登录
1. 下列说法正确的是（
A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C.对于自然数$n$，$n^2 + n + 37$一定是质数
D.有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
D
）A.经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否
B.推理是科学家的事，与我们没有多大的关系
C.对于自然数$n$，$n^2 + n + 37$一定是质数
D.有10个苹果，将它放进9个筐中，则至少有一个筐中的苹果不少于2个
答案
1.D
解析
【分析】
本题需逐个判断各选项的正误，核心是明确证明的必要性，学会通过举反例、逻辑推理验证命题：①判断A选项需明确经验、观察、实验存在局限性，不能完全判定数学结论的正确性；②判断B选项需明确推理是普遍适用的能力，与日常学习生活紧密相关；③判断C选项可通过举反例验证，找到使式子结果为合数的自然数n即可证明其错误；④判断D选项可利用抽屉原理的基础逻辑分析即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 经验、观察或实验存在局限性，要判定一个数学结论的正确性，必须依靠严谨的逻辑推理，因此经验、观察或实验无法完全判断数学结论的正确与否，A错误。
B. 推理应用于我们日常学习、生活的方方面面，并非仅属于科学家，我们在解决数学问题、分析生活现象时都需要用到推理，B错误。
C. 当n=37时，$n^2 + n + 37 = 37^2 + 37 + 37 = 37×(37+1+1)=37×39$，结果是合数，并非质数，因此该说法不成立，C错误。
D. 将9个筐看作9个“抽屉”，10个苹果放入9个抽屉中，$10÷9=1······1$，即平均每个筐放1个苹果后，还剩余1个苹果，因此至少有一个筐中的苹果数量为$1+1=2$个，也就是不少于2个，D正确。
【答案】
D
【知识点】
证明的必要性；质数与合数；抽屉原理
【点评】
本题围绕证明的必要性设置考点，需要同学们掌握判断命题正误的常用方法：既可以通过逻辑推理证明命题成立，也可以通过举反例证明命题不成立，同时考查了基础的数论、抽屉原理的简单应用，整体侧重对基础逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.8
本题需逐个判断各选项的正误，核心是明确证明的必要性，学会通过举反例、逻辑推理验证命题：①判断A选项需明确经验、观察、实验存在局限性，不能完全判定数学结论的正确性；②判断B选项需明确推理是普遍适用的能力，与日常学习生活紧密相关；③判断C选项可通过举反例验证，找到使式子结果为合数的自然数n即可证明其错误；④判断D选项可利用抽屉原理的基础逻辑分析即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 经验、观察或实验存在局限性，要判定一个数学结论的正确性，必须依靠严谨的逻辑推理，因此经验、观察或实验无法完全判断数学结论的正确与否，A错误。
B. 推理应用于我们日常学习、生活的方方面面，并非仅属于科学家，我们在解决数学问题、分析生活现象时都需要用到推理，B错误。
C. 当n=37时，$n^2 + n + 37 = 37^2 + 37 + 37 = 37×(37+1+1)=37×39$，结果是合数，并非质数，因此该说法不成立，C错误。
D. 将9个筐看作9个“抽屉”，10个苹果放入9个抽屉中，$10÷9=1······1$，即平均每个筐放1个苹果后，还剩余1个苹果，因此至少有一个筐中的苹果数量为$1+1=2$个，也就是不少于2个，D正确。
【答案】
D
【知识点】
证明的必要性；质数与合数；抽屉原理
【点评】
本题围绕证明的必要性设置考点，需要同学们掌握判断命题正误的常用方法：既可以通过逻辑推理证明命题成立，也可以通过举反例证明命题不成立，同时考查了基础的数论、抽屉原理的简单应用，整体侧重对基础逻辑思维的考查。
【难度系数】
0.8
2.如图，点P是直线l外一点，过点P画直线PA，PB，PC，分别与已知直线l交于点A，B，C，请你用量角器量∠1，∠2，∠3的度数，并量线段PA，PB，PC的长度，你发现的规律是
随着线段与直线l的夹角度数的增大，线段的长度减小
.答案
2. 随着线段与直线l的夹角度数的增大，线段的长度减小
解析
【分析】
这道题需要通过动手测量结合数据对比总结规律。首先明确测量对象：一是分别测量∠1、∠2、∠3的度数，这三个角分别是线段PA、PB、PC与直线l的夹角；二是分别测量线段PA、PB、PC的长度。测量完成后，将每个线段和它对应的夹角数据一一配对，观察夹角度数变化时对应线段长度的变化趋势，即可总结出规律。
【解析】
