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11 (2025宿迁宿豫月考)若实数$x,y$满足$\sqrt{x+16}+(y-4)^2=0$，则$xy$的立方根是 （
A.8
B.$-8$
C.4
D.$-4$
D
）A.8
B.$-8$
C.4
D.$-4$
答案
11.D
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式的结构：等式左边是算术平方根与平方数的和，根据算术平方根和偶次平方的非负性，两个非负数相加得0时，每个非负数的值都为0，据此可先列方程求出x、y的取值，再计算xy的值，最后根据立方根的定义求出xy的立方根即可。
【解析】
∵ 算术平方根和平方数均为非负数，即$\sqrt{x+16} ≥ 0$，$(y-4)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x+16}+(y-4)^2=0$
∴ 可得方程组：$\begin{cases}x+16=0 \\ y-4=0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-16 \\ y=4 \end{cases}$
则$xy = -16 × 4 = -64$
∵ $(-4)^3 = -64$
∴ $-64$的立方根是$-4$，即$xy$的立方根为$-4$
故本题选D
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，有理数乘法运算，立方根的计算
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是熟练掌握算术平方根、偶次幂的非负性，能利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律求出未知数的值，再结合立方根的定义完成计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知等式的结构：等式左边是算术平方根与平方数的和，根据算术平方根和偶次平方的非负性，两个非负数相加得0时，每个非负数的值都为0，据此可先列方程求出x、y的取值，再计算xy的值，最后根据立方根的定义求出xy的立方根即可。
【解析】
∵ 算术平方根和平方数均为非负数，即$\sqrt{x+16} ≥ 0$，$(y-4)^2 ≥ 0$，且$\sqrt{x+16}+(y-4)^2=0$
∴ 可得方程组：$\begin{cases}x+16=0 \\ y-4=0 \end{cases}$
解得：$\begin{cases}x=-16 \\ y=4 \end{cases}$
则$xy = -16 × 4 = -64$
∵ $(-4)^3 = -64$
∴ $-64$的立方根是$-4$，即$xy$的立方根为$-4$
故本题选D
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，有理数乘法运算，立方根的计算
【点评】
本题是基础运算题，解题的核心是熟练掌握算术平方根、偶次幂的非负性，能利用“若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律求出未知数的值，再结合立方根的定义完成计算即可。
【难度系数】
0.8
12 易错题（2025无锡锡山月考）如果$a$是$(-3)^2$的平方根，那么$\sqrt[3]{a}$等于（
A.$-3$
B.$-\sqrt[3]{3}$
C.$\pm3$
D.$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$
D
）A.$-3$
B.$-\sqrt[3]{3}$
C.$\pm3$
D.$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$
答案
12.D
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先计算出$(-3)^2$的结果；第二步根据平方根的定义，求出这个数的所有平方根，得到a的可能取值，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解；第三步分别对a的两个取值求立方根，结合立方根的性质（立方根的符号与被开方数符号一致）得出最终结果，再对应选项判断即可。
【解析】
1. 计算乘方结果：$(-3)^2=9$；
2. 求9的平方根：因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，即$a=3$或$a=-3$；
3. 分别计算$\sqrt[3]{a}$的值：
当$a=3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{3}$；
当$a=-3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$；
因此$\sqrt[3]{a}$的值为$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$。
【答案】D
【知识点】平方根的定义；立方根运算；乘方运算
【点评】本题属于易错题，易错点是忽略正数有两个互为相反数的平方根，仅取正的平方根导致漏解。解题时要注意区分平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，而任意实数的立方根仅有一个，且符号与被开方数一致。
【难度系数】0.6
解题思路分三步：第一步先计算出$(-3)^2$的结果；第二步根据平方根的定义，求出这个数的所有平方根，得到a的可能取值，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解；第三步分别对a的两个取值求立方根，结合立方根的性质（立方根的符号与被开方数符号一致）得出最终结果，再对应选项判断即可。
