8. 甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：
| 班级 | 参加人数 | 平均数 | 中位数 | 方差 |
| ---- | -------- | ------ | ------ | ---- |
| 甲班 | 55 | | 149 | 191 |
| 乙班 | 55 | 135 | 151 | 110 |
某同学分析上表后得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均成绩相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字的个数≥150为优秀)；
③甲班成绩的波动比乙班大。
上述结论中，正确的是（）

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

8. D
【点拨】由表格可知，甲、乙两班学生的平均成绩相同；根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大。故①②③正确。

【分析】
要判断三个结论是否正确，我们可以分别结合平均数、中位数、方差的意义逐一分析：首先判断平均成绩直接对比两班的平均数即可；判断优秀人数多少需要结合中位数的含义，中位数是排序后中间位置的数，能反映数据的中间水平，以此可估算优秀人数的范围；判断波动大小直接对比方差即可，方差越大代表数据波动越大。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：由表格可知，甲、乙两班的平均数均为135，说明两班学生的平均成绩相同，故①正确。
2. 验证结论②：两班参赛人数均为55人，将成绩从小到大排序后，中位数是第28名学生的成绩。甲班中位数为149，说明甲班第28名的成绩是149，未达到优秀标准（每分钟输入汉字个数≥150），因此甲班优秀人数最多为$55-28=27$人；乙班中位数为151，说明乙班第28名的成绩是151，已达到优秀标准，因此乙班优秀人数至少为$55-27=28$人，可得乙班优秀人数多于甲班，故②正确。
3. 验证结论③：方差是反映数据波动大小的统计量，方差越大，成绩波动越大。甲班方差191大于乙班方差110，因此甲班成绩的波动比乙班大，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
平均数的意义；中位数的意义；方差的意义
【点评】
本题考查统计特征量的实际应用，解题关键是准确掌握平均数、中位数、方差分别代表的统计含义，结合表格给出的数据特征即可快速判断结论正误。
【难度系数】
0.7

9. [2025山东] 在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天(24小时)内每小时的pH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27,7.28,7.34,7.35,7.36,7.51,7.53,7.67,7.67,
7.67,7.67,7.81,7.81,7.88,7.91,8.01,8.02,8.03,
8.07,8.16,8.17,8.23,8.26,8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11,7.12,7.14,7.25,7.36,7.52,7.63,7.67,7.69,
7.75,7.77,7.77,7.81,7.84,7.89,8.01,8.12,8.13,
8.14,8.16,8.17,8.18,8.20,8.21.
【整理数据】

【描述数据】

【分析数据】

根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数直方图；
(2)填空：$b=$,$c=$；
(3)请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
(4)已知两基地对水体pH值的日变化量(pH值最大值与最小值的差)要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的水体pH值是否符合要求.

9. (1)根据题意得 $a=24-4-2-9-2=7$，补全频数直方图如图。
(2)7.67；7.79
(3)因为甲基地水体 pH 值的方差为 0.10，乙基地水体 pH 值的方差为 0.13，$0.10＜0.13$，所以甲基地水体的 pH 值更稳定。
(4)甲基地水体 pH 值的日变化量为 $8.26-7.27=0.99$，乙基地水体 pH 值的日变化量为 $8.21-7.11=1.1$，所以该日两基地的水体 pH 值甲符合要求，乙不符合要求。

