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10.已知等腰三角形ABC，建立适当的平面直角坐标系后，其三个顶点的坐标分别为A(m,0)，B(m+4,2)，C(m+4,-3)，其中m＞0，则下列关于该三角形的三边关系正确的是（
A.$AC=BC≠AB$
B.$AB=AC≠BC$
C.$AB=BC≠AC$
D.$AB=AC=BC$
A
）A.$AC=BC≠AB$
B.$AB=AC≠BC$
C.$AB=BC≠AC$
D.$AB=AC=BC$
答案
10. A 【点拨】建立平面直角坐标系如图所示
，设 BC 交 x 轴于点 D，则 AD=4，BD=2，CD=3，所以 BC=5，AB=$\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，所以 AC = BC≠AB。解析
【分析】
解题时首先观察三个顶点的坐标特征，发现点B和点C的横坐标相同，因此线段BC是垂直于x轴的竖直线段，BC与x轴的交点D的坐标为$(m+4, 0)$。接下来分别计算三边的长度：①BC的长度可直接用B、C纵坐标差的绝对值求得；②AB和AC分别在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，可利用勾股定理计算，AD的长度为A、D横坐标差的绝对值，BD、CD分别为B、C纵坐标的绝对值，最后比较三边长度即可得出结论。
【解析】
解：由点$B(m+4,2)$、$C(m+4,-3)$的横坐标相同，可知$BC⊥x$轴，设BC与x轴交于点D，则D点坐标为$(m+4, 0)$。
1. 计算各线段长度：
AD的长度：$(m+4)-m=4$；
BD的长度：$|2-0|=2$；
CD的长度：$|-3-0|=3$；
BC的长度：$|2 - (-3)|=5$。
2. 用勾股定理计算AB、AC：
在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
3. 比较三边大小：$AC=BC=5$，$AB=2\sqrt{5}$，因此$AC=BC≠AB$。
【答案】
A 【点拨】建立平面直角坐标系如图所示
【知识点】
坐标求线段长；勾股定理；等腰三角形判定
【点评】
本题解题的突破口是观察到B、C两点横坐标相同，快速判断BC为竖直线段，再结合勾股定理计算三边长度即可得到边的关系，侧重考查对平面直角坐标系坐标特征的理解和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察三个顶点的坐标特征，发现点B和点C的横坐标相同，因此线段BC是垂直于x轴的竖直线段，BC与x轴的交点D的坐标为$(m+4, 0)$。接下来分别计算三边的长度：①BC的长度可直接用B、C纵坐标差的绝对值求得；②AB和AC分别在直角三角形ABD和直角三角形ACD中，可利用勾股定理计算，AD的长度为A、D横坐标差的绝对值，BD、CD分别为B、C纵坐标的绝对值，最后比较三边长度即可得出结论。
【解析】
解：由点$B(m+4,2)$、$C(m+4,-3)$的横坐标相同，可知$BC⊥x$轴，设BC与x轴交于点D，则D点坐标为$(m+4, 0)$。
1. 计算各线段长度：
AD的长度：$(m+4)-m=4$；
BD的长度：$|2-0|=2$；
CD的长度：$|-3-0|=3$；
BC的长度：$|2 - (-3)|=5$。
2. 用勾股定理计算AB、AC：
在$Rt△ ABD$中，$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$；
在$Rt△ ACD$中，$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$。
3. 比较三边大小：$AC=BC=5$，$AB=2\sqrt{5}$，因此$AC=BC≠AB$。
【答案】
A 【点拨】建立平面直角坐标系如图所示
【知识点】
坐标求线段长；勾股定理；等腰三角形判定
【点评】
本题解题的突破口是观察到B、C两点横坐标相同，快速判断BC为竖直线段，再结合勾股定理计算三边长度即可得到边的关系，侧重考查对平面直角坐标系坐标特征的理解和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
11.如图，直线$l_1 ⊥ l_2$，在某平面直角坐标系中，x轴$// l_1$，y轴$// l_2$，点A的坐标为$(-2,-1)$，点B的坐标为$(1,2)$，那么点C在第