1. 测量角度：用量角器分别测量∠1、∠2、∠3，可得度数关系为$∠ 1＜∠ 2＜∠ 3$；
2. 测量线段：用刻度尺分别测量PA、PB、PC的长度，可得长度关系为$PA＞PB＞PC$；
3. 对比数据找规律：观察两组数据的对应关系，可发现：线段和直线l的夹角度数越大，这条线段的长度越小。
【答案】
随着线段与直线l的夹角度数的增大，线段的长度减小
【知识点】
角的度量、线段的度量、规律探究
【点评】
本题属于实践探究类题目，需要通过规范的测量操作获取数据，再观察归纳数据间的变化规律，侧重考查动手操作能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.9
这道题需要通过动手测量结合数据对比总结规律。首先明确测量对象：一是分别测量∠1、∠2、∠3的度数，这三个角分别是线段PA、PB、PC与直线l的夹角；二是分别测量线段PA、PB、PC的长度。测量完成后，将每个线段和它对应的夹角数据一一配对，观察夹角度数变化时对应线段长度的变化趋势，即可总结出规律。
【解析】
1. 测量角度：用量角器分别测量∠1、∠2、∠3，可得度数关系为$∠ 1＜∠ 2＜∠ 3$；
2. 测量线段：用刻度尺分别测量PA、PB、PC的长度，可得长度关系为$PA＞PB＞PC$；
3. 对比数据找规律：观察两组数据的对应关系，可发现：线段和直线l的夹角度数越大，这条线段的长度越小。
【答案】
随着线段与直线l的夹角度数的增大，线段的长度减小
【知识点】
角的度量、线段的度量、规律探究
【点评】
本题属于实践探究类题目，需要通过规范的测量操作获取数据，再观察归纳数据间的变化规律，侧重考查动手操作能力和归纳总结能力。
【难度系数】
0.9
3. 字母a,b,c,d各代表正方形、线段、正三角形、圆四种图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，下表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形△的连接方式为
a⊕c
。答案
3. a⊕c
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过找公共元素的方法确定每个字母对应的图形：首先观察前两个组合，都包含正方形，对应的连接式中都有字母b，由此先确定b对应的图形，再依次推出a、d、c对应的图形，最后就能得到△（正三角形）的连接方式。
【解析】
1. 观察第1个组合（线段+正方形）对应$a \oplus b$，第2个组合（正方形+圆）对应$b \oplus d$：两个组合共有的图形是正方形，两个连接式共有的字母是b，因此可得$b=$正方形。
2. 第1个组合除正方形外的图形是线段，因此$a=$线段。
3. 第2个组合除正方形外的图形是圆，因此$d=$圆。
4. 观察第3个组合（圆+正三角形）对应$d \oplus c$，已知d是圆，因此$c=$正三角形（即△）。
综上，正三角形对应字母c，线段对应字母a，二者的连接方式为$a \oplus c$。
【答案】
$a\oplus c$
【知识点】
逻辑推理，对应关系判断
【点评】
本题属于逻辑推理类题目，解题的关键是抓住重复出现的图形和重复出现的字母的对应关系，逐步推导每个字母代表的图形，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以通过找公共元素的方法确定每个字母对应的图形：首先观察前两个组合，都包含正方形，对应的连接式中都有字母b，由此先确定b对应的图形，再依次推出a、d、c对应的图形，最后就能得到△（正三角形）的连接方式。
【解析】
1. 观察第1个组合（线段+正方形）对应$a \oplus b$，第2个组合（正方形+圆）对应$b \oplus d$：两个组合共有的图形是正方形，两个连接式共有的字母是b，因此可得$b=$正方形。
2. 第1个组合除正方形外的图形是线段，因此$a=$线段。
3. 第2个组合除正方形外的图形是圆，因此$d=$圆。
4. 观察第3个组合（圆+正三角形）对应$d \oplus c$，已知d是圆，因此$c=$正三角形（即△）。
综上，正三角形对应字母c，线段对应字母a，二者的连接方式为$a \oplus c$。
【答案】
$a\oplus c$
【知识点】
逻辑推理，对应关系判断
【点评】
本题属于逻辑推理类题目，解题的关键是抓住重复出现的图形和重复出现的字母的对应关系，逐步推导每个字母代表的图形，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
4.[成都七中自主招生]南山中学高一年级举办数学竞赛，A,B,C,D,E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况.
