1.下列句子中,属于定义的是.
①两点确定一条直线；
②同角或等角的余角相等；
③两直线平行,内错角相等；
④有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；
⑤三角形三条中线的交点是三角形的重心.

1. ④⑤

【分析】
解题首先要明确定义的核心特征：定义是对名称或术语的含义作出明确规定，说明“某一事物是什么”的语句，它和陈述规律、性质的公理、定理类命题有本质区别。解题思路为：先回忆定义的判定标准，再逐一分析5个语句的属性：①②③都是陈述规律/性质的真命题，不属于定义；④是对钝角三角形含义的明确规定，⑤是对三角形重心含义的明确规定，二者都属于定义，即可得出答案。
【解析】
首先明确定义的概念：对名称或术语的含义进行描述、作出明确规定的语句叫做定义。
对每个语句逐一判断：
①“两点确定一条直线”是直线的基本公理，陈述的是确定直线的规律，不属于定义；
②“同角或等角的余角相等”是余角的性质定理，陈述余角的相关规律，不属于定义；
③“两直线平行，内错角相等”是平行线的性质定理，陈述平行线的性质规律，不属于定义；
④“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”明确规定了钝角三角形的判定标准，是钝角三角形的定义；
⑤“三角形三条中线的交点是三角形的重心”明确规定了三角形重心的含义，是三角形重心的定义。
综上，属于定义的是④⑤。
【答案】
④⑤
【知识点】
定义的识别；命题与定义的区分
【点评】
本题侧重考查对定义本质的理解，解题关键是抓住定义“明确规定事物含义”的特征，注意区分定义和陈述性质、规律的普通真命题，避免混淆概念。
【难度系数】
0.7

2. 下列语句是命题的是（）
①三角形的内角和等于$180°$；
②如果两个角的和是$90°$，那么这两个角互余；
③请画出两条互相平行的直线；
④过直线外一点作已知直线的垂线.

A.①②
B.③④
C.②③
D.①④

2. A

【分析】
解题时首先要明确命题的判定标准：命题是能够判断真假的陈述句，操作指令、疑问句等无法判断真假的语句都不属于命题。接下来我们逐一判断4个语句是否符合命题的要求，最后选出全部是命题的选项即可。
【解析】
根据命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题，命题需要同时满足两个特征：①是陈述句；②能够判断真假。
对四个语句逐一分析：
①“三角形的内角和等于$180°$”是可以判断为真的陈述句，属于命题；
②“如果两个角的和是$90°$，那么这两个角互余”是可以判断为真的陈述句，属于命题；
③“请画出两条互相平行的直线”是操作指令，属于祈使句，无法判断真假，不属于命题；
④“过直线外一点作已知直线的垂线”是操作指令，属于祈使句，无法判断真假，不属于命题。
综上，①②是命题，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
命题的定义
【点评】
本题考查对命题概念的掌握，解题的核心是抓住命题的两个核心特征，要注意区分判断性语句和操作类指令，避免误将操作指令判定为命题。
【难度系数】
0.8

3. 有下列三个命题，其中真命题的个数是（）
①若$α,β$是不相等的无理数，则$αβ+α-β$是无理数；
②若$α,β$是不相等的无理数，则$\frac{α - β}{α + β}$是无理数；
③若$α,β$是不相等的无理数，则$\sqrt{α} + \sqrt[3]{β}$是无理数.

A.0
B.1
C.2
D.3

3. A 【点拨】令 $α=1+\sqrt{2},β=-1+\sqrt{2}$,则 $αβ+α-β$ 是有理数,所以①不对;令 $α=2\sqrt{2},β=\sqrt{2}$,则$\frac{α-β}{α+β}$是有理数,所以②不对;令 $α=\sqrt[3]{2},β=-\sqrt{2}$,则$\sqrt{α}+\sqrt[3]{β}=0$ 是有理数,所以③不对.故选 A.

【分析】
要判断这类“满足某条件就一定有某结论”的全称命题的真假，核心思路是：要证明命题为假，只需举出1个反例即可，反例需要满足题设（α、β是不相等的无理数），但不满足结论（对应式子为有理数）。我们逐个对三个命题构造反例验证：①可构造特殊无理数让代数式的无理部分抵消；②可选同类无理数让分式的无理部分约分；③可构造互为相反数的两个根式，相加得有理数。
【解析】
我们通过举反例逐个判断命题真假：
1. 判断命题①：令$α=1+\sqrt{2}$，$β=-1+\sqrt{2}$，二者是不相等的无理数，代入式子计算：
$αβ+α-β=(1+\sqrt{2})(-1+\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})-(-1+\sqrt{2})$
$=(2-1)+(1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2})=1+2=3$，3是有理数，故①为假命题。
2. 判断命题②：令$α=2\sqrt{2}$，$β=\sqrt{2}$，二者是不相等的无理数，代入分式计算：
$\frac{α-β}{α+β}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$是有理数，故②为假命题。
3. 判断命题③：令$α=\sqrt[3]{2}$，$β=-\sqrt{2}$，二者是不相等的无理数，代入式子计算：
$\sqrt{α}+\sqrt[3]{β}=\sqrt{\sqrt[3]{2}}+\sqrt[3]{-\sqrt{2}}=2^{\frac{1}{6}}-2^{\frac{1}{6}}=0$，0是有理数，故③为假命题。
综上三个命题均为假命题，真命题个数为0。
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 假命题的判定
3. 实数的运算
【点评】
本题重点考查全称假命题的判断方法，举反例是这类题最简便的解题思路，构造反例时要注意必须满足题设的全部条件，同时需要熟练掌握实数的运算性质，快速找到能让无理部分抵消、约分的特殊值。
【难度系数】
0.5

