登录
1. 下列属于二元一次方程组的有 （
$\begin{cases}2x - y = 1, \\ y = z + 1;\end{cases}$ $\begin{cases}5x + 6y = 21, \\ xy = -2;\end{cases}$ $\begin{cases}x^2 - 4y = 1, \\ x + 2y = -1;\end{cases}$
$\begin{cases}x - y = 0, \\ 3y = 5;\end{cases}$ $\begin{cases}x + \frac{1}{y} = 3, \\ x - 2y = 5.\end{cases}$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）$\begin{cases}2x - y = 1, \\ y = z + 1;\end{cases}$ $\begin{cases}5x + 6y = 21, \\ xy = -2;\end{cases}$ $\begin{cases}x^2 - 4y = 1, \\ x + 2y = -1;\end{cases}$
$\begin{cases}x - y = 0, \\ 3y = 5;\end{cases}$ $\begin{cases}x + \frac{1}{y} = 3, \\ x - 2y = 5.\end{cases}$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.A
解析
【分析】
要判断给定的方程组是否为二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的三个核心判定条件：1. 方程组中总共只含有2个不同的未知数；2. 所有方程都是整式方程；3. 每个方程中含有未知数的项的次数都为1。我们只需依次用这三个条件逐一排查每个方程组，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的5个方程组：
1. 方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\ y = z + 1;\end{cases}$：含有$x、y、z$共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组。
2. 方程组$\begin{cases}5x + 6y = 21, \\ xy = -2;\end{cases}$：第二个方程中$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组。
3. 方程组$\begin{cases}x^2 - 4y = 1, \\ x + 2y = -1;\end{cases}$：第一个方程中$x^2$项的次数为2，不符合次数要求，不是二元一次方程组。
4. 方程组$\begin{cases}x - y = 0, \\ 3y = 5;\end{cases}$：仅含$x、y$2个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义。
5. 方程组$\begin{cases}x + \frac{1}{y} = 3, \\ x - 2y = 5.\end{cases}$：第一个方程中$\frac{1}{y}$是分式，该方程不是整式方程，不符合要求，不是二元一次方程组。
综上，只有1个二元一次方程组，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的概念、单项式次数的判定
【点评】
本题是对二元一次方程组定义的基础考查，易错点在于容易忽略未知数的总个数、含乘积形式的未知数项的次数、分式方程的判定，解题时需紧扣定义逐条排查，避免遗漏判定条件。
【难度系数】
0.7
要判断给定的方程组是否为二元一次方程组，首先需明确二元一次方程组的三个核心判定条件：1. 方程组中总共只含有2个不同的未知数；2. 所有方程都是整式方程；3. 每个方程中含有未知数的项的次数都为1。我们只需依次用这三个条件逐一排查每个方程组，统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析给出的5个方程组：
1. 方程组$\begin{cases}2x - y = 1, \\ y = z + 1;\end{cases}$：含有$x、y、z$共3个未知数，不符合“仅含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组。
2. 方程组$\begin{cases}5x + 6y = 21, \\ xy = -2;\end{cases}$：第二个方程中$xy$项的次数为$1+1=2$，不符合“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组。
3. 方程组$\begin{cases}x^2 - 4y = 1, \\ x + 2y = -1;\end{cases}$：第一个方程中$x^2$项的次数为2，不符合次数要求，不是二元一次方程组。
4. 方程组$\begin{cases}x - y = 0, \\ 3y = 5;\end{cases}$：仅含$x、y$2个未知数，所有方程都是整式方程，且含未知数的项次数均为1，符合二元一次方程组的定义。
5. 方程组$\begin{cases}x + \frac{1}{y} = 3, \\ x - 2y = 5.\end{cases}$：第一个方程中$\frac{1}{y}$是分式，该方程不是整式方程，不符合要求，不是二元一次方程组。
综上，只有1个二元一次方程组，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组的判定、整式方程的概念、单项式次数的判定
【点评】
本题是对二元一次方程组定义的基础考查，易错点在于容易忽略未知数的总个数、含乘积形式的未知数项的次数、分式方程的判定，解题时需紧扣定义逐条排查，避免遗漏判定条件。
【难度系数】
0.7
2. 解方程组$\begin{cases}2x+3y=8, \\3x-2y=-1\end{cases}$的思路可用如图的框图表示，圈中应填写的对方程①②所做的变形为 （ ）
A.①×2+②×3
B.①×2−②×3
