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1.[2026太原晋源区期末]若$\sqrt{5-x}$为整数，x为正整数，则满足条件的x的值有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，先确定x的取值上限；再结合x是正整数的要求，缩小x的取值范围；最后根据√(5-x)是整数的条件，逐个验证或通过设整数参数的方式筛选出符合要求的x值即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，可得被开方数非负：
$5-x≥0$，解得$x≤5$
又因为x是正整数，所以x的取值范围为$1≤ x≤5$，且x为整数。
第二步：设$\sqrt{5-x}=k$（k为非负整数），则$5-x=k^2$，变形得$x=5-k^2$，代入k的非负整数值筛选：
当$k=0$时，$x=5-0^2=5$，此时$\sqrt{5-5}=0$是整数，符合要求；
当$k=1$时，$x=5-1^2=4$，此时$\sqrt{5-4}=1$是整数，符合要求；
当$k=2$时，$x=5-2^2=1$，此时$\sqrt{5-1}=2$是整数，符合要求；
当$k≥3$时，$k^2≥9$，$x=5-k^2≤-4$，不符合x是正整数的要求，舍去。
综上，符合条件的x有1、4、5，共3个。
【答案】D
【知识点】
二次根式有意义的条件，整数的概念
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是先确定变量的取值范围，再结合多个限制条件逐一筛选，避免忽略取值范围导致多解漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，先确定x的取值上限；再结合x是正整数的要求，缩小x的取值范围；最后根据√(5-x)是整数的条件，逐个验证或通过设整数参数的方式筛选出符合要求的x值即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，可得被开方数非负：
$5-x≥0$，解得$x≤5$
又因为x是正整数，所以x的取值范围为$1≤ x≤5$，且x为整数。
第二步：设$\sqrt{5-x}=k$（k为非负整数），则$5-x=k^2$，变形得$x=5-k^2$，代入k的非负整数值筛选：
当$k=0$时，$x=5-0^2=5$，此时$\sqrt{5-5}=0$是整数，符合要求；
当$k=1$时，$x=5-1^2=4$，此时$\sqrt{5-4}=1$是整数，符合要求；
当$k=2$时，$x=5-2^2=1$，此时$\sqrt{5-1}=2$是整数，符合要求；
当$k≥3$时，$k^2≥9$，$x=5-k^2≤-4$，不符合x是正整数的要求，舍去。
综上，符合条件的x有1、4、5，共3个。
【答案】D
【知识点】
二次根式有意义的条件，整数的概念
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题关键是先确定变量的取值范围，再结合多个限制条件逐一筛选，避免忽略取值范围导致多解漏解。
【难度系数】
0.7
2. 新题型新定义题 对于任意一个三位自然数$M$，若十位数字等于百位数字与个位数字的和，我们称这个三位数为“中和数”.例如：$143,4=1+3$,所以$143$是中和数；又如：$276,7≠2+6$,所以$276$不是中和数.最大的“中和数”是________,三位数$M=\overline{abc}$是“中和数”,若$M$能被$7$整除,则满足条件的$M$的最大值与最小值的差是________.
答案
2. 990;616 【点拨】根据“中和数”的定义可知，最大的“中和数”是 990. 因为 $M=\overline{abc}$ 是中和数，所以 $b=a+c$.所以 $M=100a+10b+c=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c=11(10a+c)$. 因为 $M$ 能被 7 整除，所以 $10a+c$ 能被 7 整除. 又因为 $1≤ a≤ 9,1≤ b=a+c≤ 9,1≤ c≤ 9$, 所以 $10a+c$ 的最大值为 70, 最小值为 14. 所以满足条件的 $M$ 的最大值是 770, 最小值是 154.所以 770－154＝616.
