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8. ★★ 现有8个大小相同的小长方形，可拼成如图①②所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求小长方形的面积.
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x,y的二元一次方程组，解出x,y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积.
(1)请按照小明的思路求出每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图③所示.当小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是
(3)拓展学习:如图④是由7个正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积.
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x,y的二元一次方程组，解出x,y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积.
(1)请按照小明的思路求出每个小长方形的面积；
(2)某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图③所示.当小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是
20
cm；(3)拓展学习:如图④是由7个正方形组成的长方形，已知中间小正方形A的边长为1，求这个长方形的面积.
答案
【解】(1)根据题意得 $\begin{cases} 3x=5y, \\ 2y-x=2, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=10, \\ y=6. \end{cases}$
所以 $xy=10×6=60.$
所以每个小长方形的面积为 60.
(2)20 【点拨】设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 $x$ cm，单独一个纸杯的高度为 $y$ cm，则$\begin{cases} 2x+y=10, \\7x+y=15, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=1, \\ y=8. \end{cases}$ $12x+y=12×1+8=20.$ 所以当小明把 13 个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是 20 cm.
(3)如图，设1,2,3号正方形的边长为 $x$，则4号正方形的边长为 $x+1$，5号正方形的边长为 $x+2$，6号正方形的边长为 $x+3$，所以该长方形的长为 $3x+x+1=4x+1$ 或 $x+2+x+3=2x+5$，宽为 $x+3+x=2x+3.$
所以 $4x+1=2x+5,$ 解得 $x=2.$
所以该长方形的长为 9，宽为 7.
所以这个长方形的面积为 $9×7=63.$
解析
【分析】
(1) 要计算小长方形的面积，需先求出它的长和宽。观察图①可得：3个小长方形的长与5个小长方形的宽长度相等；观察图②可得：2个小长方形的宽减去1个小长方形的长等于中间小正方形的边长2，据此列二元一次方程组，求解得到长和宽后即可计算面积。
(2) 纸杯叠放的总高度=单个纸杯的高度+每多叠1个纸杯增加的高度×(纸杯总数-1)。观察图③可知对应两组叠放高度的条件，设未知数列方程组求解单个纸杯高度和叠加增高量，再代入13个纸杯的情况计算总高度。
(3) 观察图④的正方形边长关系，设1、2、3号正方形边长为x，根据相邻正方形边长差1依次推导4、5、6号正方形的边长，再利用长方形对边相等的性质列方程求解x，最后计算长方形的长、宽，进而求出面积。
【解析】
(1) 设小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据题意得：
$\begin{cases} 3x=5y, \\ 2y-x=2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=10, \\ y=6. \end{cases}$
所以小长方形的面积为$xy=10×6=60$。
(2) 设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高$x$ cm，单独一个纸杯的高度为$y$ cm，根据题意得：
$\begin{cases} 2x+y=10, \\7x+y=15, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1, \\ y=8. \end{cases}$
13个纸杯叠放的高度为$12x+y=12×1+8=20$（cm）。
(3) 如图，设1,2,3号正方形的边长为$x$，则4号正方形的边长为$x+1$，5号正方形的边长为$x+2$，6号正方形的边长为$x+3$，所以该长方形的长为$3x+x+1=4x+1$或$x+2+x+3=2x+5$，宽为$x+3+x=2x+3$。
所以$4x+1=2x+5$，解得$x=2$。
所以该长方形的长为9，宽为7，面积为$9×7=63$。
【答案】
(1) 每个小长方形的面积为60；
(2) 20；
(3) 这个长方形的面积为63。
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形正方形性质，方程建模
【点评】
本题结合几何拼图和生活实际场景，考查学生从图形、场景中提取等量关系、建立方程模型解决问题的能力，解题的关键是准确分析边长、高度的数量关系，能有效锻炼逻辑分析和信息提取能力。
【难度系数】
0.6
(1) 要计算小长方形的面积，需先求出它的长和宽。观察图①可得：3个小长方形的长与5个小长方形的宽长度相等；观察图②可得：2个小长方形的宽减去1个小长方形的长等于中间小正方形的边长2，据此列二元一次方程组，求解得到长和宽后即可计算面积。
(2) 纸杯叠放的总高度=单个纸杯的高度+每多叠1个纸杯增加的高度×(纸杯总数-1)。观察图③可知对应两组叠放高度的条件，设未知数列方程组求解单个纸杯高度和叠加增高量，再代入13个纸杯的情况计算总高度。
(3) 观察图④的正方形边长关系，设1、2、3号正方形边长为x，根据相邻正方形边长差1依次推导4、5、6号正方形的边长，再利用长方形对边相等的性质列方程求解x，最后计算长方形的长、宽，进而求出面积。
【解析】
(1) 设小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据题意得：
$\begin{cases} 3x=5y, \\ 2y-x=2, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=10, \\ y=6. \end{cases}$
所以小长方形的面积为$xy=10×6=60$。
(2) 设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高$x$ cm，单独一个纸杯的高度为$y$ cm，根据题意得：
$\begin{cases} 2x+y=10, \\7x+y=15, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=1, \\ y=8. \end{cases}$
13个纸杯叠放的高度为$12x+y=12×1+8=20$（cm）。
(3) 如图，设1,2,3号正方形的边长为$x$，则4号正方形的边长为$x+1$，5号正方形的边长为$x+2$，6号正方形的边长为$x+3$，所以该长方形的长为$3x+x+1=4x+1$或$x+2+x+3=2x+5$，宽为$x+3+x=2x+3$。
所以$4x+1=2x+5$，解得$x=2$。
所以该长方形的长为9，宽为7，面积为$9×7=63$。
【答案】
(1) 每个小长方形的面积为60；
(2) 20；
(3) 这个长方形的面积为63。
【知识点】
二元一次方程组的应用，长方形正方形性质，方程建模
【点评】
本题结合几何拼图和生活实际场景，考查学生从图形、场景中提取等量关系、建立方程模型解决问题的能力，解题的关键是准确分析边长、高度的数量关系，能有效锻炼逻辑分析和信息提取能力。
【难度系数】
0.6
9. 在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，$\frac{a}{6}x^{c-5}y$与$-2x^{b+15}y$的和是$-6x^5y$.