【解析】
1. 计算乘方结果：$(-3)^2=9$；
2. 求9的平方根：因为$(\pm3)^2=9$，所以9的平方根是$\pm3$，即$a=3$或$a=-3$；
3. 分别计算$\sqrt[3]{a}$的值：
当$a=3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{3}$；
当$a=-3$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$；
因此$\sqrt[3]{a}$的值为$\sqrt[3]{3}$或$-\sqrt[3]{3}$。
【答案】D
【知识点】平方根的定义；立方根运算；乘方运算
【点评】本题属于易错题，易错点是忽略正数有两个互为相反数的平方根，仅取正的平方根导致漏解。解题时要注意区分平方根和立方根的性质：正数的平方根有两个，而任意实数的立方根仅有一个，且符号与被开方数一致。
【难度系数】0.6
13 已知$x$没有平方根，且$|x|=64$，则$x$的立方根为 （
A.8
B.－8
C.$\pm4$
D.－4
D
）A.8
B.－8
C.$\pm4$
D.－4
答案
13.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，负数没有平方根，由此可先判断x的符号为负；再根据绝对值的定义求出x的可能取值，结合x的符号筛选出x的准确值；最后根据立方根的定义计算x的立方根即可。
【解析】
第一步：根据平方根的性质判断x的符号
∵ 负数没有平方根，题目中x没有平方根
∴ x ＜ 0
第二步：结合绝对值条件求x的值
∵ |x|=64
∴ x = 64 或 x = -64
结合x ＜ 0的结论，可得x = -64
第三步：计算x的立方根
∵ (-4)³ = -64
∴ -64的立方根是-4，即x的立方根为-4
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，绝对值的定义，立方根的计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用平方根的存在条件确定x的符号，避免忽略符号条件直接计算导致出错，同时要注意区分平方根和立方根的符号特性：立方根的符号与被开方数的符号一致。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，负数没有平方根，由此可先判断x的符号为负；再根据绝对值的定义求出x的可能取值，结合x的符号筛选出x的准确值；最后根据立方根的定义计算x的立方根即可。
【解析】
第一步：根据平方根的性质判断x的符号
∵ 负数没有平方根，题目中x没有平方根
∴ x ＜ 0
第二步：结合绝对值条件求x的值
∵ |x|=64
∴ x = 64 或 x = -64
结合x ＜ 0的结论，可得x = -64
第三步：计算x的立方根
∵ (-4)³ = -64
∴ -64的立方根是-4，即x的立方根为-4
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质，绝对值的定义，立方根的计算
【点评】
本题属于基础综合题，解题的核心是先利用平方根的存在条件确定x的符号，避免忽略符号条件直接计算导致出错，同时要注意区分平方根和立方根的符号特性：立方根的符号与被开方数的符号一致。
【难度系数】
0.7
14 如果$\sqrt{x}=8$，那么$\sqrt[3]{-x}=$
-4
.答案
-4
解析
【分析】
解题时先从已知条件$\sqrt{x}=8$入手，根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，可先求出$x$的值；再将$x$代入$\sqrt[3]{-x}$中，根据立方根的性质（负数的立方根是负数）计算最终结果，注意运算过程中不要搞错符号。
【解析】
解：$\because \sqrt{x}=8$
$\therefore x=8^2=64$
$\therefore -x=-64$
$\therefore \sqrt[3]{-x}=\sqrt[3]{-64}$
又$\because (-4)^3=-64$
$\therefore \sqrt[3]{-64}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的运算
【点评】
本题属于平方根与立方根的基础综合题，解题核心是先利用算术平方根的意义求出未知数的值，再代入计算立方根，计算时需注意负数立方根的符号特征，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件$\sqrt{x}=8$入手，根据算术平方根的定义，算术平方根的平方等于被开方数，可先求出$x$的值；再将$x$代入$\sqrt[3]{-x}$中，根据立方根的性质（负数的立方根是负数）计算最终结果，注意运算过程中不要搞错符号。
【解析】
解：$\because \sqrt{x}=8$
$\therefore x=8^2=64$
$\therefore -x=-64$
$\therefore \sqrt[3]{-x}=\sqrt[3]{-64}$
又$\because (-4)^3=-64$
$\therefore \sqrt[3]{-64}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的运算
【点评】
本题属于平方根与立方根的基础综合题，解题核心是先利用算术平方根的意义求出未知数的值，再代入计算立方根，计算时需注意负数立方根的符号特征，避免符号错误。
【难度系数】
0.9
