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1. 下列方程组：
① $\begin{cases} x+6=13, \\ y-x=2; \end{cases}$ ② $\begin{cases} x+y=15, \\ 4y-3x=3; \end{cases}$
③ $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3, \\ x+y=2; \end{cases}$ ④ $\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
其中是二元一次方程组的是 （
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①②③
① $\begin{cases} x+6=13, \\ y-x=2; \end{cases}$ ② $\begin{cases} x+y=15, \\ 4y-3x=3; \end{cases}$
③ $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3, \\ x+y=2; \end{cases}$ ④ $\begin{cases} x=1, \\ y=2. \end{cases}$
其中是二元一次方程组的是 （
C
）A.①②
B.③④
C.①②④
D.①②③
答案
1.C
解析
【分析】
要判断所给方程组是否为二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的判定标准：①方程组中总共含有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1；③由至少2个方程组成。接下来对照标准逐个分析4个方程组，选出全部符合的即可。
【解析】
根据二元一次方程组的判定条件逐一分析：
1. 分析①：方程组共含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
2. 分析②：方程组共含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
3. 分析③：第一个方程$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3$的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足整式方程的要求，因此不属于二元一次方程组；
4. 分析④：方程组共含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义。
综上，属于二元一次方程组的是①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的定义、分式方程的识别
【点评】
本题属于概念类基础题，易错点有两个：一是误认为二元一次方程组的每个方程都必须含有两个未知数，实际上只要方程组整体含两个未知数即可，比如①和④中的单个方程可以只含一个未知数；二是忽略二元一次方程组的方程必须都是整式方程的要求，遇到分母含未知数的方程要首先排除。
【难度系数】
0.7
要判断所给方程组是否为二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的判定标准：①方程组中总共含有2个不同的未知数；②所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1；③由至少2个方程组成。接下来对照标准逐个分析4个方程组，选出全部符合的即可。
【解析】
根据二元一次方程组的判定条件逐一分析：
1. 分析①：方程组共含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
2. 分析②：方程组共含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义；
3. 分析③：第一个方程$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=3$的分母中含有未知数，属于分式方程，不满足整式方程的要求，因此不属于二元一次方程组；
4. 分析④：方程组共含x、y2个未知数，两个方程都是整式方程，含未知数的项的次数均为1，符合二元一次方程组的定义。
综上，属于二元一次方程组的是①②④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的定义、分式方程的识别
【点评】
本题属于概念类基础题，易错点有两个：一是误认为二元一次方程组的每个方程都必须含有两个未知数，实际上只要方程组整体含两个未知数即可，比如①和④中的单个方程可以只含一个未知数；二是忽略二元一次方程组的方程必须都是整式方程的要求，遇到分母含未知数的方程要首先排除。
【难度系数】
0.7
2. 已知$(m-1)x^{|m|}+y^{2n-1}=3$是二元一次方程，则
$m+n=$
$m+n=$
0
.答案
2.0
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣二元一次方程的定义推导未知数的取值：二元一次方程需满足三个核心条件：①方程中共含有2个不同的未知数；②每个含未知数的项的次数都为1；③每个未知数的系数都不为0。我们可以根据这三个条件分别列出关于m、n的关系式，求解得到m、n的取值后，再计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m|}+y^{2n-1}=3$是二元一次方程
∴根据二元一次方程的定义，可列条件：
1. 要保证x的系数不为0，即 $m-1≠0$，解得$m≠1$
2. x的次数为1，即 $|m|=1$，解得$m=\pm1$
3. y的次数为1，即 $2n-1=1$，解得$n=1$
结合前两个条件，$m=\pm1$且$m≠1$，因此$m=-1$
∴$m+n=-1+1=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题是概念类基础题，解题的易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误取m=1导致结果错误，学习概念时要注意梳理全所有限制要求，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需紧扣二元一次方程的定义推导未知数的取值：二元一次方程需满足三个核心条件：①方程中共含有2个不同的未知数；②每个含未知数的项的次数都为1；③每个未知数的系数都不为0。我们可以根据这三个条件分别列出关于m、n的关系式，求解得到m、n的取值后，再计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵$(m-1)x^{|m|}+y^{2n-1}=3$是二元一次方程