(1)$a=$
(2)点P为数轴上一点,且满足$PA=3PB+1$,请求出点P所表示的数.
(3)点M为数轴上点A右侧一点,甲、乙两点分别从A,M出发,相向而行,2分钟后在途中相遇,相遇后,两点的速度都提高了1个单位长度/分,当甲到达点M后立刻按原路向A返行,当乙到达点A后也立刻按原路向点M返行.甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇,则A,M两点间的距离是多少个单位长度?
(1)$a=$
-24
,$b=$-10
,$c=$10
.(2)点P为数轴上一点,且满足$PA=3PB+1$,请求出点P所表示的数.
(3)点M为数轴上点A右侧一点,甲、乙两点分别从A,M出发,相向而行,2分钟后在途中相遇,相遇后,两点的速度都提高了1个单位长度/分,当甲到达点M后立刻按原路向A返行,当乙到达点A后也立刻按原路向点M返行.甲、乙两点在第一次相遇后3分36秒又再次相遇,则A,M两点间的距离是多少个单位长度?
答案
【解】(1)$-24;-10;10$
(2)设点 $P$ 所表示的数为 $x$，根据题意，需要分两种情况：
①当点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$PA=x+24$，$PB=-10-x$，
所以 $x+24=3(-10-x)+1$，解得 $x=-\dfrac{53}{4}$；
②当点 $P$ 在点 $B$ 的右侧时，$PA=x+24$，$PB=10+x$，
所以 $x+24=3(10+x)+1$，解得 $x=-\dfrac{7}{2}.$
所以点 $P$ 所表示的数是 $-\dfrac{53}{4}$或$-\dfrac{7}{2}.$
(3)设提速前甲、乙的速度分别为 $m$ 个单位长度/分、$n$ 个单位长度/分，$A,M$ 两点间的距离为 $s$ 个单位长度，
则提速后甲、乙的速度分别为 $(m+1)$个单位长度/分、$(n+1)$个单位长度/分，
根据题意可知，$\begin{cases} s=2m+2n, \\ 2s=\dfrac{18}{5}(m+1)+\dfrac{18}{5}(n+1), \end{cases}$
解得 $s=36.$
则 $A,M$ 两点间的距离是 36 个单位长度.
(2)设点 $P$ 所表示的数为 $x$，根据题意，需要分两种情况：
①当点 $P$ 在线段 $AB$ 上时，$PA=x+24$，$PB=-10-x$，
所以 $x+24=3(-10-x)+1$，解得 $x=-\dfrac{53}{4}$；
②当点 $P$ 在点 $B$ 的右侧时，$PA=x+24$，$PB=10+x$，
所以 $x+24=3(10+x)+1$，解得 $x=-\dfrac{7}{2}.$
所以点 $P$ 所表示的数是 $-\dfrac{53}{4}$或$-\dfrac{7}{2}.$
(3)设提速前甲、乙的速度分别为 $m$ 个单位长度/分、$n$ 个单位长度/分，$A,M$ 两点间的距离为 $s$ 个单位长度，
则提速后甲、乙的速度分别为 $(m+1)$个单位长度/分、$(n+1)$个单位长度/分，
根据题意可知，$\begin{cases} s=2m+2n, \\ 2s=\dfrac{18}{5}(m+1)+\dfrac{18}{5}(n+1), \end{cases}$
解得 $s=36.$
则 $A,M$ 两点间的距离是 36 个单位长度.
