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1. 下列方程组中，是三元一次方程组的是 （
A.$\begin{cases}2x=5, \\ x^2 + y =7m, \\ x + y + z =6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x} - y + z = -2, \\ x -2y + z =9, \\ y=-3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z =7, \\ xyz=1, \\ x -3y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y =2, \\ y + z =1, \\ x + z =9\end{cases}$
D
）A.$\begin{cases}2x=5, \\ x^2 + y =7m, \\ x + y + z =6\end{cases}$
B.$\begin{cases}\dfrac{3}{x} - y + z = -2, \\ x -2y + z =9, \\ y=-3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y - z =7, \\ xyz=1, \\ x -3y=4\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y =2, \\ y + z =1, \\ x + z =9\end{cases}$
答案
1.D
解析
【分析】
判断三元一次方程组需同时满足三个核心条件：①方程组中共含有3个不同的未知数；②每个方程都是整式方程；③所有含未知数的项的次数均为1。解题时对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对照三元一次方程组的判定条件逐个分析选项：
选项A：第二个方程中含$x^2$项，$x$的次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项B：第一个方程的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“每个方程都是整式方程”的要求，不属于三元一次方程组；
选项C：第二个方程中$xyz$是三个未知数相乘，该项次数为3，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项D：方程组共含有$x、y、z$3个不同的未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合三元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义、整式方程的判定、单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握三元一次方程组的判定标准，易错点是容易忽略“整式方程”“未知数项次数为1”的要求，或误以为每个方程都必须包含三个未知数。
【难度系数】
0.85
判断三元一次方程组需同时满足三个核心条件：①方程组中共含有3个不同的未知数；②每个方程都是整式方程；③所有含未知数的项的次数均为1。解题时对照这三个条件逐一排查选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们对照三元一次方程组的判定条件逐个分析选项：
选项A：第二个方程中含$x^2$项，$x$的次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项B：第一个方程的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“每个方程都是整式方程”的要求，不属于三元一次方程组；
选项C：第二个方程中$xyz$是三个未知数相乘，该项次数为3，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不属于三元一次方程组；
选项D：方程组共含有$x、y、z$3个不同的未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项的次数均为1，符合三元一次方程组的定义。
【答案】
D
【知识点】
三元一次方程组的定义、整式方程的判定、单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握三元一次方程组的判定标准，易错点是容易忽略“整式方程”“未知数项次数为1”的要求，或误以为每个方程都必须包含三个未知数。
【难度系数】
0.85
2.若$(a+1)x+5y^{b+1}+2z^{2-|a|}=10$是一个三元一次方程,则$a=$
1
,$b=$0
.答案
2. $a=1$，$b=0$
解析
【分析】
要解决本题，首先要明确三元一次方程的核心要求：一是含有3个不同的未知数，因此三个未知数的系数都不能为0，否则会缺少对应的未知数；二是每个含未知数的项的次数都为1。我们可以根据这两个要求分别列出关于a、b的关系式，再逐一求解即可得到结果。
【解析】