∴根据二元一次方程的定义，可列条件：
1. 要保证x的系数不为0，即 $m-1≠0$，解得$m≠1$
2. x的次数为1，即 $|m|=1$，解得$m=\pm1$
3. y的次数为1，即 $2n-1=1$，解得$n=1$
结合前两个条件，$m=\pm1$且$m≠1$，因此$m=-1$
∴$m+n=-1+1=0$
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质，代数式求值
【点评】
本题是概念类基础题，解题的易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，误取m=1导致结果错误，学习概念时要注意梳理全所有限制要求，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.7
3. 若关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+y=b,\\cx-y=d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3,\\y=-2,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+2y=2a+b,\\cx-2y=2c+d\end{cases}$的解是 ______ 。
答案
3.$\begin{cases} x=5,\\ y=-1 \end{cases}$
【点拨】将方程组$\begin{cases}ax+2y=2a+b,\\cx-2y=2c+d\end{cases}$整理得$\begin{cases}a(x-2)+2y=b,\\c(x-2)-2y=d.\end{cases}$又因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+y=b,\\cx-y=d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3,\\y=-2,\end{cases}$所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+2y=2a+b,\\cx-2y=2c+d\end{cases}$的解满足$\begin{cases}x-2=3,\\2y=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=-1.\end{cases}$
【点拨】将方程组$\begin{cases}ax+2y=2a+b,\\cx-2y=2c+d\end{cases}$整理得$\begin{cases}a(x-2)+2y=b,\\c(x-2)-2y=d.\end{cases}$又因为关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}ax+y=b,\\cx-y=d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3,\\y=-2,\end{cases}$所以关于$x,y$的方程组$\begin{cases}ax+2y=2a+b,\\cx-2y=2c+d\end{cases}$的解满足$\begin{cases}x-2=3,\\2y=-2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=5,\\y=-1.\end{cases}$
解析
【分析】
本题可通过观察两个方程组的结构特征，运用整体代换的思想求解。首先将待求解的方程组变形，把右侧含a、c的项移到左侧，整理为与已知解的方程组结构一致的形式，再将整理后的整体部分对应已知方程组的未知数，结合已知的解列等式，即可快速求出新方程组的解。
【解析】
首先对第二个方程组进行变形整理：
将$\begin{cases}ax+2y=2a+b\\cx-2y=2c+d\end{cases}$移项，把含$a$、$c$的项移到等号左侧，可得：
$\begin{cases}ax - 2a + 2y = b\\cx - 2c - 2y = d\end{cases}$
提取公因式得：$\begin{cases}a(x-2)+2y = b\\c(x-2)-2y = d\end{cases}$
已知二元一次方程组$\begin{cases}ax+y=b\\cx-y=d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$，对比两个方程组的结构，可将$(x-2)$看作第一个方程组中的$x$，将$2y$看作第一个方程组中的$y$，因此可得：
$\begin{cases}x-2=3\\2y=-2\end{cases}$
分别求解两个一元一次方程：
由$x-2=3$，解得$x=5$；
由$2y=-2$，解得$y=-1$。
【答案】
$\begin{cases} x=5\\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组的解
2.整体换元思想
【点评】
本题是二元一次方程组解的应用类典型题，不需要代入参数繁琐计算，重点考察观察方程组结构的能力和整体代换的数学思想，掌握对应换元的方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题可通过观察两个方程组的结构特征，运用整体代换的思想求解。首先将待求解的方程组变形，把右侧含a、c的项移到左侧，整理为与已知解的方程组结构一致的形式，再将整理后的整体部分对应已知方程组的未知数，结合已知的解列等式，即可快速求出新方程组的解。
【解析】
首先对第二个方程组进行变形整理：
将$\begin{cases}ax+2y=2a+b\\cx-2y=2c+d\end{cases}$移项，把含$a$、$c$的项移到等号左侧，可得：
$\begin{cases}ax - 2a + 2y = b\\cx - 2c - 2y = d\end{cases}$
提取公因式得：$\begin{cases}a(x-2)+2y = b\\c(x-2)-2y = d\end{cases}$
已知二元一次方程组$\begin{cases}ax+y=b\\cx-y=d\end{cases}$的解是$\begin{cases}x=3\\y=-2\end{cases}$，对比两个方程组的结构，可将$(x-2)$看作第一个方程组中的$x$，将$2y$看作第一个方程组中的$y$，因此可得：
