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三、解答题(共40分)
13.(10分)解下列方程组：
(1)$\begin{cases}3x+2y=14, \\x=y+3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{x+3}{2}-\dfrac{2y-1}{3}=2, \\2x-2=2(3y-4).\end{cases}$
13.(10分)解下列方程组：
(1)$\begin{cases}3x+2y=14, \\x=y+3;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\dfrac{x+3}{2}-\dfrac{2y-1}{3}=2, \\2x-2=2(3y-4).\end{cases}$
答案
13.【解】(1)$\begin{cases}3x+2y=14,① \\x=y+3.②\end{cases}$
将②代入①,得 $3(y+3)+2y=14$,
解得 $y=1$.
把 $y=1$ 代入②,得 $x=1+3=4$.
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=4, \\y=1.\end{cases}$
(2)原方程组可整理得 $\begin{cases}3x-4y=1,① \\x-3y=-3,②\end{cases}$
①$-$②$×3$,得 $5y=10$,解得 $y=2$.
将 $y=2$ 代入②,得 $x-3×2=-3$,
解得 $x=3$.
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
将②代入①,得 $3(y+3)+2y=14$,
解得 $y=1$.
把 $y=1$ 代入②,得 $x=1+3=4$.
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=4, \\y=1.\end{cases}$
(2)原方程组可整理得 $\begin{cases}3x-4y=1,① \\x-3y=-3,②\end{cases}$
①$-$②$×3$,得 $5y=10$,解得 $y=2$.
将 $y=2$ 代入②,得 $x-3×2=-3$,
解得 $x=3$.
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
解析
【分析】
(1) 观察第一个方程组，方程②直接给出了x关于y的表达式，因此选用代入消元法求解：将②代入①消去x，得到关于y的一元一次方程，解出y后代入②即可求出x的值。
(2) 第二个方程组的两个方程均为非标准形式，首先需要对两个方程分别去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准二元一次方程组，再观察系数特征，将方程②乘3后与①作差，用加减消元法消去x，求出y后代入②即可求出x的值。
【解析】
(1) $\begin{cases}3x+2y=14,① \\x=y+3.②\end{cases}$
将②代入①，得 $3(y+3)+2y=14$，
解得 $y=1$。
把 $y=1$ 代入②，得 $x=1+3=4$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=4, \\y=1.\end{cases}$
(2) 原方程组可整理得 $\begin{cases}3x-4y=1,① \\x-3y=-3,②\end{cases}$
①$-$②$×3$，得 $5y=10$，解得 $y=2$。
将 $y=2$ 代入②，得 $x-3×2=-3$，
解得 $x=3$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=4, \\y=1;\end{cases}$ (2) $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，方程组化简
【点评】
本题考查二元一次方程组的基本解法，第一问属于代入消元法的基础应用，第二问需要先将原方程组转化为标准形式再进行消元计算，主要考查学生的运算能力和对消元思想的掌握，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 观察第一个方程组，方程②直接给出了x关于y的表达式，因此选用代入消元法求解：将②代入①消去x，得到关于y的一元一次方程，解出y后代入②即可求出x的值。
(2) 第二个方程组的两个方程均为非标准形式，首先需要对两个方程分别去分母、去括号、移项、合并同类项，整理为标准二元一次方程组，再观察系数特征，将方程②乘3后与①作差，用加减消元法消去x，求出y后代入②即可求出x的值。
【解析】
(1) $\begin{cases}3x+2y=14,① \\x=y+3.②\end{cases}$
将②代入①，得 $3(y+3)+2y=14$，
解得 $y=1$。
把 $y=1$ 代入②，得 $x=1+3=4$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=4, \\y=1.\end{cases}$
(2) 原方程组可整理得 $\begin{cases}3x-4y=1,① \\x-3y=-3,②\end{cases}$
①$-$②$×3$，得 $5y=10$，解得 $y=2$。
将 $y=2$ 代入②，得 $x-3×2=-3$，
解得 $x=3$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
【答案】
(1) $\begin{cases}x=4, \\y=1;\end{cases}$ (2) $\begin{cases}x=3, \\y=2.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，加减消元法，方程组化简
【点评】
本题考查二元一次方程组的基本解法，第一问属于代入消元法的基础应用，第二问需要先将原方程组转化为标准形式再进行消元计算，主要考查学生的运算能力和对消元思想的掌握，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
14. (14分)阅读以下内容:已知$x,y$满足$x+2y=5$，且满足$\begin{cases}3x+7y=5m-3, \\2x+3y=8,\end{cases}$求$m$的值.