C.①×3−②×2
D.①×3+②×2
A.①×2+②×3
B.①×2−②×3
C.①×3−②×2
D.①×3+②×2
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查二元一次方程组的加减消元法，解题时先观察框图中变形后的等式结构，对比原方程组两个方程的系数，要得到变形后左边的$6x+9y$和$6x-4y$，需要先利用等式的性质对两个方程分别乘合适的系数，再根据等式左右两边的运算关系确定是相加还是相减，即可判断对应的变形。
【解析】
观察框图中变形后的等式：$(6x+9y)-(6x-4y)=24-(-2)$
1. 推导$6x+9y$的来源：对比原方程①$2x+3y=8$，将方程①两边同时乘3，可得：
$①×3$：$3×(2x+3y)=3×8$，即$6x+9y=24$，符合等式左边的被减式，右边也对应24。
2. 推导$6x-4y$的来源：对比原方程②$3x-2y=-1$，将方程②两边同时乘2，可得：
$②×2$：$2×(3x-2y)=2×(-1)$，即$6x-4y=-2$，符合等式左边的减式，右边也对应$-2$。
3. 结合等式的运算为两个变形后的式子相减，因此整体变形为$①×3 - ②×2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，等式的基本性质
【点评】
本题是加减消元法的基础应用，解题核心是根据消元目标，通过等式性质调整方程中未知数的系数，再通过加减运算消去一个未知数，需要熟练掌握系数匹配的方法。
【难度系数】
0.8
这道题考查二元一次方程组的加减消元法，解题时先观察框图中变形后的等式结构，对比原方程组两个方程的系数，要得到变形后左边的$6x+9y$和$6x-4y$，需要先利用等式的性质对两个方程分别乘合适的系数，再根据等式左右两边的运算关系确定是相加还是相减，即可判断对应的变形。
【解析】
观察框图中变形后的等式：$(6x+9y)-(6x-4y)=24-(-2)$
1. 推导$6x+9y$的来源：对比原方程①$2x+3y=8$，将方程①两边同时乘3，可得：
$①×3$：$3×(2x+3y)=3×8$，即$6x+9y=24$，符合等式左边的被减式，右边也对应24。
2. 推导$6x-4y$的来源：对比原方程②$3x-2y=-1$，将方程②两边同时乘2，可得：
$②×2$：$2×(3x-2y)=2×(-1)$，即$6x-4y=-2$，符合等式左边的减式，右边也对应$-2$。
3. 结合等式的运算为两个变形后的式子相减，因此整体变形为$①×3 - ②×2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
加减消元法，等式的基本性质
【点评】
本题是加减消元法的基础应用，解题核心是根据消元目标，通过等式性质调整方程中未知数的系数，再通过加减运算消去一个未知数，需要熟练掌握系数匹配的方法。
【难度系数】
0.8
3.[2025 山东]明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手。问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有$x$个，夜叉有$y$个，则根据条件所列方程组为（
A.$\begin{cases} x + 3y = 36, \\ 8x + 6y = 108 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 3y = 36, \\ 6x + 8y = 108 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x + y = 36, \\ 8x + 6y = 108 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + y = 36, \\ 6x + 8y = 108 \end{cases}$
D
）A.$\begin{cases} x + 3y = 36, \\ 8x + 6y = 108 \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + 3y = 36, \\ 6x + 8y = 108 \end{cases}$
C.$\begin{cases} 3x + y = 36, \\ 8x + 6y = 108 \end{cases}$
D.$\begin{cases} 3x + y = 36, \\ 6x + 8y = 108 \end{cases}$
答案
3.D
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时首先要从题干中提取两个独立的等量关系，分别对应两个方程：一是总头数为36，二是总手数为108。接下来分别计算哪吒、夜叉的总头数和总手数：每个哪吒有3个头、6只手，x个哪吒的总头数为3x、总手数为6x；每个夜叉有1个头、8只手，y个夜叉的总头数为y、总手数为8y。将对应量代入等量关系就能列出方程组，再匹配选项即可。
【解析】
根据题意可得两个等量关系：
① 哪吒总头数 + 夜叉总头数 = 36
每个哪吒3个头，x个哪吒总头数为3x；每个夜叉1个头，y个夜叉总头数为y，因此列方程：$3x + y = 36$
② 哪吒总手数 + 夜叉总手数 = 108
每个哪吒6只手，x个哪吒总手数为6x；每个夜叉8只手，y个夜叉总手数为8y，因此列方程：$6x + 8y = 108$
联立可得方程组：$\begin{cases} 3x + y = 36 \\ 6x + 8y = 108 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系的确定
【点评】
本题以我国古典数学问题为载体，属于二元一次方程组应用的基础题型，解题的关键是准确梳理不同主体对应的数量特征，找准等量关系列方程，只要不混淆哪吒和夜叉的头、手数量，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
这是一道二元一次方程组的实际应用题，解题时首先要从题干中提取两个独立的等量关系，分别对应两个方程：一是总头数为36，二是总手数为108。接下来分别计算哪吒、夜叉的总头数和总手数：每个哪吒有3个头、6只手，x个哪吒的总头数为3x、总手数为6x；每个夜叉有1个头、8只手，y个夜叉的总头数为y、总手数为8y。将对应量代入等量关系就能列出方程组，再匹配选项即可。