解析
【分析】
首先解决第一问求最大“中和数”：要得到最大的三位数，优先让百位数字取最大值，再结合“中和数”十位等于百位加个位的定义，让十位数字也取最大值，即可算出个位数字，得到最大中和数。
再解决第二问：先根据数位表示方法写出三位数M的代数式，结合“中和数”定义替换十位数字，化简后发现M是11与(10a+c)的乘积，根据M能被7整除的条件，结合11和7互质，可得10a+c能被7整除，再根据数位的取值范围（a≥1，a+c≤9）分别找出10a+c的最大值和最小值，对应得到M的最大值和最小值，最后计算差值即可。
【解析】
1. 求最大的“中和数”：
要使三位自然数最大，百位数字优先取最大的一位数9；十位数字最大也为9，根据“中和数”定义：十位数字=百位数字+个位数字，可得个位数字=9-9=0，因此最大的“中和数”是990。
2. 求满足能被7整除的M的最大值与最小值的差：
已知三位数$M=\overline{abc}$是“中和数”，所以$b=a+c$。
将M用数位展开：
$M=100a+10b+c$，代入$b=a+c$得：
$M=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c=11(10a+c)$
因为M能被7整除，且11与7互质，所以$10a+c$必须能被7整除。
结合数位取值限制：$1≤a≤9$，$1≤b=a+c≤9$，$0≤c≤9$：
① 求M的最大值：要让M最大，优先让a取最大值，$10a+c$是7的倍数且$a+c≤9$，当a=7时，$10a=70$，取c=0，此时$10a+c=70$，70是7的倍数，且$b=a+c=7+0=7≤9$，符合要求，对应M的最大值为$11×70=770$。
② 求M的最小值：要让M最小，优先让a取最小值，a=1时，$10a+c=10+c$，大于10的最小7的倍数是14，所以$10+c=14$，得c=4，此时$b=a+c=1+4=5≤9$，符合要求，对应M的最小值为$11×14=154$。
两者的差为$770-154=616$。
【答案】
990；616
【知识点】
新定义理解，数的表示，整除性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“中和数”的定义，再结合数的整除特征和数位的取值范围逐步推导符合条件的数值，侧重考察逻辑推理能力和代数式的化简应用能力。
【难度系数】
0.6
首先解决第一问求最大“中和数”：要得到最大的三位数，优先让百位数字取最大值，再结合“中和数”十位等于百位加个位的定义，让十位数字也取最大值，即可算出个位数字，得到最大中和数。
再解决第二问：先根据数位表示方法写出三位数M的代数式，结合“中和数”定义替换十位数字，化简后发现M是11与(10a+c)的乘积，根据M能被7整除的条件，结合11和7互质，可得10a+c能被7整除，再根据数位的取值范围（a≥1，a+c≤9）分别找出10a+c的最大值和最小值，对应得到M的最大值和最小值，最后计算差值即可。
【解析】
1. 求最大的“中和数”：
要使三位自然数最大，百位数字优先取最大的一位数9；十位数字最大也为9，根据“中和数”定义：十位数字=百位数字+个位数字，可得个位数字=9-9=0，因此最大的“中和数”是990。
2. 求满足能被7整除的M的最大值与最小值的差：
已知三位数$M=\overline{abc}$是“中和数”，所以$b=a+c$。
将M用数位展开：
$M=100a+10b+c$，代入$b=a+c$得：
$M=100a+10(a+c)+c=100a+10a+10c+c=110a+11c=11(10a+c)$
因为M能被7整除，且11与7互质，所以$10a+c$必须能被7整除。
结合数位取值限制：$1≤a≤9$，$1≤b=a+c≤9$，$0≤c≤9$：
① 求M的最大值：要让M最大，优先让a取最大值，$10a+c$是7的倍数且$a+c≤9$，当a=7时，$10a=70$，取c=0，此时$10a+c=70$，70是7的倍数，且$b=a+c=7+0=7≤9$，符合要求，对应M的最大值为$11×70=770$。
② 求M的最小值：要让M最小，优先让a取最小值，a=1时，$10a+c=10+c$，大于10的最小7的倍数是14，所以$10+c=14$，得c=4，此时$b=a+c=1+4=5≤9$，符合要求，对应M的最小值为$11×14=154$。
两者的差为$770-154=616$。
【答案】
990；616
【知识点】
新定义理解，数的表示，整除性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题核心是准确理解“中和数”的定义，再结合数的整除特征和数位的取值范围逐步推导符合条件的数值，侧重考察逻辑推理能力和代数式的化简应用能力。
【难度系数】
0.6
3.如图，已知线段a,b.请你用尺规作图，求作线段AB,使AB=a+2b.(不写作法，保留作图痕迹)
答案
3.【解】如图，线段AB即为所求作的线段.
