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1. 下列关于公理和定理的说法正确的是 （
A.公理是真命题，但定理不是
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理和定理都应经过证明后才能使用
C
）A.公理是真命题，但定理不是
B.公理就是定理，定理也是公理
C.公理和定理都可以作为推理论证的依据
D.公理和定理都应经过证明后才能使用
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先要明确公理和定理的定义、性质以及二者的区别与联系，再逐一判断选项正误。首先回忆核心概念：1.公理是人们长期实践总结出来的公认真命题，无需证明，可直接作为推理论证的依据；2.定理是通过逻辑推理，从公理或其他已被证明的真命题推导出来的真命题，被证明为真后也可作为推理论证的依据，带着这两个核心概念判断选项即可。
【解析】
我们结合公理和定理的概念逐一分析选项：
A. 公理和定理都是经过确认的真命题，因此“定理不是真命题”的表述错误，故A不符合题意；
B. 公理无需证明即可使用，定理需要经过证明后才能使用，二者的定义和性质存在差异，不是同一概念，故B不符合题意；
C. 公理是公认的真命题，定理是经过证明的真命题，二者都可以作为推理论证的依据，表述正确，故C符合题意；
D. 公理不需要经过证明就可以直接使用，只有定理需要经过证明后使用，因此该表述错误，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
公理的概念，定理的概念，推理论证的依据
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查公理与定理的异同点，易错点是容易混淆二者是否需要证明的要求，只要准确掌握相关基础定义就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确公理和定理的定义、性质以及二者的区别与联系，再逐一判断选项正误。首先回忆核心概念：1.公理是人们长期实践总结出来的公认真命题，无需证明，可直接作为推理论证的依据；2.定理是通过逻辑推理，从公理或其他已被证明的真命题推导出来的真命题，被证明为真后也可作为推理论证的依据，带着这两个核心概念判断选项即可。
【解析】
我们结合公理和定理的概念逐一分析选项：
A. 公理和定理都是经过确认的真命题，因此“定理不是真命题”的表述错误，故A不符合题意；
B. 公理无需证明即可使用，定理需要经过证明后才能使用，二者的定义和性质存在差异，不是同一概念，故B不符合题意；
C. 公理是公认的真命题，定理是经过证明的真命题，二者都可以作为推理论证的依据，表述正确，故C符合题意；
D. 公理不需要经过证明就可以直接使用，只有定理需要经过证明后使用，因此该表述错误，故D不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
公理的概念，定理的概念，推理论证的依据
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查公理与定理的异同点，易错点是容易混淆二者是否需要证明的要求，只要准确掌握相关基础定义就能轻松作答。
【难度系数】
0.8
2.“过平面上两点，有且只有一条直线”属于 （
A.定义
B.定理
C.公理
D.以上都不对
C
）A.定义
B.定理
C.公理
D.以上都不对
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先要明确定义、公理、定理三个概念的不同含义，再将题干中的命题与三类概念逐一比对判断。第一步：先回忆三者的核心特征，定义是对概念含义的说明，公理是不需要证明的公认基本事实，定理是经过推理证明得到的真命题；第二步：分析题干命题的属性，“过平面上两点，有且只有一条直线”是经过长期实践验证、无需证明的基本事实，对应匹配选项即可得出答案。
【解析】
我们先逐一辨析各选项的概念：
A. 定义是对一个概念的本质特征或术语含义的明确说明，本题语句不是解释某个概念的含义，因此不属于定义，A错误；
B. 定理是经过逻辑推理证明为真的命题，需要以公理或其他已证定理为依据推导得到，本题语句是不需要证明的基本事实，因此不属于定理，B错误；
C. 公理是经过人类长期反复实践检验、不需要额外证明的基本事实，“过平面上两点，有且只有一条直线”是公认的几何基本事实，属于公理，C正确；
D. 因为C选项正确，所以D错误。
【答案】
C
【知识点】
公理的概念，定理的概念，定义的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查定义、公理、定理三者的区别，只要准确掌握三类概念的核心特征就能快速解题，平时学习时要注意区分易混的基础概念。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确定义、公理、定理三个概念的不同含义，再将题干中的命题与三类概念逐一比对判断。第一步：先回忆三者的核心特征，定义是对概念含义的说明，公理是不需要证明的公认基本事实，定理是经过推理证明得到的真命题；第二步：分析题干命题的属性，“过平面上两点，有且只有一条直线”是经过长期实践验证、无需证明的基本事实，对应匹配选项即可得出答案。