二
象限。答案
11. 二 【点拨】因为点 A 的坐标为(-2，-1)，点 B 的坐标为(1，2)，所以点 A 位于第三象限，点 B 位于第一象限，根据题意可建立如图所示的平面直角坐标系
，所以点 C 位于第二象限。解析
【分析】
首先回忆平面直角坐标系的相关知识：各象限的坐标特征为第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。解题时先根据点A、B的坐标判断两点所属的象限，以此确定坐标系原点的位置，再结合x轴与$l_1$平行、y轴与$l_2$平行的条件建立坐标系，最后根据点C的位置判断其所在象限即可。
【解析】
1. 分析已知点的坐标特征：点A的坐标为(-2,-1)，横、纵坐标均为负，属于第三象限，因此坐标系的原点O在点A的右上方；点B的坐标为(1,2)，横、纵坐标均为正，属于第一象限，因此原点O在点B的左下方。
2. 结合题干中x轴//$l_1$、y轴//$l_2$、$l_1⊥l_2$的条件，确定原点O的位置，建立平面直角坐标系。
3. 观察点C的位置，其横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征，因此点C在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
象限的坐标特征；平面直角坐标系的建立；坐标与位置的对应
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，解题的核心是利用已知点的坐标特征准确定位原点和坐标轴方向，能够有效考查学生对坐标系相关知识的掌握程度和空间感知能力。
【难度系数】
0.75
首先回忆平面直角坐标系的相关知识：各象限的坐标特征为第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-)。解题时先根据点A、B的坐标判断两点所属的象限，以此确定坐标系原点的位置，再结合x轴与$l_1$平行、y轴与$l_2$平行的条件建立坐标系，最后根据点C的位置判断其所在象限即可。
【解析】
1. 分析已知点的坐标特征：点A的坐标为(-2,-1)，横、纵坐标均为负，属于第三象限，因此坐标系的原点O在点A的右上方；点B的坐标为(1,2)，横、纵坐标均为正，属于第一象限，因此原点O在点B的左下方。
2. 结合题干中x轴//$l_1$、y轴//$l_2$、$l_1⊥l_2$的条件，确定原点O的位置，建立平面直角坐标系
。3. 观察点C的位置，其横坐标为负、纵坐标为正，符合第二象限的坐标特征，因此点C在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
象限的坐标特征；平面直角坐标系的建立；坐标与位置的对应
【点评】
本题考查平面直角坐标系的基础应用，解题的核心是利用已知点的坐标特征准确定位原点和坐标轴方向，能够有效考查学生对坐标系相关知识的掌握程度和空间感知能力。
【难度系数】
0.75
12. 建立如图所示的平面直角坐标系，在$△ ABO$中，$A(-3,6)$，$B(6,3)$，则线段$OC$的长为
5
。答案
12. 5 【点拨】如图
，过 A 作 AD⊥x 轴于 D，过 B 作 BE⊥x 轴于 E。因为 A(-3，6)，B(6，3)，所以 AD=OE=6，OD=BE=3，所以$S_{△AOB}=\frac{1}{2}×(3+6)×(3+6)-2×\frac{1}{2}×6×3=\frac{1}{2}OC×3+\frac{1}{2}OC×6$，所以 OC=5。解析
【分析】
要求线段OC的长，观察可知OC是AB与y轴的交线段，可通过面积法求解。首先利用割补法计算△AOB的面积：过A、B分别作x轴的垂线，将△AOB的面积转化为梯形面积减去两个直角三角形的面积；再将△AOB拆分为以OC为公共底的△AOC和△BOC，两个三角形的高分别为A、B到y轴的水平距离，根据总面积等于两个小三角形面积和列方程，即可求出OC的长度。
【解析】
如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E。
由A(-3,6)、B(6,3)可得：AD=6，OD=3，OE=6，BE=3，DE=OD+OE=9。
先计算△AOB的面积：
$S_{△ AOB}=S_{梯形ADEB}-S_{△ AOD}-S_{△ BOE}$