解析
【分析】
要作出满足AB=a+2b的线段，核心是利用尺规作图中“作线段等于已知线段”的方法，对线段长度进行累加。首先画一条射线作为承载所求线段的基础，再按顺序依次截取长度为a、b、b的线段，三段长度之和恰好为a+2b，最终得到的总线段就是所求的AB。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 先作射线AM，作为作图的基础线；
2. 用圆规量取线段a的长度，在射线AM上以A为端点截取AC=a；
3. 再用圆规量取线段b的长度，以C为端点沿射线AM的方向截取CD=b，接着以D为端点仍沿射线AM的方向截取DB=b；
此时线段AB的长度为AC+CD+DB=a+b+b=a+2b，就是我们要求作的线段。
【答案】
如图，线段AB即为所求作的线段.
【知识点】
尺规作图；作线段等于已知线段；线段的和差计算
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查线段和的作图方法，只要熟练掌握用圆规截取等长线段的操作，沿同一方向累加对应长度的线段即可完成作图。
【难度系数】
0.9
要作出满足AB=a+2b的线段，核心是利用尺规作图中“作线段等于已知线段”的方法，对线段长度进行累加。首先画一条射线作为承载所求线段的基础，再按顺序依次截取长度为a、b、b的线段，三段长度之和恰好为a+2b，最终得到的总线段就是所求的AB。
【解析】
作图逻辑如下：
1. 先作射线AM，作为作图的基础线；
2. 用圆规量取线段a的长度，在射线AM上以A为端点截取AC=a；
3. 再用圆规量取线段b的长度，以C为端点沿射线AM的方向截取CD=b，接着以D为端点仍沿射线AM的方向截取DB=b；
此时线段AB的长度为AC+CD+DB=a+b+b=a+2b，就是我们要求作的线段。
【答案】
如图，线段AB即为所求作的线段.
【知识点】
尺规作图；作线段等于已知线段；线段的和差计算
【点评】
本题是尺规作图的基础题型，重点考查线段和的作图方法，只要熟练掌握用圆规截取等长线段的操作，沿同一方向累加对应长度的线段即可完成作图。
【难度系数】
0.9
4. 如图，正方形ABCD的周长为60 m，甲、乙两人分别从点D,C同时出发，沿正方形的边行走，甲按顺时针方向每秒行1 m，乙按顺时针方向每秒行1.5 m.
(1)经过
(2)经过
(3)经过
(4)甲、乙两人能同时到达正方形的顶点D处吗？
(1)经过
120
s，甲、乙分别第一次同时到达点D,C处(初始位置除外)；(2)经过
30
s，甲、乙两人第一次同时到达正方形的顶点处；(3)经过
90
s，甲、乙两人第一次同时到达正方形的同一顶点处；(4)甲、乙两人能同时到达正方形的顶点D处吗？
答案
4. 【解】(1)120 【点拨】甲走一圈需要 60÷1＝60(s)，乙走一圈需要 60÷1.5＝40(s)，60 与 40 的最小公倍数为120，所以经过 120 s，甲、乙分别第一次同时到达点 D，C处(初始位置除外).
(2)30 【点拨】甲走完一边需要 60÷4÷1＝15(s)，乙走完一边需要 60÷4÷1.5＝10(s)，15 与 10 的最小公倍数为 30，则经过 30 s 后，甲、乙两人第一次同时到达正方形的顶点处.
(3)90 【点拨】由(2)可得经过 30 s 后，甲、乙两人同时到达正方形的顶点处，此时甲走了 2 条边，乙走了 3 条边，要使甲、乙两人第一次同时到达正方形的同一顶点处，则乙要比甲多走 3 条边，所以 30×3＝90(s). 故答案为 90.