A说:B第三名，C第五名；B说:E第四名，D第五名；C说:A第一名，E第四名；D说:C第一名，B第二名；E说:A第三名，D第四名.
老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为
A说:B第三名，C第五名；B说:E第四名，D第五名；C说:A第一名，E第四名；D说:C第一名，B第二名；E说:A第三名，D第四名.
老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为
C,B,A,E,D
.答案
4. C,B,A,E,D 【点拨】因为每个名次都有人猜对，只有D猜测“B第二名”，所以B是第二名，所以此时A的“B第三名”错误，E的“A第三名”必须正确以确保第三名被猜对，所以A是第三名；所以C的“A第一名”错误，所以D的“C第一名”正确，所以C是第一名；所以A的“C第五名”错误，所以B的“D第五名”正确，所以D是第五名；所以B的“E第四名”正确，所以E是第四名.
解析
【分析】
解这道题的核心依据是“每个名次都有人猜对”的限定条件，解题思路为先梳理所有同学对各名次的猜测内容，找到仅被猜测1次的名次，该猜测必然正确（若其错误则该名次没有猜对的结果，不符合题意），再以这个正确结论为突破口，逐步排除错误猜测，依次推导其余名次对应的人选即可。
【解析】
首先整理五人对各名次的全部猜测：
第1名：A（C猜）、C（D猜）
第2名：B（仅D猜）
第3名：B（A猜）、A（E猜）
第4名：E（B猜、C猜）、D（E猜）
第5名：C（A猜）、D（B猜）
① 因为每个名次都有人猜对，第2名只有“B第二名”这1个猜测，因此B是第二名；
② B是第二名，说明A说的“B第三名”错误，第三名必须有人猜对，因此E说的“A第三名”正确，即A是第三名；
③ A是第三名，说明C说的“A第一名”错误，第一名必须有人猜对，因此D说的“C第一名”正确，即C是第一名；
④ C是第一名，说明A说的“C第五名”错误，第五名必须有人猜对，因此B说的“D第五名”正确，即D是第五名；
⑤ 剩余的第四名只能是E，且B、C均猜测E是第四名，符合条件。
【答案】
C,B,A,E,D
【知识点】
逻辑推理、排除法
【点评】
本题是典型的逻辑推理题，解题关键是抓住“每个名次都有人猜对”的条件，优先锁定唯一猜测的名次作为突破口，再结合排除法逐步推导，能很好地锻炼信息梳理和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解这道题的核心依据是“每个名次都有人猜对”的限定条件，解题思路为先梳理所有同学对各名次的猜测内容，找到仅被猜测1次的名次，该猜测必然正确（若其错误则该名次没有猜对的结果，不符合题意），再以这个正确结论为突破口，逐步排除错误猜测，依次推导其余名次对应的人选即可。
【解析】
首先整理五人对各名次的全部猜测：
第1名：A（C猜）、C（D猜）
第2名：B（仅D猜）
第3名：B（A猜）、A（E猜）
第4名：E（B猜、C猜）、D（E猜）
第5名：C（A猜）、D（B猜）
① 因为每个名次都有人猜对，第2名只有“B第二名”这1个猜测，因此B是第二名；
② B是第二名，说明A说的“B第三名”错误，第三名必须有人猜对，因此E说的“A第三名”正确，即A是第三名；
③ A是第三名，说明C说的“A第一名”错误，第一名必须有人猜对，因此D说的“C第一名”正确，即C是第一名；
④ C是第一名，说明A说的“C第五名”错误，第五名必须有人猜对，因此B说的“D第五名”正确，即D是第五名；
⑤ 剩余的第四名只能是E，且B、C均猜测E是第四名，符合条件。
【答案】
C,B,A,E,D
【知识点】
逻辑推理、排除法
【点评】