【分析】
(1) 补全频数直方图首先要计算缺失组的频数：总检测次数是24次（一天24小时每小时测1次），用总频数减去已知各组的频数，就能得到7.90~8.20这一组的频数，再把对应高度的长方形画在图中即可。
(2) 求b（甲基地pH值的众数）：众数是一组数据中出现次数最多的数，统计甲基地数据中各数值出现的次数即可得到；求c（乙基地pH值的中位数）：24个数据的中位数是排序后第12、13个数据的平均数，把乙基地数据从小到大排序，取第12、13个数据求平均值即可。
(3) 判断pH值的稳定性，根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，越稳定，对比甲、乙两基地的方差大小即可判断。
(4) 日变化量即pH值的极差（最大值减最小值），分别计算两个基地的极差，再和要求的0.5~1范围对比，判断是否符合要求。
【解析】
(1) 总频数为24，已知7.00~7.30频数为4，7.30~7.60频数为2，7.60~7.90频数为9，8.20~8.50频数为2，因此7.90~8.20组的频数$a=24-4-2-9-2=7$，按照频数7补全对应组的直方图即可。
(2) 观察甲基地的pH值数据，7.67一共出现了4次，出现次数最多，因此众数$b=7.67$；将乙基地的24个pH值数据从小到大排序，第12个数据为7.77，第13个数据为7.81，因此中位数$c=\frac{7.77+7.81}{2}=7.79$。
(3) 数据的方差越小，说明数据波动越小，越稳定。已知甲基地水体pH值的方差为0.10，乙基地水体pH值的方差为0.13，$0.10＜0.13$，因此甲基地水体的pH值波动更小，更稳定。
(4) 日变化量为pH值的最大值减去最小值：
甲基地pH值最大值为8.26，最小值为7.27，日变化量为$8.26-7.27=0.99$，在要求的0.5~1范围内，符合要求；
乙基地pH值最大值为8.21，最小值为7.11，日变化量为$8.21-7.11=1.1$，大于1，不符合要求。
【答案】
(1)根据题意得 $a=24-4-2-9-2=7$，补全频数直方图如图。
(2)$7.67$；$7.79$
(3)因为甲基地水体 pH 值的方差为 0.10，乙基地水体 pH 值的方差为 0.13，$0.10＜0.13$，所以甲基地水体的 pH 值更稳定。
(4)甲基地水体 pH 值的日变化量为 $8.26-7.27=0.99$，乙基地水体 pH 值的日变化量为 $8.21-7.11=1.1$，所以该日两基地的水体 pH 值甲符合要求，乙不符合要求。
【知识点】
频数直方图；统计量计算；方差与极差应用
【点评】
本题结合实际养殖场景考查统计相关知识，既需要掌握频数直方图的补全方法，也需要熟练掌握众数、中位数、方差、极差的意义和计算方法，能够用统计量的性质解决实际判断问题。
【难度系数】
0.7

10. 已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4,4,6,4,8,11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能的值为。

10. -9 或 5 或 19
【点拨】设丢失的数据为 $x$，根据题意，这组数据的众数一定是 4，平均数为 $\frac{4+4+6+4+8+11+x}{7}=\frac{37+x}{7}$，若 $x≤4$，则中位数是4，众数为 4，根据题意，得 $\frac{37+x}{7}+4=2×4$，解得 $x=-9$；若 $x$ 是中位数，根据题意，得 $\frac{37+x}{7}+4=2x$，解得 $x=5$；若 $x≥6$，则中位数是 6，根据题意，得 $\frac{37+x}{7}+4=12$，解得 $x=19$。综上所述，丢失的数据可能是 $-9$ 或 5 或 19。