(4)由(3)可得甲、乙两人第一次同时到达正方形的同一顶点处，走了 90 s，在顶点 B 相遇，因为甲按顺时针方向每秒行 1 m，乙按顺时针方向每秒行 1.5 m，设行了 t s，第一次相遇时 $1.5t-t=3×(60÷4)$，解得 $t=90$，易得第一次相遇在顶点 B，第二次相遇时，设从第一次相遇起$t_1$ s 后相遇，依题意，得 $1.5t_1-t_1=60$，解得 $t_1=120$，此时从开始起经过了 $90+120=210(s)$，$210÷60=3.5$，即甲从点 D 行了 3.5 圈到达点 B，$210÷40=5\dfrac{1}{4}$，即乙从点 C 行了 5 圈多一条边，也到达了点 B，即再次相遇在点 B(即从第一次相遇后甲再行了 2 圈，乙再行了 3圈)，如此循环，始终在点 B 相遇，所以甲、乙两人不能同时到达正方形的顶点 D 处.
(2)30 【点拨】甲走完一边需要 60÷4÷1＝15(s)，乙走完一边需要 60÷4÷1.5＝10(s)，15 与 10 的最小公倍数为 30，则经过 30 s 后，甲、乙两人第一次同时到达正方形的顶点处.
(3)90 【点拨】由(2)可得经过 30 s 后，甲、乙两人同时到达正方形的顶点处，此时甲走了 2 条边，乙走了 3 条边，要使甲、乙两人第一次同时到达正方形的同一顶点处，则乙要比甲多走 3 条边，所以 30×3＝90(s). 故答案为 90.
(4)由(3)可得甲、乙两人第一次同时到达正方形的同一顶点处，走了 90 s，在顶点 B 相遇，因为甲按顺时针方向每秒行 1 m，乙按顺时针方向每秒行 1.5 m，设行了 t s，第一次相遇时 $1.5t-t=3×(60÷4)$，解得 $t=90$，易得第一次相遇在顶点 B，第二次相遇时，设从第一次相遇起$t_1$ s 后相遇，依题意，得 $1.5t_1-t_1=60$，解得 $t_1=120$，此时从开始起经过了 $90+120=210(s)$，$210÷60=3.5$，即甲从点 D 行了 3.5 圈到达点 B，$210÷40=5\dfrac{1}{4}$，即乙从点 C 行了 5 圈多一条边，也到达了点 B，即再次相遇在点 B(即从第一次相遇后甲再行了 2 圈，乙再行了 3圈)，如此循环，始终在点 B 相遇，所以甲、乙两人不能同时到达正方形的顶点 D 处.
解析
【分析】
解题前先计算正方形边长：周长60m，边长=60÷4=15m。
(1) 要让甲、乙同时回到初始位置D、C，行走时间需同时是甲走一圈的时间、乙走一圈的时间的公倍数，取最小公倍数即为第一次同时回到初始位置的时间。
(2) 要同时到达正方形顶点，行走时间需同时是甲走一条边的时间、乙走一条边的时间的公倍数，取最小公倍数即为第一次同时到达顶点的时间。
(3) 在同时到达顶点的基础上，需满足乙比甲多走的路程刚好等于两人初始的路程差（顺时针方向乙在甲后方3条边长的距离），每经过一个(2)中得到的最小公倍数时间，乙比甲多走1条边长，计算需要多少个这样的时间段即可得到结果。
(4) 先确定第一次相遇的位置，再计算后续每次相遇的间隔时间，判断每次相遇的位置是否可能为D即可。
【解析】
先计算基础量：正方形边长为 $60÷4=15\ \mathrm{m}$。
(1) 甲走一圈用时：$60÷1=60\ \mathrm{s}$，乙走一圈用时：$60÷1.5=40\ \mathrm{s}$。
60和40的最小公倍数为120，即经过120s，甲刚好走2圈回到D，乙刚好走3圈回到C，符合要求。
(2) 甲走1条边用时：$15÷1=15\ \mathrm{s}$，乙走1条边用时：$15÷1.5=10\ \mathrm{s}$。
15和10的最小公倍数为30，即经过30s，甲走了2条边到达顶点，乙走了3条边到达顶点，是第一次同时到顶点。
(3) 30s时，甲的位置：从D顺时针走2条边，到达B点；乙的位置：从C顺时针走3条边，到达D点，两人相差3条边。
每过30s，乙比甲多走 $1.5×30 - 1×30=15\ \mathrm{m}$，即1条边。要让两人到达同一顶点，乙需要比甲多走3条边，所需时间为 $3×30=90\ \mathrm{s}$。