$S_{梯形ADEB}=\frac{1}{2}×(AD+BE)× DE=\frac{1}{2}×(6+3)×9=\frac{81}{2}$
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OD× AD=\frac{1}{2}×3×6=9$，$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}× OE× BE=\frac{1}{2}×6×3=9$
因此$S_{△ AOB}=\frac{81}{2}-9-9=\frac{45}{2}$。
又$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，△AOC以OC为底时高为3（A到y轴的距离），△BOC以OC为底时高为6（B到y轴的距离），因此：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OC×3+\frac{1}{2}× OC×6=\frac{9}{2}OC$
列方程得$\frac{9}{2}OC=\frac{45}{2}$，解得OC=5。
【答案】
5
【知识点】
坐标与图形性质；割补法求面积；等面积法
【点评】
本题考查了平面直角坐标系中线段长度的求解，核心是将坐标转化为线段长度，通过割补法计算面积后结合等面积法建立方程，体现了数形结合的思想，解题时注意坐标符号与线段长度的对应关系。
【难度系数】
0.65
要求线段OC的长，观察可知OC是AB与y轴的交线段，可通过面积法求解。首先利用割补法计算△AOB的面积：过A、B分别作x轴的垂线，将△AOB的面积转化为梯形面积减去两个直角三角形的面积；再将△AOB拆分为以OC为公共底的△AOC和△BOC，两个三角形的高分别为A、B到y轴的水平距离，根据总面积等于两个小三角形面积和列方程，即可求出OC的长度。
【解析】
如图
，过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E。由A(-3,6)、B(6,3)可得：AD=6，OD=3，OE=6，BE=3，DE=OD+OE=9。
先计算△AOB的面积：
$S_{△ AOB}=S_{梯形ADEB}-S_{△ AOD}-S_{△ BOE}$
$S_{梯形ADEB}=\frac{1}{2}×(AD+BE)× DE=\frac{1}{2}×(6+3)×9=\frac{81}{2}$
$S_{△ AOD}=\frac{1}{2}× OD× AD=\frac{1}{2}×3×6=9$，$S_{△ BOE}=\frac{1}{2}× OE× BE=\frac{1}{2}×6×3=9$
因此$S_{△ AOB}=\frac{81}{2}-9-9=\frac{45}{2}$。
又$S_{△ AOB}=S_{△ AOC}+S_{△ BOC}$，△AOC以OC为底时高为3（A到y轴的距离），△BOC以OC为底时高为6（B到y轴的距离），因此：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OC×3+\frac{1}{2}× OC×6=\frac{9}{2}OC$
列方程得$\frac{9}{2}OC=\frac{45}{2}$，解得OC=5。
【答案】
5
【知识点】
坐标与图形性质；割补法求面积；等面积法
【点评】
本题考查了平面直角坐标系中线段长度的求解，核心是将坐标转化为线段长度，通过割补法计算面积后结合等面积法建立方程，体现了数形结合的思想，解题时注意坐标符号与线段长度的对应关系。
【难度系数】
0.65
13. 如图①所示，已知在四边形ABCD中，∠A=90°,AB=6,BC=24,CD=26,DA=8.
(1)试说明:BD⊥CB;
(2)求四边形ABCD的面积;
(3)如图②,以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,若点P是y轴上一点,且$S_{△ PBD}=\frac{1}{6}S_{四边形ABCD}$,求点P的坐标.
(1)试说明:BD⊥CB;
(2)求四边形ABCD的面积;
(3)如图②,以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,若点P是y轴上一点,且$S_{△ PBD}=\frac{1}{6}S_{四边形ABCD}$,求点P的坐标.