$\begin{cases}x-2=3\\2y=-2\end{cases}$
分别求解两个一元一次方程：
由$x-2=3$，解得$x=5$；
由$2y=-2$，解得$y=-1$。
【答案】
$\begin{cases} x=5\\ y=-1 \end{cases}$
【知识点】
1.二元一次方程组的解
2.整体换元思想
【点评】
本题是二元一次方程组解的应用类典型题，不需要代入参数繁琐计算，重点考察观察方程组结构的能力和整体代换的数学思想，掌握对应换元的方法就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
4. 下列方程组中是三元一次方程组的是 （ ）
A.$\begin{cases}x^2 - 2 = 3, \\3x - y = 6, \\\frac{1}{2}x - z = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y = 1, \\2x + 3y = 6, \\\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x - 4y + 2z = 3, \\\frac{1}{2}x - y + z = -1, \\x + y - z = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1, \\2x + 3y - 4z = 2, \\\frac{x}{2} - \frac{2}{3}y - z = \frac{11}{6}\end{cases}$
A.$\begin{cases}x^2 - 2 = 3, \\3x - y = 6, \\\frac{1}{2}x - z = 5\end{cases}$
B.$\begin{cases}x - y = 1, \\2x + 3y = 6, \\\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}y = 7\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x - 4y + 2z = 3, \\\frac{1}{2}x - y + z = -1, \\x + y - z = -2\end{cases}$
D.$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1, \\2x + 3y - 4z = 2, \\\frac{x}{2} - \frac{2}{3}y - z = \frac{11}{6}\end{cases}$
答案
4.C
解析
【分析】
要判断哪个是三元一次方程组，首先需明确三元一次方程组的3个核心判定条件：①方程组中一共含有3个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（即分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数均为1。解题时只需逐个核对四个选项是否同时满足这三个条件，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：第一个方程中$x$的次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：三个方程仅含有$x$、$y$共2个未知数，不满足“共3个未知数”的要求，属于二元一次方程组，不是三元一次方程组；
选项C：方程组共含$x$、$y$、$z$3个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合三元一次方程组的定义；
选项D：第一个方程的分母含有未知数$x$、$y$、$z$，属于分式方程，不满足“所有方程都是整式方程”的要求，不是三元一次方程组。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的定义，整式方程的判断，方程次数的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三元一次方程组定义的掌握程度，解题的关键是牢记判定的三个核心条件，避免因忽略“整式要求”“次数要求”“未知数个数要求”出现错选。
【难度系数】
0.8
要判断哪个是三元一次方程组，首先需明确三元一次方程组的3个核心判定条件：①方程组中一共含有3个不同的未知数；②所有方程都是整式方程（即分母不含未知数）；③每个方程中含未知数的项的次数均为1。解题时只需逐个核对四个选项是否同时满足这三个条件，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：第一个方程中$x$的次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是三元一次方程组；
选项B：三个方程仅含有$x$、$y$共2个未知数，不满足“共3个未知数”的要求，属于二元一次方程组，不是三元一次方程组；
选项C：方程组共含$x$、$y$、$z$3个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合三元一次方程组的定义；
选项D：第一个方程的分母含有未知数$x$、$y$、$z$，属于分式方程，不满足“所有方程都是整式方程”的要求，不是三元一次方程组。
综上，只有选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
三元一次方程组的定义，整式方程的判断，方程次数的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对三元一次方程组定义的掌握程度，解题的关键是牢记判定的三个核心条件，避免因忽略“整式要求”“次数要求”“未知数个数要求”出现错选。
【难度系数】
0.8
5. 已知三角形的周长为 30,三边长分别是$a,b,c$,且$a+2b-c=13,2a=c+3$,则三角形的三边长分别为
8,9,13
.答案
5.8,9,13
【点拨】因为三角形的周长为30，三边长分别是a,b,c，所以a + b + c = 30. 联立，得$\begin{cases}a+b+c=30①,\\a+2b-c=13②,\\2a=c+3③,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=8,\\b=9,\\c=13.\end{cases}$所以三角形的三边长分别为8,9,13.