解析
【分析】
(1) 两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，且系数相加等于和的系数，据此列方程即可求解a、b、c的值。
(2) 设点P表示的数为x，数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值，代入PA=3PB+1，分点P在线段AB上、点P在点B右侧两种情况讨论求解即可（点P在点A左侧时方程无解，可排除）。
(3) 第一次相遇时两人路程和为A、M的距离s，相遇后到第二次相遇两人共走了2个s的路程，将时间换算为分钟后，结合提速前后的速度关系列方程，用整体代入法即可求出s。
【解析】
(1) 由题意得$\frac{a}{6}x^{c-5}y$与$-2x^{b+15}y$是同类项，且系数和为-6：
系数关系：$\frac{a}{6} + (-2) = -6$，解得$a=-24$；
x的次数相等：$c-5=5$，$b+15=5$，解得$c=10$，$b=-10$。
(2) 设点P所表示的数为$x$，分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时，$PA=x-(-24)=x+24$，$PB=-10-x$，
代入$PA=3PB+1$得：$x+24=3(-10-x)+1$，
解得$x=-\dfrac{53}{4}$，符合题意；
②当点P在点B的右侧时，$PA=x+24$，$PB=x-(-10)=x+10$，
代入得：$x+24=3(x+10)+1$，
解得$x=-\dfrac{7}{2}$，符合题意。
(3) 设提速前甲、乙的速度分别为$m$个单位长度/分、$n$个单位长度/分，$A,M$两点间的距离为$s$个单位长度，3分36秒=$3+\frac{36}{60}=\frac{18}{5}$分钟。
由第一次相遇得：$s=2m+2n$，即$m+n=\frac{s}{2}$；
第一次相遇后到第二次相遇两人共走2个s的路程，因此：
$2s=\frac{18}{5}(m+1+n+1)$，
将$m+n=\frac{s}{2}$代入上式，解得$s=36$。
【答案】
(1) $-24$；$-10$；$10$
(2) $-\dfrac{53}{4}$或$-\dfrac{7}{2}$
(3) $36$个单位长度
【知识点】
同类项的定义，数轴两点距离，相遇行程问题
【点评】
本题综合考查整式加减、数轴动点、行程相遇三类知识点，需要掌握分类讨论思想解决数轴绝对值方程，同时灵活运用整体代入法可简化行程问题的计算，对综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 两个单项式的和仍为单项式，说明这两个单项式是同类项，且系数相加等于和的系数，据此列方程即可求解a、b、c的值。
(2) 设点P表示的数为x，数轴上两点距离等于对应两数差的绝对值，代入PA=3PB+1，分点P在线段AB上、点P在点B右侧两种情况讨论求解即可（点P在点A左侧时方程无解，可排除）。
(3) 第一次相遇时两人路程和为A、M的距离s，相遇后到第二次相遇两人共走了2个s的路程，将时间换算为分钟后，结合提速前后的速度关系列方程，用整体代入法即可求出s。
【解析】
(1) 由题意得$\frac{a}{6}x^{c-5}y$与$-2x^{b+15}y$是同类项，且系数和为-6：
系数关系：$\frac{a}{6} + (-2) = -6$，解得$a=-24$；
x的次数相等：$c-5=5$，$b+15=5$，解得$c=10$，$b=-10$。
(2) 设点P所表示的数为$x$，分两种情况讨论：
①当点P在线段AB上时，$PA=x-(-24)=x+24$，$PB=-10-x$，
代入$PA=3PB+1$得：$x+24=3(-10-x)+1$，
解得$x=-\dfrac{53}{4}$，符合题意；
②当点P在点B的右侧时，$PA=x+24$，$PB=x-(-10)=x+10$，
代入得：$x+24=3(x+10)+1$，
解得$x=-\dfrac{7}{2}$，符合题意。
(3) 设提速前甲、乙的速度分别为$m$个单位长度/分、$n$个单位长度/分，$A,M$两点间的距离为$s$个单位长度，3分36秒=$3+\frac{36}{60}=\frac{18}{5}$分钟。
由第一次相遇得：$s=2m+2n$，即$m+n=\frac{s}{2}$；
第一次相遇后到第二次相遇两人共走2个s的路程，因此：
$2s=\frac{18}{5}(m+1+n+1)$，
将$m+n=\frac{s}{2}$代入上式，解得$s=36$。
【答案】
(1) $-24$；$-10$；$10$
(2) $-\dfrac{53}{4}$或$-\dfrac{7}{2}$
(3) $36$个单位长度
【知识点】
同类项的定义，数轴两点距离，相遇行程问题
【点评】
本题综合考查整式加减、数轴动点、行程相遇三类知识点，需要掌握分类讨论思想解决数轴绝对值方程，同时灵活运用整体代入法可简化行程问题的计算，对综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