答案
13. 【解】(1)因为 AD=8，AB=6，∠BAD=90°，
所以 $BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=10$。
因为 BC=24，CD=26，所以 $BD^2+BC^2=10^2+24^2=26^2=CD^2$，所以△BCD 是直角三角形，且∠CBD=90°，
所以 BD⊥CB。
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×24×10=24+120=144$。
(3)因为 $S_{△PBD}=\frac{1}{6}S_{四边形ABCD}$，所以 $\frac{1}{2}PD·AB=\frac{1}{6}×144$，
即 $\frac{1}{2}PD×6=24$，解得 PD=8。
因为 D(0,8)，点 P 在 y 轴上，
所以 P 的坐标为(0,0)或(0,16)。
所以 $BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=10$。
因为 BC=24，CD=26，所以 $BD^2+BC^2=10^2+24^2=26^2=CD^2$，所以△BCD 是直角三角形，且∠CBD=90°，
所以 BD⊥CB。
(2)$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=\frac{1}{2}×6×8+\frac{1}{2}×24×10=24+120=144$。
(3)因为 $S_{△PBD}=\frac{1}{6}S_{四边形ABCD}$，所以 $\frac{1}{2}PD·AB=\frac{1}{6}×144$，
即 $\frac{1}{2}PD×6=24$，解得 PD=8。
因为 D(0,8)，点 P 在 y 轴上，
所以 P 的坐标为(0,0)或(0,16)。
解析
【分析】
(1) 要证明BD⊥CB，需证∠CBD=90°，可先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度，再通过勾股定理的逆定理验证△BCD为直角三角形且∠CBD为直角即可。
(2) 四边形ABCD为不规则图形，可将其拆分为△ABD和△BCD两个直角三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的总面积。
(3) 先根据面积关系求出△PBD的面积，点P在y轴上，△PBD以PD为底时，对应高为AB的长度，据此列方程求出PD的长度，再结合D点坐标，分P在D点上方、下方两种情况讨论，即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵∠A=90°，AD=8，AB=6，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
又
∵BC=24，CD=26，
∴$BD^2+BC^2=10^2+24^2=676$，$CD^2=26^2=676$，即$BD^2+BC^2=CD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴BD⊥CB。
(2) 四边形ABCD的面积可拆分为两个直角三角形的面积和：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×10×24=120$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=24+120=144$。
(3) 由题意得$S_{△PBD}=\frac{1}{6}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{6}×144=24$，
∵点P在y轴上，△PBD以PD为底时，高为AB的长度6，
∴$S_{△PBD}=\frac{1}{2}×PD×AB=24$，即$\frac{1}{2}×PD×6=24$，解得PD=8。
由坐标系可知D点坐标为(0,8)，点P在y轴上：
当P在D点下方时，P的纵坐标为$8-8=0$，即P(0,0)；
当P在D点上方时，P的纵坐标为$8+8=16$，即P(0,16)。
【答案】
(1) BD⊥CB，证明见解析；
(2) 四边形ABCD的面积为144；
(3) 点P的坐标为(0,0)或(0,16)。
【知识点】
勾股定理及逆定理；割补法求面积；坐标系动点计算
【点评】