【点拨】因为三角形的周长为30，三边长分别是a,b,c，所以a + b + c = 30. 联立，得$\begin{cases}a+b+c=30①,\\a+2b-c=13②,\\2a=c+3③,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=8,\\b=9,\\c=13.\end{cases}$所以三角形的三边长分别为8,9,13.
解析
【分析】
首先根据三角形周长的定义，周长为三边长之和，可得到第一个等量关系$a+b+c=30$；结合题目给出的另外两个关于$a、b、c$的等式，即可得到含三个未知数的三元一次方程组。接下来通过代入消元法或加减消元法逐步消元，先求出其中一个未知数的值，再依次推导得到另外两个未知数的取值，最后验证结果是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
已知三角形周长为30，根据周长定义可得：
$a + b + c = 30$ ①
结合题目给出的条件：
$a+2b-c=13$ ②
$2a=c+3$ ③
联立①②③得到三元一次方程组。
首先将③变形为$c=2a-3$，分别代入①和②：
代入①得：$a + b + 2a - 3 = 30$，整理得$3a + b = 33$ ④
代入②得：$a + 2b - (2a - 3) = 13$，整理得$-a + 2b = 10$ ⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组：
由④得$b = 33 - 3a$，代入⑤得：
$-a + 2(33 - 3a) = 10$
$-a + 66 - 6a =10$
$-7a = -56$
解得$a=8$
将$a=8$代入④得：$3×8 + b =33$，解得$b=9$
将$a=8$代入③得：$2×8 = c +3$，解得$c=13$
验证：$8+9+13=30$，符合周长条件；$8+9＞13$，满足三角形三边关系，结果正确。
【答案】
8,9,13
【知识点】
三角形周长定义，解三元一次方程组，方程组实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是结合周长定义找准等量关系联立方程组，消元求解后可通过三角形三边关系验证结果合理性，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先根据三角形周长的定义，周长为三边长之和，可得到第一个等量关系$a+b+c=30$；结合题目给出的另外两个关于$a、b、c$的等式，即可得到含三个未知数的三元一次方程组。接下来通过代入消元法或加减消元法逐步消元，先求出其中一个未知数的值，再依次推导得到另外两个未知数的取值，最后验证结果是否符合三角形三边关系即可。
【解析】
已知三角形周长为30，根据周长定义可得：
$a + b + c = 30$ ①
结合题目给出的条件：
$a+2b-c=13$ ②
$2a=c+3$ ③
联立①②③得到三元一次方程组。
首先将③变形为$c=2a-3$，分别代入①和②：
代入①得：$a + b + 2a - 3 = 30$，整理得$3a + b = 33$ ④
代入②得：$a + 2b - (2a - 3) = 13$，整理得$-a + 2b = 10$ ⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组：
由④得$b = 33 - 3a$，代入⑤得：
$-a + 2(33 - 3a) = 10$
$-a + 66 - 6a =10$
$-7a = -56$
解得$a=8$
将$a=8$代入④得：$3×8 + b =33$，解得$b=9$
将$a=8$代入③得：$2×8 = c +3$，解得$c=13$
验证：$8+9+13=30$，符合周长条件；$8+9＞13$，满足三角形三边关系，结果正确。
【答案】
8,9,13
【知识点】
三角形周长定义，解三元一次方程组，方程组实际应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是结合周长定义找准等量关系联立方程组，消元求解后可通过三角形三边关系验证结果合理性，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 新题型新定义题 对于任意有理数$a,b,c,d$，我们规定$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，已知$x,y$同时满足$\begin{vmatrix}x&y\\-1&4\end{vmatrix}=5$，$\begin{vmatrix}5&y\\-3&x\end{vmatrix}=1$，则$x+y=$ ______ 。
答案
6.-1
【点拨】因为$\begin{vmatrix} x&y\\-1&4 \end{vmatrix}=5$，$\begin{vmatrix} 5&y\\-3&x \end{vmatrix}=1$，所以联立可得$\begin{cases}4x+y=5,①\\5x+3y=1.②\end{cases}$ ①×3－②，得7x=14，解得x=2.将x=2代入①，得8+y=5，解得y=－3.所以x+y=2－3=－1.