根据三元一次方程的定义，可列以下条件：
1. x的系数不为0，保证x项存在：$a+1≠0$，即$a≠-1$；
2. y的次数为1：$b+1=1$，解得$b=0$；
3. z的次数为1：$2-|a|=1$，移项计算得$|a|=1$，即$a=1$或$a=-1$。
结合$a≠-1$的限制，最终可得$a=1$。
【答案】
$a=1$，$b=0$
【知识点】
三元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题主要考查三元一次方程概念的应用，易错点是容易忽略“未知数系数不能为0”的隐含条件，误将a=-1当作结果，解题时要注意全面考虑定义的所有要求。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先要明确三元一次方程的核心要求：一是含有3个不同的未知数，因此三个未知数的系数都不能为0，否则会缺少对应的未知数；二是每个含未知数的项的次数都为1。我们可以根据这两个要求分别列出关于a、b的关系式，再逐一求解即可得到结果。
【解析】
根据三元一次方程的定义，可列以下条件：
1. x的系数不为0，保证x项存在：$a+1≠0$，即$a≠-1$；
2. y的次数为1：$b+1=1$，解得$b=0$；
3. z的次数为1：$2-|a|=1$，移项计算得$|a|=1$，即$a=1$或$a=-1$。
结合$a≠-1$的限制，最终可得$a=1$。
【答案】
$a=1$，$b=0$
【知识点】
三元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题主要考查三元一次方程概念的应用，易错点是容易忽略“未知数系数不能为0”的隐含条件，误将a=-1当作结果，解题时要注意全面考虑定义的所有要求。
【难度系数】
0.7
3. 新题型结论开放题 请写出一个以$\begin{cases}x=3, \\ y=1, \\ z=-1\end{cases}$为解的三元一次方程： ______ 。
答案
3. 答案不唯一，如$2x+y-z=8$
解析
【分析】
要写出满足条件的三元一次方程，首先要明确三元一次方程的特征：含有三个未知数，含未知数的项的次数均为1，且是整式方程；同时给定的$\begin{cases}x=3, \\ y=1, \\ z=-1\end{cases}$要能使方程成立，即代入后等式左右两边相等。我们可以先任意设定x、y、z的不全为0的系数，再将解代入计算出等号右侧的常数，就能得到符合要求的方程。
【解析】
三元一次方程需要满足以下要求：①含有3个未知数x、y、z；②含未知数的项的次数为1；③是整式方程；④将$x=3,y=1,z=-1$代入后等式成立。
我们可自行选取x、y、z的系数，例如取x的系数为2，y的系数为1，z的系数为-1，将解代入计算左侧式子的值：
$2×3 + 1×1 - (-1) = 6+1+1=8$
因此可得到方程$2x+y-z=8$，也可选取其他系数构造方程，如$x+y+z=3$等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$2x+y-z=8$
【知识点】
三元一次方程的定义；方程的解的应用
【点评】
本题为结论开放型题目，核心考查对三元一次方程概念以及方程解的含义的理解，灵活度较高，只要符合三元一次方程的定义，且代入给定的解后等式成立即为正确答案。
【难度系数】
0.8
要写出满足条件的三元一次方程，首先要明确三元一次方程的特征：含有三个未知数，含未知数的项的次数均为1，且是整式方程；同时给定的$\begin{cases}x=3, \\ y=1, \\ z=-1\end{cases}$要能使方程成立，即代入后等式左右两边相等。我们可以先任意设定x、y、z的不全为0的系数，再将解代入计算出等号右侧的常数，就能得到符合要求的方程。
【解析】
三元一次方程需要满足以下要求：①含有3个未知数x、y、z；②含未知数的项的次数为1；③是整式方程；④将$x=3,y=1,z=-1$代入后等式成立。
我们可自行选取x、y、z的系数，例如取x的系数为2，y的系数为1，z的系数为-1，将解代入计算左侧式子的值：
$2×3 + 1×1 - (-1) = 6+1+1=8$
因此可得到方程$2x+y-z=8$，也可选取其他系数构造方程，如$x+y+z=3$等，答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$2x+y-z=8$
【知识点】
三元一次方程的定义；方程的解的应用
【点评】
本题为结论开放型题目，核心考查对三元一次方程概念以及方程解的含义的理解，灵活度较高，只要符合三元一次方程的定义，且代入给定的解后等式成立即为正确答案。
【难度系数】
0.8
4. 解方程组$\begin{cases}2x + y - 3z =5, \\-4x - y +2z=12, \\5x + y +7z=14,\end{cases}$最简便的消元方法是（ ）
A.先消去$x$
B.先消去$y$
C.先消去$z$
D.先消去常数项
A.先消去$x$
B.先消去$y$
C.先消去$z$
D.先消去常数项
答案
4.B