本题综合考查了勾股定理相关的几何证明、不规则图形面积计算，以及坐标系中的动点面积问题，解题时需注意第三问要分两种情况讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BD⊥CB，需证∠CBD=90°，可先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD的长度，再通过勾股定理的逆定理验证△BCD为直角三角形且∠CBD为直角即可。
(2) 四边形ABCD为不规则图形，可将其拆分为△ABD和△BCD两个直角三角形，分别计算两个三角形的面积后求和，即可得到四边形的总面积。
(3) 先根据面积关系求出△PBD的面积，点P在y轴上，△PBD以PD为底时，对应高为AB的长度，据此列方程求出PD的长度，再结合D点坐标，分P在D点上方、下方两种情况讨论，即可得到P点坐标。
【解析】
(1)
∵∠A=90°，AD=8，AB=6，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
又
∵BC=24，CD=26，
∴$BD^2+BC^2=10^2+24^2=676$，$CD^2=26^2=676$，即$BD^2+BC^2=CD^2$，
∴△BCD是直角三角形，且∠CBD=90°，
∴BD⊥CB。
(2) 四边形ABCD的面积可拆分为两个直角三角形的面积和：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×AD=\frac{1}{2}×6×8=24$，
$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BD×BC=\frac{1}{2}×10×24=120$，
∴$S_{四边形ABCD}=S_{△ABD}+S_{△BCD}=24+120=144$。
(3) 由题意得$S_{△PBD}=\frac{1}{6}S_{四边形ABCD}=\frac{1}{6}×144=24$，
∵点P在y轴上，△PBD以PD为底时，高为AB的长度6，
∴$S_{△PBD}=\frac{1}{2}×PD×AB=24$，即$\frac{1}{2}×PD×6=24$，解得PD=8。
由坐标系可知D点坐标为(0,8)，点P在y轴上：
当P在D点下方时，P的纵坐标为$8-8=0$，即P(0,0)；
当P在D点上方时，P的纵坐标为$8+8=16$，即P(0,16)。
【答案】
(1) BD⊥CB，证明见解析；
(2) 四边形ABCD的面积为144；
(3) 点P的坐标为(0,0)或(0,16)。
【知识点】
勾股定理及逆定理；割补法求面积；坐标系动点计算
【点评】
本题综合考查了勾股定理相关的几何证明、不规则图形面积计算，以及坐标系中的动点面积问题，解题时需注意第三问要分两种情况讨论，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
14. ★★ [安徽竞赛] 在平面直角坐标系$xOy$中，对于任意三点$A,B,C$的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”$a$表示任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”$h$表示任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”$S=ah$.
例如：三点坐标分别为$A(1,2),B(-3,1),C(2,-2)$，则“水平底”$a=5$，“铅垂高”$h=4$，所以“矩面积”$S=ah=20$.
根据所给定义解决下列问题：
(1)若三点$A(1,2),B(-3,1),D(0,6)$，则“水平底”$a=$
(2)若三点$A(1,2),B(-3,1),E(0,t)$的“矩面积”为18，求点$E$的坐标.
(3)已知三点$B(-3,1),C(2,-2),F(m,3m)$，其中$m＞0$.若三点$B,C,F$的“矩面积”为15，求$m$的取值范围.
例如：三点坐标分别为$A(1,2),B(-3,1),C(2,-2)$，则“水平底”$a=5$，“铅垂高”$h=4$，所以“矩面积”$S=ah=20$.
根据所给定义解决下列问题：
(1)若三点$A(1,2),B(-3,1),D(0,6)$，则“水平底”$a=$
4
，“铅垂高”$h=$5
，所以“矩面积”$S=$20
.(2)若三点$A(1,2),B(-3,1),E(0,t)$的“矩面积”为18，求点$E$的坐标.
(3)已知三点$B(-3,1),C(2,-2),F(m,3m)$，其中$m＞0$.若三点$B,C,F$的“矩面积”为15，求$m$的取值范围.