【点拨】因为$\begin{vmatrix} x&y\\-1&4 \end{vmatrix}=5$，$\begin{vmatrix} 5&y\\-3&x \end{vmatrix}=1$，所以联立可得$\begin{cases}4x+y=5,①\\5x+3y=1.②\end{cases}$ ①×3－②，得7x=14，解得x=2.将x=2代入①，得8+y=5，解得y=－3.所以x+y=2－3=－1.
解析
【分析】
首先明确题目给出的二阶行列式新运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，也就是交叉相乘后再相减。接下来将题中两个行列式按规则分别展开，就能得到关于$x$、$y$的两个二元一次方程，联立为二元一次方程组后用消元法求解出$x$和$y$的值，最后计算$x+y$的结果即可。
【解析】
根据新定义运算规则展开两个行列式：
由$\begin{vmatrix}x&y\\-1&4\end{vmatrix}=5$可得：$4x - (-1)× y = 5$，整理得$4x + y = 5$ ①；
由$\begin{vmatrix}5&y\\-3&x\end{vmatrix}=1$可得：$5x - (-3)× y = 1$，整理得$5x + 3y = 1$ ②；
用加减消元法解方程组，①$×3 -$②得：$12x + 3y - (5x + 3y) = 15 - 1$，化简得$7x = 14$，解得$x=2$；
把$x=2$代入①式，得$4×2 + y = 5$，解得$y = -3$；
因此$x+y = 2 + (-3) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 新定义运算 2. 解二元一次方程组
【点评】
本题是新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的转化能力和二元一次方程组的求解能力，只要准确把新定义运算转化为常规方程，就能顺利完成解题。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的二阶行列式新运算规则：$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，也就是交叉相乘后再相减。接下来将题中两个行列式按规则分别展开，就能得到关于$x$、$y$的两个二元一次方程，联立为二元一次方程组后用消元法求解出$x$和$y$的值，最后计算$x+y$的结果即可。
【解析】
根据新定义运算规则展开两个行列式：
由$\begin{vmatrix}x&y\\-1&4\end{vmatrix}=5$可得：$4x - (-1)× y = 5$，整理得$4x + y = 5$ ①；
由$\begin{vmatrix}5&y\\-3&x\end{vmatrix}=1$可得：$5x - (-3)× y = 1$，整理得$5x + 3y = 1$ ②；
用加减消元法解方程组，①$×3 -$②得：$12x + 3y - (5x + 3y) = 15 - 1$，化简得$7x = 14$，解得$x=2$；
把$x=2$代入①式，得$4×2 + y = 5$，解得$y = -3$；
因此$x+y = 2 + (-3) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 新定义运算 2. 解二元一次方程组
【点评】
本题是新定义类基础题型，重点考查对新运算规则的转化能力和二元一次方程组的求解能力，只要准确把新定义运算转化为常规方程，就能顺利完成解题。
【难度系数】
0.7
7. 解下列方程组：
(1)$\begin{cases}x=4y+1,\\2x-5y=8;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{2(x-y)}{3}-\dfrac{x+y}{4}=-1,\\6(x+y)-4(2x-y)=16.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}x=4y+1,\\2x-5y=8;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{2(x-y)}{3}-\dfrac{x+y}{4}=-1,\\6(x+y)-4(2x-y)=16.\end{cases}$
答案
7.【解】(1)$\begin{cases}x=4y+1,①\\2x-5y=8,②\end{cases}$ 把①代入②，得2(4y+1)－5y=8，解得y=2.把y=2代入①，得x=4×2+1=9.