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，即通过消去一个未知数，将三元方程组转化为二元方程组求解。选择先消去的未知数时，优先观察各未知数在三个方程中的系数特点：若某未知数的系数存在相等或互为相反数的情况，无需额外乘系数，直接通过加减运算即可消去，消元过程最简便。观察本题三个方程，y的系数分别为1、-1、1，均为±1且存在互为相反数的情况，直接将方程两两加减即可消去y，无需做额外乘法运算，是最简便的消元选择。
【解析】
观察方程组中三个未知数的系数特征：
1. 未知数x的系数为2、-4、5，消去x需要先求系数的最小公倍数，给对应方程乘相应的系数，计算步骤多；
2. 未知数y的系数为1、-1、1，将第一个方程和第二个方程相加，可直接消去y；将第二个方程和第三个方程相加，也可直接消去y，无需额外乘系数，操作最简便；
3. 未知数z的系数为-3、2、7，消去z也需要先求系数的最小公倍数，给对应方程乘相应的系数，计算步骤多；
4. 消去常数项的方法更复杂，不属于常规简便消元思路。
因此最简便的消元方法是先消去y。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组消元策略的选择，解题关键是观察各未知数的系数特征，优先消去系数为±1或存在互为相反数、倍数关系的未知数，可有效减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，即通过消去一个未知数，将三元方程组转化为二元方程组求解。选择先消去的未知数时，优先观察各未知数在三个方程中的系数特点：若某未知数的系数存在相等或互为相反数的情况，无需额外乘系数，直接通过加减运算即可消去，消元过程最简便。观察本题三个方程，y的系数分别为1、-1、1，均为±1且存在互为相反数的情况，直接将方程两两加减即可消去y，无需做额外乘法运算，是最简便的消元选择。
【解析】
观察方程组中三个未知数的系数特征：
1. 未知数x的系数为2、-4、5，消去x需要先求系数的最小公倍数，给对应方程乘相应的系数，计算步骤多；
2. 未知数y的系数为1、-1、1，将第一个方程和第二个方程相加，可直接消去y；将第二个方程和第三个方程相加，也可直接消去y，无需额外乘系数，操作最简便；
3. 未知数z的系数为-3、2、7，消去z也需要先求系数的最小公倍数，给对应方程乘相应的系数，计算步骤多；
4. 消去常数项的方法更复杂，不属于常规简便消元思路。
因此最简便的消元方法是先消去y。
【答案】
B
【知识点】
三元一次方程组的解法；加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组消元策略的选择，解题关键是观察各未知数的系数特征，优先消去系数为±1或存在互为相反数、倍数关系的未知数，可有效减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
5.若方程组$\begin{cases}a+b=3, \\ b+c=2, \\ c+a=1\end{cases}$的解满足$k=a+b+c$，则点$P(k+2,1-2k)$在第 ______ 象限。
答案
5. 四
【点拨】$\begin{cases}a+b=3,①\\b+c=2,②\\c+a=1,③\end{cases}$①+②+③，得$a+b+b+c+c+a=3+2+1$，整理得$2(a+b+c)=6$，所以$a+b+c=3$。所以$k=3$。所以$P(5,-5)$。所以点$P(k+2,1-2k)$在第四象限。
【点拨】$\begin{cases}a+b=3,①\\b+c=2,②\\c+a=1,③\end{cases}$①+②+③，得$a+b+b+c+c+a=3+2+1$，整理得$2(a+b+c)=6$，所以$a+b+c=3$。所以$k=3$。所以$P(5,-5)$。所以点$P(k+2,1-2k)$在第四象限。
解析
【分析】
解题时先观察给出的三个方程组的结构特征，三个方程左边相加后恰好是2(a+b+c)，因此可以不用分别求解a、b、c的值，采用整体思想，将三个方程左右两边同时相加，先求出a+b+c的值，即得到k的值；再将k代入点P的横、纵坐标表达式中，求出坐标，最后根据各象限内点的坐标符号特征判断点P所在的象限即可。
【解析】
将三个方程标记为：
$\begin{cases}a+b=3,①\\b+c=2,②\\c+a=1,③\end{cases}$
将①+②+③，得：$a+b+b+c+c+a=3+2+1$
整理得：$2(a+b+c)=6$，解得$a+b+c=3$
由题意$k=a+b+c$，因此$k=3$
代入点P的坐标得：
横坐标：$k+2=3+2=5$
纵坐标：$1-2k=1-2×3=-5$
即点P的坐标为$(5,-5)$，横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征。
【答案】
四
【知识点】
三元一次方程组的解法；代数式求值；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题侧重考察整体思想在方程组求解中的应用，无需单独求出每个未知数的取值，通过观察方程结构选择整体相加的方法可简化计算过程，解题时要熟练掌握各象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8