验证：90s时甲走了90m，即6条边，从D顺时针走6条边（$6\mod4=2$），到达B点；乙走了 $1.5×90=135\ \mathrm{m}$，即9条边，从C顺时针走9条边（$9\mod4=1$），也到达B点，符合要求。
(4) 由(3)得第一次相遇在B点，之后每次相遇，乙需要比甲多走1圈（60m），追及时间为 $60÷(1.5-1)=120\ \mathrm{s}$。
120s内甲走了120m，即8条边，$8\mod4=0$，即从B出发走8条边回到B点；乙走了 $1.5×120=180\ \mathrm{m}$，即12条边，$12\mod4=0$，也回到B点。因此两人所有相遇都在B点，不可能同时到达D点。
【答案】
(1) $\boxed{120}$
(2) $\boxed{30}$
(3) $\boxed{90}$
(4) 不能
【知识点】
最小公倍数应用，行程追及问题，正方形性质
【点评】
本题将行程问题与公倍数知识结合，需要分步骤分析两人的运动规律，先确定单个对象到达目标位置的时间特征，再寻找共同满足的条件，能够有效锻炼逻辑推理和分步分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题前先计算正方形边长：周长60m，边长=60÷4=15m。
(1) 要让甲、乙同时回到初始位置D、C，行走时间需同时是甲走一圈的时间、乙走一圈的时间的公倍数，取最小公倍数即为第一次同时回到初始位置的时间。
(2) 要同时到达正方形顶点，行走时间需同时是甲走一条边的时间、乙走一条边的时间的公倍数，取最小公倍数即为第一次同时到达顶点的时间。
(3) 在同时到达顶点的基础上，需满足乙比甲多走的路程刚好等于两人初始的路程差（顺时针方向乙在甲后方3条边长的距离），每经过一个(2)中得到的最小公倍数时间，乙比甲多走1条边长，计算需要多少个这样的时间段即可得到结果。
(4) 先确定第一次相遇的位置，再计算后续每次相遇的间隔时间，判断每次相遇的位置是否可能为D即可。
【解析】
先计算基础量：正方形边长为 $60÷4=15\ \mathrm{m}$。
(1) 甲走一圈用时：$60÷1=60\ \mathrm{s}$，乙走一圈用时：$60÷1.5=40\ \mathrm{s}$。
60和40的最小公倍数为120，即经过120s，甲刚好走2圈回到D，乙刚好走3圈回到C，符合要求。
(2) 甲走1条边用时：$15÷1=15\ \mathrm{s}$，乙走1条边用时：$15÷1.5=10\ \mathrm{s}$。
15和10的最小公倍数为30，即经过30s，甲走了2条边到达顶点，乙走了3条边到达顶点，是第一次同时到顶点。
(3) 30s时，甲的位置：从D顺时针走2条边，到达B点；乙的位置：从C顺时针走3条边，到达D点，两人相差3条边。
每过30s，乙比甲多走 $1.5×30 - 1×30=15\ \mathrm{m}$，即1条边。要让两人到达同一顶点，乙需要比甲多走3条边，所需时间为 $3×30=90\ \mathrm{s}$。
验证：90s时甲走了90m，即6条边，从D顺时针走6条边（$6\mod4=2$），到达B点；乙走了 $1.5×90=135\ \mathrm{m}$，即9条边，从C顺时针走9条边（$9\mod4=1$），也到达B点，符合要求。
(4) 由(3)得第一次相遇在B点，之后每次相遇，乙需要比甲多走1圈（60m），追及时间为 $60÷(1.5-1)=120\ \mathrm{s}$。
120s内甲走了120m，即8条边，$8\mod4=0$，即从B出发走8条边回到B点；乙走了 $1.5×120=180\ \mathrm{m}$，即12条边，$12\mod4=0$，也回到B点。因此两人所有相遇都在B点，不可能同时到达D点。
【答案】
(1) $\boxed{120}$
(2) $\boxed{30}$
(3) $\boxed{90}$
(4) 不能
【知识点】
最小公倍数应用，行程追及问题，正方形性质
【点评】