所以方程组的解为$\begin{cases}x=9,\\y=2.\end{cases}$
(2)原方程组整理得$\begin{cases}5x-11y=-12,①\\-x+5y=8,②\end{cases}$
②×5，得－5x+25y=40，③
①+③，得14y=28，解得y=2.
把y=2代入②，得－x+5×2=8，解得x=2，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=9,\\y=2.\end{cases}$
(2)原方程组整理得$\begin{cases}5x-11y=-12,①\\-x+5y=8,②\end{cases}$
②×5，得－5x+25y=40，③
①+③，得14y=28，解得y=2.
把y=2代入②，得－x+5×2=8，解得x=2，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 第一个方程组中方程①直接给出了x用y表示的形式，优先选择代入消元法：将①代入②消去未知数x，得到关于y的一元一次方程，求解y后再代入①即可求出x的值。
(2) 第二个方程组的两个方程均含有括号和分母，第一步先对两个方程去分母、去括号、合并同类项，整理为标准二元一次方程组形式；观察整理后方程的系数，可将方程②乘5后与①相加，用加减消元法消去x，求解y后代入②求出x的值即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}x=4y+1,①\\2x-5y=8,②\end{cases}$
把①代入②，得$2(4y+1)-5y=8$，解得$y=2$。
把$y=2$代入①，得$x=4×2+1=9$。
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=9,\\y=2.\end{cases}$
(2) 先对原方程组去分母、去括号整理，得$\begin{cases}5x-11y=-12,①\\-x+5y=8,②\end{cases}$
②×5，得$-5x+25y=40$，③
①+③，得$14y=28$，解得$y=2$。
把$y=2$代入②，得$-x+5×2=8$，解得$x=2$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=9,\\y=2;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组化简
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题关键是根据方程组的特征选择合适的消元方法，对于非标准形式的方程组要先化简再求解，计算时需注意去分母、去括号时不要漏乘项、不要弄错符号，减少计算失误。
【难度系数】
0.75
(1) 第一个方程组中方程①直接给出了x用y表示的形式，优先选择代入消元法：将①代入②消去未知数x，得到关于y的一元一次方程，求解y后再代入①即可求出x的值。
(2) 第二个方程组的两个方程均含有括号和分母，第一步先对两个方程去分母、去括号、合并同类项，整理为标准二元一次方程组形式；观察整理后方程的系数，可将方程②乘5后与①相加，用加减消元法消去x，求解y后代入②求出x的值即可。
【解析】
(1) 记方程组为$\begin{cases}x=4y+1,①\\2x-5y=8,②\end{cases}$
把①代入②，得$2(4y+1)-5y=8$，解得$y=2$。
把$y=2$代入①，得$x=4×2+1=9$。
所以该方程组的解为$\begin{cases}x=9,\\y=2.\end{cases}$
(2) 先对原方程组去分母、去括号整理，得$\begin{cases}5x-11y=-12,①\\-x+5y=8,②\end{cases}$
②×5，得$-5x+25y=40$，③
①+③，得$14y=28$，解得$y=2$。
把$y=2$代入②，得$-x+5×2=8$，解得$x=2$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=9,\\y=2;\end{cases}$ (2)$\begin{cases}x=2,\\y=2.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，二元一次方程组化简
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，解题关键是根据方程组的特征选择合适的消元方法，对于非标准形式的方程组要先化简再求解，计算时需注意去分母、去括号时不要漏乘项、不要弄错符号，减少计算失误。
【难度系数】
0.75
8. 中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竹竿和一条绳索，用绳索去量竹竿，绳索比竹竿长5尺；若将绳索对折去量竹竿，绳索就比竹竿短5尺，问绳索、竹竿各有多长？该问题中的竹竿长为
15
尺。答案
8.15
【点拨】设绳索长为x尺，竹竿长为y尺.根据题意，得$\begin{cases}x=y+5,\\\dfrac{x}{2}=y-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=15.\end{cases}$所以竹竿长为15尺.
