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12. [2026 上海期末]甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送.先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有24粒，原来甲、乙共有糖
60
粒.答案
12.60
【点拨】设甲、乙、丙原来分别有糖$x$粒、$y$粒、$z$粒,甲赠送后甲有$(x-y-z)$粒,乙有$2y$粒,丙有$2z$粒,乙赠送后甲有$2(x-y-z)$粒,乙有$2y-(x-y-z)-2z=(-x+3y-z)$粒,丙有$4z$粒,丙赠送后甲有$4(x-y-z)$粒,乙有$2(-x+3y-z)$粒,丙有$4z-2(x-y-z)-(-x+3y-z)=(-x-y+7z)$粒。
因为互送后每人恰好各有24粒,所以$\begin{cases}4(x-y-z)=24,\\2(-x+3y-z)=24,\\-x-y+7z=24,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=39,\\y=21,\\z=12.\end{cases}$
所以$x+y=39+21=60$,
所以原来甲、乙共有糖60粒。
【点拨】设甲、乙、丙原来分别有糖$x$粒、$y$粒、$z$粒,甲赠送后甲有$(x-y-z)$粒,乙有$2y$粒,丙有$2z$粒,乙赠送后甲有$2(x-y-z)$粒,乙有$2y-(x-y-z)-2z=(-x+3y-z)$粒,丙有$4z$粒,丙赠送后甲有$4(x-y-z)$粒,乙有$2(-x+3y-z)$粒,丙有$4z-2(x-y-z)-(-x+3y-z)=(-x-y+7z)$粒。
因为互送后每人恰好各有24粒,所以$\begin{cases}4(x-y-z)=24,\\2(-x+3y-z)=24,\\-x-y+7z=24,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=39,\\y=21,\\z=12.\end{cases}$
所以$x+y=39+21=60$,
所以原来甲、乙共有糖60粒。
解析
【分析】
这是一道涉及数量动态变化的分配类应用题，解题时可先设甲、乙、丙原来各有糖$x$粒、$y$粒、$z$粒，再按照赠送规则：赠送者给对方的糖数等于对方当前已有的糖数，即对方获赠后糖数翻倍，赠送者的糖数需减去赠送的总量，依次表示出三次赠送后三人各自的糖数，最后结合最终三人各有24粒糖的条件列三元一次方程组，求解得到$x$、$y$的值后相加即可得到答案。
【解析】
设甲、乙、丙原来分别有糖$x$粒、$y$粒、$z$粒，根据赠送规则逐步计算各阶段三人的糖数：
1. 甲给乙、丙原有糖数后：
甲剩余：$x-y-z$粒，乙变为$2y$粒，丙变为$2z$粒；
2. 乙给甲、丙现有糖数后：
甲变为$2(x-y-z)$粒，乙剩余：$2y-(x-y-z)-2z=-x+3y-z$粒，丙变为$4z$粒；
3. 丙给甲、乙现有糖数后：
甲变为$4(x-y-z)$粒，乙变为$2(-x+3y-z)$粒，丙剩余：$4z-2(x-y-z)-(-x+3y-z)=-x-y+7z$粒。
根据最终三人各有24粒，列方程组：
$\begin{cases}4(x-y-z)=24\\2(-x+3y-z)=24\\-x-y+7z=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=39\\y=21\\z=12\end{cases}$
因此原来甲、乙共有糖：$x+y=39+21=60$（粒）
【答案】
60
【知识点】
三元一次方程组的应用；列代数式；三元一次方程组的解法
【点评】
本题解题的关键是理清每次赠送过程中三人糖数的变化规律，准确用含未知数的代数式表示各阶段的数量，再结合最终条件建立方程求解，计算时需注意符号问题，避免运算出错。
【难度系数】
0.6
这是一道涉及数量动态变化的分配类应用题，解题时可先设甲、乙、丙原来各有糖$x$粒、$y$粒、$z$粒，再按照赠送规则：赠送者给对方的糖数等于对方当前已有的糖数，即对方获赠后糖数翻倍，赠送者的糖数需减去赠送的总量，依次表示出三次赠送后三人各自的糖数，最后结合最终三人各有24粒糖的条件列三元一次方程组，求解得到$x$、$y$的值后相加即可得到答案。
【解析】
设甲、乙、丙原来分别有糖$x$粒、$y$粒、$z$粒，根据赠送规则逐步计算各阶段三人的糖数：
1. 甲给乙、丙原有糖数后：
甲剩余：$x-y-z$粒，乙变为$2y$粒，丙变为$2z$粒；
2. 乙给甲、丙现有糖数后：
甲变为$2(x-y-z)$粒，乙剩余：$2y-(x-y-z)-2z=-x+3y-z$粒，丙变为$4z$粒；
3. 丙给甲、乙现有糖数后：