解题时先观察给出的三个方程组的结构特征，三个方程左边相加后恰好是2(a+b+c)，因此可以不用分别求解a、b、c的值，采用整体思想，将三个方程左右两边同时相加，先求出a+b+c的值，即得到k的值；再将k代入点P的横、纵坐标表达式中，求出坐标，最后根据各象限内点的坐标符号特征判断点P所在的象限即可。
【解析】
将三个方程标记为：
$\begin{cases}a+b=3,①\\b+c=2,②\\c+a=1,③\end{cases}$
将①+②+③，得：$a+b+b+c+c+a=3+2+1$
整理得：$2(a+b+c)=6$，解得$a+b+c=3$
由题意$k=a+b+c$，因此$k=3$
代入点P的坐标得：
横坐标：$k+2=3+2=5$
纵坐标：$1-2k=1-2×3=-5$
即点P的坐标为$(5,-5)$，横坐标为正、纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征。
【答案】
四
【知识点】
三元一次方程组的解法；代数式求值；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题侧重考察整体思想在方程组求解中的应用，无需单独求出每个未知数的取值，通过观察方程结构选择整体相加的方法可简化计算过程，解题时要熟练掌握各象限内点的坐标符号特点。
【难度系数】
0.8
6. 母题 教材$P_{136}$随堂练习$T_1$ 解方程组：
(1)$\begin{cases}x=y+z,①\\3x+y=18,②\\x+y+z=10;③\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x+y-z=7,\\x-2y+z=-6,\\3x-y+2z=-5.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}x=y+z,①\\3x+y=18,②\\x+y+z=10;③\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x+y-z=7,\\x-2y+z=-6,\\3x-y+2z=-5.\end{cases}$
答案
6. 【解】(1)将①代入②，得$3(y+z)+y=18$，整理得$4y+3z=18$，④
将①代入③，得$y+z+y+z=10$，整理得$y+z=5$，⑤
⑤×3，得$3y+3z=15$，⑥ ④−⑥，得$y=3$。
把$y=3$代入⑤，得$3+z=5$，解得$z=2$。
把$y=3,z=2$代入①，得$x=5$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5,\\y=3,\\z=2.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x+y-z=7,①\\x-2y+z=-6,②\\3x-y+2z=-5,③\end{cases}$ ①+②，得$3x-y=1$。④
把④代入③，得$1+2z=-5$，解得$z=-3$。
把$z=-3$分别代入①②，
得$\begin{cases}2x+y+3=7,\\x-2y-3=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=2,\\z=-3.\end{cases}$
将①代入③，得$y+z+y+z=10$，整理得$y+z=5$，⑤
⑤×3，得$3y+3z=15$，⑥ ④−⑥，得$y=3$。
把$y=3$代入⑤，得$3+z=5$，解得$z=2$。
把$y=3,z=2$代入①，得$x=5$。
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=5,\\y=3,\\z=2.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}2x+y-z=7,①\\x-2y+z=-6,②\\3x-y+2z=-5,③\end{cases}$ ①+②，得$3x-y=1$。④
把④代入③，得$1+2z=-5$，解得$z=-3$。
把$z=-3$分别代入①②，
得$\begin{cases}2x+y+3=7,\\x-2y-3=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=1,\\y=2,\\z=-3.\end{cases}$
解析
【分析】
解三元一次方程组的核心思路是消元，将三元逐步转化为二元、一元求解。
(1)观察方程组发现方程①直接给出了x用y、z表示的形式，因此优先选择代入消元法，把①分别代入②和③，消去x后得到关于y、z的二元一次方程组，解出y、z的值后再回代求x即可。
(2)观察方程组中三个方程的z的系数，①中z的系数是-1，②中z的系数是+1，将①和②相加可直接消去z，得到关于x、y的关系式，再将该关系式代入③可先求出z的值，之后把z的值代入原方程组中任意两个含x、y的方程，得到二元一次方程组求解x、y即可。
【解析】
(1)将①代入②，得$3(y+z)+y=18$，整理得$4y+3z=18$，④
将①代入③，得$y+z+y+z=10$，整理得$y+z=5$，⑤
⑤×3，得$3y+3z=15$，⑥
④−⑥，得$y=3$。
把$y=3$代入⑤，得$3+z=5$，解得$z=2$。