【解析】
根据题意可得两个等量关系：
① 哪吒总头数 + 夜叉总头数 = 36
每个哪吒3个头，x个哪吒总头数为3x；每个夜叉1个头，y个夜叉总头数为y，因此列方程：$3x + y = 36$
② 哪吒总手数 + 夜叉总手数 = 108
每个哪吒6只手，x个哪吒总手数为6x；每个夜叉8只手，y个夜叉总手数为8y，因此列方程：$6x + 8y = 108$
联立可得方程组：$\begin{cases} 3x + y = 36 \\ 6x + 8y = 108 \end{cases}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的应用；等量关系的确定
【点评】
本题以我国古典数学问题为载体，属于二元一次方程组应用的基础题型，解题的关键是准确梳理不同主体对应的数量特征，找准等量关系列方程，只要不混淆哪吒和夜叉的头、手数量，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
4. 已知$-x^{2n-3m}y^3$与$3x^7y^{m+n}$是同类项，则$n-4m$的值是（
A.4
B.1
C.$-4$
D.$-1$
A
）A.4
B.1
C.$-4$
D.$-1$
答案
4.A
解析
【分析】
本题解题思路如下：首先回忆同类项的核心性质：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。利用这个性质，对应两个单项式中x、y的指数，列出关于m、n的二元一次方程组；接下来可以通过代入消元法求解m、n的值，再代入代数式$n-4m$计算结果，也可以观察方程和所求代数式的结构，用整体代入法简化运算。
【解析】
解：$\because -x^{2n-3m}y^3$与$3x^7y^{m+n}$是同类项
$\therefore$ 根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}2n - 3m =7&①\\m + n =3&②\end{cases}$
由②式变形得：$n=3-m$ ③
将③代入①式：
$2(3-m)-3m=7$
展开计算：$6-2m-3m=7$
合并同类项、移项得：$-5m=1$，即$m=-\frac{1}{5}$
把$m=-\frac{1}{5}$代入③得：$n=3-(-\frac{1}{5})=\frac{16}{5}$
将m、n代入$n-4m$：
$n-4m=\frac{16}{5}-4×(-\frac{1}{5})=\frac{16+4}{5}=4$
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是同类项与二元一次方程组的基础综合题，解题核心是准确利用同类项的性质列方程，既可以按常规步骤解方程组后代入计算，也可以通过整体代入法简化运算，减少计算量。
【难度系数】
0.7
本题解题思路如下：首先回忆同类项的核心性质：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等。利用这个性质，对应两个单项式中x、y的指数，列出关于m、n的二元一次方程组；接下来可以通过代入消元法求解m、n的值，再代入代数式$n-4m$计算结果，也可以观察方程和所求代数式的结构，用整体代入法简化运算。
【解析】
解：$\because -x^{2n-3m}y^3$与$3x^7y^{m+n}$是同类项
$\therefore$ 根据同类项的定义，相同字母的指数对应相等，可得方程组：
$\begin{cases}2n - 3m =7&①\\m + n =3&②\end{cases}$
由②式变形得：$n=3-m$ ③
将③代入①式：
$2(3-m)-3m=7$
展开计算：$6-2m-3m=7$
合并同类项、移项得：$-5m=1$，即$m=-\frac{1}{5}$
把$m=-\frac{1}{5}$代入③得：$n=3-(-\frac{1}{5})=\frac{16}{5}$
将m、n代入$n-4m$：
$n-4m=\frac{16}{5}-4×(-\frac{1}{5})=\frac{16+4}{5}=4$
【答案】
A
【知识点】
同类项的定义，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是同类项与二元一次方程组的基础综合题，解题核心是准确利用同类项的性质列方程，既可以按常规步骤解方程组后代入计算，也可以通过整体代入法简化运算，减少计算量。
【难度系数】
0.7
5. 一题多解 [2026 永州模拟] 若关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases}4x - 3y = 5k - 2, \\3x + 10y = 2k - 5\end{cases}$ 的解满足 $ x + y = 2026 $，则 $ k $ 的值为（ ）
A.2025
B.2026
C.2027
D.2028
A.2025
B.2026
C.2027
D.2028
答案
5.C
点方法 已知方程组的解满足另一个二元一次方程,求字母的值的方法
方法一:把方程组中的字母看成已知数,先用含字母的式子把方程组的解表示出来,再代入另一个二元一次方程,得到关于字母的一元一次方程,解方程即可求出字母的值.
方法二:由方程组中的两个方程利用加减消元法消去字母,得到关于两个未知数的二元一次方程,与另一个二元一次方程组成方程组,求出两个未知数的值,进而求得字母的值.
方法三:当方程组中一个方程含有字母,另一个方程不含有字母时,联立不含字母的方程与另一个二元一次方程得到方程组,先求出方程组的解,再代入求得字母的值.
点方法 已知方程组的解满足另一个二元一次方程,求字母的值的方法
方法一:把方程组中的字母看成已知数,先用含字母的式子把方程组的解表示出来,再代入另一个二元一次方程,得到关于字母的一元一次方程,解方程即可求出字母的值.
方法二:由方程组中的两个方程利用加减消元法消去字母,得到关于两个未知数的二元一次方程,与另一个二元一次方程组成方程组,求出两个未知数的值,进而求得字母的值.
方法三:当方程组中一个方程含有字母,另一个方程不含有字母时,联立不含字母的方程与另一个二元一次方程得到方程组,先求出方程组的解,再代入求得字母的值.