15 如果$\sqrt{y-7}$与$(2x-4)^2$互为相反数，那么$2x-y$的立方根是
$-\sqrt[3]{3}$
.答案
$-\sqrt[3]{3}$
解析
【分析】
首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式；再结合算术平方根、平方数的非负性（二者的取值均大于等于0），可推出两个非负数各自为0，进而求解得到x、y的值；最后代入计算2x-y的值，再求其立方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{y-7}$与$(2x-4)^2$互为相反数
∴$\sqrt{y-7} + (2x-4)^2 = 0$
又
∵$\sqrt{y-7} ≥ 0$，$(2x-4)^2 ≥ 0$
∴要使等式成立，需满足$\begin{cases} \sqrt{y-7}=0 \\ (2x-4)^2=0 \end{cases}$
分别解方程：
由$\sqrt{y-7}=0$得：$y-7=0$，解得$y=7$
由$(2x-4)^2=0$得：$2x-4=0$，解得$x=2$
将$x=2$，$y=7$代入$2x-y$得：$2×2 -7 = 4-7=-3$
∴$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$
【答案】
$-\sqrt[3]{3}$
【知识点】
非负数的性质、相反数的定义、立方根的运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，结合相反数、立方根的基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先根据互为相反数的两个数之和为0列出等式；再结合算术平方根、平方数的非负性（二者的取值均大于等于0），可推出两个非负数各自为0，进而求解得到x、y的值；最后代入计算2x-y的值，再求其立方根即可。
【解析】
解：
∵$\sqrt{y-7}$与$(2x-4)^2$互为相反数
∴$\sqrt{y-7} + (2x-4)^2 = 0$
又
∵$\sqrt{y-7} ≥ 0$，$(2x-4)^2 ≥ 0$
∴要使等式成立，需满足$\begin{cases} \sqrt{y-7}=0 \\ (2x-4)^2=0 \end{cases}$
分别解方程：
由$\sqrt{y-7}=0$得：$y-7=0$，解得$y=7$
由$(2x-4)^2=0$得：$2x-4=0$，解得$x=2$
将$x=2$，$y=7$代入$2x-y$得：$2×2 -7 = 4-7=-3$
∴$-3$的立方根为$\sqrt[3]{-3}=-\sqrt[3]{3}$
【答案】
$-\sqrt[3]{3}$
【知识点】
非负数的性质、相反数的定义、立方根的运算
【点评】
本题属于基础常考题，解题核心是掌握“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的规律，结合相反数、立方根的基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
16 新素养 推理能力 (2025宿迁经济开发区期中)小成编写了一个程序:输入$x→x^2→$立方根→倒数→算术平方根→$\frac{1}{2}$,则$x$的值为
$\pm8$
.答案
$\pm8$
解析
【分析】
这是一道程序运算类题目，解题采用逆推法更简便。我们可以从最终结果$\frac{1}{2}$出发，逐步进行原运算的逆运算，每一步要明确对应运算的逆运算规则：算术平方根的逆运算是平方，倒数的逆运算是取倒数，立方根的逆运算是立方，平方的逆运算是开平方（注意结果有正负两个值），依次反推就能求出x的值。
【解析】
我们从最后结果$\frac{1}{2}$开始逆推：
1. 最后一步是“算术平方根得到$\frac{1}{2}$”，则算术平方根运算前的数为：$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
2. 上一步是“倒数得到$\frac{1}{4}$”，则倒数运算前的数为：$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
3. 再上一步是“立方根得到4”，则立方根运算前的数为：$4^3=64$；
4. 第一步是“$x$平方得到64”，则$x=\pm\sqrt{64}=\pm8$。
【答案】
$\pm8$
【知识点】
立方根的运算、算术平方根的性质、倒数的定义
【点评】
本题主要考查实数相关运算的应用，解题核心是熟练掌握各类运算的逆运算规则，采用逆推法即可快速求解，需要注意平方运算的逆运算结果有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这是一道程序运算类题目，解题采用逆推法更简便。我们可以从最终结果$\frac{1}{2}$出发，逐步进行原运算的逆运算，每一步要明确对应运算的逆运算规则：算术平方根的逆运算是平方，倒数的逆运算是取倒数，立方根的逆运算是立方，平方的逆运算是开平方（注意结果有正负两个值），依次反推就能求出x的值。
【解析】
我们从最后结果$\frac{1}{2}$开始逆推：
1. 最后一步是“算术平方根得到$\frac{1}{2}$”，则算术平方根运算前的数为：$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$；
2. 上一步是“倒数得到$\frac{1}{4}$”，则倒数运算前的数为：$\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
3. 再上一步是“立方根得到4”，则立方根运算前的数为：$4^3=64$；
4. 第一步是“$x$平方得到64”，则$x=\pm\sqrt{64}=\pm8$。