答案
14. 【解】(1)4；5；20
(2)由题意知 $a=1-(-3)=4$。
因为“矩面积”为 18，所以 h=4.5。当 h=t-1=4.5 时，t=5.5，所以 E(0,5.5)；
当 h=2-t=4.5 时，t=-2.5，所以 E(0,-2.5)。
综上所述，E(0,5.5)或 E(0,-2.5)。
(3)当 $0＜m≤\frac{1}{3}$ 时，因为 B(-3,1)，C(2,-2)，F(m,3m)，
所以 a=2-(-3)=5，b=1-(-2)=3，所以三点 B，C，F 的“矩面积”为 15，满足题意；当 $\frac{1}{3}＜m≤2$ 时，则 a=2-(-3)=5，b=3m-(-2)=3m+2，所以 5(3m+2)=15，解得 $m=\frac{1}{3}$(舍去)；当 m＞2 时，则 a=m-(-3)=m+3，b=3m-(-2)=3m+2，所以 a＞5，b＞8，所以此时 ab≠15。综上所述，$0＜m≤\frac{1}{3}$。
(2)由题意知 $a=1-(-3)=4$。
因为“矩面积”为 18，所以 h=4.5。当 h=t-1=4.5 时，t=5.5，所以 E(0,5.5)；
当 h=2-t=4.5 时，t=-2.5，所以 E(0,-2.5)。
综上所述，E(0,5.5)或 E(0,-2.5)。
(3)当 $0＜m≤\frac{1}{3}$ 时，因为 B(-3,1)，C(2,-2)，F(m,3m)，
所以 a=2-(-3)=5，b=1-(-2)=3，所以三点 B，C，F 的“矩面积”为 15，满足题意；当 $\frac{1}{3}＜m≤2$ 时，则 a=2-(-3)=5，b=3m-(-2)=3m+2，所以 5(3m+2)=15，解得 $m=\frac{1}{3}$(舍去)；当 m＞2 时，则 a=m-(-3)=m+3，b=3m-(-2)=3m+2，所以 a＞5，b＞8，所以此时 ab≠15。综上所述，$0＜m≤\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题前需准确理解相关定义：①水平底$a$是三点横坐标差的最大值，即最大横坐标减最小横坐标；②铅垂高$h$是三点纵坐标差的最大值，即最大纵坐标减最小纵坐标；③矩面积$S=ah$。
(1) 直接找出三点的最大、最小横坐标相减得$a$，找出最大、最小纵坐标相减得$h$，再计算$S$即可。
(2) 先判断三点横坐标范围，确定$a$为固定值，再根据矩面积算出$h$，分$t$大于$A$点纵坐标、小于$B$点纵坐标两种情况求解$t$，即可得到$E$的坐标。
(3) 结合$m＞0$的条件，分$0＜m≤\frac{1}{3}$、$\frac{1}{3}＜m≤2$、$m＞2$三种情况，分别计算对应区间的$a$和$h$，判断矩面积是否等于15，舍去不符合的情况，得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 三点$A(1,2)$、$B(-3,1)$、$D(0,6)$的横坐标为1、-3、0，最大横坐标为1，最小横坐标为-3，因此水平底$a=1-(-3)=4$；
三点纵坐标为2、1、6，最大纵坐标为6，最小纵坐标为1，因此铅垂高$h=6-1=5$；
矩面积$S=ah=4×5=20$。
(2) 三点$A(1,2)$、$B(-3,1)$、$E(0,t)$的横坐标为1、-3、0，最大横坐标为1，最小横坐标为-3，因此$a=1-(-3)=4$。
已知矩面积$S=18$，由$S=ah$得$h=S÷a=18÷4=4.5$。
三点纵坐标为2、1、$t$，纵坐标差最大值为4.5，分两种情况：
① 若$t＞2$，则最大纵坐标为$t$，最小纵坐标为1，因此$h=t-1=4.5$，解得$t=5.5$，此时$E(0,5.5)$；
② 若$t＜1$，则最大纵坐标为2，最小纵坐标为$t$，因此$h=2-t=4.5$，解得$t=-2.5$，此时$E(0,-2.5)$。
综上，点$E$的坐标为$(0,5.5)$或$(0,-2.5)$。
(3) 已知$m＞0$，分三种情况讨论：
① 当$0＜m≤\frac{1}{3}$时，$F(m,3m)$的纵坐标$3m≤1$，三点$B(-3,1)$、$C(2,-2)$、$F(m,3m)$的横坐标最大为2，最小为-3，因此$a=2-(-3)=5$；纵坐标最大为1，最小为-2，因此$h=1-(-2)=3$，矩面积$S=5×3=15$，符合题意；
② 当$\frac{1}{3}＜m≤2$时，$F$的纵坐标$3m＞1$，横坐标$m≤2$，因此$a=2-(-3)=5$，$h=3m-(-2)=3m+2$，若$S=15$，则$5(3m+2)=15$，解得$m=\frac{1}{3}$，不符合$\frac{1}{3}＜m≤2$的范围，舍去；
