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10. 点$P(x,y)$在直线$y=-\frac{3}{4}x+4$上，坐标$(x,y)$是二元一次方程$5x-6y=33$的解，则点$P$的位置在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
10.D
解析
【分析】
点P的坐标同时满足直线解析式和二元一次方程，说明点P是两个对应图象的交点，因此只需联立两个方程组成二元一次方程组，求解得到x、y的值，再根据平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，即可判断点P所在的象限。
【解析】
根据题意，联立两个方程得方程组：
$\begin{cases} y=-\frac{3}{4}x+4 \\ 5x-6y=33 \end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得：
$5x - 6×(-\frac{3}{4}x + 4) = 33$
展开计算：
$5x + \frac{9}{2}x - 24 = 33$
合并同类项：
$\frac{19}{2}x = 57$
解得：$x=6$
把$x=6$代入$y=-\frac{3}{4}x + 4$，得：
$y=-\frac{3}{4}×6 + 4 = -\frac{9}{2} + 4 = -\frac{1}{2}$
所以点P的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，其中横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的坐标特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，解二元一次方程组，象限的坐标特征
【点评】
本题核心是理解一次函数上的点的坐标与对应二元一次方程的解的对应关系，通过联立方程组求解交点坐标是解题的关键，属于基础类型的考题，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
点P的坐标同时满足直线解析式和二元一次方程，说明点P是两个对应图象的交点，因此只需联立两个方程组成二元一次方程组，求解得到x、y的值，再根据平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，即可判断点P所在的象限。
【解析】
根据题意，联立两个方程得方程组：
$\begin{cases} y=-\frac{3}{4}x+4 \\ 5x-6y=33 \end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得：
$5x - 6×(-\frac{3}{4}x + 4) = 33$
展开计算：
$5x + \frac{9}{2}x - 24 = 33$
合并同类项：
$\frac{19}{2}x = 57$
解得：$x=6$
把$x=6$代入$y=-\frac{3}{4}x + 4$，得：
$y=-\frac{3}{4}×6 + 4 = -\frac{9}{2} + 4 = -\frac{1}{2}$
所以点P的坐标为$(6,-\frac{1}{2})$，其中横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的坐标特征。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与二元一次方程的关系，解二元一次方程组，象限的坐标特征
【点评】
本题核心是理解一次函数上的点的坐标与对应二元一次方程的解的对应关系，通过联立方程组求解交点坐标是解题的关键，属于基础类型的考题，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
11. [2026青岛期末]一次函数$y_1=kx+5$与一次函数$y_2=2x+k$在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点$P(2,m)$，与两坐标轴分别交于$A,B,C,D$四个点.则下列结论：
①一元一次方程$kx+5=m$的解为$x=2$；
②$k=-\dfrac{1}{3}$；
③方程组$\begin{cases}kx-y=-5,\\2x-y=-k\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3;\end{cases}$
④四边形$AODP$的面积为$\dfrac{23}{4}$.
其中正确的是（
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
①一元一次方程$kx+5=m$的解为$x=2$；
②$k=-\dfrac{1}{3}$；
③方程组$\begin{cases}kx-y=-5,\\2x-y=-k\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3;\end{cases}$
④四边形$AODP$的面积为$\dfrac{23}{4}$.
其中正确的是（
D
）A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案
11.D
【点拨】因为一次函数$y_1=kx+5$与一次函数$y_2=2x+k$在同一坐标系中，两条直线交于点P(2,m)，所以一元一次方程kx+5=m的解为x=2，2k+5=4+k，故①正确；由2k+5=4+k，解得k=－1，故②错误；因为k=－1，所以$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$.把P(2,m)的坐标代入$y_1=-x+5$，得－2+5=m，所以m=3，所以P(2,3)，所以方程组$\begin{cases}kx-y=-5,\\2x-y=-k\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$故③正确；因为$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$，所以当x=0时，$y_1=5$；当$y_2=0$时，由2x－1=0，得$x=\dfrac{1}{2}$.所以A(0,5)，$D(\dfrac{1}{2},0)$.连接OP，所以四边形AODP的面积=$\dfrac{1}{2}×5×2+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×3=\dfrac{23}{4}$，故④正确.综上，正确的是①③④，故选D.
【点拨】因为一次函数$y_1=kx+5$与一次函数$y_2=2x+k$在同一坐标系中，两条直线交于点P(2,m)，所以一元一次方程kx+5=m的解为x=2，2k+5=4+k，故①正确；由2k+5=4+k，解得k=－1，故②错误；因为k=－1，所以$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$.把P(2,m)的坐标代入$y_1=-x+5$，得－2+5=m，所以m=3，所以P(2,3)，所以方程组$\begin{cases}kx-y=-5,\\2x-y=-k\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2,\\y=3,\end{cases}$故③正确；因为$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$，所以当x=0时，$y_1=5$；当$y_2=0$时，由2x－1=0，得$x=\dfrac{1}{2}$.所以A(0,5)，$D(\dfrac{1}{2},0)$.连接OP，所以四边形AODP的面积=$\dfrac{1}{2}×5×2+\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×3=\dfrac{23}{4}$，故④正确.综上，正确的是①③④，故选D.