【答案】
$\pm8$
【知识点】
立方根的运算、算术平方根的性质、倒数的定义
【点评】
本题主要考查实数相关运算的应用，解题核心是熟练掌握各类运算的逆运算规则，采用逆推法即可快速求解，需要注意平方运算的逆运算结果有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.7
17 (2025无锡江阴期中)设$x,y$为实数，且$y=21-\sqrt{3x-18}-\sqrt{18-3x}$，则$x+y$的立方根是
3
。答案
3
解析
【分析】
拿到本题首先观察到y的表达式中含有两个二次根式，且两个被开方数3x-18和18-3x互为相反数。根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此两个被开方数只能同时为0，由此可先求出x的值，再将x代入原式求出y的值，最后计算x+y的立方根即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{3x-18}$和$\sqrt{18-3x}$有意义，需满足被开方数非负，列不等式组得：
$\begin{cases}3x-18≥0 \\18-3x≥0 \end{cases}$
解不等式$3x-18≥0$，得$x≥6$；
解不等式$18-3x≥0$，得$x≤6$；
综上可得$x=6$。
将$x=6$代入$y=21-\sqrt{3x-18}-\sqrt{18-3x}$，得：
$y=21-\sqrt{0}-\sqrt{0}=21$
则$x+y=6+21=27$，
因为$3^3=27$，所以27的立方根为3。
【答案】
3
【知识点】
二次根式有意义的条件；立方根的计算
【点评】
本题主要考查二次根式性质的应用，解题的关键是抓住二次根式被开方数非负的隐含条件求出x的值，再逐步计算即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先观察到y的表达式中含有两个二次根式，且两个被开方数3x-18和18-3x互为相反数。根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此两个被开方数只能同时为0，由此可先求出x的值，再将x代入原式求出y的值，最后计算x+y的立方根即可得到结果。
【解析】
要使二次根式$\sqrt{3x-18}$和$\sqrt{18-3x}$有意义，需满足被开方数非负，列不等式组得：
$\begin{cases}3x-18≥0 \\18-3x≥0 \end{cases}$
解不等式$3x-18≥0$，得$x≥6$；
解不等式$18-3x≥0$，得$x≤6$；
综上可得$x=6$。
将$x=6$代入$y=21-\sqrt{3x-18}-\sqrt{18-3x}$，得：
$y=21-\sqrt{0}-\sqrt{0}=21$
则$x+y=6+21=27$，
因为$3^3=27$，所以27的立方根为3。
【答案】
3
【知识点】
二次根式有意义的条件；立方根的计算
【点评】
本题主要考查二次根式性质的应用，解题的关键是抓住二次根式被开方数非负的隐含条件求出x的值，再逐步计算即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
18（2025南京秦淮月考）如果一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是
0或64
。答案
0 或 64
解析
【分析】
首先明确题目中的等量关系：一个数的立方根等于这个数算术平方根的$\frac{1}{2}$。由于只有非负数才有算术平方根，因此先设这个数为$x$（$x≥0$），再根据等量关系列方程求解。解题时要注意特殊值$x=0$的情况，求出解后还要代入原等式检验是否成立。
【解析】
设这个数为$x$，由算术平方根的定义可得$x≥0$，根据题意列方程：
$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{2}\sqrt{x}$
1. 当$x=0$时：
左边$\sqrt[3]{0}=0$，右边$\frac{1}{2}\sqrt{0}=0$，等式成立，故$x=0$是符合要求的解。
2. 当$x＞0$时：
方程两边同时6次方（两边均为非负数，乘方后等式仍然成立），得：
$(\sqrt[3]{x})^6 = (\frac{1}{2}\sqrt{x})^6$
化简得：$x^2 = \frac{x^3}{64}$
由于$x＞0$，两边同时除以$x^2$，解得$x=64$。
检验：$x=64$时，左边$\sqrt[3]{64}=4$，右边$\frac{1}{2}\sqrt{64}=4$，等式成立。
综上，这个数为0或64。
【答案】
0或64
【知识点】
立方根的概念；算术平方根的概念；列方程求解
【点评】
本题重点考查对立方根和算术平方根概念的理解，解题时要先明确未知数的取值范围，避免遗漏$x=0$的特殊解，求出结果后建议代入原条件验证，保证解的正确性。
【难度系数】
0.7
首先明确题目中的等量关系：一个数的立方根等于这个数算术平方根的$\frac{1}{2}$。由于只有非负数才有算术平方根，因此先设这个数为$x$（$x≥0$），再根据等量关系列方程求解。解题时要注意特殊值$x=0$的情况，求出解后还要代入原等式检验是否成立。
【解析】
设这个数为$x$，由算术平方根的定义可得$x≥0$，根据题意列方程：
$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{2}\sqrt{x}$
1. 当$x=0$时：
左边$\sqrt[3]{0}=0$，右边$\frac{1}{2}\sqrt{0}=0$，等式成立，故$x=0$是符合要求的解。
2. 当$x＞0$时：
方程两边同时6次方（两边均为非负数，乘方后等式仍然成立），得：