把$y=3,z=2$代入①，得$x=5$。
(2)令方程组为$\begin{cases}2x+y-z=7,①\\x-2y+z=-6,②\\3x-y+2z=-5,③\end{cases}$
①+②，得$3x-y=1$。④
把④代入③，得$1+2z=-5$，解得$z=-3$。
把$z=-3$分别代入①②，
得$\begin{cases}2x+y+3=7,\\x-2y-3=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=5,\\y=3,\\z=2;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=1,\\y=2,\\z=-3.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的基础解法，解题关键是观察方程系数特点，灵活选择消元方式逐步降元求解，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
解三元一次方程组的核心思路是消元，将三元逐步转化为二元、一元求解。
(1)观察方程组发现方程①直接给出了x用y、z表示的形式，因此优先选择代入消元法，把①分别代入②和③，消去x后得到关于y、z的二元一次方程组，解出y、z的值后再回代求x即可。
(2)观察方程组中三个方程的z的系数，①中z的系数是-1，②中z的系数是+1，将①和②相加可直接消去z，得到关于x、y的关系式，再将该关系式代入③可先求出z的值，之后把z的值代入原方程组中任意两个含x、y的方程，得到二元一次方程组求解x、y即可。
【解析】
(1)将①代入②，得$3(y+z)+y=18$，整理得$4y+3z=18$，④
将①代入③，得$y+z+y+z=10$，整理得$y+z=5$，⑤
⑤×3，得$3y+3z=15$，⑥
④−⑥，得$y=3$。
把$y=3$代入⑤，得$3+z=5$，解得$z=2$。
把$y=3,z=2$代入①，得$x=5$。
(2)令方程组为$\begin{cases}2x+y-z=7,①\\x-2y+z=-6,②\\3x-y+2z=-5,③\end{cases}$
①+②，得$3x-y=1$。④
把④代入③，得$1+2z=-5$，解得$z=-3$。
把$z=-3$分别代入①②，
得$\begin{cases}2x+y+3=7,\\x-2y-3=-6,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=1,\\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1)$\begin{cases}x=5,\\y=3,\\z=2;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=1,\\y=2,\\z=-3.\end{cases}$
【知识点】
三元一次方程组的解法、代入消元法、加减消元法
【点评】
本题考查三元一次方程组的基础解法，解题关键是观察方程系数特点，灵活选择消元方式逐步降元求解，计算过程中要注意符号运算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
7.设□,○,△分别表示三种不同的物体,如图所示,前两架天平保持平衡,如果要使第三架天平也保持平衡,右边应放“△”的个数为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7.B
解析
【分析】
我们可以利用天平平衡时左右两边质量相等的特点，将三种物体的质量设为未知数，根据前两架天平的平衡关系列出等式，再通过等量代换消去表示正方形质量的未知数，推导出圆形和三角形的质量关系，即可求出第三架天平右侧需要放的三角形个数。
【解析】
设△的质量为$x$，的质量为$y$，○的质量为$z$。
根据第一架天平平衡可得：$x + y = 2z$ ①
根据第二架天平平衡可得：$x + z = y$ ②
将②代入①，得：$x + (x + z) = 2z$
化简得：$2x + z = 2z$，移项可得$z = 2x$，即1个○的质量等于2个△的质量。
因此第三架天平左侧是1个○，右侧放2个△即可保持平衡。
【答案】
B
【知识点】
等量代换，等式的性质，三元一次方程组的应用
【点评】
本题结合生活中的天平平衡场景，考查将实际问题转化为数学等式的能力，解题核心是准确梳理不同物体的质量等量关系，通过简单代换就能得出结果。
【难度系数】
0.7
我们可以利用天平平衡时左右两边质量相等的特点，将三种物体的质量设为未知数，根据前两架天平的平衡关系列出等式，再通过等量代换消去表示正方形质量的未知数，推导出圆形和三角形的质量关系，即可求出第三架天平右侧需要放的三角形个数。
【解析】
设△的质量为$x$，的质量为$y$，○的质量为$z$。
根据第一架天平平衡可得：$x + y = 2z$ ①
根据第二架天平平衡可得：$x + z = y$ ②
将②代入①，得：$x + (x + z) = 2z$
化简得：$2x + z = 2z$，移项可得$z = 2x$，即1个○的质量等于2个△的质量。
因此第三架天平左侧是1个○，右侧放2个△即可保持平衡。
【答案】
B
【知识点】
等量代换，等式的性质，三元一次方程组的应用