【解析】
我们先逐一辨析各选项的概念：
A. 定义是对一个概念的本质特征或术语含义的明确说明，本题语句不是解释某个概念的含义，因此不属于定义，A错误；
B. 定理是经过逻辑推理证明为真的命题，需要以公理或其他已证定理为依据推导得到，本题语句是不需要证明的基本事实，因此不属于定理，B错误；
C. 公理是经过人类长期反复实践检验、不需要额外证明的基本事实，“过平面上两点，有且只有一条直线”是公认的几何基本事实，属于公理，C正确；
D. 因为C选项正确，所以D错误。
【答案】
C
【知识点】
公理的概念，定理的概念，定义的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查定义、公理、定理三者的区别，只要准确掌握三类概念的核心特征就能快速解题，平时学习时要注意区分易混的基础概念。
【难度系数】
0.8
3. 试证明“若$∠ A+∠ B=180°,∠ C+∠ D=180°$，$∠ A=∠ C$，则$∠ B=∠ D$”是真命题.以下是打乱顺序的推理过程:①因为$∠ A=∠ C$(已知);②因为$∠ A+∠ B=180°,∠ C+∠ D=180°$(已知);③所以$∠ B=180°-∠ A,∠ D=180°-∠ C$(等式的性质);④所以$∠ B=∠ D$(等量代换);⑤所以$∠ B=180°-∠ C$(等量代换).则正确的顺序是 (
A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
C
)A.①→③→②→⑤→④
B.②→③→⑤→①→④
C.②→③→①→⑤→④
D.②→⑤→①→③→④
答案
3.C
解析
【分析】
要解这道证明步骤排序题，需遵循证明的基本逻辑：先列出已知条件，再结合相关性质逐步推导，最终得出结论。首先证明的第一步应先给出题干中已知的角互补的条件，再根据等式的性质表示出∠B和∠D；接下来引入已知的∠A=∠C的条件，通过等量代换把∠B表达式中的∠A替换为∠C，最后再通过一次等量代换得到∠B=∠D的结论，按照这个逻辑梳理步骤顺序即可。
【解析】
我们按照证明的逻辑顺次梳理步骤：
1. 首先引用已知的两个互补关系：②因为$∠ A+∠ B=180°,∠ C+∠ D=180°$(已知)；
2. 根据等式的性质，将$∠B$、$∠D$分别用含$∠A$、$∠C$的式子表示：③所以$∠ B=180°-∠ A,∠ D=180°-∠ C$(等式的性质)；
3. 接下来引用另一个已知条件：①因为$∠ A=∠ C$(已知)；
4. 将$∠ B=180°-∠ A$中的$∠A$替换为$∠C$，得到：⑤所以$∠ B=180°-∠ C$(等量代换)；
5. 最后结合$∠ D=180°-∠ C$，通过等量代换得到结论：④所以$∠ B=∠ D$(等量代换)。
因此正确的顺序为②→③→①→⑤→④，对应选项C。
【答案】C
【知识点】
等式的性质，等量代换，证明的步骤
【点评】
本题考查证明过程的逻辑排序，解题关键是明确证明的先后逻辑，每一步推导都要有对应的依据，避免出现逻辑颠倒的问题，是对逻辑推理能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
要解这道证明步骤排序题，需遵循证明的基本逻辑：先列出已知条件，再结合相关性质逐步推导，最终得出结论。首先证明的第一步应先给出题干中已知的角互补的条件，再根据等式的性质表示出∠B和∠D；接下来引入已知的∠A=∠C的条件，通过等量代换把∠B表达式中的∠A替换为∠C，最后再通过一次等量代换得到∠B=∠D的结论，按照这个逻辑梳理步骤顺序即可。
【解析】
我们按照证明的逻辑顺次梳理步骤：
1. 首先引用已知的两个互补关系：②因为$∠ A+∠ B=180°,∠ C+∠ D=180°$(已知)；
2. 根据等式的性质，将$∠B$、$∠D$分别用含$∠A$、$∠C$的式子表示：③所以$∠ B=180°-∠ A,∠ D=180°-∠ C$(等式的性质)；
3. 接下来引用另一个已知条件：①因为$∠ A=∠ C$(已知)；
4. 将$∠ B=180°-∠ A$中的$∠A$替换为$∠C$，得到：⑤所以$∠ B=180°-∠ C$(等量代换)；
5. 最后结合$∠ D=180°-∠ C$，通过等量代换得到结论：④所以$∠ B=∠ D$(等量代换)。
因此正确的顺序为②→③→①→⑤→④，对应选项C。
【答案】C
【知识点】
等式的性质，等量代换，证明的步骤
【点评】
本题考查证明过程的逻辑排序，解题关键是明确证明的先后逻辑，每一步推导都要有对应的依据，避免出现逻辑颠倒的问题，是对逻辑推理能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