【点拨】设绳索长为x尺，竹竿长为y尺.根据题意，得$\begin{cases}x=y+5,\\\dfrac{x}{2}=y-5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=20,\\y=15.\end{cases}$所以竹竿长为15尺.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时先梳理题目中的两个等量关系：①绳索长度比竹竿长5尺，即绳索长度=竹竿长度+5；②绳索对折后比竹竿短5尺，即绳索长度的一半=竹竿长度-5。我们可分别设绳索、竹竿的长度为未知数，根据等量关系列出方程组，求解即可得到竹竿长度。
【解析】
设绳索长为$x$尺，竹竿长为$y$尺。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x = y + 5 \\\dfrac{x}{2} = y - 5\end{cases}$
将第一个方程$x=y+5$代入第二个方程，可得：
$\dfrac{y+5}{2}=y-5$
等式两边同时乘2得：$y+5=2y-10$
移项计算得：$y=15$
将$y=15$代入$x=y+5$，得$x=20$。
因此竹竿的长度为15尺。
【答案】
15
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查用二元一次方程组解决实际问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系，将实际问题转化为方程组求解，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时先梳理题目中的两个等量关系：①绳索长度比竹竿长5尺，即绳索长度=竹竿长度+5；②绳索对折后比竹竿短5尺，即绳索长度的一半=竹竿长度-5。我们可分别设绳索、竹竿的长度为未知数，根据等量关系列出方程组，求解即可得到竹竿长度。
【解析】
设绳索长为$x$尺，竹竿长为$y$尺。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}x = y + 5 \\\dfrac{x}{2} = y - 5\end{cases}$
将第一个方程$x=y+5$代入第二个方程，可得：
$\dfrac{y+5}{2}=y-5$
等式两边同时乘2得：$y+5=2y-10$
移项计算得：$y=15$
将$y=15$代入$x=y+5$，得$x=20$。
因此竹竿的长度为15尺。
【答案】
15
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题以中国古代数学问题为背景，考查用二元一次方程组解决实际问题的能力，解题关键是准确提取题干中的等量关系，将实际问题转化为方程组求解，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
9. 某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A，B两种航模.据了解购买1件A型航模和2件B型航模需800元；购买2件A型航模和3件B型航模需1 300元.
(1)A，B两种航模每件的价格分别为多少元？
(2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？
(1)A，B两种航模每件的价格分别为多少元？
(2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费990元，请问张老师有哪几种购买方案？
答案
9.【解】(1)设每件A型航模的价格为x元，每件B型航模的价格为y元，根据题意得$\begin{cases}x+2y=800,\\2x+3y=1\ 300,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=200,\\y=300.\end{cases}$
所以每件A型航模的价格为200元，每件B型航模的价格为300元.
(2)设购买m件A型航模，n件B型航模，根据题意得200×0.9m+300×0.9n=990，
所以$m=\dfrac{11-3n}{2}$.
又因为m，n均为正整数，
所以$\begin{cases}m=4,\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=3.\end{cases}$
所以张老师共有2种购买方案：
方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；
方案2：购买1件A型航模，3件B型航模.
所以每件A型航模的价格为200元，每件B型航模的价格为300元.
(2)设购买m件A型航模，n件B型航模，根据题意得200×0.9m+300×0.9n=990，
所以$m=\dfrac{11-3n}{2}$.
又因为m，n均为正整数，
所以$\begin{cases}m=4,\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=3.\end{cases}$
所以张老师共有2种购买方案：
方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；
方案2：购买1件A型航模，3件B型航模.