【点评】
本题结合生活中的天平平衡场景，考查将实际问题转化为数学等式的能力，解题核心是准确梳理不同物体的质量等量关系，通过简单代换就能得出结果。
【难度系数】
0.7
8.有A,B,C三种货物,甲购A 3件,B 5件,C 1件,共200元.乙购A 4件,B 7件,C 1件,共250元,则丙购A,B,C各1件,应付
100
元.答案
8. 100
【点拨】设A,B,C的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元。
甲购A 3件,B 5件,C 1件,共200元,即$3x+5y+z=200$①，
乙购A 4件,B 7件,C 1件,共250元,即$4x+7y+z=250$②，
②−①,得$x+2y=50$③，
①×2−②,得$2x+3y+z=150$④，
④−③,得$x+y+z=100$，
所以丙购A,B,C各1件,应付100元。
【点拨】设A,B,C的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元。
甲购A 3件,B 5件,C 1件,共200元,即$3x+5y+z=200$①，
乙购A 4件,B 7件,C 1件,共250元,即$4x+7y+z=250$②，
②−①,得$x+2y=50$③，
①×2−②,得$2x+3y+z=150$④，
④−③,得$x+y+z=100$，
所以丙购A,B,C各1件,应付100元。
解析
【分析】
题目要求A、B、C各买1件的总费用，即求三种货物单价之和。首先我们可以设三种货物的单价分别为x、y、z元，根据甲、乙两人的购买情况可列出两个三元一次方程。由于未知数有3个，独立方程只有2个，无法单独求出每个未知数的取值，因此我们采用加减消元法对两个方程进行变形，通过式子的加减运算消去多余未知数，最终凑出x+y+z的整体值即可求解。
【解析】
设A、B、C的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元，根据题意列方程：
$\begin{cases}3x+5y+z=200&①\\4x+7y+z=250&②\end{cases}$
用②减去①，消去$z$可得：$x+2y=50$ ③
将①两边同时乘2得：$6x+10y+2z=400$ ④
用④减去②可得：$2x+3y+z=150$ ⑤
用⑤减去③即可得：$x+y+z=100$
【答案】
100
【知识点】
三元一次方程组应用，加减消元法，整体代换思想
【点评】
本题是三元一次方程组的典型应用题型，重点考察消元思想和整体代换能力，当未知数个数多于方程个数时，不需要求出每个未知数的具体值，通过代数变形凑出目标整体即可，属于代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
题目要求A、B、C各买1件的总费用，即求三种货物单价之和。首先我们可以设三种货物的单价分别为x、y、z元，根据甲、乙两人的购买情况可列出两个三元一次方程。由于未知数有3个，独立方程只有2个，无法单独求出每个未知数的取值，因此我们采用加减消元法对两个方程进行变形，通过式子的加减运算消去多余未知数，最终凑出x+y+z的整体值即可求解。
【解析】
设A、B、C的单价分别为$x$元、$y$元、$z$元，根据题意列方程：
$\begin{cases}3x+5y+z=200&①\\4x+7y+z=250&②\end{cases}$
用②减去①，消去$z$可得：$x+2y=50$ ③
将①两边同时乘2得：$6x+10y+2z=400$ ④
用④减去②可得：$2x+3y+z=150$ ⑤
用⑤减去③即可得：$x+y+z=100$
【答案】
100
【知识点】
三元一次方程组应用，加减消元法，整体代换思想
【点评】
本题是三元一次方程组的典型应用题型，重点考察消元思想和整体代换能力，当未知数个数多于方程个数时，不需要求出每个未知数的具体值，通过代数变形凑出目标整体即可，属于代数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
9.已知$xyz≠0$，满足$x+4y-3z=0$且$4x-5y+2z=0$，则$x:y:z$为（
A.$1:2:3$
B.$1:3:2$
C.$2:1:3$
D.$3:1:2$
A
）A.$1:2:3$
B.$1:3:2$
C.$2:1:3$
D.$3:1:2$
答案
9.A
【点拨】联立得$\begin{cases}x+4y-3z=0①,\\4x-5y+2z=0②,\end{cases}$ ①×5+②×4,得$21x-7z=0$,解得$x=\frac{1}{3}z$,代入①得$y=\frac{2}{3}z$,则$x:y:z=\frac{1}{3}z:\frac{2}{3}z:z=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}:1=1:2:3$。
【点拨】联立得$\begin{cases}x+4y-3z=0①,\\4x-5y+2z=0②,\end{cases}$ ①×5+②×4,得$21x-7z=0$,解得$x=\frac{1}{3}z$,代入①得$y=\frac{2}{3}z$,则$x:y:z=\frac{1}{3}z:\frac{2}{3}z:z=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}:1=1:2:3$。