本题将行程问题与公倍数知识结合，需要分步骤分析两人的运动规律，先确定单个对象到达目标位置的时间特征，再寻找共同满足的条件，能够有效锻炼逻辑推理和分步分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图，BD是$△ ABC$的中线，O是BD上一点，连接AO并延长交BC于点E. 若$△ ABC$的面积为12，$OB=2OD$，则$△ BOE$的面积是（
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5. C 【点拨】如图，连接 DE. 因为 BD 是$△ ABC$ 的中线，$△ ABC$ 的面积为 12，所以 $S_{△ ADB}=S_{△ CDB}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=6$，$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}$. 因为 $OB=2OD$，所以$S_{△ BOE}=2S_{△ DOE}$，$S_{△ AOB}=2S_{△ AOD}$. 所以 $S_{△ AOD}=\dfrac{1}{3}S_{△ ADB}=2$. 设 $S_{△ DOE}=x$，则 $S_{△ BOE}=2x$，$S_{△ CDE}=S_{△ ADE}=S_{△ AOD}+S_{△ DOE}=2+x$. 由$S_{△ BOE}+S_{△ DOE}+S_{△ CDE}=S_{△ CDB}$，得 $2x+x+2+x=6$，解得$x=1$，所以$△ BOE$ 的面积为 $2x=2$.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，先得到△ADB和△CDB的面积均为△ABC面积的一半。再结合条件OB=2OD，根据“同高的两个三角形，面积之比等于底边长的比”，可得到△AOB与△AOD、△BOE与△DOE的面积比。此时直接求解△BOE面积缺少条件，因此考虑作辅助线连接DE，利用D是AC中点，可得△ADE和△CDE面积相等，进而设未知数列方程求解即可。
【解析】
解：如图，连接DE。
∵ BD是△ABC的中线，△ABC的面积为12，
∴ D为AC中点，$S_{△ ADB}=S_{△ CDB}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=6$，且$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}$。
∵ $OB=2OD$，△BOE和△DOE同高，△AOB和△AOD同高，
∴ $S_{△ BOE}=2S_{△ DOE}$，$S_{△ AOB}=2S_{△ AOD}$，
∴ $S_{△ AOD}=\dfrac{1}{1+2}S_{△ ADB}=\dfrac{1}{3}×6=2$。
设 $S_{△ DOE}=x$，则 $S_{△ BOE}=2x$，
$S_{△ CDE}=S_{△ ADE}=S_{△ AOD}+S_{△ DOE}=2+x$。
∵ $S_{△ BOE}+S_{△ DOE}+S_{△ CDE}=S_{△ CDB}$，
代入得：$2x+x+2+x=6$，
解得$x=1$，
∴ $S_{△ BOE}=2x=2×1=2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线性质，同高三角形面积比，一元一次方程应用
【点评】
本题将三角形中线的面积性质、同高三角形的面积与底的正比关系相结合考查，通过作辅助线构造等面积三角形，结合设未知数列方程的方法求解，需要学生具备一定的条件转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，先得到△ADB和△CDB的面积均为△ABC面积的一半。再结合条件OB=2OD，根据“同高的两个三角形，面积之比等于底边长的比”，可得到△AOB与△AOD、△BOE与△DOE的面积比。此时直接求解△BOE面积缺少条件，因此考虑作辅助线连接DE，利用D是AC中点，可得△ADE和△CDE面积相等，进而设未知数列方程求解即可。