解析
【分析】
解题时我们有两种思考方向：方向一：观察方程组两个方程的系数特征，发现将两个方程左右两边分别相加后，x和y的系数相同，可整理得到x+y关于k的表达式，结合已知x+y=2026，直接整体代入即可快速求出k，计算量更小；方向二：把k看作常数，用加减消元法先求出x、y的含k表达式，再代入x+y=2026解关于k的一元一次方程，也可得到结果。
【解析】
方法一（整体法）：
将方程组的两个方程左右两边分别相加，得：
$\begin{aligned}(4x - 3y) + (3x + 10y) &= (5k - 2) + (2k - 5) \\7x + 7y &= 7k - 7 \\x + y &= k - 1\end{aligned}$
已知$x+y=2026$，代入上式得：
$k - 1 = 2026$
解得$k=2027$。
方法二（常规法）：
把k看作常数，解原方程组：
$\begin{cases}4x - 3y = 5k - 2&① \\3x + 10y = 2k - 5&②\end{cases}$
①×10+②×3得：$40x+9x=50k-20+6k-15$，解得$x=k-1$
将$x=k-1$代入①得：$4(k-1)-3y=5k-2$，解得$y=-\frac{k+2}{3}$
代入$x+y=2026$得：$k-1-\frac{k+2}{3}=2026$，解得$k=2027$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法；整体代入思想；加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的经典题型，既可以用常规步骤求解，也可以观察方程系数特征选择整体法简化运算，引导学生解题时灵活选择合适的方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时我们有两种思考方向：方向一：观察方程组两个方程的系数特征，发现将两个方程左右两边分别相加后，x和y的系数相同，可整理得到x+y关于k的表达式，结合已知x+y=2026，直接整体代入即可快速求出k，计算量更小；方向二：把k看作常数，用加减消元法先求出x、y的含k表达式，再代入x+y=2026解关于k的一元一次方程，也可得到结果。
【解析】
方法一（整体法）：
将方程组的两个方程左右两边分别相加，得：
$\begin{aligned}(4x - 3y) + (3x + 10y) &= (5k - 2) + (2k - 5) \\7x + 7y &= 7k - 7 \\x + y &= k - 1\end{aligned}$
已知$x+y=2026$，代入上式得：
$k - 1 = 2026$
解得$k=2027$。
方法二（常规法）：
把k看作常数，解原方程组：
$\begin{cases}4x - 3y = 5k - 2&① \\3x + 10y = 2k - 5&②\end{cases}$
①×10+②×3得：$40x+9x=50k-20+6k-15$，解得$x=k-1$
将$x=k-1$代入①得：$4(k-1)-3y=5k-2$，解得$y=-\frac{k+2}{3}$
代入$x+y=2026$得：$k-1-\frac{k+2}{3}=2026$，解得$k=2027$。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的解法；整体代入思想；加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组的经典题型，既可以用常规步骤求解，也可以观察方程系数特征选择整体法简化运算，引导学生解题时灵活选择合适的方法，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
6.若方程组$\begin{cases}3x + 4y = 2, \\ax - \dfrac{b}{2}y = 5\end{cases}$与$\begin{cases}\dfrac{a}{3}x + by = 4, \\2x - y = 5\end{cases}$有相同的解，则$a,b$的值为（ ）
A.$2,-3$
B.$2,-1$
C.$3,-2$
D.$-1,2$
A.$2,-3$
B.$2,-1$
C.$3,-2$
D.$-1,2$
答案
6.C
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题思路如下：第一步，先选取两个不含参数a、b的方程组成新的方程组，解出公共解x、y的值；第二步，把求出的x、y代入剩下的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步，解这个方程组即可求出a、b的值。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以该解同时满足$\begin{cases}3x + 4y = 2 \\2x - y = 5\end{cases}$
解这个方程组：
由$2x - y = 5$得$y=2x-5$，将其代入$3x + 4y = 2$中，
得$3x + 4(2x-5)=2$，
展开得$3x+8x-20=2$，
合并同类项得$11x=22$，解得$x=2$，
把$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=2×2 -5=-1$，
所以公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$代入另外两个含a、b的方程，得：
$\begin{cases}2a - \frac{b}{2}×(-1)=5 \\\frac{a}{3}×2 + b×(-1)=4\end{cases}$
整理得$\begin{cases}4a + b =10 ① \\2a - 3b =12 ②\end{cases}$
由①得$b=10-4a$，代入②中：
$2a -3(10-4a)=12$，
展开得$2a -30 +12a=12$，
合并同类项得$14a=42$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$b=10-4a$，得$b=10-4×3=-2$。
所以$a=3$，$b=-2$。
【答案】
C
【知识点】
同解方程组的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，解题核心是抓住“同解”的性质，先求出公共解再求解参数，需要熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组。
【难度系数】
0.7
两个方程组有相同的解，说明这个公共解同时满足四个方程。解题思路如下：第一步，先选取两个不含参数a、b的方程组成新的方程组，解出公共解x、y的值；第二步，把求出的x、y代入剩下的两个含a、b的方程，得到关于a、b的二元一次方程组；第三步，解这个方程组即可求出a、b的值。
【解析】
因为两个方程组有相同的解，所以该解同时满足$\begin{cases}3x + 4y = 2 \\2x - y = 5\end{cases}$
解这个方程组：
由$2x - y = 5$得$y=2x-5$，将其代入$3x + 4y = 2$中，
得$3x + 4(2x-5)=2$，
展开得$3x+8x-20=2$，
合并同类项得$11x=22$，解得$x=2$，
把$x=2$代入$y=2x-5$，得$y=2×2 -5=-1$，
所以公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1\end{cases}$代入另外两个含a、b的方程，得：
$\begin{cases}2a - \frac{b}{2}×(-1)=5 \\\frac{a}{3}×2 + b×(-1)=4\end{cases}$
整理得$\begin{cases}4a + b =10 ① \\2a - 3b =12 ②\end{cases}$
由①得$b=10-4a$，代入②中：
$2a -3(10-4a)=12$，
展开得$2a -30 +12a=12$，
合并同类项得$14a=42$，解得$a=3$，
把$a=3$代入$b=10-4a$，得$b=10-4×3=-2$。
所以$a=3$，$b=-2$。
【答案】
C
【知识点】
同解方程组的性质，解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组的常考题型，解题核心是抓住“同解”的性质，先求出公共解再求解参数，需要熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组。
【难度系数】
0.7
7. [江苏竞赛] 对于代数式$ax+b$($a,b$是常数),当$x$分别取$4,2,1,-1$时,小虎同学依次求得下面四个结果:$5,2,-1,-5$.若这四个结果中只有一个是错误的,则错误的结果是 (
A.$5$
B.$2$
C.$-1$
D.$-5$
B
)A.$5$
B.$2$
C.$-1$
D.$-5$
答案
7.B 【点拨】令 $y=ax+b$. 把 $x=4,y=5;x=2,y=2;x=1,y=-1;x=-1,y=-5$ 分别代入 $y=ax+b$, 得 $4a+b=5,2a+b=2,a+b=-1,-a+b=-5$. 解方程组$\begin{cases}4a+b=5, \\2a+b=2,\end{cases}$得 $\begin{cases}a=\frac{3}{2}, \\b=-1;\end{cases}$ 解方程组 $\begin{cases}4a+b=5, \\a+b=-1,\end{cases}$得$\begin{cases}a=2, \\b=-3;\end{cases}$ 解方程组 $\begin{cases}4a+b=5, \\-a+b=-5,\end{cases}$得 $\begin{cases}a=2, \\b=-3.\end{cases}$ 因为四个结果中只有一个是错误的,所以错误的结果是2.