本题是典型的逻辑推理题，解题关键是抓住“每个名次都有人猜对”的条件，优先锁定唯一猜测的名次作为突破口，再结合排除法逐步推导，能很好地锻炼信息梳理和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
5. 若一列数 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_{2026}$ 满足任意相邻三个数的和都相等，且 $a_2=-5,a_{12}=4,a_{2023}=2$，则 $a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2026}=\_\_\_\_\_\_$。
答案
5. 677 【点拨】因为这列数中任意相邻三个数的和都相等，所以$a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4=a_3+a_4+a_5=\dots$。又因为$a_2=-5,a_{12}=4,a_{2023}=2$，所以$a_1=a_4=a_7=\dots=a_{2023}=2,a_2=a_5=a_8=\dots=a_{2024}=-5,a_3=a_6=a_9=a_{12}=\dots=a_{2025}=4$，所以这列数为2,-5,4,2,-5,4,…，按2,-5,4循环出现。又因为$2026÷3=675······1$，所以$a_1+a_2+a_3+a_4+\dots+a_{2025}+a_{2026}=675×(2-5+4)+2=677$。
解析
【分析】
首先观察题目条件“任意相邻三个数的和都相等”，可先推导数列的周期性：对相邻的两组三个数的和作差，就能得到隔两个位置的数相等，即数列每3个数为一个周期循环。接下来根据给出的$a_2$、$a_{12}$、$a_{2023}$的值，判断它们分别对应周期中的第几个位置，求出周期内三个数的具体值，最后计算2026个数中包含多少个完整周期、剩余几个数，代入求和即可。
【解析】
解：
∵任意相邻三个数的和都相等，
∴$a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4$，消去$a_2,a_3$可得$a_1=a_4$，
同理可得：$a_2=a_5=a_8=\dots$，$a_3=a_6=a_9=\dots$，即该数列是以3为周期的循环数列。
根据周期规律：
① 下标除以3余1的数与$a_1$相等：$2023÷3=674\dots1$，故$a_1=a_{2023}=2$；
② 下标除以3余2的数与$a_2$相等：已知$a_2=-5$；
③ 下标除以3整除的数与$a_3$相等：$12÷3=4$，故$a_3=a_{12}=4$。
因此每个周期的和为：$2+(-5)+4=1$。
又$2026÷3=675\dots1$，即2026个数包含675个完整周期，还多1个周期的第一个数2。
故总和为：$675×1 + 2=677$。
【答案】
677
【知识点】
周期数列规律，有理数加减运算，规律探究
【点评】
本题是数列规律探究的典型题型，解题核心是通过相邻三个数和相等的条件推导出数列的周期，再结合已知数值确定周期内的数，最后按周期计算总和，能较好地考查逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先观察题目条件“任意相邻三个数的和都相等”，可先推导数列的周期性：对相邻的两组三个数的和作差，就能得到隔两个位置的数相等，即数列每3个数为一个周期循环。接下来根据给出的$a_2$、$a_{12}$、$a_{2023}$的值，判断它们分别对应周期中的第几个位置，求出周期内三个数的具体值，最后计算2026个数中包含多少个完整周期、剩余几个数，代入求和即可。
【解析】
解：
∵任意相邻三个数的和都相等，