三名同学分别提出了自己的解题思路:
甲同学:先解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+7y=5m-3, \\2x+3y=8,\end{cases}$再求$m$的值;
乙同学:先将方程组中的两个方程相加,再求$m$的值;
丙同学:先解方程组$\begin{cases}x+2y=5, \\2x+3y=8,\end{cases}$再求$m$的值.
(1)以上三名同学的解题思路中,正确的有
(2)根据你所选的思路解答此题.
三名同学分别提出了自己的解题思路:
甲同学:先解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x+7y=5m-3, \\2x+3y=8,\end{cases}$再求$m$的值;
乙同学:先将方程组中的两个方程相加,再求$m$的值;
丙同学:先解方程组$\begin{cases}x+2y=5, \\2x+3y=8,\end{cases}$再求$m$的值.
(1)以上三名同学的解题思路中,正确的有
3
个,你最欣赏乙(答案不唯一)
(填写“甲”或“乙”或“丙”)的思路;(2)根据你所选的思路解答此题.
答案
14.【解】(1)3;乙(答案不唯一)
(2)$\begin{cases}3x+7y=5m-3,① \\2x+3y=8,②\end{cases}$
①$+$②并整理,得 $5(x+2y)=5m+5$.
将 $x+2y=5$ 代入 $5(x+2y)=5m+5$,得 $5×5=5m+5$,解得 $m=4$.
(2)$\begin{cases}3x+7y=5m-3,① \\2x+3y=8,②\end{cases}$
①$+$②并整理,得 $5(x+2y)=5m+5$.
将 $x+2y=5$ 代入 $5(x+2y)=5m+5$,得 $5×5=5m+5$,解得 $m=4$.
解析
【分析】
(1)判断三名同学思路是否正确：①甲同学思路：两个含m的方程构成关于x,y的二元一次方程组，可解出用m表示的x、y，再代入已知条件x+2y=5即可求出m，逻辑成立；②乙同学思路：将两个方程相加后，可整理出含x+2y的式子，结合已知x+2y=5，用整体代入法可直接求出m，逻辑成立；③丙同学思路：x、y同时满足x+2y=5和2x+3y=8，可先联立这两个不含m的方程求出x、y的具体值，再代入含m的方程即可求出m，逻辑成立。因此三名同学的思路都正确。选择乙的思路最优，无需解方程组，计算量最小。
(2)按照乙的思路解题时，先将两个方程相加，合并同类项后整理出含有x+2y的等式，再将x+2y=5整体代入求解即可得到m的值。
【解析】
(1)经分析三名同学的解题思路均成立，故正确的有3个，最欣赏乙的思路（答案不唯一，选择甲、丙均可）。
(2)选择乙的思路解答：
记$\begin{cases}3x+7y=5m-3,① \\2x+3y=8,②\end{cases}$
由①+②，得：$3x+7y+2x+3y=5m-3+8$
合并同类项得：$5x+10y=5m+5$
提取公因式整理得：$5(x+2y)=5m+5$
已知$x+2y=5$，将其代入上式得：$5×5=5m+5$
即$25=5m+5$，移项计算得$5m=20$，解得$m=4$。
【答案】
(1)3；乙（答案不唯一）
(2)$m=4$
【知识点】
二元一次方程组的解；整体代入法；解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，不同解题思路的计算繁简程度不同，解题时可先观察方程的结构特征，优先选择整体代入等简便方法，可大幅减少计算量，提高解题效率和正确率。
【难度系数】
0.75
(1)判断三名同学思路是否正确：①甲同学思路：两个含m的方程构成关于x,y的二元一次方程组，可解出用m表示的x、y，再代入已知条件x+2y=5即可求出m，逻辑成立；②乙同学思路：将两个方程相加后，可整理出含x+2y的式子，结合已知x+2y=5，用整体代入法可直接求出m，逻辑成立；③丙同学思路：x、y同时满足x+2y=5和2x+3y=8，可先联立这两个不含m的方程求出x、y的具体值，再代入含m的方程即可求出m，逻辑成立。因此三名同学的思路都正确。选择乙的思路最优，无需解方程组，计算量最小。
(2)按照乙的思路解题时，先将两个方程相加，合并同类项后整理出含有x+2y的等式，再将x+2y=5整体代入求解即可得到m的值。
【解析】
(1)经分析三名同学的解题思路均成立，故正确的有3个，最欣赏乙的思路（答案不唯一，选择甲、丙均可）。
(2)选择乙的思路解答：
记$\begin{cases}3x+7y=5m-3,① \\2x+3y=8,②\end{cases}$
由①+②，得：$3x+7y+2x+3y=5m-3+8$
合并同类项得：$5x+10y=5m+5$
提取公因式整理得：$5(x+2y)=5m+5$
已知$x+2y=5$，将其代入上式得：$5×5=5m+5$
即$25=5m+5$，移项计算得$5m=20$，解得$m=4$。
【答案】
(1)3；乙（答案不唯一）
(2)$m=4$
【知识点】
二元一次方程组的解；整体代入法；解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组的灵活应用，不同解题思路的计算繁简程度不同，解题时可先观察方程的结构特征，优先选择整体代入等简便方法，可大幅减少计算量，提高解题效率和正确率。
【难度系数】
0.75
15. (16分) 新情境题 新能源汽车 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，已知3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计120万元；4辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计132万元.