解析
【分析】
代数式$ax+b$是关于$x$的一次式，要确定系数$a$和$b$，仅需要两组正确的$x$与对应值即可。已知四个结果中只有一个错误，我们可以先假设其中两组结果正确，联立求解出$a$、$b$的值，再代入剩下的两组$x$验证，若仅存在一个不符合的结果，说明假设成立，不符合的就是错误结果。
【解析】
令$y=ax+b$，将四组$x$、对应值分别代入，得到四个等式：
①$x=4$时：$4a+b=5$
②$x=2$时：$2a+b=2$
③$x=1$时：$a+b=-1$
④$x=-1$时：$-a+b=-5$
先联立①和③组成方程组：
$\begin{cases}4a+b=5 \\a+b=-1\end{cases}$
用加减消元法，第一个方程减第二个方程得：$3a=6$，解得$a=2$；
将$a=2$代入$a+b=-1$，得$2+b=-1$，解得$b=-3$。
将$a=2$，$b=-3$代入剩余两个式子验证：
代入④：左边$=-2+(-3)=-5$，与右边相等，符合；
代入②：左边$=2×2+(-3)=1≠2$，不符合。
此时仅②对应的结果错误，满足“四个结果中只有一个错误”的条件。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组解法；代数式求值；逻辑验证
【点评】
本题结合计算与逻辑推理考察代数知识应用，解题核心是利用一次式仅需两组对应值即可确定系数的特点，通过联立求解、代入验证的方式筛选错误结果，既考察二元一次方程组的运算能力，也锻炼分类验证的逻辑思维。
【难度系数】
0.4
代数式$ax+b$是关于$x$的一次式，要确定系数$a$和$b$，仅需要两组正确的$x$与对应值即可。已知四个结果中只有一个错误，我们可以先假设其中两组结果正确，联立求解出$a$、$b$的值，再代入剩下的两组$x$验证，若仅存在一个不符合的结果，说明假设成立，不符合的就是错误结果。
【解析】
令$y=ax+b$，将四组$x$、对应值分别代入，得到四个等式：
①$x=4$时：$4a+b=5$
②$x=2$时：$2a+b=2$
③$x=1$时：$a+b=-1$
④$x=-1$时：$-a+b=-5$
先联立①和③组成方程组：
$\begin{cases}4a+b=5 \\a+b=-1\end{cases}$
用加减消元法，第一个方程减第二个方程得：$3a=6$，解得$a=2$；
将$a=2$代入$a+b=-1$，得$2+b=-1$，解得$b=-3$。
将$a=2$，$b=-3$代入剩余两个式子验证：
代入④：左边$=-2+(-3)=-5$，与右边相等，符合；
代入②：左边$=2×2+(-3)=1≠2$，不符合。
此时仅②对应的结果错误，满足“四个结果中只有一个错误”的条件。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组解法；代数式求值；逻辑验证
【点评】
本题结合计算与逻辑推理考察代数知识应用，解题核心是利用一次式仅需两组对应值即可确定系数的特点，通过联立求解、代入验证的方式筛选错误结果，既考察二元一次方程组的运算能力，也锻炼分类验证的逻辑思维。
【难度系数】
0.4
8. 2026·德阳模拟 新视角·动点探究题 如图,在长方形ABCD中,AD=8 cm,AB=6 cm,E为AD的中点,若点P在线段AB上以2 cm/s的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BC上由点C向点B运动,当△AEP与△BPQ全等时,则点Q的运动速度是 (
A.$\frac{8}{3}$ cm/s
B.6 cm/s或$\frac{8}{3}$ cm/s
C.2 cm/s或6 cm/s
D.$\frac{2}{3}$ cm/s
B
)A.$\frac{8}{3}$ cm/s
B.6 cm/s或$\frac{8}{3}$ cm/s
C.2 cm/s或6 cm/s
D.$\frac{2}{3}$ cm/s
答案
8.B 【点拨】由题意可知$∠ A=∠ B=90°, BC=AD=8\ \mathrm{cm}, AB=6\ \mathrm{cm}.$ 因为 $E$ 为 $AD$ 的中点, 所以 $AE=4\ \mathrm{cm}.$ 设运动时间为 $t$ s,点 $Q$ 的运动速度是 $x$ cm/s,依题意有 $AP=2t$ cm,则 $PB=AB-AP=(6-2t)\mathrm{cm}, BQ=BC-CQ=(8-tx)\mathrm{cm}.$ 当$△ AEP≌△ BQP$ 时, $\begin{cases}4=8-tx, \\2t=6-2t,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}t=\frac{3}{2}, \\x=\frac{8}{3},\end{cases}$ 即点 $Q$ 的运动速度为$\frac{8}{3}\mathrm{cm/s}$时,$△ AEP$与$△ BPQ$全等;当$△ AEP≌△ BPQ$时, $\begin{cases}4=6-2t, \\2t=8-tx,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}t=1, \\x=6,\end{cases}$ 即点 $Q$ 的运动速度为 6 cm/s 时,$△ AEP$ 与$△ BPQ$ 全等. 综上可得,点 $Q$ 的运动速度为$\frac{8}{3}\mathrm{cm/s}$或6 cm/s 时,$△ AEP$ 与$△ BPQ$ 全等.