甲变为$4(x-y-z)$粒，乙变为$2(-x+3y-z)$粒，丙剩余：$4z-2(x-y-z)-(-x+3y-z)=-x-y+7z$粒。
根据最终三人各有24粒，列方程组：
$\begin{cases}4(x-y-z)=24\\2(-x+3y-z)=24\\-x-y+7z=24\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=39\\y=21\\z=12\end{cases}$
因此原来甲、乙共有糖：$x+y=39+21=60$（粒）
【答案】
60
【知识点】
三元一次方程组的应用；列代数式；三元一次方程组的解法
【点评】
本题解题的关键是理清每次赠送过程中三人糖数的变化规律，准确用含未知数的代数式表示各阶段的数量，再结合最终条件建立方程求解，计算时需注意符号问题，避免运算出错。
【难度系数】
0.6
13. 解方程组：
(1) $\begin{cases} x:y:z=1:2:3, \\ 2x+y-3z=15; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{z}=2, \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{4}{z}=-1, \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} x:y:z=1:2:3, \\ 2x+y-3z=15; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{z}=2, \\ \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}+\dfrac{4}{z}=-1, \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=5. \end{cases}$
答案
13. 【解】(1) $\begin{cases} x:y:z=1:2:3,①\\ 2x+y-3z=15.② \end{cases}$
设$x=k$,则由①得$y=2k,z=3k$,
代入②,得$2k+2k-9k=15$,解得$k=-3$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-3,\\ y=-6,\\ z=-9. \end{cases}$
点方法 像这种已知未知数之间数量比的问题,通常采用设参数的方法,将“多元”化为“一元”,使解题过程更简便。
(2)设$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$,
则原方程组可化为$\begin{cases} a+b-2c=2,①\\ a-b+4c=-1,②\\ a+b=5.③ \end{cases}$
①+②,得$2a+2c=1$,④
②+③,得$2a+4c=4$.⑤
④与⑤组成方程组$\begin{cases}2a+2c=1,\\2a+4c=4.\end{cases}$
解这个方程组,得$\begin{cases}a=-1,\\c=\frac{3}{2}.\end{cases}$
把$\begin{cases}a=-1,\\c=\frac{3}{2}\end{cases}$代入①,得$b=6$.
因此,$\frac{1}{x}=-1,\frac{1}{y}=6,\frac{1}{z}=\frac{3}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-1,\\ y=\frac{1}{6},\\ z=\frac{2}{3}. \end{cases}$
设$x=k$,则由①得$y=2k,z=3k$,
代入②,得$2k+2k-9k=15$,解得$k=-3$.
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-3,\\ y=-6,\\ z=-9. \end{cases}$
点方法 像这种已知未知数之间数量比的问题,通常采用设参数的方法,将“多元”化为“一元”,使解题过程更简便。
(2)设$\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c$,
则原方程组可化为$\begin{cases} a+b-2c=2,①\\ a-b+4c=-1,②\\ a+b=5.③ \end{cases}$
①+②,得$2a+2c=1$,④
②+③,得$2a+4c=4$.⑤
④与⑤组成方程组$\begin{cases}2a+2c=1,\\2a+4c=4.\end{cases}$
解这个方程组,得$\begin{cases}a=-1,\\c=\frac{3}{2}.\end{cases}$
把$\begin{cases}a=-1,\\c=\frac{3}{2}\end{cases}$代入①,得$b=6$.