(1)A，B两种型号的汽车每辆的进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案.
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在(2)的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
(1)A，B两种型号的汽车每辆的进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用96万元购进以上两种型号的新能源汽车若干辆(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案.
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利4000元，销售1辆B型汽车可获利3000元，在(2)的购买方案中，当这些新能源汽车全部售出时，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
答案
15.【解】(1)设 $A,B$ 两种型号的汽车每辆的进价分别为 $x$ 万元、$y$ 万元,
根据题意得 $\begin{cases}3x+4y=120, \\4x+3y=132,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=24, \\y=12.\end{cases}$
所以 $A,B$ 两种型号的汽车每辆的进价分别为 24 万元、12 万元.
(2)设购进 $A$ 型汽车 $m$ 辆,$B$ 型汽车 $n$ 辆,则 $24m+12n=96$,
所以 $n=8-2m$.
因为 $m,n$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases}m=1, \\n=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2, \\n=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3, \\n=2.\end{cases}$
所以共有 3 种购买方案,方案 1:购进 $A$ 型汽车 1 辆,$B$ 型汽车 6 辆;方案 2:购进 $A$ 型汽车 2 辆,$B$ 型汽车 4 辆;方案 3:购进 $A$ 型汽车 3 辆,$B$ 型汽车 2 辆.
(3)设在(2)的条件下,这些新能源汽车全部售出时,获得利润为 $w$ 元,
根据题意得 $w=4\ 000m+3\ 000n=4\ 000m+3\ 000(8-2m)=-2\ 000m+24\ 000$.
因为 $-2\ 000＜0$,所以 $w$ 随 $m$ 的增大而减小.
所以当 $m=1$ 时,$w$ 最大,最大值为 22 000,此时 $n=6$.
所以购进 $A$ 型汽车 1 辆,$B$ 型汽车 6 辆获利最大,最大利润是 22 000 元.
根据题意得 $\begin{cases}3x+4y=120, \\4x+3y=132,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}x=24, \\y=12.\end{cases}$
所以 $A,B$ 两种型号的汽车每辆的进价分别为 24 万元、12 万元.
(2)设购进 $A$ 型汽车 $m$ 辆,$B$ 型汽车 $n$ 辆,则 $24m+12n=96$,
所以 $n=8-2m$.
因为 $m,n$ 均为正整数,
所以 $\begin{cases}m=1, \\n=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2, \\n=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3, \\n=2.\end{cases}$
所以共有 3 种购买方案,方案 1:购进 $A$ 型汽车 1 辆,$B$ 型汽车 6 辆;方案 2:购进 $A$ 型汽车 2 辆,$B$ 型汽车 4 辆;方案 3:购进 $A$ 型汽车 3 辆,$B$ 型汽车 2 辆.
(3)设在(2)的条件下,这些新能源汽车全部售出时,获得利润为 $w$ 元,
根据题意得 $w=4\ 000m+3\ 000n=4\ 000m+3\ 000(8-2m)=-2\ 000m+24\ 000$.
因为 $-2\ 000＜0$,所以 $w$ 随 $m$ 的增大而减小.
所以当 $m=1$ 时,$w$ 最大,最大值为 22 000,此时 $n=6$.
所以购进 $A$ 型汽车 1 辆,$B$ 型汽车 6 辆获利最大,最大利润是 22 000 元.