③ 当$m＞2$时，$F$的横坐标$m＞2$，纵坐标$3m＞6$，因此$a=m-(-3)=m+3＞5$，$h=3m-(-2)=3m+2＞8$，$S=ah＞5×8=40≠15$，不符合题意。
综上，$m$的取值范围是$0＜m≤\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $4$；$5$；$20$
(2) $E(0,5.5)$或$E(0,-2.5)$
(3) $0＜m≤\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义问题；平面直角坐标系；分类讨论思想
【点评】
本题核心是准确理解新定义的含义，解题时结合坐标的取值范围分类讨论，注意不要遗漏边界情况和不符合区间的解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
本题是新定义类题型，解题前需准确理解相关定义：①水平底$a$是三点横坐标差的最大值，即最大横坐标减最小横坐标；②铅垂高$h$是三点纵坐标差的最大值，即最大纵坐标减最小纵坐标；③矩面积$S=ah$。
(1) 直接找出三点的最大、最小横坐标相减得$a$，找出最大、最小纵坐标相减得$h$，再计算$S$即可。
(2) 先判断三点横坐标范围，确定$a$为固定值，再根据矩面积算出$h$，分$t$大于$A$点纵坐标、小于$B$点纵坐标两种情况求解$t$，即可得到$E$的坐标。
(3) 结合$m＞0$的条件，分$0＜m≤\frac{1}{3}$、$\frac{1}{3}＜m≤2$、$m＞2$三种情况，分别计算对应区间的$a$和$h$，判断矩面积是否等于15，舍去不符合的情况，得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 三点$A(1,2)$、$B(-3,1)$、$D(0,6)$的横坐标为1、-3、0，最大横坐标为1，最小横坐标为-3，因此水平底$a=1-(-3)=4$；
三点纵坐标为2、1、6，最大纵坐标为6，最小纵坐标为1，因此铅垂高$h=6-1=5$；
矩面积$S=ah=4×5=20$。
(2) 三点$A(1,2)$、$B(-3,1)$、$E(0,t)$的横坐标为1、-3、0，最大横坐标为1，最小横坐标为-3，因此$a=1-(-3)=4$。
已知矩面积$S=18$，由$S=ah$得$h=S÷a=18÷4=4.5$。
三点纵坐标为2、1、$t$，纵坐标差最大值为4.5，分两种情况：
① 若$t＞2$，则最大纵坐标为$t$，最小纵坐标为1，因此$h=t-1=4.5$，解得$t=5.5$，此时$E(0,5.5)$；
② 若$t＜1$，则最大纵坐标为2，最小纵坐标为$t$，因此$h=2-t=4.5$，解得$t=-2.5$，此时$E(0,-2.5)$。
综上，点$E$的坐标为$(0,5.5)$或$(0,-2.5)$。
(3) 已知$m＞0$，分三种情况讨论：
① 当$0＜m≤\frac{1}{3}$时，$F(m,3m)$的纵坐标$3m≤1$，三点$B(-3,1)$、$C(2,-2)$、$F(m,3m)$的横坐标最大为2，最小为-3，因此$a=2-(-3)=5$；纵坐标最大为1，最小为-2，因此$h=1-(-2)=3$，矩面积$S=5×3=15$，符合题意；
② 当$\frac{1}{3}＜m≤2$时，$F$的纵坐标$3m＞1$，横坐标$m≤2$，因此$a=2-(-3)=5$，$h=3m-(-2)=3m+2$，若$S=15$，则$5(3m+2)=15$，解得$m=\frac{1}{3}$，不符合$\frac{1}{3}＜m≤2$的范围，舍去；
③ 当$m＞2$时，$F$的横坐标$m＞2$，纵坐标$3m＞6$，因此$a=m-(-3)=m+3＞5$，$h=3m-(-2)=3m+2＞8$，$S=ah＞5×8=40≠15$，不符合题意。
综上，$m$的取值范围是$0＜m≤\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $4$；$5$；$20$
(2) $E(0,5.5)$或$E(0,-2.5)$
(3) $0＜m≤\frac{1}{3}$
【知识点】
新定义问题；平面直角坐标系；分类讨论思想
【点评】
本题核心是准确理解新定义的含义，解题时结合坐标的取值范围分类讨论，注意不要遗漏边界情况和不符合区间的解，对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