4. 把命题“互为相反数的两个数的和为零”写成“如果……，那么……”的形式：.

4. 如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为零

【分析】
要将命题改写成“如果……，那么……”的形式，首先需要拆分命题的两个组成部分：题设（已知条件）和结论（由条件推导得到的结果）。“如果”后面衔接题设内容，“那么”后面衔接结论内容，改写时要注意补充必要的语句成分，保证表述通顺完整。本题中，已知条件是“两个数互为相反数”，推导得到的结果是“这两个数的和为零”，对应填入格式即可。
【解析】
第一步，拆分原命题的题设和结论：
题设：两个数互为相反数；
结论：这两个数的和为零。
第二步，按照“如果+题设，那么+结论”的格式组合语句，得到改写后的命题：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零。
【答案】
如果两个数互为相反数,那么这两个数的和为零
【知识点】
命题的构成，命题改写
【点评】
本题属于基础题型，核心考查命题的改写方法，解题关键是准确区分命题的条件和结论，改写时注意不要省略必要的主语，保证语句逻辑通顺、表述完整，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.9

5. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是 （）

A.$∠α=60°,∠α$的补角$∠β=120°,∠β＞∠α$
B.$∠α=90°,∠α$的补角$∠β=90°,∠β=∠α$
C.$∠α=100°,∠α$的补角$∠β=80°,∠β＜∠α$
D.以上都不正确

5. C

【分析】
要判断哪个是该假命题的反例，首先明确两个核心要点：①补角的定义：两个角的和为180°时，这两个角互为补角；②反例的要求：符合命题的条件（是某个角的补角），但不符合命题的结论（补角不小于原角，即补角≥原角）。也就是说我们需要找到一个角，它的补角比它本身小，就能作为反例反驳原命题。
【解析】
首先明确原命题的结论为：任意一个角的补角≥这个角，反例需满足“某个角的补角＜这个角”。
根据补角定义：如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，即一个角的补角=180°-这个角。
逐一分析选项：
A选项：∠β=120°＞60°=∠α，满足补角≥原角，符合原命题结论，不是反例；
B选项：∠β=90°=∠α，满足补角≥原角，符合原命题结论，不是反例；
C选项：∠β=80°＜100°=∠α，不满足补角≥原角，不符合原命题结论，是正确反例。
因此选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，反例的判定，真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是明确反例需满足“符合命题条件，不满足命题结论”的要求，同时要熟练掌握补角的计算方法。
【难度系数】
0.8

6. 能说明“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题的反例是 （）

6. C

【分析】
要判断“三角形的高线一定在三角形的内部（含边界）”是假命题，需要找到反例，即存在三角形的高线不在内部（含边界）、而是在三角形外部的情况。首先回忆三角形高的定义，再梳理不同类型三角形高的位置特征：锐角三角形的三条高都在内部，直角三角形的两条高为直角边（属于边界），钝角三角形有两条高在三角形外部，据此逐一分析选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。对各选项逐一分析：
选项A：是锐角三角形的高，高完全在三角形内部，不能作为反例；
选项B：是直角三角形的高，高为直角边，属于三角形的边界，不能作为反例；
选项C：是钝角三角形的高，垂足落在对应边的延长线上，这条高在三角形的外部，说明存在三角形的高线不在内部（含边界），可作为该假命题的反例；
选项D：高在三角形内部，不能作为反例。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形的高
2. 假命题与反例
【点评】
本题主要考查不同类型三角形高的位置特点，以及反例的定义，只要熟练掌握钝角三角形有两条高在三角形外部这一特征，即可快速解题。
【难度系数】
0.7

7. 指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
(2)内错角相等；
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
(4)如果$m^2＞n^2$，那么$m＞n$.

7. 【解】(1)题设:两个角的和等于平角,结论:这两个角互为补角.是真命题.
(2)题设:两个角是内错角,结论:这两个角相等.是假命题.
反例:如图,$∠1$ 与$∠2$ 是内错角,但$∠2＞∠1$.

(3)题设:两条平行线被第三条直线所截,结论:同旁内角互补.是真命题.
(4)题设:$m^2＞n^2$,结论:$m＞n$.是假命题.
反例:$m=-2,n=1$,满足 $m^2＞n^2$,但不满足 $m＞n$.