因此,$\frac{1}{x}=-1,\frac{1}{y}=6,\frac{1}{z}=\frac{3}{2}$,
所以原方程组的解为$\begin{cases} x=-1,\\ y=\frac{1}{6},\\ z=\frac{2}{3}. \end{cases}$
解析
【分析】
(1) 第一个方程组给出了x、y、z的比例关系，我们可以通过设参数的方法将三个未知数用同一个参数表示，把三元方程转化为一元一次方程求解。具体思路是：根据比例设x=k，对应得到y=2k、z=3k，代入第二个方程解出k的值，再回代得到x、y、z的结果。
(2) 第二个方程组的未知数都在分母位置，直接去分母会提高方程次数，因此采用换元法，将$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$分别替换为a、b、c，把原方程组转化为普通三元一次方程组，用加减消元法逐步消元求出a、b、c的值，再通过倒数关系得到x、y、z的解。
【解析】
(1) 原方程组记为$\begin{cases} x:y:z=1:2:3,①\\ 2x+y-3z=15.② \end{cases}$
设$x=k$，由比例①可得$y=2k$，$z=3k$，
代入②得：$2k+2k-3×3k=15$，
化简得$-5k=15$，解得$k=-3$，
回代得$x=-3$，$y=2×(-3)=-6$，$z=3×(-3)=-9$。
(2) 设$\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，$\frac{1}{z}=c$，原方程组转化为：
$\begin{cases} a+b-2c=2,①\\ a-b+4c=-1,②\\ a+b=5.③ \end{cases}$
①+②得：$2a+2c=1$④，
②+③得：$2a+4c=4$⑤，
联立④⑤，用⑤-④得$2c=3$，解得$c=\frac{3}{2}$，
把$c=\frac{3}{2}$代入④得$2a+3=1$，解得$a=-1$，
把$a=-1$代入③得$-1+b=5$，解得$b=6$，
由换元关系得$\frac{1}{x}=-1$，$\frac{1}{y}=6$，$\frac{1}{z}=\frac{3}{2}$，
因此$x=-1$，$y=\frac{1}{6}$，$z=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-3,\\ y=-6,\\ z=-9; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-1,\\ y=\frac{1}{6},\\ z=\frac{2}{3}. \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，换元法，比例设参法
【点评】
这两道是三元一次方程组的典型特殊题型，核心思想是消元转化，通过设参数或换元将陌生的方程组形式转化为常规的一元、二元一次方程组求解，掌握这两类题型的解题技巧可有效简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
(1) 第一个方程组给出了x、y、z的比例关系，我们可以通过设参数的方法将三个未知数用同一个参数表示，把三元方程转化为一元一次方程求解。具体思路是：根据比例设x=k，对应得到y=2k、z=3k，代入第二个方程解出k的值，再回代得到x、y、z的结果。
(2) 第二个方程组的未知数都在分母位置，直接去分母会提高方程次数，因此采用换元法，将$\frac{1}{x}$、$\frac{1}{y}$、$\frac{1}{z}$分别替换为a、b、c，把原方程组转化为普通三元一次方程组，用加减消元法逐步消元求出a、b、c的值，再通过倒数关系得到x、y、z的解。
【解析】
(1) 原方程组记为$\begin{cases} x:y:z=1:2:3,①\\ 2x+y-3z=15.② \end{cases}$
设$x=k$，由比例①可得$y=2k$，$z=3k$，
代入②得：$2k+2k-3×3k=15$，
化简得$-5k=15$，解得$k=-3$，
回代得$x=-3$，$y=2×(-3)=-6$，$z=3×(-3)=-9$。
(2) 设$\frac{1}{x}=a$，$\frac{1}{y}=b$，$\frac{1}{z}=c$，原方程组转化为：
$\begin{cases} a+b-2c=2,①\\ a-b+4c=-1,②\\ a+b=5.③ \end{cases}$
①+②得：$2a+2c=1$④，
②+③得：$2a+4c=4$⑤，
联立④⑤，用⑤-④得$2c=3$，解得$c=\frac{3}{2}$，
把$c=\frac{3}{2}$代入④得$2a+3=1$，解得$a=-1$，
把$a=-1$代入③得$-1+b=5$，解得$b=6$，
由换元关系得$\frac{1}{x}=-1$，$\frac{1}{y}=6$，$\frac{1}{z}=\frac{3}{2}$，
因此$x=-1$，$y=\frac{1}{6}$，$z=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-3,\\ y=-6,\\ z=-9; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x=-1,\\ y=\frac{1}{6},\\ z=\frac{2}{3}. \end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组求解，换元法，比例设参法
【点评】
这两道是三元一次方程组的典型特殊题型，核心思想是消元转化，通过设参数或换元将陌生的方程组形式转化为常规的一元、二元一次方程组求解，掌握这两类题型的解题技巧可有效简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
14. [2026台州期末]小满时节,日照增,气温升,降雨多,清热利湿很重要,中医记载:取茯苓15 g、陈皮6 g、白扁豆15 g,可制成一包祛湿茶,可以宁神、健脾、化湿、开胃.某中药店购入一批茯苓、陈皮、白扁豆各若干千克,按标准制成100包祛湿茶,茯苓刚好用完,剩余的白扁豆比陈皮多888 g.