4. 如图，点D是△ABC外一点，连接BD，AD，AD与BC交于点O。给出下列三个等式：①BC=AD，②∠ABC=∠BAD，③AC=BD。请从这三个等式中，任选两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，将你选择的等式的序号填在下面对应的横线上，然后对该真命题进行证明。
已知：
求证：
已知：
①
，②
。求证：
③
。答案
4.【解】(答案不唯一)①;②;③
证明如下：
在$△ ABC$ 和$△ BAD$ 中,$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ ABC=∠ BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ BAD(\mathrm{SAS})$,所以$AC=BD$.
证明如下：
在$△ ABC$ 和$△ BAD$ 中,$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ ABC=∠ BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ BAD(\mathrm{SAS})$,所以$AC=BD$.
解析
【分析】
这是一道开放性几何证明题，解题核心是利用全等三角形的性质推导对应边、角相等。首先观察图形可得△ABC和△BAD有公共边AB=BA，这是隐含的相等条件。若选择①②作为已知条件，此时△ABC和△BAD中已有一组边相等、一组夹角相等，结合公共边相等，刚好满足SAS全等判定的要求，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可推出结论③，构成真命题。
【解析】
已知：①$BC=AD$，②$∠ ABC=∠ BAD$，求证：③$AC=BD$。
证明：
在$△ ABC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}BC=AD, \\∠ ABC=∠ BAD, \\AB=BA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BAD(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$AC=BD$。
【答案】
已知：①，②，求证：③。
证明：在$△ ABC$ 和$△ BAD$ 中,$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ ABC=∠ BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ BAD(\mathrm{SAS})$,所以$AC=BD$。
(注：答案不唯一)
【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题为开放性证明题，考查全等三角形判定及性质的应用，解题时要注意挖掘公共边相等的隐含条件，合理选择条件组合即可完成证明，能很好地检验对全等相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性几何证明题，解题核心是利用全等三角形的性质推导对应边、角相等。首先观察图形可得△ABC和△BAD有公共边AB=BA，这是隐含的相等条件。若选择①②作为已知条件，此时△ABC和△BAD中已有一组边相等、一组夹角相等，结合公共边相等，刚好满足SAS全等判定的要求，证明两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可推出结论③，构成真命题。
【解析】
已知：①$BC=AD$，②$∠ ABC=∠ BAD$，求证：③$AC=BD$。
证明：
在$△ ABC$和$△ BAD$中，
$\begin{cases}BC=AD, \\∠ ABC=∠ BAD, \\AB=BA,\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BAD(\mathrm{SAS})$，
根据全等三角形对应边相等，可得$AC=BD$。
【答案】
已知：①，②，求证：③。
证明：在$△ ABC$ 和$△ BAD$ 中,$\begin{cases} BC=AD, \\ ∠ ABC=∠ BAD, \\ AB=BA, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ BAD(\mathrm{SAS})$,所以$AC=BD$。
(注：答案不唯一)
【知识点】
全等三角形SAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题为开放性证明题，考查全等三角形判定及性质的应用，解题时要注意挖掘公共边相等的隐含条件，合理选择条件组合即可完成证明，能很好地检验对全等相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