【分析】
解题首先要明确命题的构成：命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成，通常可将命题改写为“如果……那么……”的形式，“如果”后面的内容是题设，“那么”后面的内容是结论。判断命题真假时，符合定义、定理、性质的命题是真命题；只要能举出一个反例满足题设但不满足结论，就能判定该命题为假命题。接下来逐个分析四个命题：
1. 第(1)题根据补角的定义判断即可；
2. 第(2)题要注意内错角相等的前提是两直线平行，没有这个前提结论不成立，结合所给图举反例即可；
3. 第(3)题是平行线的性质定理，可直接判断为真；
4. 第(4)题考虑负数的平方为正数，举负数的反例即可证明是假命题。
【解析】
(1) 将命题改写为“如果两个角的和等于平角，那么这两个角互为补角”，因此题设为两个角的和等于平角，结论为这两个角互为补角，符合补角的定义，是真命题。
(2) 将命题改写为“如果两个角是内错角，那么这两个角相等”，因此题设为两个角是内错角，结论为这两个角相等。只有两直线平行时内错角才相等，无该前提时结论不成立，是假命题，可结合题图举反例。
(3) 将命题改写为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同旁内角互补”，因此题设为两条平行线被第三条直线所截，结论为同旁内角互补，符合平行线的性质，是真命题。
(4) 命题中“如果”后对应的内容为$m^2＞n^2$，是题设，“那么”后对应的内容为$m＞n$，是结论。负数的平方为正数，平方大的负数本身更小，因此是假命题，可举负数值作为反例。
【答案】
(1)题设:两个角的和等于平角,结论:这两个角互为补角.是真命题.
(2)题设:两个角是内错角,结论:这两个角相等.是假命题.
反例:如图,$∠1$ 与$∠2$ 是内错角,但$∠2＞∠1$.

(3)题设:两条平行线被第三条直线所截,结论:同旁内角互补.是真命题.
(4)题设:$m^2＞n^2$,结论:$m＞n$.是假命题.
反例:$m=-2,n=1$,满足 $m^2＞n^2$,但不满足 $m＞n$.
【知识点】
命题的构成，真假命题判定，平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考查对命题结构的拆分能力和真假命题的判断能力，需要学生熟练掌握相关几何定义、性质，明确假命题只需举出1个反例即可证明，有助于夯实命题相关的基础认知。
【难度系数】
0.8

8. 探究:如图①②,$∠ ABC$与$∠ EDF$,$BC$与$DE$交于点$H$,这两个角的两边分别平行,即$AB// DE$,$BC// DF$.
(1)分别猜想图①,图②中$∠ ABC$与$∠ EDF$的大小关系,并说明理由;
(2)一般地,本题“探究”的命题是真命题,请把这个命题写成“如果……,那么……”的形式.

8. 【解】(1)关系是:题图①:$∠B=∠D$,题图②:$∠B+∠D=180°$.理由如下:
如题图①,因为 $AB// DE$,所以 $∠B=∠EHC$.
因为 $BC// DF$,所以 $∠D=∠EHC$. 所以 $∠B=∠D$.
如题图②,因为 $AB// DE$,所以 $∠B=∠DHC$.
因为 $BC// DF$,所以 $∠D+∠DHC=180°$.
所以 $∠B+∠D=180°$.
(2)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,那么这两个角相等或互补.

【分析】
(1) 探究两边分别平行的两个角的数量关系时，可借助平行线的性质推导：先根据AB//DE，找到和∠ABC相等的同位角，再根据BC//DF，推导该同位角和∠EDF的数量关系，通过等量代换即可得到两个角的关系，注意两个图形中角的位置不同，对应数量关系也不同，需分类讨论。
(2) 改写“如果……那么……”形式的命题时，“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论，本题条件为“一个角的两边分别平行于另一个角的两边”，结论为“这两个角相等或互补”，整理即可。
【解析】
(1) 图①中∠ABC=∠EDF，图②中∠ABC+∠EDF=180°，理由如下：
图①的推导：
已知AB//DE，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ABC=∠EHC；
已知BC//DF，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠EDF=∠EHC；
通过等量代换，可得∠ABC=∠EDF。
图②的推导：
已知AB//DE，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠ABC=∠DHC；
已知BC//DF，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠EDF+∠DHC=180°；
通过等量代换，可得∠ABC+∠EDF=180°。
(2) 将命题改写为：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
【答案】
(1) 图①：$\boldsymbol{∠ABC=∠EDF}$；图②：$\boldsymbol{∠ABC+∠EDF=180°}$，理由见解析；
(2) 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
【知识点】
平行线的性质，命题改写，等量代换
【点评】
本题结合探究场景考查平行线性质的应用与命题的规范改写，解题时需结合图形位置特征分类讨论角的关系，避免遗漏互补的情况，能够锻炼逻辑推理与分类归纳的能力。
【难度系数】
0.8