(1)购入茯苓的质量为
(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮300 g、白扁豆771 g,和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶,所有原料恰好用完,则第二批能制成祛湿茶多少包?
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后,获得900元的利润(利润=祛湿茶销售额-所用原料的成本),若第二批购入的茯苓价格上涨10%,陈皮和白扁豆的价格不变,于是药店将祛湿茶单价上涨10%,将第二批祛湿茶也全部售出,药店两次销售共获得2 410元的利润,则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元?
(1)购入茯苓的质量为
1500
g;这100包祛湿茶所用原料陈皮与白扁豆的质量比为2:5
.(2)若第二批购入茯苓若干克、陈皮300 g、白扁豆771 g,和剩余原料一起按标准制成第二批祛湿茶,所有原料恰好用完,则第二批能制成祛湿茶多少包?
(3)药店将第一批制成的100包祛湿茶全部售出后,获得900元的利润(利润=祛湿茶销售额-所用原料的成本),若第二批购入的茯苓价格上涨10%,陈皮和白扁豆的价格不变,于是药店将祛湿茶单价上涨10%,将第二批祛湿茶也全部售出,药店两次销售共获得2 410元的利润,则两次购买的陈皮和白扁豆共花费多少元?
答案
14. 【解】(1)$1500$;$2:5$
(2)设第一批剩下的陈皮有$x$ g,白扁豆$y$克,
由题意得$\begin{cases}x+888=y,\\5(x+300)=2(y+771),\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=606,\\y=1494.\end{cases}$ 所以$\frac{x+300}{6}=151$.
所以第二批能制成祛湿茶151包。
(3)设第一批祛湿茶单价为$x$元/包,第一批购入的茯苓价格为$y$元/克,第一批祛湿茶用掉的陈皮和白扁豆共花费$z$元,
由题意得,
$\begin{cases}100x-1500y-z=900,\\151×(1+10\%)x-151×15×(1+10\%)y-\frac{151}{100}z=2410-900,\end{cases}$
解得$z=100$. 所以$\frac{151}{100}z=151$. 所以$z+\frac{151}{100}z=251$.
所以两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元。
(2)设第一批剩下的陈皮有$x$ g,白扁豆$y$克,
由题意得$\begin{cases}x+888=y,\\5(x+300)=2(y+771),\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=606,\\y=1494.\end{cases}$ 所以$\frac{x+300}{6}=151$.
所以第二批能制成祛湿茶151包。
(3)设第一批祛湿茶单价为$x$元/包,第一批购入的茯苓价格为$y$元/克,第一批祛湿茶用掉的陈皮和白扁豆共花费$z$元,
由题意得,
$\begin{cases}100x-1500y-z=900,\\151×(1+10\%)x-151×15×(1+10\%)y-\frac{151}{100}z=2410-900,\end{cases}$
解得$z=100$. 所以$\frac{151}{100}z=151$. 所以$z+\frac{151}{100}z=251$.
所以两次购买的陈皮和白扁豆共花费251元。
解析
【分析】
(1) 第一小问：已知每包祛湿茶需茯苓15g，制作100包时茯苓刚好用完，用单包茯苓质量乘包数即可得购入茯苓的总质量；100包所用陈皮和白扁豆的质量比等于单包两种原料的质量比，化简即可得到结果。
(2) 第二小问：设第一批剩余陈皮$x$ g、剩余白扁豆$y$ g，根据“剩余白扁豆比陈皮多888g”列第一个方程；第二批加入原料后全部用完，此时陈皮和白扁豆的总质量比等于单包两种原料的配比$2:5$，据此列第二个方程，解方程组得到剩余陈皮质量后，用总陈皮质量除以单包所需陈皮质量，即可得到第二批制作的包数。
(3) 第三小问：设第一批祛湿茶单价为$x$元/包，第一批茯苓单价为$y$元/克，第一批用掉的陈皮和白扁豆总花费为$z$元。根据第一批的利润公式列第一个方程；再结合第二批售价、茯苓价格的涨幅，以及第二批原料用量和第一批的比例关系，列第二个利润方程，通过整体代入消去$x$和$y$，求出$z$后即可计算两次陈皮和白扁豆的总花费。
【解析】