解析
【分析】
本题给出两个含三个未知数的方程，要求三个未知数的比值，且已知$xyz≠0$，说明三个数均不为0，比值有意义。解题时可将其中一个未知数看作常数（比如把z当作已知数），将原方程组转化为关于x、y的二元一次方程组，通过消元法求出x、y用z表示的式子，最后代入比值化简即可；也可将选项逐一代入两个方程验证是否成立。
【解析】
联立已知方程得到方程组：
$\begin{cases}x+4y-3z=0&①\\4x-5y+2z=0&②\end{cases}$
首先消去y，计算$①×5+②×4$：
左边$=5(x+4y-3z)+4(4x-5y+2z)=5x+20y-15z+16x-20y+8z=21x-7z$，右边$=0$
即$21x-7z=0$，整理得$x=\frac{1}{3}z$。
将$x=\frac{1}{3}z$代入①式：
$\frac{1}{3}z +4y -3z=0$，移项得$4y=3z-\frac{1}{3}z=\frac{8}{3}z$，解得$y=\frac{2}{3}z$。
因为$z≠0$，则$x:y:z=\frac{1}{3}z:\frac{2}{3}z:z=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}:1=1:2:3$。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组求解，消元法，比例化简
【点评】
本题是三元一次方程组的典型应用，解题核心是利用“消元”思想将三元方程组降为二元方程组求解，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案，解题时要注意题干中$xyz≠0$的条件是比值化简的前提。
【难度系数】
0.7
本题给出两个含三个未知数的方程，要求三个未知数的比值，且已知$xyz≠0$，说明三个数均不为0，比值有意义。解题时可将其中一个未知数看作常数（比如把z当作已知数），将原方程组转化为关于x、y的二元一次方程组，通过消元法求出x、y用z表示的式子，最后代入比值化简即可；也可将选项逐一代入两个方程验证是否成立。
【解析】
联立已知方程得到方程组：
$\begin{cases}x+4y-3z=0&①\\4x-5y+2z=0&②\end{cases}$
首先消去y，计算$①×5+②×4$：
左边$=5(x+4y-3z)+4(4x-5y+2z)=5x+20y-15z+16x-20y+8z=21x-7z$，右边$=0$
即$21x-7z=0$，整理得$x=\frac{1}{3}z$。
将$x=\frac{1}{3}z$代入①式：
$\frac{1}{3}z +4y -3z=0$，移项得$4y=3z-\frac{1}{3}z=\frac{8}{3}z$，解得$y=\frac{2}{3}z$。
因为$z≠0$，则$x:y:z=\frac{1}{3}z:\frac{2}{3}z:z=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}:1=1:2:3$。
【答案】
A
【知识点】
三元一次方程组求解，消元法，比例化简
【点评】
本题是三元一次方程组的典型应用，解题核心是利用“消元”思想将三元方程组降为二元方程组求解，也可通过代入选项验证的方法快速得到答案，解题时要注意题干中$xyz≠0$的条件是比值化简的前提。
【难度系数】
0.7
10. 新考法 表格信息法 已知多项式$ax^2+bx+c$中，$a,b,c$为常数，$x$的取值与多项式对应的值如下表：
| $x$ | $1$ | $-5$ | $2$ | $-6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $ax^2+bx+c$ | $M$ |
$M+12$ | $7$ | $N$ |
则$N$的值为（
A.$15$
B.$19$
C.$21$
D.$23$
| $x$ | $1$ | $-5$ | $2$ | $-6$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $ax^2+bx+c$ | $M$ |
$M+12$ | $7$ | $N$ |则$N$的值为（
D
）A.$15$
B.$19$
C.$21$
D.$23$
答案
10.D
【点拨】当$x=1$时,$a+b+c=M$①;当$x=2$时,$4a+2b+c=7$②;当$x=-5$时,$25a-5b+c=M+12$③;当$x=-6$时,$36a-6b+c=N$④. ③−①,得$24a-6b=12$,即$4a-b=2$. ④−②,得$32a-8b=N-7$. 所以$8(4a-b)=N-7$. 所以$N-7=16$. 所以$N=23$.
【点拨】当$x=1$时,$a+b+c=M$①;当$x=2$时,$4a+2b+c=7$②;当$x=-5$时,$25a-5b+c=M+12$③;当$x=-6$时,$36a-6b+c=N$④. ③−①,得$24a-6b=12$,即$4a-b=2$. ④−②,得$32a-8b=N-7$. 所以$8(4a-b)=N-7$. 所以$N-7=16$. 所以$N=23$.