解析
【分析】
解题思路：首先利用一次函数交点的性质：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，以此为突破口逐步推导：
1. 判断结论①：方程$kx+5=m$的解就是函数$y_1=kx+5$中$y=m$时对应的x值，已知交点$P(2,m)$在$y_1$上，可直接判断①的正误；
2. 求参数k：把$P(2,m)$分别代入两个函数解析式，联立即可求出k的值，判断结论②的正误；
3. 判断结论③：二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，求出m的值后即可判断③的正误；
4. 计算四边形面积：先求出A、D两点的坐标，用割补法（连接OP，将四边形拆为$△ AOP$和$△ DOP$）分别计算两个三角形面积再求和，判断结论④的正误，最后选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
解：
∵一次函数$y_1=kx+5$与$y_2=2x+k$的图象交于点$P(2,m)$
1. 对结论①：方程$kx+5=m$的解即$y_1=m$时的x值，
∵$P(2,m)$在$y_1$上，
∴方程的解为$x=2$，故①正确；
2. 求k的值：将$P(2,m)$代入两个解析式得$\begin{cases}m=2k+5\\m=2×2 +k\end{cases}$，联立得$2k+5=4+k$，解得$k=-1$，故②中$k=-\dfrac{1}{3}$的结论错误；
3. 对结论③：将$k=-1$代入两个函数得$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$，将$x=2$代入$y_1=-x+5$得$m=-2+5=3$，即P点坐标为$(2,3)$。题中方程组$\begin{cases}kx-y=-5\\2x-y=-k\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=kx+5\\y=2x+k\end{cases}$，其解就是两个函数的交点坐标，即$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，故③正确；
4. 对结论④：求A、D坐标：在$y_1=-x+5$中，令$x=0$得$y=5$，即$A(0,5)$；在$y_2=2x-1$中，令$y=0$得$2x-1=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，即$D(\dfrac{1}{2},0)$。
连接OP，将四边形AODP拆分为$△ AOP$和$△ DOP$：
$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}× OA× x_P=\dfrac{1}{2}×5×2=5$
$S_{△ DOP}=\dfrac{1}{2}× OD× y_P=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×3=\dfrac{3}{4}$
∴$S_{四边形AODP}=5+\dfrac{3}{4}=\dfrac{23}{4}$，故④正确。
综上，①③④正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数与方程（组）的关系
2. 待定系数法求参数
3. 割补法求图形面积
【点评】
本题综合考查一次函数的相关性质，核心是理解一次函数图象交点与对应方程、方程组解的对应关系，计算不规则四边形面积时采用割补法转化为两个易求面积的三角形之和是解题的常用技巧，属于一次函数章节的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
解题思路：首先利用一次函数交点的性质：两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，以此为突破口逐步推导：
1. 判断结论①：方程$kx+5=m$的解就是函数$y_1=kx+5$中$y=m$时对应的x值，已知交点$P(2,m)$在$y_1$上，可直接判断①的正误；
2. 求参数k：把$P(2,m)$分别代入两个函数解析式，联立即可求出k的值，判断结论②的正误；
3. 判断结论③：二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，求出m的值后即可判断③的正误；
4. 计算四边形面积：先求出A、D两点的坐标，用割补法（连接OP，将四边形拆为$△ AOP$和$△ DOP$）分别计算两个三角形面积再求和，判断结论④的正误，最后选出所有正确结论对应的选项。
【解析】
解：
∵一次函数$y_1=kx+5$与$y_2=2x+k$的图象交于点$P(2,m)$
1. 对结论①：方程$kx+5=m$的解即$y_1=m$时的x值，
∵$P(2,m)$在$y_1$上，
∴方程的解为$x=2$，故①正确；
2. 求k的值：将$P(2,m)$代入两个解析式得$\begin{cases}m=2k+5\\m=2×2 +k\end{cases}$，联立得$2k+5=4+k$，解得$k=-1$，故②中$k=-\dfrac{1}{3}$的结论错误；
3. 对结论③：将$k=-1$代入两个函数得$y_1=-x+5$，$y_2=2x-1$，将$x=2$代入$y_1=-x+5$得$m=-2+5=3$，即P点坐标为$(2,3)$。题中方程组$\begin{cases}kx-y=-5\\2x-y=-k\end{cases}$可变形为$\begin{cases}y=kx+5\\y=2x+k\end{cases}$，其解就是两个函数的交点坐标，即$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，故③正确；