(1) 购入茯苓的质量：$15×100=1500$（g）
100包所用陈皮与白扁豆的质量比：$6:15=2:5$
(2) 设第一批剩下的陈皮有$x$ g，白扁豆有$y$ g，
由题意得$\begin{cases}y-x=888\\5(x+300)=2(y+771)\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=606\\y=1494\end{cases}$
第二批制成祛湿茶的包数：$\dfrac{606+300}{6}=151$（包）
(3) 设第一批祛湿茶单价为$x$元/包，第一批购入的茯苓价格为$y$元/克，第一批祛湿茶用掉的陈皮和白扁豆共花费$z$元，
由题意得$\begin{cases}100x-1500y-z=900①\\151×(1+10\%)x-151×15×(1+10\%)y-\dfrac{151}{100}z=2410-900②\end{cases}$
整理②式得$1.1(x-15y)-0.01z=10$，
由①式得$x-15y=\dfrac{900+z}{100}$，代入上式可解得$z=100$，
第二次购买的陈皮和白扁豆花费：$\dfrac{151}{100}×100=151$（元）
两次总花费：$100+151=251$（元）
【答案】
(1) $1500$；$2:5$
(2) 第二批能制成祛湿茶$\boxed{151}$包
(3) 两次购买的陈皮和白扁豆共花费$\boxed{251}$元
【知识点】
二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，比例的应用
【点评】
本题结合生活实际命题，解题的关键是抓住每包祛湿茶原料配比固定的隐含条件，第三问无需逐个求解未知数，利用整体代入的思想即可快速求解，考查了学生对方程组的灵活应用能力和整体运算能力。
【难度系数】
0.55
(1) 第一小问：已知每包祛湿茶需茯苓15g，制作100包时茯苓刚好用完，用单包茯苓质量乘包数即可得购入茯苓的总质量；100包所用陈皮和白扁豆的质量比等于单包两种原料的质量比，化简即可得到结果。
(2) 第二小问：设第一批剩余陈皮$x$ g、剩余白扁豆$y$ g，根据“剩余白扁豆比陈皮多888g”列第一个方程；第二批加入原料后全部用完，此时陈皮和白扁豆的总质量比等于单包两种原料的配比$2:5$，据此列第二个方程，解方程组得到剩余陈皮质量后，用总陈皮质量除以单包所需陈皮质量，即可得到第二批制作的包数。
(3) 第三小问：设第一批祛湿茶单价为$x$元/包，第一批茯苓单价为$y$元/克，第一批用掉的陈皮和白扁豆总花费为$z$元。根据第一批的利润公式列第一个方程；再结合第二批售价、茯苓价格的涨幅，以及第二批原料用量和第一批的比例关系，列第二个利润方程，通过整体代入消去$x$和$y$，求出$z$后即可计算两次陈皮和白扁豆的总花费。
【解析】
(1) 购入茯苓的质量：$15×100=1500$（g）
100包所用陈皮与白扁豆的质量比：$6:15=2:5$
(2) 设第一批剩下的陈皮有$x$ g，白扁豆有$y$ g，
由题意得$\begin{cases}y-x=888\\5(x+300)=2(y+771)\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=606\\y=1494\end{cases}$
第二批制成祛湿茶的包数：$\dfrac{606+300}{6}=151$（包）
(3) 设第一批祛湿茶单价为$x$元/包，第一批购入的茯苓价格为$y$元/克，第一批祛湿茶用掉的陈皮和白扁豆共花费$z$元，
由题意得$\begin{cases}100x-1500y-z=900①\\151×(1+10\%)x-151×15×(1+10\%)y-\dfrac{151}{100}z=2410-900②\end{cases}$
整理②式得$1.1(x-15y)-0.01z=10$，
由①式得$x-15y=\dfrac{900+z}{100}$，代入上式可解得$z=100$，
第二次购买的陈皮和白扁豆花费：$\dfrac{151}{100}×100=151$（元）
两次总花费：$100+151=251$（元）
【答案】
(1) $1500$；$2:5$
(2) 第二批能制成祛湿茶$\boxed{151}$包
(3) 两次购买的陈皮和白扁豆共花费$\boxed{251}$元
【知识点】
二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，比例的应用
【点评】
本题结合生活实际命题，解题的关键是抓住每包祛湿茶原料配比固定的隐含条件，第三问无需逐个求解未知数，利用整体代入的思想即可快速求解，考查了学生对方程组的灵活应用能力和整体运算能力。
【难度系数】
0.55