$(\sqrt[3]{x})^6 = (\frac{1}{2}\sqrt{x})^6$
化简得：$x^2 = \frac{x^3}{64}$
由于$x＞0$，两边同时除以$x^2$，解得$x=64$。
检验：$x=64$时，左边$\sqrt[3]{64}=4$，右边$\frac{1}{2}\sqrt{64}=4$，等式成立。
综上，这个数为0或64。
【答案】
0或64
【知识点】
立方根的概念；算术平方根的概念；列方程求解
【点评】
本题重点考查对立方根和算术平方根概念的理解，解题时要先明确未知数的取值范围，避免遗漏$x=0$的特殊解，求出结果后建议代入原条件验证，保证解的正确性。
【难度系数】
0.7
19 (2025无锡新吴期中)已知某个正数的两个平方根分别是$a-12$和$\frac{a+3}{4}$，$2a+b-26$的立方根是2.
（1）求$ab$的值；
（2）求$a+b$的平方根.
（1）求$ab$的值；
（2）求$a+b$的平方根.
答案
解:(1) 由题意,得 $a-12+\frac{a+3}{4}=0$,解得 $a=9$.
因为 $2a+b-26$ 的立方根是 2,所以 $2a+b-26=8$,
即 $2×9+b-26=8$,解得 $b=16$,故 $ab=9×16=144$.
(2) 由(1),得 $a=9,b=16$,所以 $a+b=9+16=25$.
因为 25 的平方根是$\pm5$,所以 $a+b$ 的平方根是$\pm5$.
因为 $2a+b-26$ 的立方根是 2,所以 $2a+b-26=8$,
即 $2×9+b-26=8$,解得 $b=16$,故 $ab=9×16=144$.
(2) 由(1),得 $a=9,b=16$,所以 $a+b=9+16=25$.
因为 25 的平方根是$\pm5$,所以 $a+b$ 的平方根是$\pm5$.
解析
【分析】
解决第（1）问时，先利用正数的两个平方根互为相反数、和为0的性质，列方程求出a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是2，则这个数等于2的立方，代入a的值求出b，最后计算ab即可。解决第（2）问时，先算出a+b的和，再根据平方根的定义求其平方根，注意正数的平方根有2个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
（1）由正数的两个平方根互为相反数，可得：
$a-12+\frac{a+3}{4}=0$
去分母得：$4a-48+a+3=0$
合并同类项解得：$a=9$
因为$2a+b-26$的立方根是2，根据立方根定义得：
$2a+b-26=2^3=8$
把$a=9$代入得：$2×9+b-26=8$
计算解得：$b=16$
因此$ab=9×16=144$
（2）由（1）得$a=9$，$b=16$，所以$a+b=9+16=25$
因为25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，所以$a+b$的平方根是$\pm5$
【答案】
（1）$\boldsymbol{144}$；（2）$\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根和立方根的基本性质，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
解决第（1）问时，先利用正数的两个平方根互为相反数、和为0的性质，列方程求出a的值；再根据立方根的定义，若一个数的立方根是2，则这个数等于2的立方，代入a的值求出b，最后计算ab即可。解决第（2）问时，先算出a+b的和，再根据平方根的定义求其平方根，注意正数的平方根有2个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
（1）由正数的两个平方根互为相反数，可得：
$a-12+\frac{a+3}{4}=0$
去分母得：$4a-48+a+3=0$
合并同类项解得：$a=9$
因为$2a+b-26$的立方根是2，根据立方根定义得：
$2a+b-26=2^3=8$
把$a=9$代入得：$2×9+b-26=8$
计算解得：$b=16$
因此$ab=9×16=144$
（2）由（1）得$a=9$，$b=16$，所以$a+b=9+16=25$
因为25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，所以$a+b$的平方根是$\pm5$
【答案】
（1）$\boldsymbol{144}$；（2）$\boldsymbol{\pm5}$
【知识点】
平方根的性质；立方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根和立方根的基本性质，解题时需注意正数的平方根有两个，不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
20 我们知道，当$a + b = 0$时，$a^3 + b^3 = 0$也成立，若将$a$看成$a^3$的立方根，$b$看成$b^3$的立方根，能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数。
（1）试举一个例子来判断上述猜测是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，求$(1 - \sqrt{x})^{2027}$的值。
（1）试举一个例子来判断上述猜测是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，求$(1 - \sqrt{x})^{2027}$的值。
答案
解:(1) 2 是 8 的立方根,−2 是−8 的立方根,2 与−2互为相反数,且 8 与−8 互为相反数,故结论成立.
