \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，即$A ＜ B$。
【答案】
$A ＜ B$
【知识点】
换元法、二次根式大小比较、多项式乘多项式
【点评】
本题考查二次根式的大小比较技巧，解题的关键是观察到乘数为连续整数的特征，通过换元法将大数运算转化为整式运算，大幅简化计算过程，避免了直接计算大数乘积的繁琐，体现了换元思想在简化运算中的作用。
【难度系数】
0.7
要比较两个二次根式的大小，由于根号下的两个乘数都是相近的大数，直接计算乘积数值过大，运算繁琐。观察发现四个乘数54321、54322、54323、54324是连续的正整数，因此可以采用换元法，将最小的数设为x，把其余三个数用含x的代数式表示，再分别展开两个根号下的乘积，最后根据二次根式的性质：当被开方数均为非负数时，被开方数越大，对应的算术平方根越大，通过比较被开方数的大小即可判断A、B的大小。
【解析】
设$54321 = x$，则：
$A = \sqrt{x(x+3)} = \sqrt{x^2 + 3x}$
$B = \sqrt{(x+1)(x+2)} = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$
因为$x^2 + 3x ＜ x^2 + 3x + 2$，且两个二次根式的被开方数均为正数，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{x^2 + 3x} ＜ \sqrt{x^2 + 3x + 2}$，即$A ＜ B$。
【答案】
$A ＜ B$
【知识点】
换元法、二次根式大小比较、多项式乘多项式
【点评】
本题考查二次根式的大小比较技巧，解题的关键是观察到乘数为连续整数的特征，通过换元法将大数运算转化为整式运算，大幅简化计算过程，避免了直接计算大数乘积的繁琐，体现了换元思想在简化运算中的作用。
【难度系数】
0.7