解析
【分析】
(1) 第一问是二元一次方程组的应用类问题，先设A、B两种航模的单价分别为未知数，再根据题目给出的两组购买费用的等量关系列方程组，解方程组即可得到两种航模的单价。
(2) 第二问是方案设计问题，先根据打折规则算出两种航模打折后的单价，设购买两种航模的数量分别为m、n，结合总花费列出方程，整理得到m和n的数量关系，再结合购买数量为正整数的隐含条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1) 设每件A型航模的价格为x元，每件B型航模的价格为y元，根据题意得：
$\begin{cases}x+2y=800\\2x+3y=1300\end{cases}$
由第一个方程得$x=800-2y$，代入第二个方程得$2(800-2y)+3y=1300$，解得$y=300$，将$y=300$代入$x=800-2y$得$x=200$，即方程组的解为$\begin{cases}x=200\\y=300\end{cases}$。
(2) 设购买m件A型航模，n件B型航模，根据打折后总花费为990元，列方程：
$200×0.9m + 300×0.9n = 990$
整理得$180m+270n=990$，两边同时除以90得$2m+3n=11$，变形为$m=\dfrac{11-3n}{2}$。
因为m、n均为正整数，所以$11-3n$是正偶数，且$11-3n＞0$，即$n＜\dfrac{11}{3}$，所以n可取1、2、3：
当n=1时，$m=\dfrac{11-3×1}{2}=4$，符合要求；
当n=2时，$m=\dfrac{11-3×2}{2}=2.5$，不是正整数，舍去；
当n=3时，$m=\dfrac{11-3×3}{2}=1$，符合要求；
n≥4时，$11-3n＜0$，m为负数，不符合实际，舍去。
所以符合条件的解为$\begin{cases}m=4\\n=1\end{cases}$和$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，对应两种购买方案。
【答案】
(1) A型航模每件200元，B型航模每件300元；
(2) 共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程正整数解，打折销售问题
【点评】
本题是贴近生活的方程实际应用题，解题核心是准确提取等量关系列方程，第二问要注意结合购买数量为正整数的隐含条件筛选解，避免多解、错解，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是二元一次方程组的应用类问题，先设A、B两种航模的单价分别为未知数，再根据题目给出的两组购买费用的等量关系列方程组，解方程组即可得到两种航模的单价。
(2) 第二问是方案设计问题，先根据打折规则算出两种航模打折后的单价，设购买两种航模的数量分别为m、n，结合总花费列出方程，整理得到m和n的数量关系，再结合购买数量为正整数的隐含条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到对应的购买方案。
【解析】
(1) 设每件A型航模的价格为x元，每件B型航模的价格为y元，根据题意得：
$\begin{cases}x+2y=800\\2x+3y=1300\end{cases}$
由第一个方程得$x=800-2y$，代入第二个方程得$2(800-2y)+3y=1300$，解得$y=300$，将$y=300$代入$x=800-2y$得$x=200$，即方程组的解为$\begin{cases}x=200\\y=300\end{cases}$。
(2) 设购买m件A型航模，n件B型航模，根据打折后总花费为990元，列方程：
$200×0.9m + 300×0.9n = 990$
整理得$180m+270n=990$，两边同时除以90得$2m+3n=11$，变形为$m=\dfrac{11-3n}{2}$。
因为m、n均为正整数，所以$11-3n$是正偶数，且$11-3n＞0$，即$n＜\dfrac{11}{3}$，所以n可取1、2、3：
当n=1时，$m=\dfrac{11-3×1}{2}=4$，符合要求；
当n=2时，$m=\dfrac{11-3×2}{2}=2.5$，不是正整数，舍去；
当n=3时，$m=\dfrac{11-3×3}{2}=1$，符合要求；
n≥4时，$11-3n＜0$，m为负数，不符合实际，舍去。
所以符合条件的解为$\begin{cases}m=4\\n=1\end{cases}$和$\begin{cases}m=1\\n=3\end{cases}$，对应两种购买方案。
【答案】
(1) A型航模每件200元，B型航模每件300元；
(2) 共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模。
【知识点】
二元一次方程组应用，不定方程正整数解，打折销售问题
【点评】
本题是贴近生活的方程实际应用题，解题核心是准确提取等量关系列方程，第二问要注意结合购买数量为正整数的隐含条件筛选解，避免多解、错解，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