5.有下列描述:①过点A作直线$AF// BC$;②两直线平行,同旁内角互补;③垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中是定理的有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
5.B
解析
【分析】
解题首先要明确定理的定义：经过推理证实的真命题叫做定理。判断一个语句是不是定理需要满足两个条件：一是它是可判断真假的命题，二是它是经过证明的真命题。接下来我们逐个分析三个描述：首先看①，这是作图操作指令，不属于命题，直接排除；再看②，这是平行线的性质，是已经被证明的真命题，符合定理的要求；最后看③，这个结论本身是错误的，属于假命题，不符合定理要求。最后统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确定义：经过推理证实得到的真命题叫做定理，我们逐个分析三个描述：
1. ①“过点A作直线$AF// BC$”是作图操作类的祈使句，没有对事物做出真假判断，不属于命题，因此不可能是定理；
2. ②“两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性质定理，是经过严格推理证明的真命题，属于定理；
3. ③“垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”是假命题，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此不属于定理。
综上，只有1个是定理，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
定理的定义；平行线的性质；命题的概念
【点评】
本题核心考查对定理概念的理解，解题时要注意先判断语句是否为命题，再验证命题的真假，同时要熟练掌握平行线相关的基础结论，避免将错误结论误认为定理，也不要把作图类指令语句当成命题。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确定理的定义：经过推理证实的真命题叫做定理。判断一个语句是不是定理需要满足两个条件：一是它是可判断真假的命题，二是它是经过证明的真命题。接下来我们逐个分析三个描述：首先看①，这是作图操作指令，不属于命题，直接排除；再看②，这是平行线的性质，是已经被证明的真命题，符合定理的要求；最后看③，这个结论本身是错误的，属于假命题，不符合定理要求。最后统计符合要求的数量即可得到答案。
【解析】
首先明确定义：经过推理证实得到的真命题叫做定理，我们逐个分析三个描述：
1. ①“过点A作直线$AF// BC$”是作图操作类的祈使句，没有对事物做出真假判断，不属于命题，因此不可能是定理；
2. ②“两直线平行，同旁内角互补”是平行线的性质定理，是经过严格推理证明的真命题，属于定理；
3. ③“垂直于同一条直线的两条直线互相垂直”是假命题，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此不属于定理。
综上，只有1个是定理，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
定理的定义；平行线的性质；命题的概念
【点评】
本题核心考查对定理概念的理解，解题时要注意先判断语句是否为命题，再验证命题的真假，同时要熟练掌握平行线相关的基础结论，避免将错误结论误认为定理，也不要把作图类指令语句当成命题。
【难度系数】
0.7
6. 求证:三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.(解题要求:补全 已知 、求证 ,写出 证明 )
已知:如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,
求证:
已知:如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,
分别过点 B,C 作 AD 的垂线,交 AD 的延长线和 AD 于点 P,E
.求证:
BP=CE
.答案
6.【解】分别过点 B,C 作 AD 的垂线,交 AD 的延长线和 AD 于点 P,E;BP=CE
证明:由题意可得$∠ CED=∠ BPD=90°$,
因为 AD 是 BC 边上的中线,所以$BD=CD$.
在$△ BDP$和$△ CDE$中,
$\begin{cases} ∠ BPD=∠ CED, \\ ∠ BDP=∠ CDE, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以$△ BDP≌△ CDE(\mathrm{AAS})$,所以$BP=CE$.
证明:由题意可得$∠ CED=∠ BPD=90°$,
因为 AD 是 BC 边上的中线,所以$BD=CD$.
在$△ BDP$和$△ CDE$中,
$\begin{cases} ∠ BPD=∠ CED, \\ ∠ BDP=∠ CDE, \\ BD=CD, \end{cases}$
所以$△ BDP≌△ CDE(\mathrm{AAS})$,所以$BP=CE$.