∴$a_1+a_2+a_3=a_2+a_3+a_4$，消去$a_2,a_3$可得$a_1=a_4$，
同理可得：$a_2=a_5=a_8=\dots$，$a_3=a_6=a_9=\dots$，即该数列是以3为周期的循环数列。
根据周期规律：
① 下标除以3余1的数与$a_1$相等：$2023÷3=674\dots1$，故$a_1=a_{2023}=2$；
② 下标除以3余2的数与$a_2$相等：已知$a_2=-5$；
③ 下标除以3整除的数与$a_3$相等：$12÷3=4$，故$a_3=a_{12}=4$。
因此每个周期的和为：$2+(-5)+4=1$。
又$2026÷3=675\dots1$，即2026个数包含675个完整周期，还多1个周期的第一个数2。
故总和为：$675×1 + 2=677$。
【答案】
677
【知识点】
周期数列规律，有理数加减运算，规律探究
【点评】
本题是数列规律探究的典型题型，解题核心是通过相邻三个数和相等的条件推导出数列的周期，再结合已知数值确定周期内的数，最后按周期计算总和，能较好地考查逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.7
6. 甲、乙、丙三人进行乒乓球赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，
胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行。半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛。在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了
胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行。半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛。在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了
15
局比赛，其中最后一局比赛的裁判是甲
。答案
6. 15;甲 【点拨】因为甲当了8局裁判，所以乙、丙之间比赛了8局。又因为乙、丙分别进行了12局、11局比赛，所以乙与甲比赛了12-8=4(局)，丙与甲比赛了11-8=3(局)，所以甲、乙、丙三人共比赛了8+4+3=15(局)。又因为甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数，所以甲当裁判的局为奇数局，所以最后一局比赛的裁判是甲。
解析
【分析】
解题时首先明确隐含规则：某人当裁判时，其余两人正在进行比赛，因此可以先从甲的裁判局数得到乙丙对战的局数。再用乙、丙各自的总比赛局数减去和对方对战的局数，就能分别得到乙甲、丙甲的对战局数，三类对局相加就是总局数。接下来分析裁判的任职规律：由于输方转做裁判，因此没有人能连续两局当裁判，裁判任职的局数是奇偶交替的，结合总局数的奇偶性和甲的裁判总次数，就能判断甲当裁判的局的奇偶属性，进而得到最后一局的裁判是谁。
【解析】
1. 计算乙丙对战局数：甲当裁判的局都是乙、丙比赛，因此乙丙共对战8局。
2. 计算其他对战组合的局数：
乙一共比赛12局，减去和丙对战的8局，剩余为乙和甲对战的局数：$12-8=4$（局）
丙一共比赛11局，减去和乙对战的8局，剩余为丙和甲对战的局数：$11-8=3$（局）
3. 计算总局数：所有对战局数相加，$8+4+3=15$（局）
4. 判断最后一局的裁判：
根据比赛规则，这局的裁判下一局需要上场和胜者比赛，因此不可能连续两局当裁判，裁判任职的局数为奇偶交替出现。