4. 对结论④：求A、D坐标：在$y_1=-x+5$中，令$x=0$得$y=5$，即$A(0,5)$；在$y_2=2x-1$中，令$y=0$得$2x-1=0$，解得$x=\dfrac{1}{2}$，即$D(\dfrac{1}{2},0)$。
连接OP，将四边形AODP拆分为$△ AOP$和$△ DOP$：
$S_{△ AOP}=\dfrac{1}{2}× OA× x_P=\dfrac{1}{2}×5×2=5$
$S_{△ DOP}=\dfrac{1}{2}× OD× y_P=\dfrac{1}{2}×\dfrac{1}{2}×3=\dfrac{3}{4}$
∴$S_{四边形AODP}=5+\dfrac{3}{4}=\dfrac{23}{4}$，故④正确。
综上，①③④正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一次函数与方程（组）的关系
2. 待定系数法求参数
3. 割补法求图形面积
【点评】
本题综合考查一次函数的相关性质，核心是理解一次函数图象交点与对应方程、方程组解的对应关系，计算不规则四边形面积时采用割补法转化为两个易求面积的三角形之和是解题的常用技巧，属于一次函数章节的典型综合题型。
【难度系数】
0.6
12.[2026上海嘉定区期末]在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，其落点如图所示，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34分.则小丽的4次飞镖总分是
30
分.答案
12.30
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步先观察三人飞镖落点，分别统计每人落在A、B两个区域的次数；第二步设A区域每次得x分，B区域每次得y分，根据小杰、小明的总分列出二元一次方程组；第三步解方程组得到x、y的值；第四步统计小丽在两个区域的投中次数，代入x、y的值计算总分即可。
【解析】
设A区域每投中一次得x分，B区域每投中一次得y分。
观察落点可知：
小杰投中A区域2次，B区域2次，总分32分，可得方程：
$2x + 2y = 32$，化简得：$x + y = 16$ ①
小明投中A区域1次，B区域3次，总分34分，可得方程：
$x + 3y = 34$ ②
用②式减去①式，得：$2y = 18$，解得$y=9$。
把$y=9$代入①式，得$x=16-9=7$。
再观察小丽的落点：投中A区域3次，B区域1次，因此总分为：
$3x + y = 3×7 + 9 = 21 + 9 = 30$（分）
【答案】
30
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的飞镖游戏场景，考查学生提取图形信息、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确统计不同区域的投中次数，正确列出方程组求解。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：第一步先观察三人飞镖落点，分别统计每人落在A、B两个区域的次数；第二步设A区域每次得x分，B区域每次得y分，根据小杰、小明的总分列出二元一次方程组；第三步解方程组得到x、y的值；第四步统计小丽在两个区域的投中次数，代入x、y的值计算总分即可。
【解析】
设A区域每投中一次得x分，B区域每投中一次得y分。
观察落点可知：
小杰投中A区域2次，B区域2次，总分32分，可得方程：
$2x + 2y = 32$，化简得：$x + y = 16$ ①
小明投中A区域1次，B区域3次，总分34分，可得方程：
$x + 3y = 34$ ②
用②式减去①式，得：$2y = 18$，解得$y=9$。
把$y=9$代入①式，得$x=16-9=7$。
再观察小丽的落点：投中A区域3次，B区域1次，因此总分为：
$3x + y = 3×7 + 9 = 21 + 9 = 30$（分）
【答案】
30
【知识点】
二元一次方程组应用，解二元一次方程组
【点评】
本题结合生活中的飞镖游戏场景，考查学生提取图形信息、建立方程模型解决实际问题的能力，解题的关键是准确统计不同区域的投中次数，正确列出方程组求解。
【难度系数】
0.7
13. 阅读材料:善于思考的小军在解方程组$\begin{cases} 2x+5y=3,① \\ 4x+11y=5② \end{cases}$时,采用了一种“整体代换”的解法.
解:将②变形,得 $4x+10y+y=5$,
即 $2(2x+5y)+y=5$.③
把①代入③,得 $2×3+y=5$,解得 $y=-1$.
把 $y=-1$ 代入①,得 $2x-5=3$,解得 $x=4$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=-1. \end{cases}$
请你解答以下各题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases} 3x-2y=5,① \\ 9x-4y=19;② \end{cases}$
(2)已知 $x,y$ 满足方程组$\begin{cases} 3x^2 -2xy +12y^2=47,① \\ 2x^2 +xy +8y^2=36,② \end{cases}$
求 $x^2 +4y^2$ 和 $xy$ 的值.
解:将②变形,得 $4x+10y+y=5$,
即 $2(2x+5y)+y=5$.③
把①代入③,得 $2×3+y=5$,解得 $y=-1$.