解析
【分析】
本题是长方形背景下的动点与全等三角形结合的问题，解题思路如下：1. 先利用长方形性质确定已知边长和直角条件，算出AE的长度；2. 由于题干未明确全等三角形的对应顶点，需分两种对应情况讨论：①△AEP≌△BQP，②△AEP≌△BPQ；3. 设运动时间为t、Q的速度为x，用含t和x的代数式表示各条线段长度，再根据全等三角形对应边相等列方程组求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，$BC=AD=8\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，
∵E为AD中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=4\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点Q的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$，
则$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$PB=AB-AP=(6-2t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=tx\ \mathrm{cm}$，$BQ=BC-CQ=(8-tx)\ \mathrm{cm}$。
△AEP与△BPQ全等分两种情况：
①当$△ AEP≌△ BQP$时，对应边相等：$AE=BQ$，$AP=BP$，
列方程组得$\begin{cases}4=8-tx \\2t=6-2t \end{cases}$，
解得$\begin{cases}t=\frac{3}{2} \\x=\frac{8}{3} \end{cases}$，经检验符合运动范围；
②当$△ AEP≌△ BPQ$时，对应边相等：$AE=BP$，$AP=BQ$，
列方程组得$\begin{cases}4=6-2t \\2t=8-tx \end{cases}$，
解得$\begin{cases}t=1 \\x=6 \end{cases}$，经检验符合运动范围。
综上，点Q的运动速度为$\frac{8}{3}\ \mathrm{cm/s}$或$6\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；二元一次方程组的应用；动点分类讨论
【点评】
本题是动点结合全等的典型题型，易错点是忽略全等三角形对应顶点的多种可能性，解题时要注意分类讨论所有对应情况，同时要验证解是否符合动点的实际运动区间，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
本题是长方形背景下的动点与全等三角形结合的问题，解题思路如下：1. 先利用长方形性质确定已知边长和直角条件，算出AE的长度；2. 由于题干未明确全等三角形的对应顶点，需分两种对应情况讨论：①△AEP≌△BQP，②△AEP≌△BPQ；3. 设运动时间为t、Q的速度为x，用含t和x的代数式表示各条线段长度，再根据全等三角形对应边相等列方程组求解，最后验证解是否符合动点的运动范围即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，$BC=AD=8\ \mathrm{cm}$，$AB=6\ \mathrm{cm}$，
∵E为AD中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=4\ \mathrm{cm}$。
设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，点Q的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$，
则$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$PB=AB-AP=(6-2t)\ \mathrm{cm}$，$CQ=tx\ \mathrm{cm}$，$BQ=BC-CQ=(8-tx)\ \mathrm{cm}$。
△AEP与△BPQ全等分两种情况：
①当$△ AEP≌△ BQP$时，对应边相等：$AE=BQ$，$AP=BP$，
列方程组得$\begin{cases}4=8-tx \\2t=6-2t \end{cases}$，
解得$\begin{cases}t=\frac{3}{2} \\x=\frac{8}{3} \end{cases}$，经检验符合运动范围；
②当$△ AEP≌△ BPQ$时，对应边相等：$AE=BP$，$AP=BQ$，
列方程组得$\begin{cases}4=6-2t \\2t=8-tx \end{cases}$，
解得$\begin{cases}t=1 \\x=6 \end{cases}$，经检验符合运动范围。
综上，点Q的运动速度为$\frac{8}{3}\ \mathrm{cm/s}$或$6\ \mathrm{cm/s}$。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的性质；二元一次方程组的应用；动点分类讨论
【点评】
本题是动点结合全等的典型题型，易错点是忽略全等三角形对应顶点的多种可能性，解题时要注意分类讨论所有对应情况，同时要验证解是否符合动点的实际运动区间，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每题5分,共20分)
9.若$(3x+2y-19)^2 + |2x+y-11| = 0$,则$x+y$的平方根是
9.若$(3x+2y-19)^2 + |2x+y-11| = 0$,则$x+y$的平方根是
$\pm2\sqrt{2}$
.答案
9.$\pm2\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先根据非负数的性质：偶次方和绝对值都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自的值都为0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组；再用合适的消元法解方程组求出x、y的值，计算x+y的结果；最后根据平方根的定义，求出x+y的平方根即可。
【解析】
解：
∵ $(3x+2y-19)^2≥0$，$|2x+y-11|≥0$，且$(3x+2y-19)^2 + |2x+y-11| = 0$
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}3x + 2y - 19 = 0 \quad \mathrm{①} \\2x + y - 11 = 0 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由②变形得：$y=11-2x$ ③