【解析】
解：如图，连接DE。
∵ BD是△ABC的中线，△ABC的面积为12，
∴ D为AC中点，$S_{△ ADB}=S_{△ CDB}=\dfrac{1}{2}S_{△ ABC}=6$，且$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}$。
∵ $OB=2OD$，△BOE和△DOE同高，△AOB和△AOD同高，
∴ $S_{△ BOE}=2S_{△ DOE}$，$S_{△ AOB}=2S_{△ AOD}$，
∴ $S_{△ AOD}=\dfrac{1}{1+2}S_{△ ADB}=\dfrac{1}{3}×6=2$。
设 $S_{△ DOE}=x$，则 $S_{△ BOE}=2x$，
$S_{△ CDE}=S_{△ ADE}=S_{△ AOD}+S_{△ DOE}=2+x$。
∵ $S_{△ BOE}+S_{△ DOE}+S_{△ CDE}=S_{△ CDB}$，
代入得：$2x+x+2+x=6$，
解得$x=1$，
∴ $S_{△ BOE}=2x=2×1=2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中线性质，同高三角形面积比，一元一次方程应用
【点评】
本题将三角形中线的面积性质、同高三角形的面积与底的正比关系相结合考查，通过作辅助线构造等面积三角形，结合设未知数列方程的方法求解，需要学生具备一定的条件转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
6. 中国最早的算术教材皆称为《算经》，其中最具代表性的著作为《孙子算经》，其中所著问题皆为经典.如原载“物不知数问题”，原文是：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”答曰：二十三.当时著名的大数学家程大位，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，除百零五便得知.小明阅读完这段材料之后，经过研究并发现歌诀中的数据都隐含深意，并揭秘如下：70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1；而105是3,5,7的最小公倍数.在使用的同时，可以如下构造数据：2(被3除的余数)×70(构造的数)+3(被5除的余数)×21(构造的数)+2(被7除的余数)×15(构造的数)，和为233，再除以105，余数为23.
请你求出满足下列条件的最小正整数：
(1)被3除余1，被5除余3，被7除余6；
(2)被5除余3，被7除余2，被11除余2.
请你求出满足下列条件的最小正整数：
(1)被3除余1，被5除余3，被7除余6；
(2)被5除余3，被7除余2，被11除余2.
答案
6. 【解】(1)1(被3除的余数)×70(构造的数)＋3(被5除的余数)×21(构造的数)＋6(被7除的余数)×15(构造的数)，和为 70＋63＋90＝223，223÷105＝2……13，余数为 13，则被 3 除余 1，被 5 除余 3，被 7 除余 6 的最小正整数是 13.
(2)3(被5除的余数)×231(构造的数)＋2(被7除的余数)×330(构造的数)＋2(被11除的余数)×210(构造的数)，和为 693＋660＋420＝1 773，1 773÷(5×7×11)＝1 773÷385＝4……233，余数为 233，则被 5 除余 3，被 7除余 2，被 11 除余 2 的最小正整数是 233.
(2)3(被5除的余数)×231(构造的数)＋2(被7除的余数)×330(构造的数)＋2(被11除的余数)×210(构造的数)，和为 693＋660＋420＝1 773，1 773÷(5×7×11)＝1 773÷385＝4……233，余数为 233，则被 5 除余 3，被 7除余 2，被 11 除余 2 的最小正整数是 233.