15局中奇数局共有$\frac{15+1}{2}=8$局，偶数局共有7局，甲共当裁判8次，刚好对应所有奇数局，因此第15局（奇数局）的裁判是甲。
【答案】
15；甲
【知识点】
逻辑推理；奇偶性应用
【点评】
本题属于逻辑推理类题型，解题的关键是找准“裁判局对应另外两人比赛”的突破口，再结合比赛规则推导裁判任职的规律，能够很好地锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确隐含规则：某人当裁判时，其余两人正在进行比赛，因此可以先从甲的裁判局数得到乙丙对战的局数。再用乙、丙各自的总比赛局数减去和对方对战的局数，就能分别得到乙甲、丙甲的对战局数，三类对局相加就是总局数。接下来分析裁判的任职规律：由于输方转做裁判，因此没有人能连续两局当裁判，裁判任职的局数是奇偶交替的，结合总局数的奇偶性和甲的裁判总次数，就能判断甲当裁判的局的奇偶属性，进而得到最后一局的裁判是谁。
【解析】
1. 计算乙丙对战局数：甲当裁判的局都是乙、丙比赛，因此乙丙共对战8局。
2. 计算其他对战组合的局数：
乙一共比赛12局，减去和丙对战的8局，剩余为乙和甲对战的局数：$12-8=4$（局）
丙一共比赛11局，减去和乙对战的8局，剩余为丙和甲对战的局数：$11-8=3$（局）
3. 计算总局数：所有对战局数相加，$8+4+3=15$（局）
4. 判断最后一局的裁判：
根据比赛规则，这局的裁判下一局需要上场和胜者比赛，因此不可能连续两局当裁判，裁判任职的局数为奇偶交替出现。
15局中奇数局共有$\frac{15+1}{2}=8$局，偶数局共有7局，甲共当裁判8次，刚好对应所有奇数局，因此第15局（奇数局）的裁判是甲。
【答案】
15；甲
【知识点】
逻辑推理；奇偶性应用
【点评】
本题属于逻辑推理类题型，解题的关键是找准“裁判局对应另外两人比赛”的突破口，再结合比赛规则推导裁判任职的规律，能够很好地锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
7. 归纳是发现数学结论、解决数学问题的一种重要策略,请用归纳策略解答下列问题.
(1)将一根绳子折1次,然后按如图①所示方式剪1刀,绳子变为3段;按如图②所示方式剪2刀,绳子变为5段……按上述方式剪n刀,绳子将变为
(2)按如图③所示方式,将一根绳子折2次,剪1刀,绳子变为4段;按如图④所示方式,将一根绳子折3次,剪1刀,绳子变为5段……按上述方式,将一根绳子折m次,剪1刀,绳子将变为
(3)归纳:将一根绳子按(2)中的方式折m次(m≥1),然后剪n刀(n≥1),绳子将变为多少段?写出你的探究过程.
(4)问题解决:若将一根绳子按(2)中的方式折后再剪开(折、剪次数≥1),恰好变为95段,有哪几种方案?请直接写出答案.
(1)将一根绳子折1次,然后按如图①所示方式剪1刀,绳子变为3段;按如图②所示方式剪2刀,绳子变为5段……按上述方式剪n刀,绳子将变为
(2n+1)
段.(2)按如图③所示方式,将一根绳子折2次,剪1刀,绳子变为4段;按如图④所示方式,将一根绳子折3次,剪1刀,绳子变为5段……按上述方式,将一根绳子折m次,剪1刀,绳子将变为
(m+2)
段.(3)归纳:将一根绳子按(2)中的方式折m次(m≥1),然后剪n刀(n≥1),绳子将变为多少段?写出你的探究过程.
(4)问题解决:若将一根绳子按(2)中的方式折后再剪开(折、剪次数≥1),恰好变为95段,有哪几种方案?请直接写出答案.
答案
7. 【解】(1)(2n+1) 【点拨】将一根绳子折1次,剪1刀,绳子变为3段;剪2刀,绳子变为5段……剪n刀,绳子将变为(2n+1)段.
(2)(m+2) 【点拨】将一根绳子折2次,剪1刀,绳子变为4段;将一根绳子折3次,剪1刀,绳子变为5段……将一根绳子折m次,剪1刀,绳子将变为(m+2)段.