【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知6个数据为4,4,6,4,8,11，设丢失的数据为x，题目给出等量关系为“平均数+众数=2×中位数”。第一步先确定众数：现有数据中4出现次数最多，无论x取何值，众数一定为4；第二步计算平均数，表达式为7个数据的总和除以7；第三步分析中位数：7个数据排序后中位数是第4个数据，其取值和x的大小位置直接相关，因此需要分三类讨论x的取值范围，分别确定对应中位数后代入等量关系列方程，最后验证解是否符合对应分类的前提条件，汇总符合要求的解即可。
【解析】
解：设丢失的数据为$x$。
1. 确定众数：已知的6个数据中4出现3次，是出现次数最多的数，因此这组数据的众数恒为4。
2. 计算平均数：这组数据的平均数为$\frac{4+4+6+4+8+11+x}{7}=\frac{37+x}{7}$。
3. 分情况讨论中位数并列方程求解：
① 当$x≤4$时，7个数据从小到大排列后第4个数为4，即中位数为4。
代入等量关系得：$\frac{37+x}{7}+4=2×4$
解得$x=-9$，符合$x≤4$的条件，成立。
② 当$4＜x＜6$时，7个数据从小到大排列后第4个数为$x$，即中位数为$x$。
代入等量关系得：$\frac{37+x}{7}+4=2x$
解得$x=5$，符合$4＜x＜6$的条件，成立。
③ 当$x≥6$时，7个数据从小到大排列后第4个数为6，即中位数为6。
代入等量关系得：$\frac{37+x}{7}+4=2×6$
解得$x=19$，符合$x≥6$的条件，成立。
【答案】
$-9$或$5$或$19$
【知识点】
平均数计算；众数判定；中位数计算
【点评】
本题属于统计特征量的综合应用题，解题关键是先确定固定的众数，再根据未知数据的位置分类讨论得到对应中位数，结合等量关系列方程求解，解题时需注意验证解是否符合分类的前提条件，避免出现漏解或增解的问题。
【难度系数】
0.4

11. [威海自主招生] 由6个实数组成的一组数据的方差为$s_1^2$，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为$s_2^2$，则$s_2^2 - s_1^2 =$（）

A.0
B.4
C.8
D.16

11. B
【点拨】因为由 6 个实数组成的一组数据的方差为$s_1^2$，将其中一个数 6 改为 2，另一个数 5 改为 9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为 $s_2^2$，所以前后两组数据的平均数不变，设为$\overline{x}$，设没有变化的 4 个数与平均数差的平方和为 $s$，则 $s_2^2 -s_1^2 = \frac{[s+(2-\overline{x})^2 +(9-\overline{x})^2 ]-[s+(6-\overline{x})^2 +(5-\overline{x})^2 ]}{6} =\frac{85-61}{6}=4$。

【分析】
要计算两组数据的方差差值，首先回忆方差的计算公式：方差是各数据与平均数差的平方的平均数。首先判断修改数据后平均数是否变化：原待修改的两个数之和为$6+5=11$，修改后两个数之和为$2+9=11$，两组数据的总总和不变，数据总个数也不变，因此两组数据的平均数完全相同。接下来分别写出两个方差的表达式，相减时未修改的4个数据对应的平方和会相互抵消，只需计算修改的两个数据对应的平方项差值，再除以数据总个数即可得到结果。
【解析】
设原6个数据的平均数为$\overline{x}$，未发生变化的4个数据与平均数差的平方和为$s$。
因为$6+5=11$，$2+9=11$，两组数据总和不变，数据总数为6，所以新数据的平均数仍为$\overline{x}$。
根据方差公式可得：
原方差$s_1^2 = \frac{1}{6}[s + (6-\overline{x})^2 + (5-\overline{x})^2]$
新方差$s_2^2 = \frac{1}{6}[s + (2-\overline{x})^2 + (9-\overline{x})^2]$
两式作差计算：
$\begin{aligned}s_2^2 - s_1^2 &= \frac{1}{6}[(2-\overline{x})^2 + (9-\overline{x})^2 - (6-\overline{x})^2 - (5-\overline{x})^2] \\&= \frac{1}{6}[(4-4\overline{x}+\overline{x}^2)+(81-18\overline{x}+\overline{x}^2)-(36-12\overline{x}+\overline{x}^2)-(25-10\overline{x}+\overline{x}^2)] \\&= \frac{1}{6}×(85 - 61) \\&= \frac{24}{6} = 4\end{aligned}$
【答案】
B
【知识点】
1. 方差的计算；2. 平均数的性质
【点评】
本题属于方差的灵活应用类题目，解题的核心是先通过数据和的变化判断平均数不变，避免了重复计算平均数的步骤，再通过方差公式作差抵消相同项即可求解，不需要知道其余4个数据的具体数值，能很好地考查对公式的理解和运用能力。
【难度系数】
0.6