解析
【分析】
解决本题首先要将文字命题转化为几何语言，补全已知和求证：题目中“端点到中线所在直线的距离”即端点向中线作垂线得到的垂线段长度，因此已知需要补充两条垂线的条件，求证为两条垂线段长度相等。接下来要证两条线段相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：由AD是中线可得BD=CD，由垂直可得两个直角相等，再结合对顶角相等，即可用AAS判定三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
补全已知：分别过点B、C作AD的垂线，交AD的延长线于点P，交AD于点E；
补全求证：$BP=CE$。
证明：由题意得$∠CED=∠BPD=90°$，
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ BDP$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠BPD=∠CED \\∠BDP=∠CDE \\BD=CD\end{cases}$
∴$△ BDP≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，
∴$BP=CE$。
【答案】
已知补：分别过点B、C作AD的垂线，交AD的延长线和AD于点P、E；
求证补：$BP=CE$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义、点到直线的距离
【点评】
本题是典型的文字命题证明题，解题核心是掌握将文字语言转化为几何符号语言的方法，再结合全等三角形的相关知识完成证明，能帮助大家熟悉几何证明的基本步骤。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要将文字命题转化为几何语言，补全已知和求证：题目中“端点到中线所在直线的距离”即端点向中线作垂线得到的垂线段长度，因此已知需要补充两条垂线的条件，求证为两条垂线段长度相等。接下来要证两条线段相等，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现：由AD是中线可得BD=CD，由垂直可得两个直角相等，再结合对顶角相等，即可用AAS判定三角形全等，进而得到对应边相等的结论。
【解析】
补全已知：分别过点B、C作AD的垂线，交AD的延长线于点P，交AD于点E；
补全求证：$BP=CE$。
证明：由题意得$∠CED=∠BPD=90°$，
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=CD$。
在$△ BDP$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}∠BPD=∠CED \\∠BDP=∠CDE \\BD=CD\end{cases}$
∴$△ BDP≌△ CDE(\mathrm{AAS})$，
∴$BP=CE$。
【答案】
已知补：分别过点B、C作AD的垂线，交AD的延长线和AD于点P、E；
求证补：$BP=CE$，证明过程如上。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义、点到直线的距离
【点评】
本题是典型的文字命题证明题，解题核心是掌握将文字语言转化为几何符号语言的方法，再结合全等三角形的相关知识完成证明，能帮助大家熟悉几何证明的基本步骤。
【难度系数】
0.7
7. 新考法归纳法用$\overline{ab}$表示一个两位数，$a$代表十位上的数，$b$代表个位上的数，即$\overline{ab}=10a+b$. 请观察下列运算规律：
$15×15=100×1×2+5×5=225$,
$25×25=100×2×3+5×5=625$,
$35×35=100×3×4+5×5=1\ 225,···$.
(1)根据阅读材料，可知$\overline{a5}=$
(2)猜想：$\overline{a5}×\overline{a5}=\_\_\_\_\_\_+5×5$;
(3)结合以上内容，请你证明(2)中的猜想；
(4)如果$b+c=10$，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算$\overline{ab}×\overline{ac}$的方法，并证明你的结论.
$15×15=100×1×2+5×5=225$,
$25×25=100×2×3+5×5=625$,
$35×35=100×3×4+5×5=1\ 225,···$.
(1)根据阅读材料，可知$\overline{a5}=$
$10a+5$
;(2)猜想：$\overline{a5}×\overline{a5}=\_\_\_\_\_\_+5×5$;
(3)结合以上内容，请你证明(2)中的猜想；
(4)如果$b+c=10$，类比上述探究过程，请你用一个式子表示速算$\overline{ab}×\overline{ac}$的方法，并证明你的结论.
答案
7.【解】(1)$10a+5$
(2)$100a(a+1)$
(3)因为$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)^2=100a^2+100a+25$,
$100a(a+1)+5×5=100a^2+100a+25$,
所以$\overline{a5}×\overline{a5}=100a(a+1)+5×5$.
(4)$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$.
证明:因为$b+c=10$,
所以$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc$.
因为$100a(a+1)+bc=100a^2+100a+bc$,
所以$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$.
(2)$100a(a+1)$
(3)因为$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)^2=100a^2+100a+25$,
$100a(a+1)+5×5=100a^2+100a+25$,
所以$\overline{a5}×\overline{a5}=100a(a+1)+5×5$.
(4)$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$.
证明:因为$b+c=10$,
所以$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10a(b+c)+bc=100a^2+100a+bc$.