(3)由(2)知,将一根绳子折m次,剪1刀,绳子变为(m+2)段,剪2刀,绳子变为[(m+2)+(m+1)(2-1)]段;剪3刀,绳子变为[(m+2)+(m+1)(3-1)]段……剪n刀,绳子变为$(m+2)+(m+1)(n-1)=(m+1)+1+n(m+1)-(m+1)=1+n(m+1)=(mn+n+1)$段.
(4)有折93次、剪1刀,折1次、剪47刀,折46次、剪2刀,共3种方案. 【点拨】设将一根绳子折m次(m≥1),然后剪n刀(n≥1),由(3)知,绳子变为$[1+n(m+1)]$段,所以$1+n(m+1)=95$,即$n(m+1)=94$,因为$94=1×94=2×47$,m,n均为正整数,所以$\begin{cases}m+1=1,\\n=94\end{cases}$或$\begin{cases}m+1=94,\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m+1=2,\\n=47\end{cases}$或$\begin{cases}m+1=47,\\n=2.\end{cases}$ 所以$\begin{cases}m=0,\\n=94\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}m=93,\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=47\end{cases}$或$\begin{cases}m=46,\\n=2.\end{cases}$ 故有折93次、剪1刀,折1次、剪47刀,折46次、剪2刀,共3种方案.
(2)(m+2) 【点拨】将一根绳子折2次,剪1刀,绳子变为4段;将一根绳子折3次,剪1刀,绳子变为5段……将一根绳子折m次,剪1刀,绳子将变为(m+2)段.
(3)由(2)知,将一根绳子折m次,剪1刀,绳子变为(m+2)段,剪2刀,绳子变为[(m+2)+(m+1)(2-1)]段;剪3刀,绳子变为[(m+2)+(m+1)(3-1)]段……剪n刀,绳子变为$(m+2)+(m+1)(n-1)=(m+1)+1+n(m+1)-(m+1)=1+n(m+1)=(mn+n+1)$段.
(4)有折93次、剪1刀,折1次、剪47刀,折46次、剪2刀,共3种方案. 【点拨】设将一根绳子折m次(m≥1),然后剪n刀(n≥1),由(3)知,绳子变为$[1+n(m+1)]$段,所以$1+n(m+1)=95$,即$n(m+1)=94$,因为$94=1×94=2×47$,m,n均为正整数,所以$\begin{cases}m+1=1,\\n=94\end{cases}$或$\begin{cases}m+1=94,\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m+1=2,\\n=47\end{cases}$或$\begin{cases}m+1=47,\\n=2.\end{cases}$ 所以$\begin{cases}m=0,\\n=94\end{cases}$(舍去)或$\begin{cases}m=93,\\n=1\end{cases}$或$\begin{cases}m=1,\\n=47\end{cases}$或$\begin{cases}m=46,\\n=2.\end{cases}$ 故有折93次、剪1刀,折1次、剪47刀,折46次、剪2刀,共3种方案.
解析
【分析】
本题采用从特殊到一般的归纳思想求解：(1)先观察折1次时，剪不同刀数对应的段数，找到刀数和段数的变化规律，推导剪n刀的段数公式；(2)观察剪1刀时，折不同次数对应的段数，找到折的次数和段数的规律，推导折m次剪1刀的段数公式；(3)结合前两问的结论，分析每多剪1刀段数的增量，推导折m次剪n刀的通用段数公式；(4)将段数95代入通用公式，转化为求正整数解的问题，分解因数后分类讨论，舍去不符合条件的解即可得到所有方案。
【解析】
(1) 折1次时，剪1刀得$3=2×1+1$段，剪2刀得$5=2×2+1$段，可发现每多剪1刀，段数增加2，因此剪n刀时，段数为$2n+1$。