(2) 因为 $\sqrt[3]{1-2x}$ 与 $\sqrt[3]{3x-5}$ 互为相反数,
所以$(1-2x)+(3x-5)=0$,解得 $x=4$,
所以$(1-\sqrt{x})^{2027}=(1-\sqrt{4})^{2027}=(1-2)^{2027}=-1$.
(2) 因为 $\sqrt[3]{1-2x}$ 与 $\sqrt[3]{3x-5}$ 互为相反数,
所以$(1-2x)+(3x-5)=0$,解得 $x=4$,
所以$(1-\sqrt{x})^{2027}=(1-\sqrt{4})^{2027}=(1-2)^{2027}=-1$.
解析
【分析】
（1）要判断题目给出的猜测是否成立，只需举出一组满足“两个数的立方根互为相反数”的例子，验证对应的两个数是否也互为相反数即可。（2）第一问已经验证该猜测成立，因此可直接用结论：若两个立方根互为相反数，则它们的被开方数之和为0，据此列一元一次方程求出x的值，再代入所求式子计算即可，计算时注意负数的奇次幂仍为负数。
【解析】
（1）举例：2是8的立方根，-2是-8的立方根，2与-2互为相反数，同时8与-8也互为相反数，因此上述猜测成立（例子不唯一，合理即可）。
（2）已知$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，根据（1）的结论可得：
$1 - 2x + 3x - 5 = 0$
合并同类项得：$x - 4 = 0$
解得：$x = 4$
将$x=4$代入$(1 - \sqrt{x})^{2027}$计算：
$(1 - \sqrt{4})^{2027}=(1 - 2)^{2027}=(-1)^{2027}=-1$
【答案】
（1）猜测成立，举例：2是8的立方根，-2是-8的立方根，2和-2互为相反数，8和-8也互为相反数；（2）$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的定义，乘方运算
【点评】
本题围绕立方根和相反数的关系设计，先通过举例探究规律，再运用规律解方程求值，体现了从特殊到一般的数学思想，核心考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）要判断题目给出的猜测是否成立，只需举出一组满足“两个数的立方根互为相反数”的例子，验证对应的两个数是否也互为相反数即可。（2）第一问已经验证该猜测成立，因此可直接用结论：若两个立方根互为相反数，则它们的被开方数之和为0，据此列一元一次方程求出x的值，再代入所求式子计算即可，计算时注意负数的奇次幂仍为负数。
【解析】
（1）举例：2是8的立方根，-2是-8的立方根，2与-2互为相反数，同时8与-8也互为相反数，因此上述猜测成立（例子不唯一，合理即可）。
（2）已知$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，根据（1）的结论可得：
$1 - 2x + 3x - 5 = 0$
合并同类项得：$x - 4 = 0$
解得：$x = 4$
将$x=4$代入$(1 - \sqrt{x})^{2027}$计算：
$(1 - \sqrt{4})^{2027}=(1 - 2)^{2027}=(-1)^{2027}=-1$
【答案】
（1）猜测成立，举例：2是8的立方根，-2是-8的立方根，2和-2互为相反数，8和-8也互为相反数；（2）$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
立方根的性质，相反数的定义，乘方运算
【点评】
本题围绕立方根和相反数的关系设计，先通过举例探究规律，再运用规律解方程求值，体现了从特殊到一般的数学思想，核心考查对基础概念的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8