解析
【分析】
解题时首先将表格中给出的x值分别代入多项式$ax^2+bx+c$，得到对应的四个等式。观察等式特征：要求N的值，不需要分别求出a、b、c的具体值，可通过等式相减消去公共项c和未知量M，先求出$4a-b$这个整体的值，再利用该整体代入计算即可得到N的值。
【解析】
将表格中x的取值分别代入多项式$ax^2+bx+c$，可得：
当$x=1$时，$a+b+c=M$ ①；
当$x=-5$时，$25a-5b+c=M+12$ ②；
当$x=2$时，$4a+2b+c=7$ ③；
当$x=-6$时，$36a-6b+c=N$ ④。
用②$-$①，消去c和M，可得：$24a-6b=12$，化简得$4a-b=2$。
用④$-$③，消去c，可得：$32a-8b=N-7$，将左边提取公因式得$8(4a-b)=N-7$。
把$4a-b=2$代入上式，得$8×2=N-7$，即$16=N-7$，解得$N=23$。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、消元法、整体代入思想
【点评】
本题是结合表格信息的代数计算题，解题核心是无需单独求出每个参数的取值，通过观察等式结构，用消元法得到可整体代入的式子，大幅简化计算过程，考查学生对等式性质的运用和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.6
解题时首先将表格中给出的x值分别代入多项式$ax^2+bx+c$，得到对应的四个等式。观察等式特征：要求N的值，不需要分别求出a、b、c的具体值，可通过等式相减消去公共项c和未知量M，先求出$4a-b$这个整体的值，再利用该整体代入计算即可得到N的值。
【解析】
将表格中x的取值分别代入多项式$ax^2+bx+c$，可得：
当$x=1$时，$a+b+c=M$ ①；
当$x=-5$时，$25a-5b+c=M+12$ ②；
当$x=2$时，$4a+2b+c=7$ ③；
当$x=-6$时，$36a-6b+c=N$ ④。
用②$-$①，消去c和M，可得：$24a-6b=12$，化简得$4a-b=2$。
用④$-$③，消去c，可得：$32a-8b=N-7$，将左边提取公因式得$8(4a-b)=N-7$。
把$4a-b=2$代入上式，得$8×2=N-7$，即$16=N-7$，解得$N=23$。
【答案】
D
【知识点】
代数式求值、消元法、整体代入思想
【点评】
本题是结合表格信息的代数计算题，解题核心是无需单独求出每个参数的取值，通过观察等式结构，用消元法得到可整体代入的式子，大幅简化计算过程，考查学生对等式性质的运用和整体思想的掌握程度。
【难度系数】
0.6
11.一个三角形的周长为 48 cm,最长边与最短边的差为 14 cm,第三边与最短边之和为 25 cm,那么这个三角形最短边的长为
9
cm.答案
11.9
【点拨】设三角形最长边的长为$a$ cm,最短边的长为$b$ cm,第三边的长为$c$ cm,根据题意得$\begin{cases}a+b+c=48①,\\a-b=14②,\\c+b=25③,\end{cases}$ ②+③得$a+c=39$④,把④代入①得$b=9$,则这个三角形最短边的长为9 cm。
【点拨】设三角形最长边的长为$a$ cm,最短边的长为$b$ cm,第三边的长为$c$ cm,根据题意得$\begin{cases}a+b+c=48①,\\a-b=14②,\\c+b=25③,\end{cases}$ ②+③得$a+c=39$④,把④代入①得$b=9$,则这个三角形最短边的长为9 cm。
解析
【分析】
本题要求三角形最短边的长度，题干给出了三组和三边长相关的等量关系，我们可以分别设最长边、最短边、第三边的长度为未知数，根据题意列出三元一次方程组求解。观察方程组的特征，可通过加减消元得到最长边与第三边的和，再整体代入周长公式，不需要求出所有未知数就能直接得到最短边的长度，简化计算步骤。
【解析】
设三角形最长边的长为$a$ cm，最短边的长为$b$ cm，第三边的长为$c$ cm，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}a+b+c=48 \quad ①\\a-b=14 \quad ②\\c+b=25 \quad ③\end{cases}$
将②和③相加，可得：$a-b+c+b=14+25$，化简得$a+c=39 \quad ④$
把④代入①，得：$39 + b = 48$，解得$b=9$。
【答案】
9
【知识点】
三元一次方程组的应用；加减消元法；三角形周长计算
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题，主要考察学生提取题干等量关系、建立方程组的能力，解题时可观察方程特征，用整体代入的方法简化运算，无需逐个求解所有未知数即可得到目标量。
【难度系数】
0.7
本题要求三角形最短边的长度，题干给出了三组和三边长相关的等量关系，我们可以分别设最长边、最短边、第三边的长度为未知数，根据题意列出三元一次方程组求解。观察方程组的特征，可通过加减消元得到最长边与第三边的和，再整体代入周长公式，不需要求出所有未知数就能直接得到最短边的长度，简化计算步骤。
【解析】
设三角形最长边的长为$a$ cm，最短边的长为$b$ cm，第三边的长为$c$ cm，根据题意列方程组得：
$\begin{cases}a+b+c=48 \quad ①\\a-b=14 \quad ②\\c+b=25 \quad ③\end{cases}$
将②和③相加，可得：$a-b+c+b=14+25$，化简得$a+c=39 \quad ④$
把④代入①，得：$39 + b = 48$，解得$b=9$。
【答案】
9
【知识点】
三元一次方程组的应用；加减消元法；三角形周长计算
【点评】
本题是三元一次方程组的基础应用题，主要考察学生提取题干等量关系、建立方程组的能力，解题时可观察方程特征，用整体代入的方法简化运算，无需逐个求解所有未知数即可得到目标量。
【难度系数】
0.7