因为$100a(a+1)+bc=100a^2+100a+bc$,
所以$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据题目给出的两位数表示规则$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{a5}$的十位是$a$，个位是5，直接代入规则即可写出表达式。
2. 第(2)问：观察给出的3个运算特例，15×15对应$100×1×2$、25×25对应$100×2×3$、35×35对应$100×3×4$，可发现规律为100乘十位数字$a$再乘$(a+1)$，即可得到空缺内容。
3. 第(3)问：要证明猜想成立，只需分别将左右两边的代数式展开化简，验证化简结果完全相等即可，左边先把$\overline{a5}$转化为$10a+5$计算平方，右边展开$100a(a+1)+25$，对比两边结果。
4. 第(4)问：类比前面的探究思路，先把$\overline{ab}$和$\overline{ac}$转化为$10a+b$和$10a+c$，用整式乘法计算乘积，再代入已知条件$b+c=10$化简，整理得到速算规律后验证左右两边相等即可。
【解析】
(1) 根据两位数的表示方法，十位数字为$a$，个位数字为5，因此$\overline{a5}=10a+5$。
(2) 观察已知运算规律：
$15×15=100×1×2+5×5$（$a=1$时对应$100×1×(1+1)$），
$25×25=100×2×3+5×5$（$a=2$时对应$100×2×(2+1)$），
依此类推可得$\overline{a5}×\overline{a5}=100a(a+1)+5×5$。
(3) 证明：
左边：$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)^2=100a^2+100a+25$，
右边：$100a(a+1)+5×5=100a^2+100a+25$，
左边=右边，因此猜想成立。
(4) 速算方法：$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明如下：
已知$b+c=10$，
左边：$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10a(b+c)+bc$，
代入$b+c=10$得：$100a^2+10a×10+bc=100a^2+100a+bc$，
右边：$100a(a+1)+bc=100a^2+100a+bc$，
左边=右边，因此结论成立。
【答案】
(1)$10a+5$
(2)$100a(a+1)$
(3)证明见上述解析
(4)$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明见上述解析
【知识点】
代数式表示数；整式乘法运算；规律探究
【点评】
本题以新定义两位数为背景，结合特例引导学生探究速算规律，既考查了对新定义的理解能力，也考查了归纳推理能力和整式运算的掌握程度，引导学生掌握从特殊到一般的探究方法。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问：根据题目给出的两位数表示规则$\overline{ab}=10a+b$，$\overline{a5}$的十位是$a$，个位是5，直接代入规则即可写出表达式。
2. 第(2)问：观察给出的3个运算特例，15×15对应$100×1×2$、25×25对应$100×2×3$、35×35对应$100×3×4$，可发现规律为100乘十位数字$a$再乘$(a+1)$，即可得到空缺内容。
3. 第(3)问：要证明猜想成立，只需分别将左右两边的代数式展开化简，验证化简结果完全相等即可，左边先把$\overline{a5}$转化为$10a+5$计算平方，右边展开$100a(a+1)+25$，对比两边结果。
4. 第(4)问：类比前面的探究思路，先把$\overline{ab}$和$\overline{ac}$转化为$10a+b$和$10a+c$，用整式乘法计算乘积，再代入已知条件$b+c=10$化简，整理得到速算规律后验证左右两边相等即可。
【解析】
(1) 根据两位数的表示方法，十位数字为$a$，个位数字为5，因此$\overline{a5}=10a+5$。
(2) 观察已知运算规律：
$15×15=100×1×2+5×5$（$a=1$时对应$100×1×(1+1)$），
$25×25=100×2×3+5×5$（$a=2$时对应$100×2×(2+1)$），
依此类推可得$\overline{a5}×\overline{a5}=100a(a+1)+5×5$。
(3) 证明：
左边：$\overline{a5}×\overline{a5}=(10a+5)^2=100a^2+100a+25$，
右边：$100a(a+1)+5×5=100a^2+100a+25$，
左边=右边，因此猜想成立。
(4) 速算方法：$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明如下：
已知$b+c=10$，
左边：$\overline{ab}×\overline{ac}=(10a+b)(10a+c)=100a^2+10a(b+c)+bc$，
代入$b+c=10$得：$100a^2+10a×10+bc=100a^2+100a+bc$，
右边：$100a(a+1)+bc=100a^2+100a+bc$，
左边=右边，因此结论成立。
【答案】
(1)$10a+5$
(2)$100a(a+1)$
(3)证明见上述解析
(4)$\overline{ab}×\overline{ac}=100a(a+1)+bc$，证明见上述解析
【知识点】
代数式表示数；整式乘法运算；规律探究
【点评】
本题以新定义两位数为背景，结合特例引导学生探究速算规律，既考查了对新定义的理解能力，也考查了归纳推理能力和整式运算的掌握程度，引导学生掌握从特殊到一般的探究方法。
【难度系数】
0.7