把 $y=-1$ 代入①,得 $2x-5=3$,解得 $x=4$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=4, \\ y=-1. \end{cases}$
请你解答以下各题:
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组$\begin{cases} 3x-2y=5,① \\ 9x-4y=19;② \end{cases}$
(2)已知 $x,y$ 满足方程组$\begin{cases} 3x^2 -2xy +12y^2=47,① \\ 2x^2 +xy +8y^2=36,② \end{cases}$
求 $x^2 +4y^2$ 和 $xy$ 的值.
答案
13.【解】(1)将②变形，得3(3x－2y)+2y=19，③
把①代入③，得3×5+2y=19，解得y=2.
把y=2代入①，得3x－4=5，解得x=3.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$
(2)由②，得$2(x^2+4y^2)+xy=36$，
所以$xy=36-2(x^2+4y^2)$.③
由①，得$3(x^2+4y^2)-2xy=47$，④
把③代入④，得$3(x^2+4y^2)-2[36-2(x^2+4y^2)]=47$，
所以$x^2+4y^2=17$，
把$x^2+4y^2=17$代入③，得xy=2.
把①代入③，得3×5+2y=19，解得y=2.
把y=2代入①，得3x－4=5，解得x=3.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$
(2)由②，得$2(x^2+4y^2)+xy=36$，
所以$xy=36-2(x^2+4y^2)$.③
由①，得$3(x^2+4y^2)-2xy=47$，④
把③代入④，得$3(x^2+4y^2)-2[36-2(x^2+4y^2)]=47$，
所以$x^2+4y^2=17$，
把$x^2+4y^2=17$代入③，得xy=2.
解析
【分析】
（1）观察方程组两个方程的系数关系，方程②中9x是3倍的3x，-4y可拆分为3×(-2y)+2y，因此可将②变形为含有①中整体$3x-2y$的形式，将①整体代入变形后的方程即可先求出y的值，再代入①求出x的值。
（2）观察两个方程的结构，两个方程中均能整理出$x^2+4y^2$的整体，先将方程②变形，用含$x^2+4y^2$的式子表示xy，再代入方程①，即可先求出$x^2+4y^2$的值，再回代求xy的值，无需单独求解x、y的具体数值，简化计算过程。
【解析】
(1)将②变形，得$3(3x－2y)+2y=19$，③
把①代入③，得$3×5+2y=19$，解得$y=2$.
把$y=2$代入①，得$3x－4=5$，解得$x=3$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$
(2)由②，得$2(x^2+4y^2)+xy=36$，
所以$xy=36-2(x^2+4y^2)$.③
由①，得$3(x^2+4y^2)-2xy=47$，④
把③代入④，得$3(x^2+4y^2)-2[36-2(x^2+4y^2)]=47$，
解得$x^2+4y^2=17$，
把$x^2+4y^2=17$代入③，得$xy=2$.
【答案】
(1)$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$
(2)$x^2+4y^2=17$，$xy=2$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体代换思想的应用，通过对式子变形构造出已知的整体结构，可避免复杂的消元、计算步骤，是解方程和代数式求值中常用的简便技巧，熟练掌握观察式子结构、构造整体的能力可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
（1）观察方程组两个方程的系数关系，方程②中9x是3倍的3x，-4y可拆分为3×(-2y)+2y，因此可将②变形为含有①中整体$3x-2y$的形式，将①整体代入变形后的方程即可先求出y的值，再代入①求出x的值。
（2）观察两个方程的结构，两个方程中均能整理出$x^2+4y^2$的整体，先将方程②变形，用含$x^2+4y^2$的式子表示xy，再代入方程①，即可先求出$x^2+4y^2$的值，再回代求xy的值，无需单独求解x、y的具体数值，简化计算过程。
【解析】
(1)将②变形，得$3(3x－2y)+2y=19$，③
把①代入③，得$3×5+2y=19$，解得$y=2$.
把$y=2$代入①，得$3x－4=5$，解得$x=3$.
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$
(2)由②，得$2(x^2+4y^2)+xy=36$，
所以$xy=36-2(x^2+4y^2)$.③
由①，得$3(x^2+4y^2)-2xy=47$，④
把③代入④，得$3(x^2+4y^2)-2[36-2(x^2+4y^2)]=47$，
解得$x^2+4y^2=17$，
把$x^2+4y^2=17$代入③，得$xy=2$.
【答案】
(1)$\begin{cases}x=3,\\y=2.\end{cases}$
(2)$x^2+4y^2=17$，$xy=2$
【知识点】
整体代入法，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体代换思想的应用，通过对式子变形构造出已知的整体结构，可避免复杂的消元、计算步骤，是解方程和代数式求值中常用的简便技巧，熟练掌握观察式子结构、构造整体的能力可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