将③代入①得：$3x + 2(11-2x) - 19 = 0$
展开计算：$3x + 22 - 4x -19 = 0$
整理得：$-x + 3 = 0$，解得$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=11-2×3=5$
∴ $x+y=3+5=8$
根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，可得8的平方根为$\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
【答案】
$\pm 2\sqrt{2}$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题是基础综合类题目，核心考点是对非负性的运用，求解时需要注意正数的平方根有正负两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
首先根据非负数的性质：偶次方和绝对值都具有非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数各自的值都为0，据此可列出关于x、y的二元一次方程组；再用合适的消元法解方程组求出x、y的值，计算x+y的结果；最后根据平方根的定义，求出x+y的平方根即可。
【解析】
解：
∵ $(3x+2y-19)^2≥0$，$|2x+y-11|≥0$，且$(3x+2y-19)^2 + |2x+y-11| = 0$
∴ 可得方程组：
$\begin{cases}3x + 2y - 19 = 0 \quad \mathrm{①} \\2x + y - 11 = 0 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由②变形得：$y=11-2x$ ③
将③代入①得：$3x + 2(11-2x) - 19 = 0$
展开计算：$3x + 22 - 4x -19 = 0$
整理得：$-x + 3 = 0$，解得$x=3$
把$x=3$代入③得：$y=11-2×3=5$
∴ $x+y=3+5=8$
根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，可得8的平方根为$\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$
【答案】
$\pm 2\sqrt{2}$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题是基础综合类题目，核心考点是对非负性的运用，求解时需要注意正数的平方根有正负两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.7
10. 新题型新定义题 对$x,y$定义一种新运算“&”，规定：
$x\&y=mx+ny$（其中$m,n$均为非零常数），
$1\&1=3,1\&2=5$，则$2\&(-1)$的值是
$x\&y=mx+ny$（其中$m,n$均为非零常数），
$1\&1=3,1\&2=5$，则$2\&(-1)$的值是
0
.答案
10.0
解析
【分析】
解题时首先要理解新运算“&”的规则，已知x&y=mx+ny，给出的两组运算结果可以转化为关于参数m、n的两个等式，联立得到二元一次方程组，解出m、n的值后，就能确定新运算的具体表达式，最后将x=2、y=-1代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，将已知条件代入运算公式：
∵ $1\&1=3$，
∴ $m×1 + n×1 = 3$，即 $m + n = 3$ ①
∵ $1\&2=5$，
∴ $m×1 + n×2 = 5$，即 $m + 2n = 5$ ②
用②式减去①式消去m，得：
$(m+2n)-(m+n)=5-3$
解得 $n=2$
将$n=2$代入①式，得：
$m + 2 = 3$，解得 $m=1$
因此新运算的表达式为：$x\&y = x + 2y$
将$x=2$，$y=-1$代入得：
$2\&(-1)=2 + 2×(-1)=2 - 2=0$
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是将新运算规则转化为我们熟悉的代数运算，通过求解二元一次方程组得到未知参数，再代入计算目标值，考查学生对新定义的理解能力和方程组的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先要理解新运算“&”的规则，已知x&y=mx+ny，给出的两组运算结果可以转化为关于参数m、n的两个等式，联立得到二元一次方程组，解出m、n的值后，就能确定新运算的具体表达式，最后将x=2、y=-1代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
根据新运算的定义，将已知条件代入运算公式：
∵ $1\&1=3$，
∴ $m×1 + n×1 = 3$，即 $m + n = 3$ ①
∵ $1\&2=5$，
∴ $m×1 + n×2 = 5$，即 $m + 2n = 5$ ②
用②式减去①式消去m，得：
$(m+2n)-(m+n)=5-3$
解得 $n=2$
将$n=2$代入①式，得：
$m + 2 = 3$，解得 $m=1$
因此新运算的表达式为：$x\&y = x + 2y$
将$x=2$，$y=-1$代入得：
$2\&(-1)=2 + 2×(-1)=2 - 2=0$
【答案】
0
【知识点】
新定义运算，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】
本题属于新定义类基础题型，核心是将新运算规则转化为我们熟悉的代数运算，通过求解二元一次方程组得到未知参数，再代入计算目标值，考查学生对新定义的理解能力和方程组的应用能力。
【难度系数】
0.8
11. ★★ 甲、乙两人从两地同时出发相向而行，甲每分钟走52米，乙每分钟走70米，在点A相遇。若甲先走4分钟，且甲的速度仍为每分钟52米，乙的速度变为每分钟90米，恰好还在点A相遇，则两地相距
2196
米。答案
11. 2 196 【点拨】设第一次相遇的时间为 $t$ 分钟,则第一次相遇时甲走的路程为 52$t$ 米,乙走的路程为 70$t$ 米.设第二次相遇的时间为 $x$ 分钟,则第二次相遇时甲走的路程为 $52(x+4)$米,乙走的路程为 90$x$ 米. 根据题意,得$\begin{cases}52(x+4)=52t, \\70t=90x,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}t=18, \\x=14,\end{cases}$ 故两地相距 $52×18+70×18=2\ 196$(米).