解析
【分析】
(1) 第一问求A、B两种车型的进价，题目给出两组不同数量车型的总进价，存在两个明确等量关系，我们可设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2) 第二问已知总进价96万元且两种车型均购买，设购进A、B型车的数量为m、n，根据总进价列二元一次方程，结合m、n均为正整数的实际意义，找出所有符合条件的解即可得到购买方案。
(3) 第三问求最大利润，先根据两种车型的单利列出总利润的表达式，再结合一次函数的增减性和第二问中m的取值范围，就能找到利润最大的方案及最大利润。
【解析】
(1) 设A，B两种型号的汽车每辆的进价分别为$x$万元、$y$万元，
根据题意得 $\begin{cases}3x+4y=120, \\4x+3y=132,\end{cases}$
用加减消元法解方程组：第一个方程乘4得$12x+16y=480$，第二个方程乘3得$12x+9y=396$，两式相减得$7y=84$，解得$y=12$，将$y=12$代入$3x+4y=120$，解得$x=24$。
(2) 设购进A型汽车$m$辆，B型汽车$n$辆，根据总进价为96万元列方程：
$24m+12n=96$，整理得$n=8-2m$。
因为$m,n$均为正整数，所以$m≥1$且$8-2m≥1$，解得$1≤ m≤3.5$，则$m$可取1、2、3，对应三组解：$\begin{cases}m=1, \\n=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2, \\n=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3, \\n=2.\end{cases}$
共3种购买方案：方案1：购进A型汽车1辆，B型汽车6辆；方案2：购进A型汽车2辆，B型汽车4辆；方案3：购进A型汽车3辆，B型汽车2辆。
(3) 设总利润为$w$元，根据题意得：
$w=4000m+3000n=4000m+3000(8-2m)=-2000m+24000$。
因为$-2000＜0$，所以$w$随$m$的增大而减小，因此当$m$取最小正整数1时，$w$最大，此时$w=-2000×1+24000=22000$，对应$n=6$。
【答案】
(1) A型汽车每辆进价24万元，B型汽车每辆进价12万元；
(2) 共3种购买方案：方案1：购进A型1辆，B型6辆；方案2：购进A型2辆，B型4辆；方案3：购进A型3辆，B型2辆；
(3) 购进A型1辆、B型6辆的方案获利最大，最大利润为22000元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程正整数解，一次函数的应用
【点评】
本题结合新能源汽车的热门生活情境，考查方程与函数在实际问题中的综合应用，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，整体逻辑连贯，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求A、B两种车型的进价，题目给出两组不同数量车型的总进价，存在两个明确等量关系，我们可设两个未知数列二元一次方程组求解。
(2) 第二问已知总进价96万元且两种车型均购买，设购进A、B型车的数量为m、n，根据总进价列二元一次方程，结合m、n均为正整数的实际意义，找出所有符合条件的解即可得到购买方案。
(3) 第三问求最大利润，先根据两种车型的单利列出总利润的表达式，再结合一次函数的增减性和第二问中m的取值范围，就能找到利润最大的方案及最大利润。
【解析】
(1) 设A，B两种型号的汽车每辆的进价分别为$x$万元、$y$万元，
根据题意得 $\begin{cases}3x+4y=120, \\4x+3y=132,\end{cases}$
用加减消元法解方程组：第一个方程乘4得$12x+16y=480$，第二个方程乘3得$12x+9y=396$，两式相减得$7y=84$，解得$y=12$，将$y=12$代入$3x+4y=120$，解得$x=24$。
(2) 设购进A型汽车$m$辆，B型汽车$n$辆，根据总进价为96万元列方程：
$24m+12n=96$，整理得$n=8-2m$。
因为$m,n$均为正整数，所以$m≥1$且$8-2m≥1$，解得$1≤ m≤3.5$，则$m$可取1、2、3，对应三组解：$\begin{cases}m=1, \\n=6\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2, \\n=4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3, \\n=2.\end{cases}$
共3种购买方案：方案1：购进A型汽车1辆，B型汽车6辆；方案2：购进A型汽车2辆，B型汽车4辆；方案3：购进A型汽车3辆，B型汽车2辆。
(3) 设总利润为$w$元，根据题意得：
$w=4000m+3000n=4000m+3000(8-2m)=-2000m+24000$。
因为$-2000＜0$，所以$w$随$m$的增大而减小，因此当$m$取最小正整数1时，$w$最大，此时$w=-2000×1+24000=22000$，对应$n=6$。
【答案】
(1) A型汽车每辆进价24万元，B型汽车每辆进价12万元；
(2) 共3种购买方案：方案1：购进A型1辆，B型6辆；方案2：购进A型2辆，B型4辆；方案3：购进A型3辆，B型2辆；
(3) 购进A型1辆、B型6辆的方案获利最大，最大利润为22000元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程正整数解，一次函数的应用
【点评】
本题结合新能源汽车的热门生活情境，考查方程与函数在实际问题中的综合应用，解题时需注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，整体逻辑连贯，能有效锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