(2) 剪1刀时，折2次得$4=2+2$段，折3次得$5=3+2$段，可发现每多折1次，段数增加1，因此折m次剪1刀时，段数为$m+2$。
(3) 由(2)知折m次剪1刀得$(m+2)$段，每多剪1刀，段数增加$(m+1)$段：
剪2刀时，段数为$(m+2)+(m+1)×(2-1)$；
剪3刀时，段数为$(m+2)+(m+1)×(3-1)$；
以此类推，剪n刀时，段数为：
$\begin{split}&(m+2)+(m+1)(n-1)\\=&m+2+mn+n-m-1\\=&mn+n+1\end{split}$
(4) 由题意得$mn+n+1=95$，整理得$n(m+1)=94$。
94的正整数因数分解为$94=1×94=2×47$，结合$m≥1,n≥1$分类讨论：
① 当$n=1$时，$m+1=94$，得$m=93$，符合要求；
② 当$n=94$时，$m+1=1$，得$m=0$，不符合$m≥1$，舍去；
③ 当$n=2$时，$m+1=47$，得$m=46$，符合要求；
④ 当$n=47$时，$m+1=2$，得$m=1$，符合要求。
【答案】
(1) $\boxed{2n+1}$
(2) $\boxed{m+2}$
(3) $\boxed{mn+n+1}$，探究过程见解析
(4) 共3种方案：①折93次，剪1刀；②折1次，剪47刀；③折46次，剪2刀。
【知识点】
规律探究，归纳推理，方程整数解
【点评】
本题以绳子裁剪问题为载体，重点考查归纳推理能力，需要通过观察特殊情形的数量变化总结规律，再将规律推广到一般情形，最后应用规律求解实际问题，能有效锻炼逻辑思维和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6
本题采用从特殊到一般的归纳思想求解：(1)先观察折1次时，剪不同刀数对应的段数，找到刀数和段数的变化规律，推导剪n刀的段数公式；(2)观察剪1刀时，折不同次数对应的段数，找到折的次数和段数的规律，推导折m次剪1刀的段数公式；(3)结合前两问的结论，分析每多剪1刀段数的增量，推导折m次剪n刀的通用段数公式；(4)将段数95代入通用公式，转化为求正整数解的问题，分解因数后分类讨论，舍去不符合条件的解即可得到所有方案。
【解析】
(1) 折1次时，剪1刀得$3=2×1+1$段，剪2刀得$5=2×2+1$段，可发现每多剪1刀，段数增加2，因此剪n刀时，段数为$2n+1$。
(2) 剪1刀时，折2次得$4=2+2$段，折3次得$5=3+2$段，可发现每多折1次，段数增加1，因此折m次剪1刀时，段数为$m+2$。
(3) 由(2)知折m次剪1刀得$(m+2)$段，每多剪1刀，段数增加$(m+1)$段：
剪2刀时，段数为$(m+2)+(m+1)×(2-1)$；
剪3刀时，段数为$(m+2)+(m+1)×(3-1)$；
以此类推，剪n刀时，段数为：
$\begin{split}&(m+2)+(m+1)(n-1)\\=&m+2+mn+n-m-1\\=&mn+n+1\end{split}$
(4) 由题意得$mn+n+1=95$，整理得$n(m+1)=94$。
94的正整数因数分解为$94=1×94=2×47$，结合$m≥1,n≥1$分类讨论：
① 当$n=1$时，$m+1=94$，得$m=93$，符合要求；
② 当$n=94$时，$m+1=1$，得$m=0$，不符合$m≥1$，舍去；
③ 当$n=2$时，$m+1=47$，得$m=46$，符合要求；
④ 当$n=47$时，$m+1=2$，得$m=1$，符合要求。
【答案】
(1) $\boxed{2n+1}$
(2) $\boxed{m+2}$
(3) $\boxed{mn+n+1}$，探究过程见解析
(4) 共3种方案：①折93次，剪1刀；②折1次，剪47刀；③折46次，剪2刀。
【知识点】
规律探究，归纳推理，方程整数解
【点评】
本题以绳子裁剪问题为载体，重点考查归纳推理能力，需要通过观察特殊情形的数量变化总结规律，再将规律推广到一般情形，最后应用规律求解实际问题，能有效锻炼逻辑思维和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6