解析
【分析】
本题为行程中的相遇问题，解题核心是抓住两次相遇地点均为A点的关键条件，可得两次相遇时甲走的总路程相等、乙走的总路程也相等。我们可以设第一次相遇时间、第二次乙的行走时间为未知数，结合路程=速度×时间的关系列二元一次方程组，求解得到相遇时间后即可计算两地总距离。
【解析】
解：设第一次两人相遇时行走了$ t $分钟，第二次乙走了$ x $分钟后两人相遇。
根据两次相遇都在A点，可列等量关系：
1. 甲两次走的路程相等：第一次甲走的路程为$52t$米，第二次甲先走4分钟，总路程为$52(x+4)$米，即$52(x+4)=52t$；
2. 乙两次走的路程相等：第一次乙走的路程为$70t$米，第二次乙走的路程为$90x$米，即$70t=90x$。
联立得方程组：
$\begin{cases}52(x+4)=52t \\70t=90x\end{cases}$
化简第一个方程得$t=x+4$，代入第二个方程：
$70(x+4)=90x$
展开、移项计算得$20x=280$，解得$x=14$，则$t=14+4=18$。
两地距离为第一次相遇时两人的路程和：
$52×18+70×18=122×18=2196$（米）
【答案】
2196
【知识点】
二元一次方程组应用，相遇问题，路程速度时间关系
【点评】
本题是行程问题的典型变式题，解题的突破口是挖掘“两次相遇地点相同”对应的路程相等的隐含等量关系，能较好考查学生分析行程问题中等量关系的能力。
【难度系数】
0.6
本题为行程中的相遇问题，解题核心是抓住两次相遇地点均为A点的关键条件，可得两次相遇时甲走的总路程相等、乙走的总路程也相等。我们可以设第一次相遇时间、第二次乙的行走时间为未知数，结合路程=速度×时间的关系列二元一次方程组，求解得到相遇时间后即可计算两地总距离。
【解析】
解：设第一次两人相遇时行走了$ t $分钟，第二次乙走了$ x $分钟后两人相遇。
根据两次相遇都在A点，可列等量关系：
1. 甲两次走的路程相等：第一次甲走的路程为$52t$米，第二次甲先走4分钟，总路程为$52(x+4)$米，即$52(x+4)=52t$；
2. 乙两次走的路程相等：第一次乙走的路程为$70t$米，第二次乙走的路程为$90x$米，即$70t=90x$。
联立得方程组：
$\begin{cases}52(x+4)=52t \\70t=90x\end{cases}$
化简第一个方程得$t=x+4$，代入第二个方程：
$70(x+4)=90x$
展开、移项计算得$20x=280$，解得$x=14$，则$t=14+4=18$。
两地距离为第一次相遇时两人的路程和：
$52×18+70×18=122×18=2196$（米）
【答案】
2196
【知识点】
二元一次方程组应用，相遇问题，路程速度时间关系
【点评】
本题是行程问题的典型变式题，解题的突破口是挖掘“两次相遇地点相同”对应的路程相等的隐含等量关系，能较好考查学生分析行程问题中等量关系的能力。
【难度系数】
0.6
12. [黄冈竞赛]已知 $ a_i (i=1,2,3,\dots,n) $ 的值为-2,0,3中的一个，且 $ a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n =13 $，$ a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots + a_n^2 =109 $，则 $ a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 + \dots + a_n^3 = $
187
答案
12. 187 【点拨】设这列数中有 $x$ 个 $-2$,$y$ 个 3,则$\begin{cases}-2x+3y=13, \\(-2)^2· x+3^2· y=109,\end{cases}$ 解方程组,得$\begin{cases}x=7, \\y=9,\end{cases}$ 则 $a_1^3+a_2^3+a_3^3+\dots+a_n^3=7×(-2)^3+9×3^3=187.$
解析
【分析】
首先观察到$a_i$的取值只有-2、0、3三种，其中0参与加法、平方和、立方和运算时结果均为0，不会对三类求和结果产生影响，因此无需统计取值为0的数的个数，仅设取值为-2的数有$x$个，取值为3的数有$y$个即可。接下来根据已知的总和、平方和两个等量关系列出二元一次方程组，求解得到$x$和$y$的值后，代入计算三次方的总和即可。
【解析】
设这组数值中有$x$个$-2$，$y$个$3$，取值为0的数对求和无影响，无需统计其个数。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} -2x + 3y = 13 \\ (-2)^2· x + 3^2· y = 109 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} -2x + 3y = 13 \quad \mathrm{①} \\ 4x + 9y = 109 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①式两边同时乘2，得：$-4x + 6y = 26$ ③
②+③得：$15y = 135$，解得$y=9$
把$y=9$代入①式，得：$-2x + 27 = 13$，解得$x=7$
因此三次方的和为：
$x×(-2)^3 + y×3^3 = 7×(-8) + 9×27 = -56 + 243 = 187$
【答案】
$\boxed{187}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；乘方运算；代数式求值
【点评】
本题解题的核心是排除取值为0的数对求和结果的干扰，简化未知数数量，利用方程思想建立等量关系求解，侧重考察学生的逻辑分析能力和方程思想的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
首先观察到$a_i$的取值只有-2、0、3三种，其中0参与加法、平方和、立方和运算时结果均为0，不会对三类求和结果产生影响，因此无需统计取值为0的数的个数，仅设取值为-2的数有$x$个，取值为3的数有$y$个即可。接下来根据已知的总和、平方和两个等量关系列出二元一次方程组，求解得到$x$和$y$的值后，代入计算三次方的总和即可。
【解析】
设这组数值中有$x$个$-2$，$y$个$3$，取值为0的数对求和无影响，无需统计其个数。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} -2x + 3y = 13 \\ (-2)^2· x + 3^2· y = 109 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases} -2x + 3y = 13 \quad \mathrm{①} \\ 4x + 9y = 109 \quad \mathrm{②} \end{cases}$
将①式两边同时乘2，得：$-4x + 6y = 26$ ③
②+③得：$15y = 135$，解得$y=9$
把$y=9$代入①式，得：$-2x + 27 = 13$，解得$x=7$
因此三次方的和为：
$x×(-2)^3 + y×3^3 = 7×(-8) + 9×27 = -56 + 243 = 187$
【答案】
$\boxed{187}$
【知识点】
二元一次方程组的应用；乘方运算；代数式求值
【点评】
本题解题的核心是排除取值为0的数对求和结果的干扰，简化未知数数量，利用方程思想建立等量关系求解，侧重考察学生的逻辑分析能力和方程思想的灵活运用能力。
【难度系数】
0.5