解析
【分析】
解题首先要读懂题目给出的“孙子问题”的解法规则：①针对三个除数a、b、c，先分别找到是另外两个除数的公倍数，且除以当前除数余1的构造数；②将每个除数对应的余数乘对应的构造数，求和得到总数；③计算三个除数的最小公倍数，用总数除以最小公倍数，得到的正余数就是满足条件的最小正整数。
第(1)问三个除数是3、5、7，题目已经给出对应的构造数70、21、15，最小公倍数是105，直接套用规则计算即可；第(2)问三个除数是5、7、11，先按照规则找到对应构造数，再按步骤计算即可。
【解析】
(1) 根据题目给出的构造规则计算：
被3除余1对应构造数为70，被5除余3对应构造数为21，被7除余6对应构造数为15。
构造和：$1×70 + 3×21 + 6×15 = 70 + 63 + 90 = 223$
3、5、7的最小公倍数为105，计算得：$223÷105 = 2······13$
验证可知13满足所有余数条件，且小于最小公倍数，为最小正整数解。
(2) 先按规则确定对应构造数：
①找7和11的公倍数且除以5余1的数：$7×11=77$，$77÷5$余2，因此$77×3=231$，231除以5余1，为被5除的构造数；
②找5和11的公倍数且除以7余1的数：$5×11=55$，$55÷7$余6，因此$55×6=330$，330除以7余1，为被7除的构造数；
③找5和7的公倍数且除以11余1的数：$5×7=35$，$35÷11$余2，因此$35×6=210$，210除以11余1，为被11除的构造数。
5、7、11的最小公倍数为$5×7×11=385$。
构造和：$3×231 + 2×330 + 2×210 = 693 + 660 + 420 = 1773$
计算得：$1773÷385 = 4······233$
验证可知233满足所有余数条件，且小于最小公倍数，为最小正整数解。
【答案】
(1) 13；(2) 233
【知识点】
带余除法，最小公倍数，中国剩余定理
【点评】
本题以中国古代传统数学文化为载体，考查对新规则的阅读理解和知识迁移应用能力，需要结合带余除法、最小公倍数的基础知识点，按照给定规则逐步计算，最后注意验证结果是否符合所有条件。
【难度系数】
0.6
解题首先要读懂题目给出的“孙子问题”的解法规则：①针对三个除数a、b、c，先分别找到是另外两个除数的公倍数，且除以当前除数余1的构造数；②将每个除数对应的余数乘对应的构造数，求和得到总数；③计算三个除数的最小公倍数，用总数除以最小公倍数，得到的正余数就是满足条件的最小正整数。
第(1)问三个除数是3、5、7，题目已经给出对应的构造数70、21、15，最小公倍数是105，直接套用规则计算即可；第(2)问三个除数是5、7、11，先按照规则找到对应构造数，再按步骤计算即可。
【解析】
(1) 根据题目给出的构造规则计算：
被3除余1对应构造数为70，被5除余3对应构造数为21，被7除余6对应构造数为15。
构造和：$1×70 + 3×21 + 6×15 = 70 + 63 + 90 = 223$
3、5、7的最小公倍数为105，计算得：$223÷105 = 2······13$
验证可知13满足所有余数条件，且小于最小公倍数，为最小正整数解。
(2) 先按规则确定对应构造数：
①找7和11的公倍数且除以5余1的数：$7×11=77$，$77÷5$余2，因此$77×3=231$，231除以5余1，为被5除的构造数；
②找5和11的公倍数且除以7余1的数：$5×11=55$，$55÷7$余6，因此$55×6=330$，330除以7余1，为被7除的构造数；
③找5和7的公倍数且除以11余1的数：$5×7=35$，$35÷11$余2，因此$35×6=210$，210除以11余1，为被11除的构造数。
5、7、11的最小公倍数为$5×7×11=385$。
构造和：$3×231 + 2×330 + 2×210 = 693 + 660 + 420 = 1773$
计算得：$1773÷385 = 4······233$
验证可知233满足所有余数条件，且小于最小公倍数，为最小正整数解。
【答案】
(1) 13；(2) 233
【知识点】
带余除法，最小公倍数，中国剩余定理
【点评】
本题以中国古代传统数学文化为载体，考查对新规则的阅读理解和知识迁移应用能力，需要结合带余除法、最小公倍数的基础知识点，按照给定规则逐步计算，最后注意验证结果是否符合所有条件。
【难度系数】
0.6
